Vậy tập họp các điểm p, Q là đường tròn đương kính o O'.
Bài 5:
Lời giải:
Gọi I, J, J lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. => AB = AC = a V2 AI = AJ = 4= , 72 BH = HC = a Xét phép nghịch đảo : N = N (A, a2) ta có: A 5
N (В) = I, N(C) = J, N (AB) = AB, N(AC) = AC, N[(AB)] = IH, N[(AC)] = JH Dễ ứiấy AIHJ là hình vuông IH, N[(AC)] = JH Dễ ứiấy AIHJ là hình vuông
=>CÓ duy nhất 1 đường tròn ( Wi) tiếp xúc với các cạnh. =^>( = N[( %)] sẽ tiếp xúc với AB, AC, (AB), (AC). Gọi r, ri lần lượt là bán kính ( ( %). Khi đó ta có: а-ч/2
= 2aV2.
a
Vậy bán kính ( ‘ệ) = 2 ал/2.
Bài 6:
Lời giải: ỉa Phân tích:
Giả sử đã dựng đường tròn ( £ ) đi qua hai điểm А, в cho trước và
tiếp xúc với đường tròn ( Б ).
Xét phép nghịch đảo N = N ( A, )kk* đóta c°:
N : (£) (£)
В o- B'
(£) •<-» z trong đó z là đường thẳng Do ( f i ) đi qua А, в và tiếp xúc với (s) nên z đi qua B' và cũng
H'
tiếp xúc với ( £■). Từ đó suy ra cách dựng. is. Cách dựng
- Dựng B’ là ảnh của в qua phép nghịch đảo N với к = - Từ B' kẻ tiếp tuyến z với đường tròn (ố:) tại с .
- Dựng c là ảnh của c qua phép nghịch đảo N. - Dựng đường ừòn (s ’) đi qua ba điểm A, B, c.
ỉa. Chứng minh:
Đường tròn {8') đi qua A, B theo cách dựng. Do (£•') là ảnh của z qua phép nghịch đảo N và đường thẳng z là tiếp tuyếncủa đường tròn
{£') nên hai đường tròn {£) và (£•') tiếp xúc nhau. Vậy (£■') là đường
tròn càn dựng. ìs. Biên luân:
• •
- Neu B' nằm trong (s) thì bài toán vô nghiệm. - Nếu B' nằm trên (£■) thì bài toán cũng vô nghiệm. - Neu B'nằm ngoài (f) thì bài toán có hai nghiệm hình.
Bài 7:
ĩs. Phân tích:
Giả sử ta đã dựng được đường tròn (C) thỏa yêu cầu bài toán, s Xét phép nghịch đảo N(A, A/(0)) :B <-> B'; M «-> M; (C) «-> d; (O) <-^(0) Vì (C) tiếp xúc với (O) tại M nên d tiếp xúc với (O) tại M.
VìB e (C)nên B ' E d (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ỉa Cách dựng:
Dựng cát tuyến ACC với (O) Dựng (BCC) cắt AB tại B'
Dựng tiếp tuyến BM (M là tiếp điểm), AM cắt (O) tại M.
Đường tròn (ABM) là đường tròn cần di ỉa Chứng minh: Xét phép nghịch đảo N(A, A/(0)):
(0)<->(0); M ^ M ; ; ( C ) < ^ B ' M ;
Do tính chất của phép nghịch đảo nên B’M’ tiếp xúc với (O) và đi qua B', M => (C) tiếp xúc với (O) và đi qua A, B, M. ỉs. Biện luận:
• 9
Khi А, В thuộc (О) : (C) chính là (O).
Bài toán có 1 nghiệm hình khi A ệ (О), в G (О) hay A e (О), в Ệ (О). Bài
toán có vô số nghiệm hình
khi А, В Ệ (O). Các đường tròn cần dựng là 2 đường tròn tiếp xúc trong và ngoài (O). Bài toán có 2 nghiệm hình.
Bài 8:
Lời giải: g
Xét nghịch đảo Ni = N (I, £P 1/(0))
Ni (P) = Q Gọi Si = Ni(S) cố định ( do s có cố định )
=> tứ giác SPSiP nội tiếp, do đó đường tròn (SPQ) đi qua Si cố định. Xét phép nghịch đảo N2 = N( s, £P s/ (O) )
N2(P) = F , N2(Q) = Ợ
=>N2[(SPQ)]= pợ
Do đường ừòn (SPQ) đi qua Si cố định nên P'Q' đi qua điểm s2 = N2(Si) cố định.
KẾT LUẬN
1. Khóa luận tốt nghiệp đã trình bày một số kiến thức cơ bản của phép nghịch đảo ( Chương 1)
2. Giới thiệu 1 số bài tập dạng cơ bản và tương đối khổ ở ttong một số cuộc thi học sinh giỏi ở trong phẳng cũng như trong không gian có sử dụng phép nghịch đảo để giải quyết bài toán (Chương 2).
Qua đó cho ta thấy được một vài tác dụng tốt của phép nghịch đảo trong việc giải các bài toán hình học. Việc nắm chắc bản chất của phép nghịch đảo và biết áp dụng nó vào lòi giải của bài toán hình hộc đã góp phần làm phong phú, đa dạng các cách giải khác nhau của một số bài toán giúp cho lời giải ngắn gọn, lập luận chặt chẽ, logic, khoa học.
Việc sử dụng phép nghịch đảo để giải các bài toán hình học còn gặp nhiều khó khăn đối với nhiều người giải. Đó là dùng phép nghịch đảo như nào, xác định cực nghịch đảo và phương tích nghịch đảo ra làm sao? Khắc phục được những khó khăn trên ngưòi giải sẽ đơn giản hóa được một số yếu tố phức tạp của bài toán để tìm ra lời giải nhanh hơn và tốt hơn.
Tuy có nhiều cố gắng, song nỗ lực của bản thân cũng như điều kiện về tài liệu và thời gian còn hạn chế nên bài khóa luận này không tránh khỏi những sai sót. Em kính mong thầy cô, các bạn xem xét và tham giam gia ý kiến để đề tài khóa luận này hoàn thiện hơn.