Ỉa Cách dựng:

c là điểm ố định ho trướ CB.CA là số không đổi và khá

ỉa Cách dựng:

ỉa. Cách dựng: - Dựng B' là ảnh của B qua / phép nghịch đảo N với k = - Dựng đường tròn (£ i) = (O, ^)

- Dựng z đi qua B' và tiếp xúc với ( £ i) - Dựng c là giao của z với đường tròn (é:) - Dựng c là ảnh của c qua N

- Dựng đường tròn (e ’) đi qua điểm A, B, c.

Khi đó (£’) là đường tròn cần dựng, ỉs. Chứng minh: Rõ ràng (£ ’) đi qua điểm A, B theo cách dựng

Do (e ’) là ảnh của z qua phép nghịch đảo N và góc giưaz (s) và z bằng 60° nên góc giữa (£) và (£ ’) bằng 60°.

Vậy (£ ’) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Biên luân:

• •

Neu B' thuộc miền trong của đường tròn ( s i) thì bài toán vô nghiệm. Nếu B' nằm trên ( f i ) sao cho AB' là tiếp tuyến của (si) thì bài toán cũng vô nghiệm.

Nếu B' nằm ngoài (£1) nhưng AB' không là tiếp tuyến của (£ i) thì bài toán có một nghiệm hình.

Ví du 18: Cho điểm p nằm trên trục đẳng phương của hai đường ừòn đã cho (O) và (O'). Hãy dựng qua p một đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn đó.

Lời giải: ìs. Phân tích:

Điểm p nằm ừên trục đẳng phương AB của hai đường tròn (O) và (ơ) nên ta có: PC. PD = PC . PD'

Suy ra tứ giácCDƠC' nội tiếp. Phép nghịch đảo cực p, phương tích k = PA. PB biến đường tròn (O) thành chính nó, đường ừòn (ơ) thành chính nó, hai điểm c và c tương ứng thành D và D'.

Vì vậy phép nghịch đảo đó biến đường thẳng cc thành đường tròn ngoại tiếp tam giác PDD' tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (ơ).

Cách dựng:

- Dựng tiếp tuyến chung CC' với hai đường tròn (O) và (ơ). Xác định D = PC n (O); D' = PC' n (ơ).

- Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác APD D'. Đó là đường tròn càn dựng.

ỉa. Chứng minh:

Theo cách dựng trên ta có:

PC . PD = PC'. PD' = PA . PB suy ra phép nghịch đảo cực p biến tiếp tuyến c c thành đường tròn ngoại tiếp APD D'.

Mặt khác: phép nghịch đảo bảo toàn tính chất trực giao của các đường thẳng và đường tròn. Nên đường tròn ngoại tiếp APDD' tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O'). ỉs. Biện luận:

• 9

Bài toán có nhiều nhất hai nghiệm hình. Ví

du 19 : Qua một điểm A hãy dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng d và một đường tròn (O) đã cho.

Lời giải:

Giả sử đã dựng được đường tròn (C) đi qua A, tiếp xúc với đường ừòn (O) tại I và tiếp xúc với đường thẳng d tại J. Ta xác định được ảnh của (O) và của d qua phép nghịch đảo N cực A, phương tích k bằng phương tích của A đối với (0):

N : (O) <-» (O), N bảo toàn đường tròn (O) N : d <-» (C), đường tròn (C) đi qua cực A

N : (C) <-» £, £ là tiếp tuyến chung của (O) và (C) nên £ dựng được N: I <-» r, I là tiếp điểm của (C) với (O) nên r là tiếp điểm của £ với (O) N : J <->T, J là tiếp điểm của (C) với d nên T là tiếp điểm của X với (C). Các điểm r và T là xác định. Do đó, ta xác định được I và J. A, I, r thẳng hàng và I thuộc (O) nên (I) là giao điểm của AI' với (O); A, J, J thẳng hàng

và J thuộc đường thẳng d nên J là giao điểm của AJ0 với d. Đường tròn (C) phải dựng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ÀAIJ. ìs. Cách dựng:

- Dựng đường tròn (C) là ảnh của d qua N. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

- Dựng tiếp tuyến chung £ là tiếp tuyến chung của (O) và (C). - Dựng các tiếp điểm r,x của T với (O) và (C).

- Dựng I là giao điểm của AI' với (O) và J là giao điểm của A J với d.

- Dựng đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ÀAIJ. Đó là đường tròn càn dựng.

ìs. Chứng mình:

Theo cách dựng (C) đi qua A, J là tiếp điểm của d với (C) và I là tiếp điểm của (O) với (C). ìs. Biên luânĩ

• •

Ta có thể dựng nhiều nhất bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (C) nên bài toán có nhiều nhất bốn nghiệm hình.