Bài toán dựng hình là bài toán yêu cầu dựng hình thỏa mãn các điều kiện ban đàu nào đó. Có hai mẫu lời giải cho bài toán dựng hình: mẫu lược đồ hai bước và mẫu lược đồ bốn bước, trong dó mẫu lược đồ bốn bước thường được sử dụng nhiều hơn. Nói chung trừ những bài toán quá dễ, một bài toán dựng hình khi giải thông thường tuần tự theo bốn bước sau:
Bước 1: Phân tích
Bước quan trọng nhất, vì đó là chìa khóa để giải bài toán dựng hình. Mục đích của bước này là thiết lập được mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm và các yếu tố đã cho suy ra cách dựng. Ta giả sử đã dựng được hình thỏa mãn các điều kiện bài toán, từ đó quy về việc tìm điều kiện xác định của từng bộ phận hình cần dựng.
Bước 2: Cách dựng
Đưa ra tập hợp hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và các bài toán dựng cơ bản để sau khi thực hiện ta có được hình cần dựng ( bước thể hiện điều kiện đủ của hình cần dựng)
Bước 3: Chứng minh
Chứng minh hình thu được ở cách dựng thỏa mãn điều kiện đàu bài.
Bước 4: Biện luận
Khẳng định trường hợp vô nghiệm, vô số nghiệm ừong trường họp có nghiệm
2.4.2 Phương pháp giải
Lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp với cực nghịch đảo cố định, phương tích nghịch đảo là hằng số giúp cho việc dựng một số điểm thuộc hình càn dựng tương đối khó trở nên dễ dàng hơn.Ta thường sử dụng phép nghịch đảo chủ yếu ở bước phân tích.
2.4.3. Các vỉ du
Ví du 16: Cho ba điểm A, B, c thẳng hàng theo thứ tự đó và ba nửa đường tròn đường kính AB, AC, BC nằm về một phía của đường thẳng AB. Dựng đường tròn tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn trên, ỉs. Phân tích:
Giả sử ta dựng được đường tròn £ thỏa yêu cầu đề bài (tiếp xúc với 3 nửa đường ừòn AB , AC , BC ).
Xét. N (A, ÃB.ÃC ) ta có:
Ta cú: B <-ằC
BC BC (do 9 A/BC = AB.AC)
AC <-ằBm (Bm tiếp xỳc với BC tại B do AC tiếp xỳc với BC tại C) AB <-ằCn (Cn tiếp xỳc với BC tại c do AB tiếp xỳc với BC tại B)
s <-ằ Ê' (Ê■ khụng qua A)
Do ố- tiếp xúc với AB , AC , BC Suy ra s' tiếp xúc với Cn, Bm, BC Suy ra tâm O’ của s' nằm trên đường trung trực BC và gọi I là trung điểm BC thì ta có 10' = BC. ỉs. Cách dựng:
- Dựng Cn, Bm là các tia tiếp tuyến cùng phía với nửa đường tròn BC lần lượt tại c, B (từ c, B kẻ tia vuông góc với BC cùng phía với nửa đường tròn (BC).
- Dựng đường trung trực d của BC. Lấy I là trung điểm của BC và 0'e d : 0'I = BC (O’ nằm cùng phía với nửa đường tròn BC)
- Dựng 0’f).Kẻ d’ qua O' vuông góc với Bm, d’ cắt tại H\ K\ Lấy J’ là trung điểm 0’I.
- Dựng J = AJ' n BC H = AH' n H'BC K = AK ' n H' BC
- Dựng đường tròn qua J, H, K. Đường tròn qua J, H, K chính là đường tròn £ cần dựng.
ỉa Chứng minh:
Xét. N (A, ABAC ) ta có:
Ta có: B HC
BC h^BC (do 9 A/BC = AB.AC)
AC I—ằ Bm (Bm tiếp xỳc với BC tại B do AC tiếp xỳc với BC tại C)
AB I—ằ Cn (AB tiếp xỳc với ВС tại в nờn Cn tiếp xỳc với BC tại C) J I—> J' (do AB.AC = AH.AH')
H I—> H' (do AB.AC = AK AK') К I—> K' (do AB.AC = AJ.AT) Suy ra : Ê I—ằ s'
Ta có, 0’H' = d (O' , Вт ), о 'K = d(0 ’,Cn) , O'I = BC nên
tiếp xúc Bm, Cn, BC lần lượt tại H’, K’, J’. Suy ra £ tiếp xúc với AC , AB , ВС làn lượt tại H, K, J.
ỈSI Biện luận:
• 9
Bài toán có một nghiệm hình. Do O1,^- duy nhất, suy ra H’, K’, J’
V 2 duy nhất, vậy e duy nhất.
Ví dụ 17 : Cho đường tròn ( £■) và hai điểm phân biệt А, в không thuộc (£■). Dựng đường tròn (£■’) đi qua hai điểm А, в và tạo với ( s') một góc 60°.
Lời giải: ỉa Phân tích:
Giả sử đã được đường tròn ( £ ’) đi qua А, в và tạo với ( s') một góc bằng 60°. Xét phép nghịch đảo N = N ( A , khi đó:
N : (Ê) <-ằ (s) В B'
(£) z trong đó z là đường thẳng Do (s’) đi qua А, в và tiếp xúc với (£■) một góc bằng 60° nên z đi qua B' và cũng tiếp xúc với (£■) một góc bằng 60°.
tuyên của đường tròn tâm o, bán kính băng ^. Từ đó ta có cách dựng.R
Á*
ỉa. Cách dựng:
- Dựng B' là ảnh của B qua phép nghịch đảo N với k = /
- Dựng đường tròn (£ i) = (O, ^)
- Dựng z đi qua B' và tiếp xúc với ( £ i) - Dựng c là giao của z với đường tròn (é:) - Dựng c là ảnh của c qua N
- Dựng đường tròn (e ’) đi qua điểm A, B, c.
Khi đó (£’) là đường tròn cần dựng, ỉs. Chứng minh:
Rừ ràng (Ê ’) đi qua điểm A, B theo cỏch dựng
Do (e ’) là ảnh của z qua phép nghịch đảo N và góc giưaz (s) và z bằng 60° nên góc giữa (£) và (£ ’) bằng 60°.
Vậy (£ ’) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Biên luân:
• •
Neu B' thuộc miền trong của đường tròn ( s i) thì bài toán vô nghiệm.
Nếu B' nằm trên ( f i ) sao cho AB' là tiếp tuyến của (si) thì bài toán cũng vô nghiệm.
Nếu B' nằm ngoài (£1) nhưng AB' không là tiếp tuyến của (£ i) thì bài toán có một nghiệm hình.
Các trường hợp còn lại bài toán có hai nghiệm.
Ví du 18: Cho điểm p nằm trên trục đẳng phương của hai đường ừòn đã cho (O) và (O'). Hãy dựng qua p một đường tròn tiếp xúc với hai đường tròn đó.
Lời giải: ìs. Phân tích:
Điểm p nằm ừên trục đẳng phương AB của hai đường tròn (O) và (ơ) nên ta có: PC. PD = PC . PD'
Suy ra tứ giácCDƠC' nội tiếp. Phép nghịch đảo cực p, phương tích k
= PA. PB biến đường tròn (O) thành chính nó, đường ừòn (ơ) thành chính nó, hai điểm c và c tương ứng thành D và D'.
Vì vậy phép nghịch đảo đó biến đường thẳng cc thành đường tròn ngoại tiếp tam giác PDD' tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (ơ).
Cách dựng:
- Dựng tiếp tuyến chung CC' với hai đường tròn (O) và (ơ). Xác định D = PC n (O); D' = PC' n (ơ).
- Dựng đường tròn ngoại tiếp tam giác APD D'. Đó là đường tròn càn dựng.
ỉa. Chứng minh:
Theo cách dựng trên ta có:
p
PC . PD = PC'. PD' = PA . PB suy ra phép nghịch đảo cực p biến tiếp tuyến c c thành đường tròn ngoại tiếp APD D'.
Mặt khác: phép nghịch đảo bảo toàn tính chất trực giao của các đường thẳng và đường tròn. Nên đường tròn ngoại tiếp APDD' tiếp xúc với hai đường tròn (O) và (O'). ỉs. Biện luận:
• 9
Bài toán có nhiều nhất hai nghiệm hình. Ví
du 19 : Qua một điểm A hãy dựng một đường tròn tiếp xúc với một đường thẳng d và một đường tròn (O) đã cho.
Lời giải:
Giả sử đã dựng được đường tròn (C) đi qua A, tiếp xúc với đường ừòn (O) tại I và tiếp xúc với đường thẳng d tại J. Ta xác định được ảnh của (O) và của d qua phép nghịch đảo N cực A, phương tích k bằng phương tích của A đối với (0):
N : (O) <-ằ (O), N bảo toàn đường trũn (O) N : d <-ằ (C), đường trũn (C) đi qua cực A
N : (C) <-ằ Ê, Ê là tiếp tuyến chung của (O) và (C) nờn Ê dựng được N: I <-ằ r, I là tiếp điểm của (C) với (O) nờn r là tiếp điểm của Ê với (O) N : J <->T, J là tiếp điểm của (C) với d nên T là tiếp điểm của X với (C).
Các điểm r và T là xác định. Do đó, ta xác định được I và J. A, I, r thẳng hàng và I thuộc (O) nên (I) là giao điểm của AI' với (O); A, J, J thẳng hàng
và J thuộc đường thẳng d nên J là giao điểm của AJ0 với d. Đường tròn (C) phải dựng là đường tròn ngoại tiếp tam giác ÀAIJ. ìs. Cách dựng:
- Dựng đường tròn (C) là ảnh của d qua N.
- Dựng tiếp tuyến chung £ là tiếp tuyến chung của (O) và (C).
- Dựng các tiếp điểm r,x của T với (O) và (C).
- Dựng I là giao điểm của AI' với (O) và J là giao điểm của A J với d.
- Dựng đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ÀAIJ. Đó là đường tròn càn dựng.
ìs. Chứng mình:
Theo cách dựng (C) đi qua A, J là tiếp điểm của d với (C) và I là tiếp điểm của (O) với (C). ìs. Biên luânĩ
• •
Ta có thể dựng nhiều nhất bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (C) nên bài toán có nhiều nhất bốn nghiệm hình.
2.5. Phép nghịch đảo và bài toán tính toán