Bài toán quỹ tích là bài toán tìm quỹ tích hay tập hợp những điểm có tính chất a cho trước. Quỹ tích này có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm hoặc tập vô hạn điểm.
Thông thường để giải bài toán quỹ tích ta cần tiến hành theo hai bước : Bước 1 (phàn thuận): Chứng minh những điểm có tính chất a thuộc hình H.
Bước 2 (phàn nghịch): Chứng minh mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất a.
2.3.2. Phương pháp giải
Để tìm tập hợp những điểm M có tính chất a ta chọn phép nghịch đảo thích hợp biến mỗi điểm M có tính chất a thành điểm M có tính chất tí và quỹ tích những điểm M phải tìm được dễ dàng. Từ đó suy ra quỹ tích của những điểm M có tính chất a là ảnh của quỹ tích những điểm M có tính chất tí qua phép nghịch đảo đã chọn ở trên. ( Do tính chất đối hợp của phép nghịch đảo).
2.3.3. Các ví du
Ví du 10 : Cho ba điểm A, B, c thẳng hàng và d là trung trực của AB.
Một đường tròn (O) thay đổi qua A, B cắt d tại D, E. Các đường thẳng CD, CE cắt (O) tại điểm thứ hai làn lượt là D', E'.
C/ = CB.CA = CD.CD = CE.CE
m
c là điểm cố định cho trước.
CB.CA là số không đổi và khác 0
Quỹ tích D, E là trung trực đoạn thẳng AB.
Do đó nếu ta chọn phép nghịch đảo N (C, k) với k = CB.CA thì D', E' lần lượt là ảnh của D, E qua phép nghịch đảo đó tức là quỹ tích các điểm D', E' là ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo đã chọn Lời giải:
Ta có: CB.CA = CD.CD = CE.CE = 9 PM1.PM2 = - PA.PB = k Xét phép nghịch đảo N (c, k). Khi đó, N (D) = D', N (E) = E. Quỹ tích D là
đường thẳng d.
=> Quỹ tích D', E' là ảnh của đường thẳng d qua N (c, k).
Nhận
Ta thấy (O) là đường tròn bất động đối với N ( c, k), góc giữa đường thẳng d và (O) bằng 90°. Do tính chất bảo tồn góc của hai đườngcong của phép nghịch đảo nên N (d) 1N (O) tức N (d) _L (O), c ỊẺả
=> c € N (d).
Vậy ảnh của đường thẳng d qua phép nghịch đảo trên là đường tròn đi qua (C) và trực giao với (O).
Gọi J là giao điểm của AC với (CD' E') thì (ABJC) = -1.
Vậy quỹ tích D', E' là đường ừòn đường kính CJ, với J là điểm trên AC sao cho (ABJC) = -1.
Ví du 11: Cho hai đường tròn (C) và (C) và điểm (O). Tam giác ABC có A, B e(C) sao cho o là chân đường cao hạ từ c xuống cạnh AB.
a) Tìm quỹ tích trục tâm của tam giác ABC.
b) Chọn (C) và (C) thế nài để quỹ tích trên là (C) ?
c) Chọn dữ kiện của bài toán thế nào để quỹ tích ừên là (c)?
Lời giải:
a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Ta có:
AHBO và ÀACO là hai tam giác đồng dạng
=>SFĨ = s? hay OA.OB = OC.OH OH OA Ta luôn có: OCOH = - OAOB = - ÍPQ-
(c)
Xét phép nghịch đảo Ni cực o, phương tích k = - Í P t h ì H = Ni (C).
Tập hợp các điểm c là đường tròn (C')=>Tập họp các điểm là ảnh của đường tròn (C) qua phép nghịch đảo cực o, phương tích - £P0/ .
/(C) b) Chọn (C) và (C) thế nào để quỹ tích trên là (C). Ta có :
Ni o, - = xo ° N2o, ừong đó Xo là phép đối xứng tâm o.
Nếu quỹ tích trên (C) tức (C) = N1 [(C1)]
=>(C) = Ni[(C)] = X0,N2 [(C1)] = Xo [(Ợ)]
Hay (C) và (C) là hai đường tròn đối xứng nhau qua o c) Quỹ tích là (C) tức là ta có: (C) = N1 [(C)] k = /í ) c
ỹịc) = " ^ỹịc) /ịc)+ ^/ịcỹ0
Vậy quỹ tích trên (C) thì ta phải chọn điểm sao cho :
B
^ /ịc)+^/ịcỹữ
Ví du 12: Cho ba mặt cầu (Ol, Ri), (02, R2), (O3, R3) đôi một tiếp xúc ngoài với nhau. Tìm tập hợp điểm s sao cho phép nghịch đảo cực s biến (Oi, Ri) thành chính nó, (O2, R2) thành chính nó, (O3, R3) thành chính nó.
Lời giảiỉ
Giả sử (Oi, Ri) tiếp xúc với (02, R2) tại A3, (O2, R2) tiếp xúc với (O3, R3) tại Ab (O3, R3) tiếp xúc với (Oi, Ri) tại A2.
Ta có tập họp các điểm s là giao điểm của ba mặt phẳng:
+ (Pi) qua Ai và vuông góc với O2O3 + (P2) qua A2 và vuông góc với O1O3 + (P3) qua A3 và vuông góc với O1O2 Gọi di, d2, d3 lần lượt là giao tuyến của (Pi), (P2), (P3) với mặt phẳng (O1O2O3) thì di _L0203, d2
-LO1O3, d3 _L0i02.
Ta chứng minh di, d2, d3 đồng quy.
Thật vây, gọi I là giao điểm của di và d2. Ta có : £P| Ví \ ) = £P[ Ỳ( \ 1 vì I ed2
M V( \ ] = Yí \ Ìvìledi
^ _ X 1 = ẾP[ ^ x|vìIe(P3) (ô.•ô.), - \/M
Mà I e(0i0203) I ed3= (P3) n (O1O2O3)
Vậy di, d2, d3 đồng quy tại và IAi = IA2 = IA3
I là tâm đường tròn ngoại tiếp ÀA1A2A3 cùng là tâm đường tròn nội tiếp AO1O2O3.
Vậy tập hợp các điểm s là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (O1O2O3)
tại tâm đường tròn ngoại tiếp AA1A2A3.
Ví du 13: Cho hai mặt cầu (Si) = (Oi, Ri) , (S2) = (O2, R2) nằm ngoài nhau. Tìm tập hợp điểm s sao cho phép nghịch đảo tâm s biến mặt cầu (Oi, Ri) thành chính nó và (O2, R2) thành chính nó.
Nhận xét: Ta đã biết siêu càu (S) có ảnh là chính nó ừong phép nghịch đảo N(0, k) nếu phương tích nghịch đảo k bằng phương tích của cực nghịch đảo o đối với siêu càu (S): k = Ọ/ị
ỵ(s) Vận dụng điều này để giải quyết bài toán
Lời giải:
Gọi N là phép nghịch đảo có cực s, phương tích k (k GÌ, k ^ 0) Do Nbiến (Si) = (Oi, Ri) thành chính nó =>í? =k (1)
v/
N biến (S2) = (02, R2) thành chính nó => /^eX = k (2) v/
=>s nằm trên mặt phẳng phương của mặt cầu (Si) và mặt cầu (S2). Đây là mặt phẳng vuông góc với O1O2 và đi qua một điểm có cùng phương tích với hai mặt cầu.
Ví du 14: Cho trước một mặt phẳng (P) và một điểm s cách (P) một khoảng h ( h > 0). Với mỗi điểm M thuộc (P) , ta xác định điểm M' nằm ừên đường thẳng SM và thỏa mãn điều kiện SM. SM = h2.
Tìm tập họp M' khi M biến thiên trong (P) Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của s trên (P) thì SH = h.
Xét phép nghịch đảo N cực s
phương tích k = h2 ---
Với mỗi điểm M G (P), M'nằm trên đường thẳng SM và thỏa mãn SM. SM
= h2 => M và M' là hai điểm tương ứng trong phép nghịch đảo N ta có N (M) = M\
Tập họp các điểm M'là ảnh của mặt phang (P) qua phép nghịch đảo N:
là mặt cầu (W) được xác định như sau:
Do s Ể(P) ^>S e(W), SH2 = h2 ^> N (H) = H, SH _L(P)
=> (W) là mặt cầu đường kính SH.
Ví du 15 : Cho mặt cầu (S) tâm o và 1 mặt phẳng (P). ứng với mỗi điểm M trên p người ta vẽ một nón đỉnh M tiếp với mặt cầu (S) dọc
s
H
s
theo 1 vòng tròn c. Tìm quỹ tích tâm vòng tròn (C) khi M chạy trên mặt phẳng (P).
Lời giải:
Hình nón đỉnh M cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến (C) có tâm là I.
Ta có ^ ^ => M, I, o thẳng hàng.
Ta lại có MA là giao tuyến của (S) => MA_L OA Xét A vuông MAO vuông tại A ta có:
OI. OM = OA2 = R2 Xét phép nghịch đảo N ( o, OA2 = R2) ta có:
N (M) = I, mà M e (P) =>I e N (O, R2) [(p)]
Hạ OH -L(P). Từ đây ta có các trường hợp của quỹ tích I nhu sau:
Trường hợp 1: Nếu mặt phẳng (P) không có điểm chung với mặt cầu (S).
=> Quỹ tích M là toàn mặt phẳng (P).
=> Quỹ tích I là mặt cầu (T) ( bỏ điểm o ) là ảnh của mặt phẳng (P) qua phép nghịch đảo N (O, R2).
Trường hợp 2: Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H.
=>Quỹ tích M là mặt phẳng (P) bỏ điểm H
=>Quỹ tích I là mặt cầu (T) đường kính он ( bỏ điểm H và điểm o.
Trường hợp 3: Nếu mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (t) khi đó ta lại có 2 trường hợp nhỏ:
*) Mặt phẳng (P) không đi qua о thì quỹ tích M là mặt phẳng (T) bỏ đi đường tròn (t).
=>Quỹ tích I sẽ là phần ảnh của mặt cầu (T), ảnh của mặt phẳng (P) nằm trong mặt cầu (S) ( bỏ điểm O)
**) Nếu mặt phẳng (P) đi qua o thì đường tròn (t) chính là đường tròn lớn của mặt càu (S).
Quỹ tích M là mặt phẳng (P) bỏ đường tròn (t) Quỹ tích của I là hình tròn (t) (bỏ điểm O).
2.4. Phép nghịch đảo và bài toán dựng hình