Bài toán tính toán là bài toán rất quen thuộc không chỉ đối với đại số và giải tích mà với cả hình học. Bài toán tính toán thường yêu cầu tính toán đại lượng như độ lớn góc, độ dài cung, đoạn thẳng, tính diện tích, thể tích các hình... .thông qua những đại lượng đã biết.
2.5.2. Phương pháp giải
Sử dụng phép nghịch đảo ừong bài toán tính toán thông thường áp dụng nhiều tính chất về mối liên hệ khoảng cách hai điểm ảnh với các yếu tố ban đàu.
2.5.3. Các ví dụ
Ví du 20: (Hệ thức OLE)
Cho tam giác ABC với đường tròn ngoại tiếp (O, R), đường tròn nội tiếp (I, r). Gọi d là khoảng cách giữa tâm đường ừòn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Tính d theo R và r.
Giả sử I là tâm đường tròn nội tiếp A ABC. Gọi tiếp điểm của đường tròn nội tiếp (I) với các cạnh BC, CA, AB lần lượt là M, N, p. Gọi D = AlnNP, E = BlnPM, F = ClnMN.
Dễ thấy D, E, F làn lượt là trung điểm các cạnh của A MNP.
Mặt khác, IM.IE = IA.IF = IGIF = r2 - Xét phép nghịch đảo Ni = N (I, r2)
Ni (A) = D, Ni (B) = E, Ni (C) = F =>Ni [(ABC)] = (DEF).
Ta có: 2r'= ( Với r'là bán kính đường tròn (DEF) ).
Do ADEF là tam giác trung bình của ÀMNP nên r'= 2 ' Ta có: r=, Ir .Suy ra: |£P I/(ABQ| = 2Rr.
\9 I/(ABC) 1 1
Mà I nằm trong đường tròn (ABC) nên :
|£p I/(ABQ| = |d2 -R2
Vậy d2 = R2 - 2Rr z ^ d = VR2-2r.R
Ví dụ 21: Cho tam giác ABC. Một đường tròn (0,R) đi qua hai điểm A, c và cắt lần lượt cắt các đoạn AB, BC theo thứ tự tại hai điểm phân biệt K, N. Gỉa sử các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đứng hai điểm phân biệt là B,M. Hãy tính OMB ? Lời giải:
Gọi p = KN n AC s = KC nPN Theo cách dựng cực và đối cực bằng tuyến ta có:
{S.t =">■*.
Theo tính chất của cực và đối cực ta suy ra:
OB IPS
OP -LES =>B là trực tâm của ÀPOB.
OS ±PB
Gọi M = OS nPB. Khi đó ta có OM 1PM.
Gọi B' = BS nOP và xét phép nghịch đảo N = N (O, R2) ta có:
= R2 - d2=> R2 - d2 = 2Rr
Giả sử HK là đường kính đi qua I của đường tròn ( ABC ) có ảnh là đường kính của đường tròn (DEF).
4
B' <r* p A
<r^> A
c <-> c
AC <-> (OAC)
Mà ta có p G AC => B' G (OAC). Do đó ta có PO.PB' = PA.PC. (1) Mặt khác ta dễ thấy tứ giác B M B' o nội tiếp nên PM.PB = PO.PB' (2)
=^>Từ (1) và (2) ta có: PMPB = PO.PB'. Tức là M e (ABC).
Ta lại có : PAPC = PK.PN = PM.PB do vậy M E(BKN)
Hay nói cách khác {M} e (BKN) n(ABC) hay M = M mà OM 1PM nên OM _LPM. Vậy OMB = 90°.
Ví du 22: Trong mặt phẳng cho điểm o cố định với đường thẳng d cố định. Khoảng cỏch tũ o —ằlà OH = 1. Gúc xỌy = k khụng đổi quanh o (k < 90°) cắt d ở A, B. CMR: Vòng tròn OAB luôn tiếp xúc với vòng ttòn (‘rề?) cố định. Hãy xác định tâm và bán kính của (W).
Lời giải:
Xét phép nghịch đảo : N (o, 1). Ta có:
N (H) = H. Đường tròn đường kính OH và đường tròn tương ứng với o qua phép nghịch đảo . Với phép nghịch đảo này ta có:
N (B) = B', N (A) = A' (OAB) h-> A' B'
~. A1'DI II I AB OA.OB.sink _ . ,
C ể : A B= lkl - ế Ã ế B = OAOB=sink
Gọi I là trung điểm của A' B', Q là trung điểm của OH.
OI2 = OB' 2 B'I2- 1 sin2k = cos2k =>01- cosk ^ ^ 4" 4 4 2
xúc với (Q, QI) nên (OAB) luôn tiếp xúc đường tròn ((ề) là ảnh của đường tròn (Q, CQS k ) qua N (O, 1).
D' = N (D) => c D' là đường kính của (W)
_ _ 4cosk
OC.OD “ sin2k _cos2 k “ sin2 k '
cos k 2cosk Nên bán kính của (W) là R =
sin2 k Gọi p là trung điểm của c D'ta có:
_ _ __ > 7 ___ _ pnc \r _____ >
Gọi c, D lần lượt là giao điểm của OH với ( Q, ——), c nằm
Tập hợp I là đường tròn tâm Q bán kính cosk Do A'B' tiếp
4 giữa o, D.
o c =Vr o s k c D' C
1 -+^L
2 k 2
• sin sin2 k
OP= - ( O C + O D ' ) = - 2 2
Từ đó: Đường ừòn ((^) được xác định như sau:
_ _ 2 _ ____________________________________ _______________ 2
- Tâm là điếm p nằm
trên он sao cho OP = —^—
sin к - Bán kính {%) là R = ^ cc ? s k
sin к 2.6. Bài tập đề nghị và lừi giải 2.6.1. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của ( O) cho hai điểm di động M, M sao cho AM. AM = к ( к ф
AB2, к ф ). Gọi giao điểm thứ hai của BM, в M với (O) lần lượt
là N, N1. Các tiếp tuyến của (O) đi qua M, M: MT, MTvới các tiếp điểm T,T' khác А
CMR: NN1, TT' đi qua điểm cố định.
Bài 2: Cho ДАВС có các đường cao BH, CK.
Chứng minh đường thẳng HK song song với tiếp tuyến d tại A của đường tròn ngoại tiếp ЛАВС.
Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Giả sử p là điểm di động ừên đường ừòn (O). Tiếp tuyến p của (O) cắt AB, CD theo thứ tuwh tại E, F. Tìm tập hợp các trung điểm M của EF.
Bài 4: Cho (O, R) và (0',R') trực giao cắt nhau tại hai điểm А, B.
Giả sử p, Q thứ tự là ảnh của điểm M nằm ừên đường AB qua N (O, R2) và N'( O', R'2). Tìm quỹ tích p, Q khi M thay đổi.
Bài 5: Cho AABC vuông cân ở A có đáy BC = 2a. CMR: có 1 đường tròn ( duy nhất tiếp xúc với AB, AC và ( AB), (AC). Tính bán kính (<ệ).
Bài 6 : Dựng đường tròn thỏa mãn điều kiện: đi qua hai điểm A, B