c là điểm ố định ho trướ CB.CA là số không đổi và khá
2.4.Phép nghịch đảo và bài toán dựng hình
2.4.1. Bài toán dựng hình
Bài toán dựng hình là bài toán yêu cầu dựng hình thỏa mãn các điều kiện ban đàu nào đó. Có hai mẫu lời giải cho bài toán dựng hình: mẫu lược đồ hai bước và mẫu lược đồ bốn bước, trong dó mẫu lược đồ bốn bước thường được sử dụng nhiều hơn. Nói chung trừ những bài toán quá dễ, một bài toán dựng hình khi giải thông thường tuần tự theo bốn bước sau:
Bước 1: Phân tích
Bước quan trọng nhất, vì đó là chìa khóa để giải bài toán dựng hình. Mục đích của bước này là thiết lập được mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm và các yếu tố đã cho suy ra cách dựng. Ta giả sử đã dựng được hình thỏa mãn các điều kiện bài toán, từ đó quy về việc tìm điều kiện xác định của từng bộ phận hình cần dựng.
Đưa ra tập hợp hữu hạn có thứ tự các phép dựng cơ bản và các bài toán dựng cơ bản để sau khi thực hiện ta có được hình cần dựng ( bước thể hiện điều kiện đủ của hình cần dựng)
Bước 3: Chứng minh
Chứng minh hình thu được ở cách dựng thỏa mãn điều kiện đàu bài.
Bước 4: Biện luận
Khẳng định trường hợp vô nghiệm, vô số nghiệm ừong trường họp có nghiệm
2.4.2 Phương pháp giải
Lựa chọn phép nghịch đảo thích hợp với cực nghịch đảo cố định, phương tích nghịch đảo là hằng số giúp cho việc dựng một số điểm thuộc hình càn dựng tương đối khó trở nên dễ dàng hơn.Ta thường sử dụng phép nghịch đảo chủ yếu ở bước phân tích.
2.4.3. Các vỉ du
Ví du 16: Cho ba điểm A, B, c thẳng hàng theo thứ tự đó và ba nửa đường tròn đường kính AB, AC, BC nằm về một phía của đường thẳng AB. Dựng đường tròn tiếp xúc với cả ba nửa đường tròn trên, ỉs. Phân tích:
Giả sử ta dựng được đường tròn £ thỏa yêu cầu đề bài (tiếp xúc với 3 nửa đường ừòn AB , AC , BC ).
Xét. N (A, ÃB.ÃC ) ta có: Ta có: B <-»C
BC BC (do 9 A/BC = AB.AC)
AC <-»Bm (Bm tiếp xúc với BC tại B do AC tiếp xúc với BC tại C) AB <-»Cn (Cn tiếp xúc với BC tại c do AB tiếp xúc với BC tại B)
s <-» £' (£■ không qua A)
Do ố- tiếp xúc với AB , AC , BC Suy ra s' tiếp xúc với Cn, Bm, BC Suy ra tâm O’ của s' nằm trên đường trung trực BC và gọi I là trung điểm BC thì ta có 10' = BC. ỉs. Cách dựng:
- Dựng Cn, Bm là các tia tiếp tuyến cùng phía với nửa đường tròn BC lần lượt tại c, B (từ c, B kẻ tia vuông góc với BC cùng phía với nửa đường tròn (BC).
- Dựng đường trung trực d của BC. Lấy I là trung điểm của BC và 0'e d : 0'I = BC (O’ nằm cùng phía với nửa đường tròn BC)
- Dựng 0’f).Kẻ d’ qua O' vuông góc với Bm, d’ cắt tại
H\ K\ Lấy J’ là trung điểm 0’I. - Dựng J = AJ' n BC
H = AH' n H'BC K = AK ' n H' BC
- Dựng đường tròn qua J, H, K. Đường tròn qua J, H, K chính là đường tròn £ cần dựng.
ỉa Chứng minh:
Xét. N (A, ABAC ) ta có: Ta có: B HC
BC h^BC (do 9 A/BC = AB.AC)
AB I—» Cn (AB tiếp xúc với ВС tại в nên Cn tiếp xúc với BC tại C) J I—> J' (do AB.AC = AH.AH')
H I—> H' (do AB.AC = AK AK')
К I—> K' (do AB.AC = AJ.AT) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Suy ra : £ I—» s'
Ta có, 0’H' = d (O' , Вт ), о 'K = d(0 ’,Cn) , O'I = BC nên
tiếp xúc Bm, Cn, BC lần lượt tại H’, K’, J’. Suy ra £ tiếp xúc với AC , AB , ВС làn lượt tại H, K, J.
ỈSI Biện luận:
• 9
Bài toán có một nghiệm hình. Do O1,^- duy nhất, suy ra H’, K’, J’
V 2
duy nhất, vậy e duy nhất.
Ví dụ 17 : Cho đường tròn ( £■) và hai điểm phân biệt А, в không thuộc (£■). Dựng đường tròn (£■’) đi qua hai điểm А, в và tạo với ( s') một góc 60°.
Lời giải: ỉa Phân tích:
Giả sử đã được đường tròn ( £ ’) đi qua А, в và tạo với ( s') một góc bằng 60°. Xét phép nghịch đảo N = N ( A , khi đó:
N : (£) <-» (s) В B'
(£) z trong đó z là đường thẳng Do (s’) đi qua А, в và tiếp
xúc với (£■) một góc bằng 60° nên z đi qua B' và cũng tiếp xúc với (£■) một góc bằng 60°.
R
tuyên của đường tròn tâm o, bán kính băng ^. Từ đó ta có cách dựng.