Vectơ trong không gian và các bài toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - - NGÔ THỊ HỒNG THOA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN VÀ CÁC BÀI TỐN  QUAN HỆ VNG GĨC  ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG  QUỸ TÍCH ĐIỂM  BẤT ĐẲNG THỨC  CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Bước đầu làm quen với việc tiến hành nghiên cứu khoa học nên em không khỏi bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn Để có khố luận hoàn thiện em nhận giúp đỡ thầy khoa Tốn thầy cô trường ĐHSPHN2 đặc biệt tân tình bảo đóng góp ý kiến q báu thầy Bùi Văn Bình thời gian qua Do điều kiện thời gian với vốn kiến thức chắn khơng tránh khỏi sai sót Em mong nhận bảo, đóng góp thầy bạn sinh viên để tìm ý tưởng tốt bổ sung cho khóa luận hoàn thiện tài liệu tham khảo thật bổ ích cho tất độc giả có niềm đam mê mơn Tốn Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy tổ Hình học, thầy khoa đặc biệt thầy Bùi Văn Bình hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2012 Sinh viên Ngô Thị Hồng Thoa LỜI CAM ĐOAN Do nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, giúp đỡ, hướng dẫn tận tình thầy Bùi Văn Bình q trình hồn thành khóa luận tơi xin cam đoan khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Nếu trùng xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Rất mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Sinh viên Ngơ Thị Hồng Thoa MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU NỘI DUNG CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I VECTƠ II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ III TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 10 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN 14 I CHỨNG MINH TÍNH VNG GĨC 14 II CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ĐI QUA ĐIỂM CỐ ĐỊNH 25 III TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM 28 IV CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 33 V CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN 36 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, hình học ln mơn học khó học sinh Vì hình học mơn học đòi hỏi tính chặt chẽ, tính logic trừu tượng cao mơn học khác tốn học Trong chương trình tốn học phổ thơng, để giải tốn hình học ta có nhiều phương pháp, phương pháp vectơ phương pháp hiệu Nó cho lời giải cách xác, tránh yếu tố trực quan, suy diễn phức tạp phương pháp tổng hợp công cụ hiệu để giải tốn hình học Khơng phương pháp vectơ cón cơng cụ mạnh để giải tốn đại số Do việc nắm vững phương pháp cung cấp cho học sinh phương pháp giải toán hữu hiệu Đồng thời học sinh suy nghĩ tốn theo phương pháp khác với phương pháp quen thuộc mà học sinh biết từ trước tới Xuất phát từ lý với mong muốn thân có hệ thống cụ thể phương pháp vectơ toán học sơ cấp động viên khích lệ thầy Bùi Văn Bình mà em chọn đề tài:” Vectơ không gian tốn: Quan hệ vng góc, điểm cố định đường thẳng mặt phẳng, quỹ tích điểm, bất đẳng thức hình học, tốn tính tốn” Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán khơng gian để đơn giản hố lời giải giúp tốn có cách -1- giải ngắn gọn giúp học sinh có thêm phương pháp để giải tốn hình học khơng gian Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán khơng gian để giảm bớt q trình tính tốn Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm cách chuyển ngơn ngữ tốn sang ngơn ngữ vectơ Sau sử dụng kiến thức tổng hợp vectơ để giải toán Sau giải xong ta lại chuyển ngược lại từ ngơn ngữ vectơ sang ngơn ngữ tốn cần giải Phạm vi nghiên cứu Do khuôn khổ thời gian có hạn nên đề tài đề cập đến vấn đề sử dụng công cụ vectơ để giải tốn hình học khơng gian Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài cho ta thấy ưu điểm bật phương pháp vectơ so với phương pháp khác ứng dụng rộng rãi toán học vectơ Đề tài cung cấp cho phương pháp giải tốn hình học khơng gian cách hữu hiệu mà ngắn gọn, dễ hiểu Phương pháp nghiên cứu  Phân tích tài liệu  Tổng kết lại thành dạng toán Cấu trúc khoá luận Nội dung khoá luận gồm phần bản: Chương I: Những kiến thức liên quan Phần trình bày tóm tắt số kiến thức vectơ Chươnh II: Ứng dụng phương pháp vectơ vào giải toán -2- Phần đưa ứng dụng cụ thể phương pháp vectơ để giải tốn hình học khơng gian Đồng thời trình bày hệ thống ví dụ tập cụ thể NỘI DUNG CHƯƠNG I: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I VECTƠ I.1 Định nghĩa vectơ Cho đoạn thẳng AB Nếu ta quy định điểm A điểm đầu (điểm gốc) điểm B điểm cuối (điểm ngọn) ta bảo đoạn thẳng AB định hướng hay gọi vectơ AB  Kí hiệu: AB B A Chú ý:   - Cho hai điểm A, B phân biệt ta có hai vectơ AB BA khác   - Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau: A B ,… AA, BB , gọi vectơ- không I.2 Hai vectơ phương, hướng, ngược hướng   gọi phương chúng nằm * Hai vectơ AB CD hai đường thẳng song song trùng Khi đó: + Vectơ-khơng xem phương với vectơ   + Hai vectơ a b phương với vectơ khác vectơ-khơng hai vectơ phương với   * Hai vectơ phương AB gọi hướng chiều từ A đến B trùng với chiều từ C D CD   Kí hiệu: AB CD   gọi ngược hướng chiều từ A * Hai vectơ phương AB CD đến B ngược với chiều từ C đến D   Kí hiệu: AB CD Chú ý: + Vectơ- không xem hướng ngược hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ-khơng hai vectơ hướng với + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương I.3 Độ dài vectơ  độ dài đoạn thẳng AB Độ dài vectơ AB   Kí hiệu là: AB Khi đó: AB AB BA Từ ta có: độ dài vectơ- khơng I.4 Hai vectơ Định nghĩa: AB Hai vectơ  CD  gọi chúng hướng độ dài   Kí hiệu: AB = CD Chú ý: + Quan hệ vectơ quan hệ tương đương Mỗi vectơ đại     diện kí hiệu a,b, x, y ,…  + Nếu cho vectơ điểm O có điểm A cho: a   OA a  + Mọi vectơ-khơng Kí hiệu là:    MO OA  OA  MA OA MO OA   OA   OA  MA (1)   Chứng minh tương tự ta được: MB OB OB MO OB   OC MC OC MO OC   OD MD OD MO OD (2) (3) (4) Từ (1), (2), (3), (4) (*) ta được: MA MB MC MD OA OB OC (đpcm) OD Dấu xảy (1), (2), (3), (4) xảy tức là:   OA MA OA MO M tia [AO) OA   MB OB MO O M tia [BO) OB   OC MC OC MO M tia [CO) OC   OD MD OD MO M tia [DO) OD Vậy M thuộc tia [AO), [BO), [CO), [DO) tức M O dấu đẳng thức xảy IV.3 Bài tập: Bài tập Cho tứ diện gần ABCD (AB=CD=a, BC=AD=b, AC=BD=c) Chứng minh: MA+MB+MC+MD  4R Hướng dẫn: Ta có: ABCD)   MA.R MA.OA( với O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện   Biến đổi ta MA.R R OM OA Tương tự MB, MC, MD Sau cộng vế bất đẳng thức ta suy điều phải chứng minh Bài tập Cho tứ diện ABCD vuông A điểm M tùy ý Chứng minh: 2 2 2MA MB +MC +MD Hướng dẫn: Gọi A’ điểm cho:          A' B A'C A' D 2 A' A 0 AA ' AB AC AD , A’ đỉnh đối A hình hộp có cạnh AB, AC, AD     Ta tách MA, MB, MC, MD thành tổng hai vectơ cách chèn điểm 2 2 A’ biểu thức MB +MC +MD -2MA biến đổi ta có kết cần chứng minh V CÁC BÀI TỐN TÍNH TỐN V.1 Phương pháp Ta sử dụng phương pháp vectơ tốn tính tốn thường với dạng sau: Tính góc: + Giữa hai đường thẳng ta quy tính góc hai vectơ phương hai đường thẳng + Giữa hai mặt phẳng quy tính góc hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng + Giữa đường thẳng mặt phẳng quy tính góc vectơ phương đường thẳng vectơ pháp tuyến mặt phẳng Tính độ dài đoạn thẳng AB cho trước ta thực hiện:    2 AB AB AB.AB V.2 Ví dụ: Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD Tính: a Độ dài đoạn thẳng MN b Góc hai đường thẳng MN, BC Giải: D N A C M B       Đặt BA a, BC b, BD c với a    b c a     a Ta có: a.b a.c b.c a cos60         a MN MB BC CN  BA BC  CD 2 1        a b  c b  a b c 2     hướng vectơ Bình phương tích vơ   MN      a b c   M ta được:      2 2 a  a  b  2b.c 2a.b 2a.c  c a MN    b Gọi MN   MN.BC là góc hai vectơ BC Ta có: cos   MN BC           b.c MN.BC  a b c b   a.b b 2   a 2 a  a MN BC  2     a  a2 Do đó: cos  45 a2 2 Vậy góc hai đường thẳng MN BC 45  Nhận xét: Ta biểu diễn  M theo a,b, sau bình phương vơ hướng  M c ta dễ dàng tính độ dài đoạn thẳng MN Áp dụng cơng thức tính góc hai vectơ ta tính góc từ suy góc hai đường thẳng tương ứng Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy hình vng cạnh a Cạnh AA1=a tạo với AB, AD góc bẳng  Tính: a Độ dài đoạn thẳng BD1 b Góc BD1 AC A1 B1 Giải: C1 D1 A D C B       a.Đặt AB p, AD q, AA r       BD1 AD1 AB q r p              q r p p 2q.r 2 BD =q p.r 2 p.q r   = a a a 2a cos2a cos2a cos90 =3 a  2 Do đó: BD  BD1 a 3a 2 2 2 Vậy BD1= a (đpcm) b.Gọi 0 góc hai đường thẳng BD1 AC ta có:  90    BD1.AC cos   BD1 AC                  Xét BD1.AC q r p p.q  p.r q.r  p.q p p  q  q    = a a cosa cosa 2a cos   Có: BD BD1 3; AC a AC a 2a2cos Do đó: cos   cos a 3.a 2 2 Vậy góc hai đường thẳng BD1 AC với 0  90  mãn: cos  thỏa cos   Nhận xét: Ta biểu diễn AC, BD1    theo p, q, r Sử dụng điều kiện đề ta có kết phải chứng minh   Sử dụng cơng thức tính góc hai vectơ AC, từ ta có góc BD1 hai đường thẳng AC BD1 Ví dụ : Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 biết cạnh hình hộp AB= a, AD=b, AA1=c Từ đỉnh A1 B hình hộp hạ đường vng góc A1H BK xuống đường chéo AC1 T ính độ dài HK Giải : D1 C1 A1 B1  c H D C K  b  a A B           Đặt AB a, AD b, AA c ; AK x AC ;1 AH y AC ;   Vì A1 H AC1 A1 H AC1 0        A1 A AH AC1 0  c y AC1 AC1    0      c.AC y.A   C1 c.AC1 AC1        2 Vì AC a b c  b c 1 a2 Tương tự ta : x  2 a b c     Do HK AK AH x nên  y AC1   2 HK x y x y  b c  AC1  a - 40 -  c.AC c  c nên : y  2 a2 b  c Vậy HK= a c a b c - 41 - Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC đáy ABC tam giác có cạnh 4a Cạnh SC  SC=2a Gọi M, N trung điểm ABC  cac cạnh BC AB Hãy tính khoảng cách SM CN Giải : S I M C B J       Đặt CA a,CB b,CS c A   Vì SC ABC a.c 0,b.c 0        Ta có : SM CM CS 1 CB CS 1 b c ; 2      CN  CA  CB  a b 2     Gọi I SM , J CN : IJ mSM nCN SC     1n a b  c m 1bc   2      na  m n  b m 1 c 2  Để IJ đoạn vng góc chung SM CN điều kiện cần đủ :    1 1    na   m n  b  m 1c b c  0   IJ.SM 2   0            1 1   IJ.C  n  1 na m b m c a       0  b N 0  2      3ma 2 3na a  2 ma 2na 0 Vậy IJ IJ    m    n 1   a b 2c  2a   VI.3 Bài tập : Bài tập Các cạnh DA, DB, DC tứ diện ABCD đôi vuông góc với có độ dài tương ứng a, b, c Tính độ dài tuyến hình tứ diện xuất phát từ D Hướng dẫn : Gọi G trọng tâm ABC 2 2 2 DG  (a b c )  ( AB BC CA ) 2 2 2 Mà ta lại có :góc tam diện đỉnh D vng nên AB +BC +CA =2(a +b +c ) Thay vào ta có điều phải chứng minh Bài tập Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi K trung điểm   cạnh AA1 Tính góc hai vectơ BC1 , BK Hướng dẫn :       Đặt BA a, BB1 b, BC c      Biểu diễn BK , theo a,b,c Sau áp dụng cơng thức tính cos BK , BB1 BC1   Rồi suy góc hai vectơ BK , BC1   Bài tập 3.Cho tứ diện ABCD với BC=a, CA=b, AB=c, DA= a’, DB=b’, DC=c’ Hãy tính góc hai đường thẳng BC DA Hướng dẫn : Bài tập Cho hình hộp ABCDA1B1C1D1 Tính độ ài đường chéo AC1 theo AA1=a, AB=b, AD=c B□AD , D□AA , B□AA  1     Hướng dẫn: Xét AC1 AA1 AB AD (*) Sau bình phương hai vế (*) ta tính được: AC  a2 b2 c2 2ab cos 2ac cos  2bc cos KẾT LUẬN Đề tài cung cấp cho học sinh phương pháp giải tốn cách hữu hiệu Ngồi cho thấy ứng dụng rộng rãi toán học vectơ Đề tài cho thấy ưu điểm bật phương pháp so với phương pháp khác Việc sử dụng vectơ vào giải tập không gian cung cấp cho học sinh số kiến thức cách nhìn Tốn học; giúp phát triển tư tồn diện, hình thành cho học sinh tư dắn, phù hợp để giải Toán Nhằm góp phần hồn thiện cho học sinh cách nhìn hình học, khố luận đưa hệ thống lý thuyết phù hợp với số dạng Toán thường gặp thơng qua phương pháp chung cac ví dụ minh hoạ dạng bước đầu giúp học sinh thấy tầm quan trọng ứng dụng vectơ vào giải tập không gian coi công cụ nhằm giảm bớt q trình tính tốn Thơng qua việc hồn thành khố luận, em rút nhiều điều bổ ích việc nghiên cứu khoa học thấy ý nghĩa phương pháp vectơ việc giải tốn khơng gian Như khố luận hồn thành nội dung đạt mục đích nghiên cứu TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Nguyễn Mộng Hy Các toán phương pháp vectơ phương pháp tọa độ- NXBGD 2.Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc- Lê Hữu Trí Phương pháp giải tốn vectơ- NXB Hà Nội 2003 3.Phan Đức Chính- Vũ Dương Thụy- Tạ Mân Các giảng luyện thi mơn tốn-tập 3- NXBGD 1996 4.Nguyễn Văn Lộc Phương pháp vectơ giải tốn hình học khơng gian- NXBGD 2008 5.Tạp chí tốn học tuổi trẻ- NXBGD 6.Trần Phương Hình học giải tích- NXB Hà Nội 2001 7.Phan Huy Khải- Hàn Liên Hải Toán bồi dưỡng hình học 10- NXB Hà Nội 1997 8.Nguyễn Gia Cốc Ơn luyện giải tốn hình học vectơ- NXB Đà Nẵng 1996 9.Các sách giáo khoa hình học 10,12 ... ý: + Vectơ- không xem hướng ngược hướng với vectơ + Hai vectơ hướng với vectơ khác vectơ- khơng hai vectơ hướng với + Ta nói hai vectơ hướng hay ngược hướng có hai vectơ phương I.3 Độ dài vectơ. .. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VECTƠ I VECTƠ II CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ III TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 10 CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG VECTƠ VÀO GIẢI TOÁN 14 I CHỨNG... tổng hai vectơ gọi phép cộng hai vectơ Chú ý :      + Nếu có a + b = vectơ b gọi vectơ đối vectơ kí hiệu a  là: - a     + Vectơ - ngược hướng với vectơ - a a a Mỗi vectơ có a vectơ