Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý (2018)

Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về ma trận và không gian vectơ Đưa ra các bài toán về vật lý có liên quan đến ma trận và không gian vectơ, hình thành cách giải Đối tư

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc nhất đến quý thầy cô Khoa Vật Lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã truyền đạt vốn kiền thức quý báu cho chúng em trong

thời gian học tập tại trường Và đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS

Hà Thanh Hùng , người trực tiếp hướng dẫn và nhiệt tình giúp đỡ em để hoàn

thành tốt khóa luận này

Trong quá trình làm khóa luận với kiến thức, trình độ và thời gian có hạn nên khó tránh khỏi sai xót, rất mong quý thầy cô bỏ qua Đồng thời do trình độ lí luận cũng như kinh nghiệm thực tiễn nên khóa luận không thể tránh khỏi sai xót nên em rất mong thầy cô góp ý ,đóng góp để em học thêm được nhiều kinh nghiệm giúp em hoàn thành khóa luận được tốt hơn

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới bố mẹ và những người thân yêu trong gia đình, bạn bè đã luôn cổ vũ động viên em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Hoàng Thị Bích

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin đảm bảo khóa luận này gồm các kết quả chính mà bản thân tôi đã thực hiện trong thời gian là nghiên cứu Cụ thể, phần Mở đầu và Chương 1 là phần tổng quan giới thiệu những vấn đề trước đó liên quan đến khóa luận Trong Chương 2 tôi

đã sử dụng một phần kết quả đã nghiên cứu trước đó với phần mà tôi đã thực hiện

cùng với thầy hướng dẫn PGS.TS Hà Thanh Hùng

Cuối cùng, tôi xin khẳng định các kết quả có trong khóa luận “Ứng dụng của

ma trận và không gian vectơ trong vật lý” là kết quả mới không trùng lặp với kết

quả của các khóa luận và công trình đã có

Sinh viên

Hoàng Thị Bích

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT 3

1.1 Không gian vectơ 3

1.1.1 Các tính chất của không gian vectơ 3

1.1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian vectơ 5

1.2 Ma trận 6

1.2.1 Phép biến đổi của ma trận 6

1.2.2 Các tính chất của ma trận 8

1.2.3 Các dạng ma trận 14

1.2.4 Trị riêng và vectơ riêng của ma trận 17

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA MA TRẬN VÀ KHÔNG GIAN VECTƠ TRONG VẬT LÝ 23

2.1 Mô phỏng bài toán vật lý bằng vectơ 23

2.1.1 Vectơ biểu diễn đại lượng vật lý có hướng 23

2.1.2 Vectơ chỉ hướng của ánh sáng truyền trong không gian 27

2.1.3 Dùng các phép cộng, trừ và nhân vectơ trong vật lý 29

2.2 Giải bài toán vật lý bằng ma trận 33

2.2.1 Tính Hermite của ma trận 33

2.2.2.Hàm riêng và trị riêng của các đại lượng vật lý 36

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong Vật lý lý thuyết, có thể nói Vật lý lý thuyết là một môn học khá quan trọng đối với sinh viên ngành Vật lý Nó có thể coi là cơ sở cho tất cả các môn học đối với sinh viên Lý Trong đó ma trận và không gian vectơ là những phần kiến thức cơ bản và gây hứng thú nhiều nhất với môn học này Ma trận và không gian vectơ là vấn đề có tính thời sự, nó có mặt trong tất cả các ngành liên quan đến vật lý nhất là giải bài tập Nó giúp học sinh hình thành cách giải một cách nhanh chóng nhất trên cơ sở vật lý và toán học Xuất phát từ vấn đề đó, tôi đã lựa chọn đề tài :

“Ứng dụng của của ma trận và không gian vectơ trong vật lý” với mong muốn

trang bị cho các em học sinh những kiến thức cần thiết để giải bài tập một cách hoàn thiện nhất

Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu sâu hơn các kiến thức về ma trận và không gian vectơ

Đưa ra các bài toán về vật lý có liên quan đến ma trận và không gian vectơ, hình thành cách giải

Đối tượng nghiên cứu

Lý thuyết

Một số dạng toán thường gặp về ma trận và không gian vectơ

Nội dung nghiên cứu

Các tính chất của không gian vectơ

Các tính chất của ma trận

Mô phỏng các bài toán vật lý bằng vectơ

Các dạng bài tập về ma trận và không gian vectơ

Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng lí luận và các công cụ toán học

Nghiên cứu các tài liệu liên quan

Cấu trúc khóa luận

Cấu trúc khóa luận được sắp xếp như sau:

Chương 1: Sơ lược về lý thuyết

Chương 2: Ứng dụng của ma trận và không gian vectơ trong vật lý

Kết luận chung: Điểm qua các kết quả chính thu được và đề xuất hướng

nghiên cứu trong thời gian tới

CHƯƠNG 1: SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT

1.1 Không gian vectơ

1.1.1 Các tính chất của không gian vectơ

 Vectơ cơ sở

- Nếu V là một không gian vectơ W chiều, sau đó bất kì tập hợp N vectơ độc

1 2 N 0

+ Các hệ số: không phải tất cả bằng không và đặc biệt  0 Hay chúng

ta có thể viết x như một tổng tuyến tính của các vectơ:



    

duy nhất, nếu cả hai:

1

N

i i i

i i i

cơ sở là trực giao.Chúng ta có thể viết a và b là các tích vô hướng của cơ sở trực chuẩn như:

a b





 Một số bất đẳng thức hay sử dụng

(i) BĐT Schwarz là kết quả cơ bản nhất và khẳng định rằng:

|<a|b>| ||a|| ||b||

|a| BĐT Schwarz có thể chứng minh:

|

i i

1.1.2 Toán tử tuyến tính trong không gian vectơ

Một toán tử tuyến tính 𝒜 đối với tất cả các vectơ x khác nhau:

y = 𝒜x Tương tự, đối với hai vectơ a và b:

𝒜(λa+μb) = λ𝒜a+μ𝒜b Trong đó: λ μ là vô hướng Chúng ta nói rằng 𝒜 hoạt động dựa trên x tạo thành các vectơ cho y Lưu ý 𝒜 không thuộc bất kì cơ sở hoặc hệ tọa độ nào và có thể coi là chuyển một thực thể hình học

Nếu chúng ta đƣa vào một cơ sở ei , i = 1,2,…N vào không gian vectơ thì tác động của 𝒜 trên mỗi cơ sở là để tạo ra một sự kết hợp tuyến tính, đƣợc viết nhƣ sau:

1

N

i i i

f







Nếu x là một vectơ và 𝒜 và ℬ là hai toán tử tuyến tính thì có các tính chất sau:

(𝒜+ℬ)x 𝒜x+ℬx (λ𝒜)x λ(𝒜x) (𝒜ℬ)x= 𝒜(ℬ)x

1.2 Ma trận

1.2.1 Phép biến đổi của ma trận

 Các phép tính đại số cơ bản của ma trận

Các ma trận đại số cơ bản có thể đƣợc rút ra từ các tính chất của các toán tử tuyến tính điển hình Trong một cơ sở nhất định, tác dụng của hai toán tử tuyến tính

𝒜 và ℬ trên một vectơ tùy ý x được cho bởi:

Bây giờ, với x tùy ý, chúng ta có thể ngay lập tức suy ra cách thức mà ma trận

đƣợc thêm vào hoặc nhân lên

Chúng ta thấy rằng tổng của hai ma trận, S = A+B , là ma trận mà các phần tử đƣợc xác định bởi:

Sij = Aij + Bij Cho mỗi cặp kí hiệu i,j với i = 1,2,…M và j = 1,2,…N

Từ định nghĩa, ta suy ra rằng : A+B = B+A và tổng của hai ma trận có thể viết một cách rõ ràng,tức là phép cộng ma trận là giao hoán và kết hợp

Sự khác nhau giữa hai ma trận đƣợc xác định bằng cách suy luận trực tiếp với phép cộng.Ma trận D = A-B có:

Dij = Aij - BijVới i = 1,2,…M và j = 1,2,…N

M

x y

x y

x y

Nếu thay vào 𝒜 một vectơ cơ sở ej có tất cả các thành phần bằng 0 trừ j thì ta có:

j j

Chúng ta có thể mở rộng các kết quả của hai ma trận : P = AB , trong đó P là

ma trận của một số giao kết bởi các phép tính của các hàng của ma trận A trên cột của B, trên mỗi cột của B lần lƣợt là vectơ x đại diện cùng hợp thành Đây là một định nghĩa có ý nghĩa, số lƣợng cột trong A phải bằng số hàng trong B Vì vậy, các kết quả AB của M×N ma trận A với N×R ma trận B chính là M×R ma trận P:

ij 1

B là vuông thì: AB # BA, tức là nhân của ma trận nói chung không phải là giao hoán

- Tính chất của ma trận là phân phối; tức là:

(A+B)C = AC+BC và C(A+B) = CA+CB

Định nghĩa này có thể sử dụng để xác định các hàm khác như sinA và cosA

- Chúng ta thấy rằng các vectơ của toán tử tuyến tính trong một hệ tọa độ nhất định có thể được viết dưới dạng một ma trận A.Tuy nhiên, nên xem xét sự khác nhau của ma trận mẫu qua việc trao đổi các hàng và cột của A.Ma trận đó được gọi

(AB)T = BTAT Chứng minh như sau:

1

N NN i

Kết quả này có thể mở rộng cho các kết quả của nhiều ma trận

Một số tính chất của định thức được xác định đơn giản từ việc xác định detA Việc sử dụng chúng thường quy về việc đánh giá định thức

- Tính chất của các định thức của ma trận

(i) Đinh thức của một ma trận chuyển vị

cập đến định thức như A chính nó, tức là:



  

(ii) Định thức phức tạp và liên hợp Hermite

      

(iii) Thay thế hai hàng hoặc cột

Nếu hai hàng ( hoặc cột ) của A đổi chỗ lẫn nhau thì yếu tố quyết định không thay đổi gì

(iv) Thay thế thừa số

Nếu tất cả các phần tử của một hàng (hoặc cột) của A có một thừa số chung, λ, thì thừa số đó có thể được loại bỏ, giá trị của các thừa số được đưa ra bởi tích số của các định thức còn lại và λ Điều này cho thấy, nếu tất cả các phần tử bất kì của hàng (cột) là không thì |A| = 0 Nếu mọi phần tử của N×N ma trận A nhân với hằng số bội λ thì:

Các định thức của ma trận là không thay đổi về giá trị bằng cách thêm vào các phần tử của một hàng ( cột) nào đó

rõ ràng Một ma trận vuông có định thức bằng 0 gọi là ma trận kì dị ; nếu khác nhau

nó là không kì dị Chứng minh rằng: nếu A là kì dị thì chúng ta có thể xác định ma

Ta có:

AI = A -> I = A-1A Trong đó: I là ma trận đơn vị và do đó:

Trên thực tế, tìm nghịch đảo của ma trận A có thể thực hiện bằng một số cách khác nhau Phương pháp đầu tiên là xây dựng ma trận C có chứa các phần phụ đại

được đưa ra bởi:

 1  ik ik ik

C  C



Xét các thành phần A-1A ta có:

 1   1  

ij ik kj k

    

ij

ki kj k

(i) Từ biểu thức trên

(ii) Lấy chuyển vị của mỗi biểu thức

 1    1 

      

(iii) Chứng minh tương tự như (ii) bằng cách biến đổi (ii) liên hợp Hermite và

sử dụng kết quả cho liên hợp Hermite của một ma trận

(v) Sử dụng hai lần kết quả (iv) ta được:

Thì thứ hạng của A , kí hiệu : rankA hoặc R(A) ; được định nghĩa là số vectơ

gian kéo dài bởi những vectơ

+) Thứ hai (tương đương ) định nghĩa về thứ hạng của một ma trận có thể được đưa ra và sử dụng các khái niệm về ma trận phụ Một ma trận phụ của một A là một

ma trận bất kì có thể được hình thành từ các phần tử của A bằng cách bỏ qua hoặc thêm nhiều hơn vào hàng hoặc cột của nó Nó chưa chỉ ra rằng thứ hạng của M×N

ma trận nói chung là tương đương với kích thước của ma trận phụ vuông lớn nhất của A có định thức khác không Do đó, nếu ma trận A có r×r ma trận phụ S với S#0 , nhưng không có (r-1)×(r+1) ma trận phụ khác không thì bậc của ma trận là r Từ một trong hai định nghĩa, rõ ràng là bậc của A là nhỏ hơn hoặc bằng với M và N

- Ma trận vuông, tức là N×N , rất phổ biến trong các ứng dụng vật lý

1.2.3 Các dạng ma trận

Là ma trận chéo có các phần tử trên đường chéo bằng 1

i,j ,

0,1,

vị có cấp 3 được biểu diễn như sau:

ma trận như vậy được đặc trưng bởi các phần tử khác không trên đường chéo chính,

là một 3×3 ma trận đường chéo, một ma trận như vậy được kí hiệu: A=diag(1,2,-3)

→ Lưu ý: Nếu A và B là hai ma trận chéo thì tích của chúng sẽ là giao hoán :

AB = BA Điều này không đúng đối với ma trận nói chung

Một ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác phía dưới nếu tất cả các số hạng trên đường chéo chính bằng không

Ví dụ: ma trận 3×3 thấp hơn ma trận tam giác là:

11

21 22

31 32 33

0 00

AT = A-1 được gọi là ma trận trực giao Nghịch đảo của một ma trận trực giao cũng là trực giao

Yếu tố quyết định của một ma trận trực giao là: |A| = ±1

Giả sử rằng y = 𝒜x được biểu diễn trong một hệ tọa độ bằng phương trình ma trận: y = Ax Sau đó, <y|y> được đưa vào trong hệ tọa độ bằng cách:

y y    x  x x x

Một maa trận Unita A được định nghĩa là một ma trận mà:

A+ = A-1

trường hợp đặc biệt của một ma trận Unita, trong đó tất cả các số hạng là thực Lưu

     1    1 1  1

    

Yếu tố quyết định của ma trận Unitacó đơn vị môđun

Nếu y = 𝒜x được biểu diễn trong một số hệ tọa độ bằng phương trình ma trận :

y = Ax, sau đó <y|y> được đưa vào hệ tọa độ bằng cách:

Tức là một ma trận có liên hợp Hermite là một giao hoán với liên hợp Hermite Chúng ta dễ dàng chứng minh ma trận Hermite và ma trận Unita về ma trận có liên

1.2.4 Trị riêng và vectơ riêng của ma trận

Giả sử rằng một toán tử tuyến tính 𝒜 biến đổi vectơ x trong một không gian

rằng là có thể tồn vectơ x trong số đó được chuyển hóa bởi 𝒜 vào một bội số của chính nó Vectơ như vậy sẽ phải đáp ứng:

𝒜x = λx Vectơ x#0 bất kì nào thỏa mãn đối với một số giá trị của λ được gọi là vectơ riêng của toán tử tuyến tính; 𝒜 và λ được gọi là giá trị riêng tương ứng

 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận có liên hợp Hermite

Trong các phần trước, chúng ta đã định nghĩa một ma trận có liên hợp Hermite

A là một ma trận có thể liên hợp với liên hợp Hermite của nó, do đó:

hợp phức tạp của các giá trị riêng của A

Nhưng nó khác với bất kì λk+1, λk+2, … sau đó, sự tổ hợp tuyến tính của các xi

1

i i

Cách xây dựng đó được gọi là sự trực giao Gram-Schmidt

- Vì vậy, ngay cả khi A có một số giá trị riêng thoái hóa thì chúng ta có thể xây dựng bằng cách xây dựng được một tập hợp các N vectơ riêng trực giao lẫn nhau

- Như một kết quả tùy ý, vectơ y được biểu diễn như một sự tổ hợp tuyến tính

1

N i i i

Như vậy,vectơ riêng tạo thành một cơ sở trực giao cho không gian vectơ bằng

Hermite, với vectơ riêng trực giao lẫn nhau

Để làm rõ các giá trị riêng của ma trận Unita, chúng ta lưu ý rằng : Ax = λx , sau đó:

x x    x  x   x x

Và chúng ta suy ra :     1 Như vậy, giá trị riêng của ma trận Unita có đơn vị môđun

Khi một ma trận N×N là không có liên hợp Hermite, không có đặc tính chung của vectơ riêng của nó thì không thể tìm thấy tập hợp trực giao của N vectơ riêng hoặc thậm chí để tìm cặp vectơ riêng trực giao (trừ một số trường hợp đặc biệt) Trong khi N vectơ riêng không trực giao thường độc lập tuyến tính và do đó tạo thành

cơ sở cho không gian vectơ N chiều Nó có thể được hiển thị (mặc dù chúng ta không chứng minh điều đó) mà bất kì ma trận N×N với giá trị riêng khác biệt có N vectơ riêng độc lập tuyến tính , do đó tạo thành một cơ sở cho không gian N chiều

Nếu một ma trận vuông chung có giá trị riêng thoái hóa, sau đó nó có thể hoặc

có thể không có N vectơ riêng độc lập tuyến tính Một ma trận mà vectơ riêng không phải là độc lập tuyến tính được gọi là khiếm khuyết

 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận Hermite và không Hermite

thực và có thể chứng minh trực tiếp

được Ví dụ như năng lượng, mômen động lượng, chẵn lẻ đều phải là thực Ma trận Hermite là một ma trận có liên hợp Hermite nhưng vectơ riêng của nó là trực giao Trong trường hợp một số các giá trị riêng bằng nhau thì việc chứng minh sự trực giao của các vectơ riêng là cần thiết Sự trực giao Gram-Schamidt đã nói ở trên cung cấp cho chúng ta cách tính trực giao giữa chúng

Với điều kiện nào mà hai ma trận có liên hợp Hermite khác nhau có thể có một

tổ hợp chung của vectơ riêng Kết quả là nếu và chỉ nếu- chúng giao hoán và nó có

ý nghĩa sâu sắc đối với nền tảng của cơ học lượng tử

Để chứng minh kết quả này, cho A và B là hai N×N ma trận có liên hợp

i

x x

Chúng ta giả sử rằng các giá trị riêng đều khác nhau:

(i) Đầu tiên , giả sử rằng A và B giao hoán Ta xét:

Đối với một số nhiều thừa số μi Tuy nhiên, đây chỉ là một phương trình vectơ

của A Bằng cách đảo ngược vai trò của A và B , sau mỗi vectơ riêng của B là một vectơ riêng của A Do đó, hai tổ hợp vectơ riêng giống hệt nhau

Điều này hoàn toàn chứng tỏ cho thấy một điều kiện cần và đủ để hai ma trận

có liên hợp Hermite có một tổ hợp các vectơ riêng có bội số chung là chúng giao hoán lẫn nhau Lưu ý, nếu một giá trị riêng của A, chẳng hạn, là thoái hóa thì không phải tất cả các vectơ riêng cũng sẽ được coi là một tập hợp các vectơ riêng của B