Công thức Đổi biến và tích phân từng phần

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯNG GIÁC. 1/ cos sin I dx ; J dx sin cos x x a x b a x b = = + + ∫ ∫ Dạng 1: Tính các tích phân sau: cos 4 sin 2 I dx J dx 2sin 4 3 4 cos 2 1 x x x x = = + + ∫ ∫ a) b) M tan( ) dx N cot( ) dxax b ax b = + = + ∫ ∫ c) d) I R(sin ,cos ) dx x x = ∫ / Dạng 2 : 2 (Với R(sinx,cosx) là một đa thức theo sinx và cosx) Tính các tích phân sau: 4 3 5 2 I sin .cos dx J sin cos dxx x x x = = ∫ ∫ 1. a) b) 5 4 I sin dx J sin dxx x = = ∫ ∫ 2. a) b) 7 4 I cos dx J cos dxx x = = ∫ ∫ 3. a) b) 3/ dx dx I , J sinx cosx = = ∫ ∫ Dạng 3 : BÀI TẬP Tính : 1/ a. 4 sin cosx xdx ∫ ; b. ( ) cos 3sin 5 xdx x + ∫ ; c. 2 2tan 1 cos x dx x + ∫ 2/ a. 3 sin cos x dx x ∫ ; b. 3sin cos x e xdx ∫ ; c. tan xdx ∫ 3/ a. ( ) 6 3 0 2 1 π ∫ + cos sin xdx x b. 2 6 1 3 π π + ∫ cos sinx xdx 4/ a. 2 4 2 0 π ∫ tan cos x e dx x b. ( ) 2 2 3 1 6 π π ∫ + cot sin dx x x c. ( ) 2 4 2sin 1 cos 0 x xdx π + ∫ 5/ a. 3 4 0 π ∫ sin cos xdx x b. 2 3 2 1 0 π − ∫ sin ( cos )x x dx c. 4 2 0 1 2 π ∫ + cos sin xdx x 6/ a. 6 2 4 4 0 π ∫ − sin cos sin xdx x x b. 6 2 2 0 2 1 π ∫ + sin sin xdx x Bài tập Tích phân bất ñịnh ðổi biến số Tích phân phần Bài 1: Tích tích phân sau: ∫ ∫ ( x + 1)( x − 2) x2 dx dx − 3x + e −2 x dx 10 ∫ x +3 13 ∫ ∫ + x2 − − x2 − x4 3x − 5x + dx dx dx 14 ∫ ∫ ∫ x + x −4 + dx x3 xdx a4 − x4 x dx 11 ∫ ( x − 7) x ∫ x.ln x.ln(ln x)  ax  ax ∫  e − 1 e dx   e x dx ∫ x e −1 dx ∫ 12 dx ( (1 + x )ln x + + x ∫ e dx 16 − e x ) Bài 2: Tính tính phân sau: 15 ∫ ( x − x + 5)e − x dx 18 21 ∫ ∫ ( + x2 24 ∫ x 2e x sin xdx ) ( arcsin x dx 1− x x ln x + + x 16 ∫ ( x + x + 6)cos xdx 19 ∫ ln x + + x dx ) dx 22 25 ∫ x.e arctgx (1 + x ) dx 17 ∫ x( arctgx) dx 20 ∫ x ln 1− x dx 1+ x 23 ∫ sin ( ln( x) ) dx sin x ∫ e x dx Bài tập Giải Tích – Bộ môn Toán – Lý, Khoa Vật Lý, ðHSP Tp.HCM PHƯƠNG PHÁP SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ LẬP TRÌNH GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 1. Nội suy đa thức 1.1. Vấn đề nội suy 1.2. Nội suy bằng đa thức Lagrange 1.3. Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu Nội suy đa thức Đạo hàm và tích phân 2. Đạo hàm 2.1. Đạo hàm số của hàm liên tục 2.2. Đạo hàm số của hàm rời rạc 3. Tích phân 3.1. Tích phân hàm liên tục 3.2. Tích phân hàm rời rạc 1. Biết cách nội suy đa thức. 2. Biết cách tính đạo hàm và tích phân. 3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích Mục tiêu 3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích phân. Nhu cầu nội suy Trong thực tế đo đạc, ta thường xây dựng kết quả đo dưới dạng bảng số: Nội suy đa thức • Muốn biết giá trị của y tại x = x*(không có trong bảng)? • Cần tìm một hàm số mô tả mối quan hệ y= f(x)? Đa thức nội suy: y=f(x) sao cho f(x i )=y i Nội suy bằng đa thức Larange sao cho . Nội suy đa thức - Nội suy bậc nhất - Nội suy bậc hai - Nội suy bậc n Nội suy bằng đa thức Larange bậc nhất Ta xây dựng đa thức dưới dạng: Nội suy đa thức Đa thức Larange bậc nhất: Nội suy bằng đa thức Larange bậc hai Ta xây dựng đa thức dưới dạng: Nội suy đa thức Đa thức Larange bậc hai: Nội suy bằng đa thức Larange bậc n Đa thức Larange bậc n: Nội suy đa thức với 1, n j i j j i i j x x L x x = ≠ − = − ∏ Nội suy bằng đa thức Newton Giả sử ta đa thức nội suy cho tập dữ liệu n điểm khác nhau . Khi thêm vào 1 điểm dữ liệu mới , ta xây dựng lại đa thức nội suy mới: Nội suy đa thức 1 ( ) n P x − ( ) , , 1, i i x y i n = ( ) 1 1 , n n x y + + với ( ) 1 0 1 1 ( ) ( ) ; ( ) n n n n i i P x P x C x x P x y − = = + − = ∏ ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n n n n n n n n n n n i n i i i P x y P x P x y P x P x y C x x x x x + − + + − + + + + + = = = − − = → = = − − ∏ ∏ Nội suy bằng đa thức Newton -Xác lập bậc của đa thức (n-1), giá trị cần tính nội suy của hàm tại đó, các điểm dựng nên đa thức nội suy - For i=0,n: - For j - 1 ,n: Nội suy đa thức ( ) , , 1, i i x y i n = 0 i i D y = - For j - 1 ,n: For i=j,n: - Tính , 1 1, 1 i j i j ij i i j D D D x x − − − − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 00 11 0 22 0 1 0 1 ( )( ) ( ) n nn n P x D D x x D x x x x D x x x x x x = + − + − − + + − − − [...]... tính đạo hàm tại một vị trí x* Giải pháp: 1.Sử dụng định nghĩa đạo hàm nếu khoảng cách lưới đủ nhỏ 2.Sử dụng nội suy, tìm ra hàm liên tục tương ứng Sau đó, tìm đạo hàm theo phương pháp đạo hàm của hàm liên tục Tích phân Tích phân hàm liên tục: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giải pháp: - Dùng công thức nguyên hàm - Phương pháp hình thang - Phương pháp Simpson , tính tích phân: Tích phân Tích phân TÓM TẮT KIẾN THỨC Nguyªn hµm tÝch ph©n Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C 1. x α 1 1 x C α+ + α + 2. ( ) ax b α + 1 a 1 1 ( ) ( ) ax b C α+ + + α + 3. 2 dx x ∫ x C + 4. 2 . dx a x b = + ∫ 2 . a x b C a + + 5. 1 x ln x C + 6. 1 ax b + 1 ln ax b C a + + 7. x a ln x a C a + 8. ax b e + 1 ax b e C a + + 9. x e x e C + 10. sin( ) ax b + 1 cos( ) ax b C a − + + 11. sin x cos x C − + 12. cos( ) ax b + 1 sin( ) ax b C a + + 13. cos x + C sin x 14. 2 1 cos ( ) ax b + 1 tan( ) ax b C a + + 15. 2 1 cos x tan x C + 16. 2 1 sin ( ) ax b + 1 cot( ) ax b C a − + + 17. 2 1 sin x cot x C − + 18. 2 2 1 x a − 1 2 ln x a C a x a − + + 19. ' ( ) ( ) u x u x ln ( ) u x C + 20. 2 2 1 a x − 0 2 2 ®Æt x= t sin ; ; ;a t t   π π ∈ − ≠     21. tan x ln cos x C − + 22. 2 2 1 x a − 0 2 2 ®Æt x= t ; ; sin a t t   π π ∈ − ≠     23. cot x ln sin x C + 24. 2 2 1 x a + 2 2 ®Æt x= tant; t ; a   π π ∈ −     25. hoÆc a x a x a x a x + − − + ®Æt x=a.cos 2t 26. 2 2 1 x a + 2 2 ln x x a C + + + 27. ( )( ) x a b x − − 2 §Æt x=a+(b-a).sin t 28. 1 ( )( ) x a b x − − theo dÊu cña x+a vµ x+b x a x b± ± + ± ± 2 2 1 HoÆc u a + 2 2 ®Æt u= tant; t ; a   π π ∈ −     2 2 1 HoÆc u a − 0 2 2 ®Æt u= t ; ; sin a t t   π π ∈ − ≠     29. 2 1 ax bx c + + BiÕn ®æi vÒ 2 2 1 HoÆc a u − 2 2 ®Æt u= tant; t ; a   π π ∈ −     phuocxuansang@gmail.com 1. ðịnh nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a   = = −   ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: 1 : : 0 ( ) a a f x dx = ∫ 2 : ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ 3 : Nếu f ( x ) = c không ñổi trên ; a b     thì: ( ) b a cdx c b a = − ∫ 4 : Nếu f ( x ) liên tục trên ; a b     và 0 ( ) f x ≥ thì 0 ( ) b a f x dx ≥ ∫ 5 : Nếu hai hsố f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ; a b     và x a;b ( ) ( ) f x g x   ≥ ∀ ∈   thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ≥ ∫ ∫ 6 : Nếu f ( x ) lt trên ; a b     và ( m,M lµ hai h»ng sè) ( ) m f x M ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ 7 : Nếu hai hàm số f ( x ) và g ( x ) liên tục trên ; a b     thì ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx   ± = ±   ∫ ∫ ∫ 8 : Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên ; a b     và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx = ∫ ∫ 9 : Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên ; a b     và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ 10 : Tích phân của hàm số trên ; a b     cho trước không phụ thuộc vào biến số , ( ) ( ) b b a a f x dx f t dt = ∫ ∫ 3.Công thức ñổi biến số dạng 1: ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a f u x u x dx f t dt   =   ∫ ∫ 4.Công thức ñổi biến số dạng 2: ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt β α   = = φ φ   ∫ ∫ Bước 1: ðặt ' ( ) ( ) t u x dt u x dx = ⇒ = Bước 2 : ðổi cận : ( ) ( ) x b t u b x a t u a = = ⇒ = = Bước 3 : Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân theo biến t ta ñược ( ) ( ) ( ) . '( ) ( ) u b b a u a I f u x u x dx f t dt   = =   ∫ ∫ Bước 1: ðặt ' ( ) ( ) x t dx t dt = φ ⇒ = φ Bước 2 : ðổi cận : x b t x a t = = β ⇒ = = α Bước 3 : Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân theo biến t ta ñược ( ) ( ) '( ) b a I f x dx f t t dt β α   = = φ φ   ∫ ∫ 5.Công thức tích phân từng phần: : . b b b a a a udv u v vdu   = −   ∫ ∫ ( 1) Bước 1: ðặt ( ) '( ) '( ) ( ) u u x du u x dx dv v x dx v v x = = ⇒ = = Bước 2 :Thay vào công thức ( 1) : . b b b a a a udv u v vdu   = −   ∫ ∫ Bước 3 : Tính . b a u v     và b a vdu ∫ BAÛNG NGUYEÂN HAØM 0dx C= ∫ 1 1 1 ( ) ( 1)( ) n n dx C ax b a n ax b − − = + + − + ∫ 2 1 arctan 1 dx x C x = + + ∫ . .k dx k x C= + ∫ 1 ( ) ( ) ( 1) n n ax b ax b dx C a n + + + = + + ∫ 2 1 1 1 .ln 1 2 1 x dx C x x − = + − + ∫ 2 1 1 dx C x x − = + ∫ 1 1 .2dx ax b C a ax b = + + + ∫ 2 2 1 1 .arctan x dx C x a a a = + + ∫ 1 ( 1) 1 n n x x dx C n n + = + ≠ + ∫ 1 cos( ) .sin( )ax b dx ax b C a + = + + ∫ 2 2 1 1 .ln 2 x a dx C x a a x a − = + − + ∫ 1 2dx x C x = + ∫ 1 sin( ) .cos( )ax b dx ax b C a − + = + + ∫ 2 1 arcsin 1 dx x C x = + − ∫ cos sinxdx x C= + ∫ 2 1 1 .tan( ) cos ( ) dx ax b C ax b a = + + + ∫ 2 2 1 arcsin x dx C a a x = + − ∫ sin cosxdx x C= − + ∫ 2 1 1 .cot( ) sin ( ) dx ax b C ax b a − = + + + ∫ 2 2 1 ln 1 1 dx x x C x = + ± + ± ∫ 2 1 tan cos dx x C x = + ∫ 1 . ax b ax b e dx e C a + + = + ∫ 2 2 2 2 1 lndx x x a C x a = + ± + ± ∫ 2 1 cot sin dx x C x = − + ∫ 1 . .ln kx b kx b a dx a C k a + + = + ∫ 2 2 2 2 2 . .arcsin 2 2 x a x a x dx a x C a − = − + + ∫ x x e dx e C= + ∫ 1 1 .lndx ax b C ax b a = + + + ∫ 2 2 2 2 2 2 2 . .ln 2 2 x a x a dx x a x x a C± = ± ± + ± + ∫ ln x x a a dx C a = + ∫ 1 ln ( 0)dx x C x x = + ≠ ∫ BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM - NGUYÊN HÀM Trần Quang - 01674718379 I. Các công thức tính đạo hàm. 1. ( )' ' 'u v u v 2. ( . )' '. . 'u v u v u v 3. ' 2 '. . 'u u v u v v v Hệ Quả: 1. ' . 'ku k u 2. ' 2 1'v v v II. Đạo hàm và nguyên hàm các hàm số sơ cấp. Bảng đạo hàm Bảng ngun hàm 1   'xx   1 ' . '.    u u u   1 ,1 1 x x dx c                1 1 . 1 ax b ax b dx c a             sin ' cosxx   sin ' '.cosu u u sin cosxdx x c        1 sin cosax b dx ax b c a         cos ' sinxx   cos ' '.sinu u u cos sinxdx x c      1 cos sinax b dx ax b c a        2 2 1 tan ' 1 tan cos   xx x     2 2 ' tan ' '. 1 tan cos    u u u u u 2 1 tan cos dx x c x       2 11 tan cos dx ax b c ax b a          2 2 1 cot ' 1 cot sin     xx x     2 2 ' cot ' '. 1 cot sin      u u u u u 2 1 cot sin dx x c x         2 11 cot sin dx ax b c ax b a       1 log ' ln a x xa ' log ' .ln a u u ua 1 lndx x c x   11 lndx ax b c ax b a      1 ln ' x x ' ln ' u u u ' .ln xx a a a ' . '.ln uu a a u a ln x x a a dx c a   .ln        x x a a dx c a ' xx ee   ' '. uu e u e xx e dx e c  1 ax b ax b e dx e c a    Bổ sung: 22 1 arctan dx x C aa xa 22 1 2 ln dx x a C a x a xa 22 arcsin dx x C a ax 22 22 ln dx x x a C xa III. Vi phân: '.dy y dx VD: 1 ( ) ( )d ax b adx d x d ax b a , (sin ) cosd x xdx , (cos ) sind x xdx , (ln ) dx dx x , 2 (tan ) cos dx dx x , 2 (cot ) sin dx dx x . . . BẢNG CÔNG THỨC MŨõ - LOGARIT Trần Quang - 01674718379 I. Công thức hàm số Mũ và Logarit. Hám số mũ Hàm số Logarit 1   a a ;     aa     .a a a ;    a a a      . a a a   a b a b ;    aa b b 0 0 1log , M a x M x a x a 10log a ; 1log a a ;   log log aa bb 1   log log a a bb ;   log a a log . log log a a a b c b c log log log a a a b bc c log log bb ca ac ;   log a a log log log .log log c a a c c b b c b a 1 log log a b b a 0 1   a a a     log log aa 1   :a a a 0 1   :a a a 1     : log log aa a 01     : log log aa a II.Một số giới hạn thường gặp. 1 11. lim x x e x   ex x x   1 1lim.2 a x a x x ln 1 lim.3 0      a x x a x    1 lim.4 0   e x x a a x log 1log lim.5 0   