Nội suy đa thức, đạo hàm và tích phân

PHƯƠNG PHÁP SỐ PHƯƠNG PHÁP SỐ VÀ LẬP TRÌNH GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 1. Nội suy đa thức 1.1. Vấn đề nội suy 1.2. Nội suy bằng đa thức Lagrange 1.3. Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu Nội suy đa thức Đạo hàm và tích phân 2. Đạo hàm 2.1. Đạo hàm số của hàm liên tục 2.2. Đạo hàm số của hàm rời rạc 3. Tích phân 3.1. Tích phân hàm liên tục 3.2. Tích phân hàm rời rạc 1. Biết cách nội suy đa thức. 2. Biết cách tính đạo hàm và tích phân. 3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích Mục tiêu 3. Viết được chương trình tính đạo hàm và tích phân. Nhu cầu nội suy Trong thực tế đo đạc, ta thường xây dựng kết quả đo dưới dạng bảng số: Nội suy đa thức • Muốn biết giá trị của y tại x = x*(không có trong bảng)? • Cần tìm một hàm số mô tả mối quan hệ y= f(x)? Đa thức nội suy: y=f(x) sao cho f(x i )=y i Nội suy bằng đa thức Larange sao cho . Nội suy đa thức - Nội suy bậc nhất - Nội suy bậc hai - Nội suy bậc n Nội suy bằng đa thức Larange bậc nhất Ta xây dựng đa thức dưới dạng: Nội suy đa thức Đa thức Larange bậc nhất: Nội suy bằng đa thức Larange bậc hai Ta xây dựng đa thức dưới dạng: Nội suy đa thức Đa thức Larange bậc hai: Nội suy bằng đa thức Larange bậc n Đa thức Larange bậc n: Nội suy đa thức với 1, n j i j j i i j x x L x x = ≠ − = − ∏ Nội suy bằng đa thức Newton Giả sử ta đa thức nội suy cho tập dữ liệu n điểm khác nhau . Khi thêm vào 1 điểm dữ liệu mới , ta xây dựng lại đa thức nội suy mới: Nội suy đa thức 1 ( ) n P x − ( ) , , 1, i i x y i n = ( ) 1 1 , n n x y + + với ( ) 1 0 1 1 ( ) ( ) ; ( ) n n n n i i P x P x C x x P x y − = = + − = ∏ ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( ) . n n n n n n n n n n n n n n i n i i i P x y P x P x y P x P x y C x x x x x + − + + − + + + + + = = = − − = → = = − − ∏ ∏ Nội suy bằng đa thức Newton -Xác lập bậc của đa thức (n-1), giá trị cần tính nội suy của hàm tại đó, các điểm dựng nên đa thức nội suy - For i=0,n: - For j - 1 ,n: Nội suy đa thức ( ) , , 1, i i x y i n = 0 i i D y = - For j - 1 ,n: For i=j,n: - Tính , 1 1, 1 i j i j ij i i j D D D x x − − − − − = − ( ) ( ) ( ) ( ) 00 11 0 22 0 1 0 1 ( )( ) ( ) n nn n P x D D x x D x x x x D x x x x x x = + − + − − + + − − − [...]... tính đạo hàm tại một vị trí x* Giải pháp: 1.Sử dụng định nghĩa đạo hàm nếu khoảng cách lưới đủ nhỏ 2.Sử dụng nội suy, tìm ra hàm liên tục tương ứng Sau đó, tìm đạo hàm theo phương pháp đạo hàm của hàm liên tục Tích phân Tích phân hàm liên tục: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giải pháp: - Dùng công thức nguyên hàm - Phương pháp hình thang - Phương pháp Simpson , tính tích phân: Tích phân Tích phân hàm. .. bậc hai Hàm cần tìm có dạng Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình: Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a, b và c Nội suy đa thức Ví dụ Tìm hàm xấp xỉ bậc nhất và bậc hai của hàm số cho bởi bảng dưới đây: a) b) Đạo hàm Đạo hàm hàm liên tục: Cho một hàm số liên tục, yêu cầu tính đạo hàm tại một vị trí x* Giải pháp: Sử dụng định nghĩa đạo hàm: Đạo hàm 1 Xác lập hàm cần lấy đạo hàm f(x),...  Tích phân Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang: y x0 x0 + n∆x x => AD cho hàm dưới dấu TP kì dị làm quy tắc hình thang phá sản! Tích phân Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang: - Lập hàm f(x), xác định 2 biên x1 , x2 , số điểm cần lấy tích phân n - Tính ∆x = ( x1 − x0 ) / n - For i=0, (n-1): ∆x  f ( x0 + i∆x ) + f ( x0 + ( i + 1) ∆x )  TP = TP +  2  Tích phân Tích phân hàm. .. 6     Tích phân Tích phân hàm liên tục – phép cầu phương Gauss: x1 ∫ x0 1 ∆x n−1   3  f ( x ) dx = ∑  f  x0 +  −  ∆x  +  2 i=0   2 6      1 3   f  x0 +  +  ∆x  + Θ( ∆x4 )    2 6     Tích phân Tích phân hàm rời rạc: Cho hàm số dưới dạng bảng số rời rạc , tính tích phân: Giải pháp: 1.Dùng nội suy tìm dạng hàm liên tục trên mỗi khoảng nhỏ 2.Tính diện tích trên mỗi... nghĩa hàm tổng bình phương sai số: Do hàm f(x) là rất gần với hàm thực sự nên ta có điều kiệu sau (điều kiện bình phương tối thiểu): • Hàm bậc nhất • Hàm bậc hai Nội suy đa thức Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc nhất Hàm cần tìm có dạng Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình: Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a và b Nội suy đa thức Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm. .. hình thang Tích phân Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang: y x0 x0 + ∆x x Quy tắc hình thang x0 +∆x ∫ x0 1 f ( x ) dx =  f ( x0 ) + f ( x0 + ∆x )  ∆x  2 Tích phân Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang: y x0 x0 + n∆x x Quy tắc hình thang phức x0 + n∆x ∫ x0 ∆x f ( x ) dx =  f ( x0 ) + 2 f ( x0 + ∆x ) + 2 f ( x0 + 2∆x ) + + f ( x0 + n∆x )    2 Tích phân Tích phân hàm liên tục.. .Nội suy đa thức Phương pháp bình phương tối thiểu • Ta cần tìm mối quan hệ giữa x và y • Giả sử có thể mô tả mối quan hệ này thông qua hàm số y = f(x) sao cho sai khác của nó với hàm thực sự là nhỏ nhất • Sử dụng điều kiện cực trị của bình phương độ sai lệch của hàm f với hàm thực sự tại các giá trị tới hạn, ta suy ra được các hệ số của hàm f Nội suy đa thức Phương pháp bình... pháp hình thang: - Lập hàm f(x), xác định 2 biên x1 , x2 , số điểm cần lấy tích phân n - Tính ∆x = ( x1 − x0 ) / n - For i=0, (n-1): ∆x  f ( x0 + i∆x ) + f ( x0 + ( i + 1) ∆x )  TP = TP +  2  Tích phân Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang: y x0 x0 + ∆x x Quy tắc điểm giữa x0 +∆x /2 ∫ x0 −∆x /2 1 f ( x ) dx = f ( x0 ) ∆x + f '' ( x0 ) ∆x 3 + 24 Tích phân Tích phân hàm liên tục – phương... xb , số điểm cần lấy đạo hàm n 2 Tính bước nhảy giữa hai điểm cần lấy đạo hàm: h=(xb - xa)/n 3 For i= 0, 1, 2,…, n: tính f(xa+ih) 4 For i= 1, 2,…, n-1: tính đạo hàm bằng công thức: f ' ( xa + i * h ) = f '' ( xa + i * h ) = f ( xa + ( i + 1) h ) − f ( xa + ( i − 1) h ) 2h f ( xa + ( i + 1) h ) − 2 f ( xa + i * h ) + f ( xa + ( i − 1) h ) h2 Đạo hàm Đạo hàm hàm rời rạc: Cho một hàm số dưới dạng bảng... n=2m Quy tắc Simpson phức hợp x1 ∫ x0 ∆x m−1  f ( x0 + 2i∆x ) + 4 f ( x0 + ( 2i + 1) ∆x )   f ( x ) dx = ∑  3 i =0  + f ( x0 + ( 2i + 2 ) ∆x )    Tích phân Tích phân hàm liên tục – phép cầu phương Gauss: -Khai triển Taylor tại các điểm x0 + α∆x và x0 + β∆x lân cận x0 1 1 2 3   f ( x0 ) + f ' ( x0 )α∆x + f '' ( x0 )(α∆x ) + f ''' ( x0 )(α∆x ) +  x0 +∆x ∆x  2 2 f ( x ) dx =   ∫ 1 1 2  2 . hệ y= f(x)? Đa thức nội suy: y=f(x) sao cho f(x i )=y i Nội suy bằng đa thức Larange sao cho . Nội suy đa thức - Nội suy bậc nhất - Nội suy bậc hai - Nội suy bậc n Nội suy bằng đa thức Larange. TRÌNH GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm 1. Nội suy đa thức 1.1. Vấn đề nội suy 1.2. Nội suy bằng đa thức Lagrange 1 .3. Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu Nội suy đa thức Đạo hàm và tích phân 2 Đạo hàm số của hàm rời rạc 3. Tích phân 3. 1. Tích phân hàm liên tục 3. 2. Tích phân hàm rời rạc 1. Biết cách nội suy đa thức. 2. Biết cách tính đạo hàm và tích phân. 3. Viết được chương trình tính