Nội suy đa thức, đạo hàm và tích phân

Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu Nội suy đa thức Đạo hàm và tích phân 2.. Nội suy bằng đa thức Newton-Xác lập bậc của đa thức n-1, giá trị cần tính nội suy của hàm tại đó,

PHƯƠNG PHÁP SỐ

PHƯƠNG PHÁP SỐ

VÀ LẬP TRÌNH

GV: Hoàng Đỗ Ngọc Trầm

1 Nội suy đa thức

1.1 Vấn đề nội suy

1.2 Nội suy bằng đa thức Lagrange

1.3 Nội suy bằng phương pháp bình phương tối thiểu

Nội suy đa thức Đạo hàm và tích phân

2 Đạo hàm

2.1 Đạo hàm số của hàm liên tục

2.2 Đạo hàm số của hàm rời rạc

3 Tích phân

3.1 Tích phân hàm liên tục

3.2 Tích phân hàm rời rạc

1 Biết cách nội suy đa thức.

2 Biết cách tính đạo hàm và tích phân.

3 Viết được chương trình tính đạo hàm và tích

Mục tiêu

3 Viết được chương trình tính đạo hàm và tích phân.

Nhu cầu nội suy

Trong thực tế đo đạc, ta thường xây dựng kết quả đo dưới dạng bảng số:

Nội suy đa thức

• Muốn biết giá trị của y tại x = x* (không có trong bảng)?

• Cần tìm một hàm số mô tả mối quan hệ y= f(x) ?

Đa thức nội suy: y=f(x) sao cho f(xi)=yi

Nội suy bằng đa thức Larange

Nội suy bằng đa thức Larange bậc nhất

Ta xây dựng đa thức dưới dạng:

Nội suy đa thức

Đa thức Larange bậc nhất:

Nội suy bằng đa thức Larange bậc hai

Ta xây dựng đa thức dưới dạng:

Nội suy đa thức

Đa thức Larange bậc hai:

Nội suy bằng đa thức Larange bậc n

j j i i j

x x L

Nội suy bằng đa thức Newton

Giả sử ta đa thức nội suy cho tập dữ liệu n điểm khác

Nội suy bằng đa thức Newton

-Xác lập bậc của đa thức (n-1), giá trị cần tính nội suy của hàm

tại đó, các điểm dựng nên đa thức nội suy

Phương pháp bình phương tối thiểu

• Ta cần tìm mối quan hệ giữa x và y.

• Giả sử có thể mô tả mối quan hệ này thông qua hàm số

y = f(x) sao cho sai khác của nó với hàm thực sự là nhỏ nhất.

Nội suy đa thức

• Sử dụng điều kiện cực trị của bình phương độ sai lệch

của hàm f với hàm thực sự tại các giá trị tới hạn, ta suy

ra được các hệ số của hàm f.

Phương pháp bình phương tối thiểu

Ta định nghĩa hàm tổng bình phương sai số:

Nội suy đa thức

Do hàm f(x) là rất gần với hàm thực sự nên ta có điều kiệu sau ( điều kiện bình phương tối thiểu ):

• Hàm bậc nhất

• Hàm bậc hai

Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc nhất

Hàm cần tìm có dạng

Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình:

Nội suy đa thức

Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a và b.

Phương pháp bình phương tối thiểu – hàm bậc hai

Điều kiện bình phương tối thiểu cho ta hệ phương trình:

Nội suy đa thức

Giải hệ này, ta tìm được các hệ số a, b và c.

1 Xác lập hàm cần lấy đạo hàm f(x), hai biên x a , x b , số

điểm cần lấy đạo hàm n.

2 Tính bước nhảy giữa hai điểm cần lấy đạo hàm:

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Khai triển Tay lor:

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

- Lập hàm f(x), xác định 2 biên x 1 , x 2 , số điểm cần lấy tích phân n.

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

1 2

i x

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

Tích phân

Tích phân hàm liên tục – phương pháp hình thang:

- Lập hàm f(x), xác định 2 biên x 1 , x 2 , số điểm cần lấy tích phân n.

Tích phân hàm liên tục – phương pháp Simpson:

Tích phân hàm liên tục – phương pháp Simpson:

f x i x f x i x x

Tích phân hàm liên tục – phép cầu phương Gauss:

-Khai triển Taylor tại các điểm và lân cận

Tích phân hàm liên tục – phép cầu phương Gauss:

Bài tập