Bài tập toán cao cấp 2

Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như sau: - Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr - Trả ngay sau

KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ

-

BÀI TẬP

TOÁN CAO CẤP PHẦN GIẢI TÍCH

Người soạn: Trần Thị Khánh Linh

Bộ môn: Toán Kinh tế

Huế, 2015

Chương 1:

HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

§1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

m n x

lim

x

x x x

x

x x

1.3 1

2

1 tanlim

1lim

2

x x

x x

1lim

x x

x x

arcsin(1 2 )lim

x

x x

§3 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI VÀ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ

1 Trong điều kiện lãi suất 0,9% một năm, hãy cho biết:

a, Giá trị tương lai của 3 triệu đồng bạn có hôm nay sau 3 năm

b, Giá trị hiện tại của khoản tiền 5 triệu đồng bạn sẽ nhận được sau 4 năm

ĐA: a, B3.0817( )tr

b, A4,8239( )tr

2 Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu 6000$ và sẽ mang lại 10.000$ sau 5 năm Trong điều

kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng 9% một năm có nên đầu tư vào dự án đó hay không? Tính NPV của dự án đó?

ĐA: NPV499,3$

3 Tính giá trị của khoản tiền 1000$ sau 3 năm nếu lãi suất được tính gộp liên tục với mức lãi suất 10% một năm

ĐA: B1331$

4 Một công ti đề nghị bạn góp vốn 3500$ và đảm bảo sẽ trả cho bạn 750$ mỗi năm liên tiếp

trong 7 năm Bạn có chấp nhận góp vốn hay không nếu bạn còn có cơ hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% một năm?

ĐA: Có thể chấp nhận đầu tư

5 Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng và sẽ mang lại 10 triệu sau 1 năm, 20 triệu sau 2 năm, 30 triệu sau 3 năm Dự án đó có lợi về mặt kinh tế hay không nếu lãi suất hiện hành

là 10% một năm?

ĐA: Có thể chấp nhận đầu tư

6 Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ và sau một năm sẽ mang lại cho bạn

2000$ mỗi năm, liên tiếp trong 5 năm Hãy tính giá trị hiện tại ròng của dự án đó trong điều kiện lãi suất 12% một năm Có nên thực hiện dự án đó hay không?

ĐA: Không nên chấp nhận đầu tư

7 Một chủ đầu tư định mua là căn nhà trị giá 4 tỉ đồng và cho thuê trong vòng 10 năm với

mức thuê là 60tr/ năm Sau 10 năm trị giá căn nhà ước tính khoảng 2,5 tỉ đồng Với mức lãi suất hiện nay là 9%, hỏi chủ đầu tư có nên mua nhà không?

ĐA: Không nên chấp nhận đầu tư ( NPV 2,885 tỷ)

8 Một công ty máy tính đang thực hiện việc bán sản phẩm theo các phương pháp trả góp như

sau:

- Trả đều hàng năm vào mỗi năm trong vòng 5 năm với giá trị một lần trả là 5tr

- Trả ngay sau khi mua 4tr , các năm sau trả đều 5tr vào đầu mỗi năm liên tục trong 4 năm Lựa chọn phương thức bán hàng có lợi nhất cho công ty biết lãi suất tiên gửi NH ổn định 9%/năm

ĐA: Chọn phương án 2: vì PV220,19PV1 19, 4

9 Một công ty tài chính đưa ra 2 phương án thanh toán như sau:

PA1: trả ngay 1,2 tỷ đồng

PA2: Trả ngay 330 triệu, 2 năm sau trả 200 triệu trong vòng 5 năm

PA3: Trả mỗi năm 210 triệu trong vòng 7 năm vào cuối mỗi năm

Hãy lựa chọn phương án thanh toán có lợi nhất biết lãi suất 10%/ năm

10 Một công ty định vay vốn ngân hàng để đầu tư xây dựng một phân xưởng sản xuất mới với

chi phí đầu tư là 4 tỷ đồng Phân xưởng dự kiến vận hành trong vòng 10 năm và thu nhập mỗi

năm khoảng 900tr đồng, Đến hết 5 nam phân xưởng tiến hành sửa chữa với giá trị 250 triệu

đồng Hỏi dự án trên có nên đầu tư hay không biết lãi suất 10%năm?

§4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ

1 Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1.1 y 32e x2x 1 ln5x 1.2 y (1 3x5x2 4)

1.3 yarcsin 1-x2 1.4 1

1

x y

1arcsin1

x y

x y

x y

a

y

5.3 f x( ) x21 5.4 2

y x

1 Áp dụng công thức Lagrange, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau:

1.1 sinasinb  a b 1.2 arctan - arctana b  a b

x a a

cot

x

x x

x

x x

x x

e x

1 cos

x

ax bx

a b

3 Xác định khoảng tăng, giảm của hàm số:

3.1 y x x( 1) (2 x2)3 3.2

x

e y x

ln sin

x

x x



3.5 y xlnx2

4 Tìm cực trị của các hàm số sau:

4.1 ysin -x x 4.2 ln x

y x

2

x y

y x

 tại xx0

7.5 yx5e x tại x=0 7.6 1

y x

11 Tìm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu: Q36 2 p

12 Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân: 46

15 Cho hàm cầu: Q20 5 p, hãy tính hệ số co dãn ở các mức giá p2, p3

16 Cho hàm tổng chi phí

2

55000

3

Q TC

Q

 16.1 Tìm hàm chi phí cận biên MC

16.2 Tính chi phí trung bình AC tại Q=100

16.3 Tính hệ số co dãn của TC theo Q tại Q= 17

17 Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng chi phí: TCQ3Q2700Q30

Hàm doanh thu trung bình: AR2000Q

17.1 Hãy xác định Q sao cho hàm chi phí bình quân nhỏ nhất

17.2 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa

18 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p490 2 Q và hàm tổng chi phí:

2

1,5

TC  Q Trong đó, Q là sản lượng

18.1 Xác định hàm chi phí bình quân và hàm chi phí cận biên của doanh nghiệp

18.2 Xác định sản lượng và giá bán để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa

19 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất một loại hàng với 656 1

2

d

Q   p Hàm tổng chi phí: TCQ377Q21000Q100 Tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất

20 Cho biết hàm cầu về một loại hàng hóa của doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh loại hàng nào đó là: Q d 300 p Hàm chi phí sản xuất của doanh nghiệp là:

TCQ  Q  Q Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa

21 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất và kinh doanh một loại hàng biết hàm cầu của loại hàng đó trên thị trường là: Q d 2340p Hàm chi phí TCQ21000Q100

Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại

22 Một xí nghiệp độc quyền có hàm cầu thị trường đối với sản phẩm là: 1 800

5

p  Q Với hàm tổng chi phí 1 2

200 200000 5

a Tìm hàm doanh thu cận biên, chi phí cận biên

b Xác đinh mức sản lượng và giá bán để tối đa hóa lợi nhuận?

23 Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm trên thị trường có hàm cầu ngược:

1400 7,5

a Tính hệ số co dãn của hàm cầu theo giá ở mỗi mức giá p

b Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đã, cho biết hàm chi phí cận biên:

x dx x

e dx e

x dx

2

x

dx x

x

e e

dx e

a

x dx

50.15

0

sin2

2 4

dx x



1 2

0 1

x dx x

5.3 1

14

y x y x 6.3 1 2  

 trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2

, x y

yx 

6.13

D xdxdy

 trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi xy 6,x  y 7 0

6 6.13 4 4

3

§8 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ

1 Cho biết hàm đầu tư:

3 5

Y  Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y)?

8 Cho biết hàm cầu: 2

42 5

p  Q Q Giả sử giá cân bằng là p0 6 Hãy tính thặng dư của người tiêu dùng

x y

0

sinlim

x

x y x

sinlim

x y

xy xy





4.5

0 0

§3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN

1 Tìm các đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số sau:

3 Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm

đó như sau: Q125 0,5 , p Q1 2 30 p2 Với hàm chi phí kết hợp:

C Q  Q Q  Q  , hãy cho biết mức sản lượng Q Q 1, 2

để đạt lợi nhuận tối đa

Hàm chi phí: TC160Q1240Q2150 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường

để lợi nhuận cực đại

ĐA: (160,200)

8 Cho doanh nghiệp sản xuất 2 mặt hàng trong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá p1450; p2 630 Hàm chi phí: TCQ12Q Q1 2Q22210Q1360Q2100 Tìm các mức sản lượng Q Q để đạt lợi nhuận tối đa 1, 2

§5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC

1 Tìm cực trị có điều kiện của hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange:

1.1 f x y , xy với điều kiện: x y 1

1.2 f x y ,  x 2y với điều kiện x2 y2 5

f x y x y xy x y với điều kiện x y 4

2 Cho hàm lợi ích tiêu dùng: U x x1 2  x1 x2 Gỉa sử giá của các mặt hàng tương ứng là: p1 2,p2 5 và thu nhập cho tiêu dùng là M= 53 Hãy xác định lương cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích của mình

ĐA: (14,5)

3 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng:

1

0,6 0,25 2

U  x x Giả sử giá của các mặt hàng tương ứng là:

1 8$, 2 5$

p  p  và thu nhập dành cho tiêu dùng là: M 680$ Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng nếu người tiêu ùng tối đa hóa lợi ích của mình

ĐA: (40,60)

4 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: QK0,3 0,5L

a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?

b, Giả sử giá thuê tư bản là 6$, giá thuê lao động là 2$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 384$ Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị

tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?

ĐA: (24,120)

5 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q10K0,7L0,1

a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?

b, Giả sử giá thuê tư bản là 28$, giá thuê lao động là 10$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 4000$ Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa?

ĐA: (125,50)

6 Một công ti có hàm sản xuất: 0,8 0,5

QK L

a, Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất?

b, Giả sử giá thuê tư bản là w K 5, giá thuê lao động là w L 6 Hãy tính mức sử dụng

K, L để sản xuất sản lượng QQ0 100 có chi phí nhỏ nhất

8 Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm Biết hàm cầu của 2 loại trên là:

Q   p  p Q   p p

Hàm chi phí: TC160Q1240Q2150 Tìm lượng hàng phân phối trên từng thị trường

để điều kiện hạn chế về chi phí là 41750$

ĐA: (80,120)

9 Hàm lợi ích của hộ gia đình khi tiêu dùng hàng hóa 1, 2 có dạng:U x10,75x0,252 Trong

đó x x là mức tiêu dùng hàng hóa 1, 2 Giá hàng hóa như sau: 1, 2 p110,p2 6

Tìm mức tiêu thụ hai hàng hóa A, B để hộ gia đình đạt lợi ích cao nhất nếu phần thu nhập chi tiêu hai loại hàng hóa này của hộ gia đình là 480

14 Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất một loại sản phẩm và bán sản phẩm đó cho hai loại khách hàng Cho biết hàm chi phí:TC90 20 Q Nếu nhà sản xuất đưa Q sản phẩm 1

ra bán cho khách hàng thứ nhất thì khách hàng này bằng lòng trả giá: p150 5 Q1 USD cho mỗi sản phẩm Nếu nhà sản xuất đưa Q sản phẩm ra bán cho khách hàng thứ hai thì 2

khách hàng này bằng lòng trả giá: p2100 10 Q2 USD cho mỗi sản phẩm Hãy cho biết lượng cung tối ưu và giá tối ưu cho mỗi loại khách hàng

§2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LI

2 Giải các phương trình sau:

2

,1

x x

§3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHÂN LI BIẾN SỐ

1 Giải các phương trình sau:

cos

1.3y 4x2y1 1.4 xy dx x y dy 0

phân toàn phần của một hàm  x y, nào đó, có nghĩa là:

3

y

x y C

Phương pháp thừa số tích phân:

+ Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào biến x được xác định như sau:

 (biểu thức chỉ phụ thuộc vào biến y)

Lúc đó thừa số tích phân theo y:    y dy

p y e

2 Dùng phương pháp thừa số tích phân để giải các phương trình vi phân sau:

C

y y

§6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO

1 Giải các phương trình sau: