Thông tin tài liệu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ HUẾ KHOA HỆ THỐNG THÔNG TIN KINH TẾ BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP PHẦN GIẢI TÍCH Người soạn: Trần Thị Khánh Linh Bộ môn: Toán Kinh tế Huế, 2015 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Chương 1: HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN x Cho hàm số f ( x) , g ( x) x Hãy tính f g ( x) , g f ( x) , f f ( x), g g ( x) ? Cho hàm số f ( x) x x2 Hãy tìm f f f ( x) ? n lan x Cho f ( x) a a , chứng minh rằng: f ( x y) f ( x y) f ( x) f ( y) Tìm hàm số f(x) cho biết 1 4.1 f ( x 2)= x 5x 4.2 f ( x ) x x x 4.3 f ( ) x x , ( x 0) x Tìm miền xác định hàm số: 1 x x 5.1 y ( x 2) 5.2 y 1 x sin x x 5.4 y lg(lg x) 5.3 y arc sin(lg ) 10 §2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Tính giới hạn: x x x x m m (m, n 0) 1.1 lim x 1 x x x n n 1.3 lim x 0 1.5 lim x x x2 x x2 x x sin 1.7 lim x 1.1 1.6 lim x x2 x x cos mx - cos nx x 0 x2 1.8 lim x m m 1 n n 1 1.5 1.3 x 0 x cos x 1.9 lim x 0 x2 Đáp án: tan x - sin x x3 5x 1.4 lim x 0 x x 1.2 lim n 1.10 lim x 0 1.2 ax (a 0, n 0) x 15 1.6 1.4 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 1.8 n2 m2 1.7 1.9 1.10 v x a Chứng minh lim u ( x) x x0 lim v x b a n ab với điều kiện giới hạn lim u x a, a , x x0 x x0 b Cho biết : lim u ( x) 1, lim v( x) , lim u( x) 1 v( x) L Ch / m : lim u ( x) v( x) x a x a x a x a eL Áp dụng: 2.1 lim(1 x ) cot x x 0 2.3 lim(1 sin x)cot x x1 x2 2.5 lim x x x2 2.7 lim sin x cot x x 2.9 lim(1 tan x)cot x x 0 Đáp án: 2.1 e 2.3 e 1 2.5 e3 tan x s inx 2.2 lim x 0 sinx 1 cot 1x 2.4 lim(sin cos ) x x x x2 1 2.6 lim x x x4 2.8 lim cos x x2 x 0 2.10 lim sin x x tan 2 x 2.2 2.4 e 2.6 1 2.7 2.8 e 2.9 e 2.10 e Tìm giới hạn 3.1 lim(sin x sin x ) x arcsin(1 x) x2 x 3.2 lim cosx x 0 x2 3.3 lim 3.4 lim x ln( x 1) ln x x 3.5 lim x cot x x 0 Đáp án Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 3.1 3.3 3.5 Xét liên tục hàm số: x2 x 4.1 f ( x) x 4 x x x sin 4.3 f ( x) x 0 x x x cos 4.5 f ( x) x x 3.2 1 3.4 x12 x 4.2 f ( x) e 0 x x x 4.4 f ( x) 2 x x Tìm k để hàm số f(x) liên tục 3x x sin 5.1 f ( x) liên tục x k x e x x 5.2 f ( x) liên tục R x k x 4.3x x 5.3 f ( x) liên tục R 2k x x x sin x 5.4 f ( x) liên tục x0 x k x x 1 x 1 5.5 f ( x) x3 liên tục x0 1 k x 1 §3 GIÁ TRỊ HIỆN TẠI VÀ GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA TIỀN TỆ Trong điều kiện lãi suất 0,9% năm, cho biết: a, Giá trị tương lai triệu đồng bạn có hôm sau năm b, Giá trị khoản tiền triệu đồng bạn nhận sau năm ĐA: a, B 3.0817(tr ) b, A 4,8239(tr ) Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Một dự án đòi hỏi vốn đầu tư ban đầu 6000$ mang lại 10.000$ sau năm Trong điều kiện lãi suất tiền gởi ngân hàng 9% năm có nên đầu tư vào dự án hay không? Tính NPV dự án đó? ĐA: NPV 499,3$ Tính giá trị khoản tiền 1000$ sau năm lãi suất tính gộp liên tục với mức lãi suất 10% năm ĐA: B 1331$ Một công ti đề nghị bạn góp vốn 3500$ đảm bảo trả cho bạn 750$ năm liên tiếp năm Bạn có chấp nhận góp vốn hay không bạn có hội đầu tư tiền vào chỗ khác với lãi suất 9% năm? ĐA: Có thể chấp nhận đầu tư Một dự án đòi hỏi chi phí ban đầu 40 triệu đồng mang lại 10 triệu sau năm, 20 triệu sau năm, 30 triệu sau năm Dự án có lợi mặt kinh tế hay không lãi suất hành 10% năm? ĐA: Có thể chấp nhận đầu tư Một dự án đòi hỏi phải đầu tư ban đầu 7500$ sau năm mang lại cho bạn 2000$ năm, liên tiếp năm Hãy tính giá trị ròng dự án điều kiện lãi suất 12% năm Có nên thực dự án hay không? ĐA: Không nên chấp nhận đầu tư Một chủ đầu tư định mua nhà trị giá tỉ đồng cho thuê vòng 10 năm với mức thuê 60tr/ năm Sau 10 năm trị giá nhà ước tính khoảng 2,5 tỉ đồng Với mức lãi suất 9%, hỏi chủ đầu tư có nên mua nhà không? ĐA: Không nên chấp nhận đầu tư ( NPV 2,885 tỷ) Một công ty máy tính thực việc bán sản phẩm theo phương pháp trả góp sau: - Trả hàng năm vào năm vòng năm với giá trị lần trả 5tr - Trả sau mua 4tr , năm sau trả 5tr vào đầu năm liên tục năm Lựa chọn phương thức bán hàng có lợi cho công ty biết lãi suất tiên gửi NH ổn định 9%/năm ĐA: Chọn phương án 2: PV 20,19 PV1 19,4 Một công ty tài đưa phương án toán sau: PA1: trả 1,2 tỷ đồng PA2: Trả 330 triệu, năm sau trả 200 triệu vòng năm PA3: Trả năm 210 triệu vòng năm vào cuối năm Hãy lựa chọn phương án toán có lợi biết lãi suất 10%/ năm 10 Một công ty định vay vốn ngân hàng để đầu tư xây dựng phân xưởng sản xuất với chi phí đầu tư tỷ đồng Phân xưởng dự kiến vận hành vòng 10 năm thu nhập năm khoảng 900tr đồng, Đến hết nam phân xưởng tiến hành sửa chữa với giá trị 250 triệu đồng Hỏi dự án có nên đầu tư hay lãi suất 10%năm? Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - §4 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Tính đạo hàm hàm số sau: 1.2 y (1 3x 5x )4 1.1 y 2e x x ln x 1.3 y arcsin 1-x 1.5 y arctan x arcsin x 1.7 y a bx 1.9 y ln (1 x )arctanx - x 1.8 y sinx cosx 1.11 y esin 1.10 y ln(1 x ) 1.12 y ln sin( x3 1) x x2 x2 2x 1.15 y ln 2x 1.17 y ln ln x 1.13 y arcsin 1.19 y (arctanx)x Tính đạo hàm cấp hàm số sau: 2.1 y (1 x2 )arctanx 2.3 y tan x 2.5 y arcsin 1 x 1 x 1.6 y ln x lg x ln a log a x 1.4 y 1.14 y a x x 1.16 y arctan x sin 1- x cos 1.18 y xs inx 1.20 y x x 2.2 y e x 2 2.4 y x x 2.7 y xe x 2.9 y x arcsin x Tính đạo hàm cấp hàm số sau: 3.1 y xe x 3.3 y x sin x 3.5 y x sin x x 2.8 y x sin x 2.6 y arctan 2.10 y xe x 3.2 y e x cos x 3.4 y x3 2x 3.6 y f x3 Tính đạo hàm cấp n hàm số: x 1 4.1 y ln ax b 4.2 y 4.3 y xe x 4.4 y 23 x 4.5 y x 1 n Tìm biểu thức vi phân hàm số sau: 1 x x 5.1 y ln 5.2 y arcsin 1 x a Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 5.4 y 5.3 f ( x) x 5.5 y ln sin x x 5.6 y arctan x 5.8 y x3 5x 5.10 y xe2x 5.7 y sin3 x 5.9 y e x sin x §5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM Định lí Fermat: Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng X nhận giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) điểm c bên khoảng X ( c không trùng với đầu mút khoảng X) Khi đó, điểm c hàm số f(x) có đạo hàm f / (c) Định lí Rolle: Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện: a, Xác định liên tục a, b b, Khả vi khoảng (a,b) c, f(a) = f(b) Khi tồn c (a, b) saocho: f / (c) Định lí Lagrange: Giả sử hàm số f(x) thỏa mãn điều kiện: a, Xác định liên tục a, b b, Khả vi khoảng (a,b) f (b) f (a) Khi tồn c (a, b) saocho : f / (c) ba Áp dụng công thức Lagrange, chứng minh bất đẳng thức sau: 1.1 sin a sin b a b 1.2 arctan a - arctan b a b ba b ba ln b a a Tính giới hạn vô định sau: x ln x 2.1 lim x 1 ex e xm 2.3 lim x (a 1) x a 1.3 2.5 lim x 1 ln(1 x) cot x 2.7 lim(1 x) tan x 1 x cosax x 0 xsinx ax e e ax (a 0) 2.4 lim x 0 ln(1 x) 2arctan x 2.6 lim x ln(1 ) x 1 2.8 lim cot x x 0 x 2.2 lim Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 2.9 lim( x tan x x 2cos x 2.11 lim tan x.tan( x ) x) 2.13 lim ln x.ln(1 x) x 1 x 2.10 lim x 1 ln x ln x 2.12 lim 1 x ex 1 x x 0 2.14 lim(1 x) cos x x 1 sin x 2.15 lim x 0 x 2.17 lim(e x) x x2 2.16 lim(e x) x x x 0 x x e2 x x 0 sin x 2.19 lim 2 2.18 lim arctanx x 2.20 lim x 0 x cos ax cos bx Đáp án a2 2.4 2.6 2.1 2a 2.2 2.3 2.5 2.7 2.8 2.10 2.9 -1 2.13 2.11 2.15 e 2.12 2.14 1 2.16 e 2.17 e 2.18 e 2.19 2.20 a2 b2 Xác định khoảng tăng, giảm hàm số: 3.1 y x( x 1)2 ( x 2)3 23 x 6x 3.5 y x ln x Tìm cực trị hàm số sau: 3.3 y ex x ln x 3.4 lim x 0 ln sin x 3.2 y Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - ln x x x x 1 4.3 y arctanx 4.4 y ( x 1)arctan x x 2 2 1 x 4.5 y ( x )arcsin x x x 2 12 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 1-x 5.1 y x2 ln x, 1 x e 5.2 y arctan , x 1 1+x 5.3 y x arcsinx 5.4 y x x 4.1 y sin x - x 5.5 y 4.2 y x2 x 1 , x2 x Xác định khoảng lồi lõm tìm điểm uốn đồ thị hàm số: x3 6.1 y 6.2 y x x 2 6.4 y 1 x e x 6.3 y x3 12 x 6.5 y earctanx Khai triển Taylor hàm sau: 7.1 y sinx x=0 7.2 y e x x=1 7.3 y cos x x 7.4 y x x0 x 7.5 y x 5 e x x=0 7.6 y x=0 3x Tìm hàm chi phí bình quân hàm chi phí cận biên, cho hàm tổng chi phí: 8.2 TC 35 5Q 2Q2 2Q3 8.1 TC 3Q2 7Q 12 Tìm hàm doanh thu bình quân hàm doanh thu cận biên cho biết hàm tổng doanh thu: TR 12Q Q2 10 Tìm hàm lợi nhuận bình quân, hàm lợi nhuận cận biên, cho biết hàm tổng lợi nhuận: Q2 13Q 78 11 Tìm doanh thu cận biên, cho biết hàm cầu: Q 36 p 46 12 Tìm hàm chi phí cận biên cho biết hàm chi phí bình quân: AC 1,5Q Q 13 Cho biết hàm tổng chi phí: TC Q 5Q 60Q Hãy xác định mức sản lượng Q để chi phí bình quân nhỏ 14 Cho biết hàm tổng chi phí TC hàm tổng doanh thu TR, xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa: 14.1 TC Q3 6Q2 140Q 750; TR 1400Q 7,5Q2 14.2 TC Q3 5,5Q2 150Q 675; TR 4350Q 13Q2 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 15 Cho hàm cầu: Q 20 p , tính hệ số co dãn mức giá p 2, p 5Q Q3 16.1 Tìm hàm chi phí cận biên MC 16.2 Tính chi phí trung bình AC Q=100 16.3 Tính hệ số co dãn TC theo Q Q= 17 17 Một doanh nghiệp cạnh tranh có hàm tổng chi phí: TC Q3 Q2 700Q 30 Hàm doanh thu trung bình: AR 2000 Q 17.1 Hãy xác định Q cho hàm chi phí bình quân nhỏ 17.2 Xác định mức sản lượng để doanh nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 18 Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu ngược: p 490 2Q hàm tổng chi phí: TC 1,5Q2 Trong đó, Q sản lượng 18.1 Xác định hàm chi phí bình quân hàm chi phí cận biên doanh nghiệp 18.2 Xác định sản lượng giá bán để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa 19 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất loại hàng với Qd 656 p Hàm tổng chi phí: TC Q 77Q 1000Q 100 Tìm Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao 20 Cho biết hàm cầu loại hàng hóa doanh nghiệp độc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng là: Qd 300 p Hàm chi phí sản xuất doanh nghiệp là: 16 Cho hàm tổng chi phí TC 5000 TC Q3 19Q2 333Q 10 Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận tối đa 21 Cho doanh nghiệp độc quyền sản xuất kinh doanh loại hàng biết hàm cầu loại hàng thị trường là: Qd 2340 p Hàm chi phí TC Q2 1000Q 100 Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cực đại 22 Một xí nghiệp độc quyền có hàm cầu thị trường sản phẩm là: p Q 800 Với hàm tổng chi phí TC Q 200Q 200000 a Tìm hàm doanh thu cận biên, chi phí cận biên b Xác đinh mức sản lượng giá bán để tối đa hóa lợi nhuận? 23 Một nhà sản xuất độc quyền bán sản phẩm thị trường có hàm cầu ngược: p 1400 7,5Q a Tính hệ số co dãn hàm cầu theo giá mức giá p b Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đã, cho biết hàm chi phí cận biên: MC 3Q2 12Q 140 24 Một nhà sản xuất tiêu thụ sản phẩm thị trường cạnh tranh với giá $20 Cho biết hàm sản xuất Q 12 L2 giá thuê lao động $40 Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa 25 Một nhà sản xuất độc quyền tiêu thụ sản phẩm thị trường với hàm cầu: D p 750 p Cho biết hàm sản xuất Q L giá thuê lao động $14 Hãy xác định mức sử dụng lao động cho lợi nhuận tối đa 10 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh x 0 x sin dx 50.15 1.16 e x ln 1 x dx 1.18 x ln x e x 1.20 dx e 2 x arctan xdx x arcsin xdx 1.22 x 1.23 arcsin dx x x2ex x 2 1.25 dx ln x dx 1.21 e 1.19 1.17 x cos2xdx 1.24 xe x x 1 dx dx Cho hàm số f ( x) hàm số liên tục đoạn a, a Hãy chứng minh: a a, Nếu f ( x) hàm số chẵn : -a a f ( x)dx 2 f ( x)dx a b, Nếu f ( x) hàm số lẽ : f ( x)dx -a Cho f ( x) hàm liên tục R hàm tuần hoàn với chu kì T, chứng minh với a+T số a ta có: a T f ( x)dx f ( x)dx Cho f ( x) hàm liên tục 0,1 Hãy chứng minh : 4.1 f s inx dx f cosx dx 4.2 0 f s inx dx f sinx dx Tính tích phân suy rộng 5.1 xe x dx 5.2 5.3 2 dx x ln a x x a 0 dx x2 5.4 xe 2x dx 13 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh dx 1 x x 5.5 xe 5.7 x2 x 5.6 a dx 5.11 x3dx x2 x2 dx x3 5.13 x2 dx 5.9 x 4x xdx 2x2 dx x 5.8 5.10 dx 4 x 5.12 x ln xdx e 5.14 dx x ln x Đáp án: ln 1 5.4 5.6 a 1 5.2 5.1 5.3 ln a 5.7 5.9 16 5.11 5.5 5.8 5.10 5.14 phân kì 5.12 5.13 phân kì Tính tích phân lớp sau đây: 6.2 6.1 x ydxdy x y dxdy D miền D phẳng giới hạn đường thẳng y 2x2 ; y x2 6.3 6.5 x 5 x dx 6.7 2x dx x y 1 dy x D x ydy 6.4 6.6 y dxdy với x 2, y y 2 dy y3 dx x2 y x y dxdy với x 3, y 2 D 6.8 x y dxdy với x 1, y D 14 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh 6.10 xydxdy D miền phẳng 6.9 xe xy dxdy với x 2, y D giới hạn y 0, y x, x D 6.11 xydxdy D miền 6.13 D giới hạn xy 6, x y 6.15 D x y dxdy D miền D phẳng giới hạn y x2 , y x Đáp án: 27 phẳng giới hạn y x, y x, x 2, x 32 15 6.4 6 6.6 6.2 6.3 1/3 6.5 506/15 6.7 D miền phẳng D phẳng giới hạn y x2 , x y2 6.14 x y dxdy D miền 6.1 xdxdy 6.8 2/3 6.9 1/e 6.10 1/8 6.11 1/12 6.12 20 6.13 6.14 25 15 §8 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ Cho biết hàm đầu tư: I 40t quỹ vốn thời điểm t=0 75 Hãy cho biết hàm quỹ vốn đầu tư? Cho biết hàm đầu tư I 60t quỹ vốn thời điểm t = 85 Hãy cho biết hàm quỹ vốn đầu tư? Cho hàm chi phí cận biên mức sản lượng Q: MC 32 18Q 12Q2 chi phí cố định FC 43 Hãy tính hàm tổng chi phí hàm chi phí khả biên Cho biết chi phí cận biên mức sản lượng Q: MC 12e0,5Q chi phí cố định FC 36 Hãy tính hàm tổng chi phí Cho biết chi phí cận biên mức sản lượng Q MC 16e0,4Q chi phí cố định FC 100 Hãy tính hàm tổng chi phí Cho biết hàm doanh thu cận biên MR 84 4Q Q2 Hãy cho biết hàm tổng doanh thu TR(Q) hàm cầu? Cho biết xu hướng tiêu dùng cận biên MPC 0,8 mức thu nhập Y C 40 Y Hãy xác định hàm tiêu dùng C(Y)? Cho biết hàm cầu: p 42 5Q Q2 Giả sử giá cân p0 Hãy tính thặng dư người tiêu dùng 15 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Cho biết hàm cầu hàm cung: Qd 113 p , Qs p Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng 2 ĐA: CS 228 ; PS 277 3 10 Cho biết hàm cầu hàm cung: Qd 33 p , Qs p Hãy tính thặng dư nhà sản xuất thặng dư người tiêu dùng? ĐA: CS 82 Chương HÀM NHIỀU BIẾN SỐ §1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Cho hàm số: f x, y x y2 Hãy tính f 2, 3 , f 1, xy 2 Cho hàm số f x, y x y x xy y Hãy tính f 0, , f Cho hàm số f x, y xy 2, y Hãy tìm biểu thức hàm số sau: f y, x , f x, y , x y f 1, t , f 1, x xy , chứng minh: f x, y hàm cấp 0? x y2 Tìm miền xác định hàm số: 5.2 f x, y ln y x 5.1 f x, y y x Cho hàm số: f x, y 5.3 f x, y x y ln x y x 5.4 f x, y arcsin xy y 5.5 f x, y a x2 y 2 16 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - §2 GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC x y Cho hàm số f x, y Tìm giới hạn lim lim f x, y , lim lim f x, y x 0 y 0 y 0 x 0 x y x2 y 2 Cho hàm số: Chứng minh f x, y 2 x y x y lim lim f x, y lim lim f x, y không tồn lim f x, y x 0 y 0 y 0 x 0 x 0 y 0 Tìm giới hạn lặp lim lim f x, y , lim lim f x, y x a y b y b x2 y , a , b 3.1 f x, y x y4 3.3 f x, y sin 3.5 f x, y x 2x y , a , b x a xy , a , b 3.2 f x, y 1 xy xy 3.4 f x, y tan , a 0, b xy xy x y cos y , a 0, b 2x y Tìm giới hạn 4.1 lim x 0 y 0 sin xy x y xy 4.3 lim x x y y 4.5 lim x 0 y 0 4.2 lim 1 x y 3 x 1 x x2 x y sin xy x 0 xy y 0 4.4 lim xy xy xy x y Cho hàm số: f ( x, y ) x y Chứng minh hàm số f x, y liên tục x y 0 0, xy x y 2 Chứng minh hàm số f ( x, y ) x y liên tục theo biến 0 x y riêng lẻ, không liên tục theo biến điểm 0, §3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số sau: y y 1.1 f x, y ln tan 1.2 f x, y arctan x x 17 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 1.3 f x, y ln x xy y 1.5 w x2 y x 1.7 w ln x3 y z 1.4 f x, y e x 1.6 w y y sin x z 1.8 w arctan x - y z yz 1.10 w ln x y z x Tìm đạo hàm riêng cấp hàm số: x y y 2.2 w 2.1 w arctan x y x 2.3 w x2 y 2.4 w e x sin y 2.5 w x ln xy 1.9 w arctan Tính vi phân toàn phần hàm số: 3.1 w x y y x 3.2 w x y 3.3 w ln tan xy 3.4 w e x sin y 3.5 w ln x y Tính giá trị gần hàm số sau: 4.1 f x; y xy M 1,1; 2,03 4.2 f x; y x y M 2,1; 1;03 4.3 f x; y M 2,04; 1, xy 4.5 f x; y ln x y M 2,1;1, 4.4 f x; y x y M 3,1; 2,1 4.6 f x; y x y M 1,01; 2,04 §4 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tìm cực trị hàm số: 1.1 z x3 3xy 15x 12 y 1.2 z x y x xy y 2x y2 1.3 z x x xy y 1.4 z e x 1.5 z x y x2 xy y 1.6 z x4 y x2 xy y 1.7 z x xy y x y 1.8 z x4 y x2 y 50 20 1.10 z xy x y 1.9 z x xy y x y y2 1.10 w x2 y 24 xy x2 24 x y3 15 y 36 y 1.11 w x y x y 2 Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm: 18 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 160Q1 3Q12 2Q1Q2 2Q2 120Q2 18 Hãy tìm Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa ĐA: (20,20) Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu sản phẩm sau: Q1 25 0,5 p1 , Q2 30 p2 Với hàm chi phí kết hợp: C Q12 2Q1Q2 Q22 20 , cho biết mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa ĐA: (7,4) Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu sản phẩm sau: Q1 50 0,5 p1 , Q2 76 p2 Với hàm chi phí kết hợp: C 3Q12 2Q1Q2 2Q22 55 , cho biết mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa ĐA: (8,10) Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền kinh doanh hàng hóa thị trường tách biệt với hàm cầu: Q1 840 p1; Q2 1230 p2 Hàm chi phí: TC 20 150Q Q2 với Q Q1 Q2 Tìm lượng hàng phân phối thị trường để lợi nhuận cực đại ĐA: (50,60) Cho doanh nghiệp sản xuất mặt hàng điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá p1 60; p2 75 Hàm chi phí: C Q12 Q1Q2 Q22 Tìm mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa ĐA: (15,30) Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu loại là: Q1 400 p1 p2 ; Q2 480 p1 p2 Hàm chi phí: TC 160Q1 240Q2 150 Tìm lượng hàng phân phối thị trường để lợi nhuận cực đại ĐA: (160,200) Cho doanh nghiệp sản xuất mặt hàng điều kiện cạnh tranh hoàn hảo với giá p1 450; p2 630 Hàm chi phí: TC Q12 Q1Q2 Q22 210Q1 360Q2 100 Tìm mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa ĐA: (70,100) Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm, tiêu thụ thị trường tách biệt Cho biết hàm cầu sản phẩm sau: Q1 Qd1 310 p1 , Q2 Qd2 350 p2 Với hàm chi phí kết hợp: C 200 30Q Q2 , Q Q1 Q2 , cho biết mức sản lượng Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa (trong trường hợp phân biệt giá) ĐA: (40,60) 19 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - §5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC Tìm cực trị có điều kiện hàm số theo phương pháp nhân tử Lagrange: 1.1 f x, y xy với điều kiện: x y 1.2 f x, y x y với điều kiện x y 1.3 f x, y x y với điều kiện x y 1 1.4 f x, y cos2 x cos2 y với điều kiện y x 1.5 f x, y x y xy 5x y 10 với điều kiện x y Cho hàm lợi ích tiêu dùng: U x1 x2 x1 x2 Gỉa sử giá mặt hàng tương ứng là: p1 2, p2 thu nhập cho tiêu dùng M= 53 Hãy xác định lương cầu mặt hàng người tiêu dùng tối đa hóa lợi ích ĐA: (14,5) 0,6 0,25 Cho biết hàm lợi ích tiêu dùng: U x1 x2 Giả sử giá mặt hàng tương ứng là: 2 p1 8$, p2 5$ thu nhập dành cho tiêu dùng là: M 680$ Hãy xác định lượng cầu mặt hàng người tiêu ùng tối đa hóa lợi ích ĐA: (40,60) 0,3 0,5 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q K L a, Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất? b, Giả sử giá thuê tư 6$, giá thuê lao động 2$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 384$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa? ĐA: (24,120) 0,7 0,1 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: Q 10K L a, Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất? b, Giả sử giá thuê tư 28$, giá thuê lao động 10$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 4000$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa? ĐA: (125,50) 0,8 0,5 Một công ti có hàm sản xuất: Q K L a, Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất? b, Giả sử giá thuê tư wK , giá thuê lao động wL Hãy tính mức sử dụng K, L để sản xuất sản lượng Q Q0 100 có chi phí nhỏ ĐA: (44,4;23,12) Hàm lợi ích hộ gia đình tiêu dùng hàng hóa A, B có dạng: U 40 X A0,25 X B0,5 Trong X A , X B mức tiêu dùng hàng hóa A, B Giá hàng hóa sau: pA 4, pB 10 Tìm mức tiêu thụ hai hàng hóa A, B để hộ gia đình đạt lợi ích cao phần thu nhập chi tiêu hai loại hàng hóa hộ gia đình 600 ĐA: (50,40) 20 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu loại là: Q1 400 p1 p2 ; Q2 480 p1 p2 Hàm chi phí: TC 160Q1 240Q2 150 Tìm lượng hàng phân phối thị trường để điều kiện hạn chế chi phí 41750$ ĐA: (80,120) 0,75 0,25 Hàm lợi ích hộ gia đình tiêu dùng hàng hóa 1, có dạng: U x1 x2 Trong x1 , x2 mức tiêu dùng hàng hóa 1, Giá hàng hóa sau: p1 10, p2 Tìm mức tiêu thụ hai hàng hóa A, B để hộ gia đình đạt lợi ích cao phần thu nhập chi tiêu hai loại hàng hóa hộ gia đình 480 ĐA: (36,20) 10 Một doanh nghiệp sử dụng hai đầu vào X Y để sản xuất đồ chơi Hàm sản xuất 1 cho sau: Q X 2Y Với tổng chi phí 100, giá đầu vào X PX , giá đầu vào Y: PY 10 , doanh nghiệp cần X Y để sản xuất khối sản lượng sản phẩm lớn nhất? ĐA: (5,10) 11 Một người tiêu dùng có hàm lợi ích tiêu thụ hai loại hàng hóa x,y có dạng: U x y 1 Giả sử giá loại hàng hóa px 4; py thu nhập tiêu dùng để chi cho mặt hàng 130 Tìm x,y để hàm lợi ích người tiêu dùng đạt tối đa ĐA: (16,11) 12 Một người tiêu dùng có hàm lợi ích tiêu thụ hai loại hàng hóa x,y có dạng: U x y 1 Giả sử giá loại hàng hóa px p y thu nhập tiêu dùng để chi cho mặt hàng 810 Tìm x,y để hàm lợi ích người tiêu dùng đạt tối đa ĐA: (202,203) 13 Cho hàm lợi ích U x1 3 x2 x1 , x2 tương ứng lượng hàng hó A,B Hãy chọn túi hàng lợi ích tối đa điều kiện giá hàng hóa A 5$, giá hàng hóa B 20$, ngân sách cho tiêu dùng 185$ 14 Một nhà sản xuất độc quyền sản xuất loại sản phẩm bán sản phẩm cho hai loại khách hàng Cho biết hàm chi phí: TC 90 20Q Nếu nhà sản xuất đưa Q1 sản phẩm bán cho khách hàng thứ khách hàng lòng trả giá: p1 50 5Q1 USD cho sản phẩm Nếu nhà sản xuất đưa Q2 sản phẩm bán cho khách hàng thứ hai khách hàng lòng trả giá: p2 100 10Q2 USD cho sản phẩm Hãy cho biết lượng cung tối ưu giá tối ưu cho loại khách hàng 15 Cho hàm sản lượng Q 120K 0.7 L0.4 , giá thuê đơn vị lao vốn, đơn vị lao động lần lược 16 14 Tính mức sử dụng K, L để sản lượng Q Q0 4000 với chi phí thấp nhất? 16 Cho hàm sản lượng Q 270K 0.4 L0.3 , giá thuê đơn vị lao vốn, đơn vị lao động lần lược 12 Tính mức sử dụng K, L để sản lượng Q Q0 5400 với chi phí thấp nhất? 21 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN §1 CÁC KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C1 x5 C2 x nghiệm phương trình: 12 x x y // xy / y x Chứng minh hàm số y C1 C2 x x3 e2 x nghiệm phương trình: // / 2x y y y xe Chứng minh hàm số: y §2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LI Giải phương trình sau: 2.1 xydx x 1 dy 2.3 x 1 y / xy với y 2.2 y 1dx xydy 2.4 y / cot x y với y 1 2.5 x yy / y dx 2.7 e x 1 dt dx 2.9 x t dt 2.6 y / xy xy 2.11 y / e x y 2.12 y / 2.8 y / e x y 2.10 x 1 y dx y 1 x dy y 1 x 1 Đáp án: 2.1 y C x 1 e x , C R 2.3 y ln x 1 x 2.2 ln x y 1 C 2.4 y 3cos x 2Ce x 2.9 x t C, C R , C R Ce x 1 2.8 y ln x , C R e C 2.10 x 1 y dx y 1 x dy 2.11 e x e y C , C R 2.12 y C x 1 1, C R 2.5 y Ce , C R 2.7 e x Cet , C R 2.6 y §3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHÂN LI BIẾN SỐ Giải phương trình sau: 1.1 y / cos y - x 1.3 y x y 1.2 y / y x 1.4 x y dx x y dy 22 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 1.5 y x y / xyy / 1.7 x 1.6 y 1.8 xy / y xtg x y y / xy 1.9 xy y xe / x y dx xdy x y 1.10 xy / y x y ln x y x y 1.11 xy / y cos ln x 1.13 xy / x y y x y 1 1.15 y / 2x y 1.12 y 1.14 2x y 6 dx x y 3 dy xy dx xdy 1.16 y / 8x y 1 Đáp án: yx C, C R x cot 1.1 x y k 2 , k R 1.2 y Ce x x 1, C R 1.3 x y 2ln x y x C , C R y 1.4 2arctan ln x y C , C R x 1.5 y Ce x , C R 1.6 y Cx x, C R 1.7 y C x y , C R y 1.8 sin Cx, C R x y 1.9 e y x ln x C , C R y 1.11 cot ln ln x ln C , C R 2x y 1.13 arcsin ln x C , C R x 1.15 4 x y ln x y C 1.10 y x eCx 1 , C R 1.12 xy x ln x C , C R , y 1.14 y x 1 C y 2x , C R 1.16 8x y tan x C §4 PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Giải phương trình sau: 1.1 xy / y x 1.3 x y / y e x 1.5 y x y / x cos x 1.7 xy / 1 ln x y 1.2 x 1 y / x y 1.4 x y / xy 1.6 y / x x y 1.8 x y dx ydx 23 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 1.9 xy / x 1 y 3x e x 1.11 sin 1.10 y x cot y y / CR 1.7 y ln x C ln x , C R 1.9 y x3 C e x x C e x , x x 1 x y/ 1.2 y x 1 ln x C 1, C R C R 1.5 y sin x C x, y 1.12 y / x y Đáp án: 1.1 y Cx2 x4 , (C R) 1.3 y ln x C e x , 2e 1.11 x cosy C sin y, C R CR 1.4 y ln x C 1x , C R 1.6 y x 2e x e x C e x Ce x x , 2 1.8 x y C y, 2 C R 1.10 x e2 y C e y e y Ce y , C R C R 1.12 y Ce x x Giải phương trình Bernoulli: Ghi chú: Phương trình Bernoulli có dạng: y / p x y y q x Để giải PT: đặt : y 1 z đưa phương trình tuyến tính dy y xy dx x 2.3 3xdy y 1 x sin x y sin x dx 2.1 2.5 2xy y dx xdy 2.2 xy dy y2 x dx 2.4 y / xy y3 2.6 y / xy 3x3 y Đáp án: 2.1 Cx x y 2.3 y3 Cecos x x C 2.5 y x , C R x 2.2 y Cx x ln x, C R 2.4 2 C 2 e2 x dx e2 x , y 2.6 y C R Ce x x 2 §5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN Ghi chú: Phương trình có dạng: M x, y dx N x, y dy (1) gọi phương trình vi phân toàn phần vế trái phương trình vi 24 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - phân toàn phần hàm x, y đó, có nghĩa là: M x, y dx N x, y dy d x, y Lúc nghiệm phương trình (1) có dạng: x y x0 y0 x, y M t , y dt N x0 , t dt x y x0 y0 Hay : x, y M t , y0 dt N x, t dt Trong x0 , y0 chọn cho đoạn x0 , x , y0 , y thuộc miền xác định D R hàm số M x, y , N x, y Giải phương trình sau: 1.1 x y dx x y dy 1.2 x y x dx xydy 1.3 x3 3xy dx 3x y y dy 1.4 xdx ydy 2x y 3x dy 1.5 dx y y4 1.6 1.7 x dx dy y y xdy ydx x2 y x y 1 dx y x 1 dy 1.8 xydx x y dy Đáp án: 1.1 x xy y C, C1 , C R 1.2 x3 3xy 3x C, C1 , C R 1.3 3x4 18x y 24 x y C 1.5 x y Cy, C R 1.4 x4 x y xy y C 1.6 x y 1 dx y x 1 dy 1.7 x Cy 1.8 x y y3 C Phương pháp thừa số tích phân: + Thừa số tích phân phụ thuộc vào biến x xác định sau: M N y x x , (biểu thức phụ thuộc vào biến x) N x dx Lúc thừa số tích phân: p x e + Thừa số tích phân phụ thuộc vào biến y xác định: M N y x x (biểu thức phụ thuộc vào biến y) M y dy Lúc thừa số tích phân theo y: p y e 25 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - Dùng phương pháp thừa số tích phân để giải phương trình vi phân sau: 2.1 1 x2 y dx x y x dy 2.2 x y dx xdy 2.3 x y dx xydy 2.4 y 1 xy dx xdy y dx y ln x dy x 2.7 x ln x xy dx 3x y dy 2.5 2.6 2x y y 5 dx 2x x dy 2.8 x sin x sin y dx cos ydy Đáp án: 2.1 xy x y Cx; x ; x2 y2 C, C R ; x 2.3 ln x x x ln x y 2.5 C, ; y y y 3 2.7 y x ln x 1 C; x 0; x x4 2.2 ln x y2 C; x x x x x2 C, C R ; y 2.4 y y 2.6 5acr tan x xy C; x 1 x2 2.8 2e x sin y 2e x x 1 e x sin x cos x C; x ex §6 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO Giải phương trình sau: 1.1 y // y 6e3 x 1.3 y // e x 1 y / 1.5 y // y / x 1.7 y // y e x cosx 1.9 y // y 2sin x Đáp án: 1.1 y e3 x C1 sin 3x C2cos3x, 1.3 y Ce x Cx C1 , C, C1 R 1.5 y C1 C2 e3 x x , C R 1.2 x sin y./ y // y/ 1.4 xy // y / ln x // / 1.6 y y 20 y x e4 x 1.8 y // y / y 13sin x 1.10 y // y / e x e2 x x 1.2 x sin t 2t 3 y 3t cos t 6sin t t 3C1t C2 1 1.4 y eC1x 1 x C2 , C C 1.6 y x x xe4 x C1e5 x C2 e4 x , C1 , C2 R 1.7 y e x x sin x C1 s inx C2 cosx, C1 , C2 R 26 Toán cao cấp – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - x C2cos x , 1.8 y 3sin x 2cos x e C1 sin 1 1.9 y x cos x C1 s in 2x C2 cos 2x , C1 , C2 R x C1, C2 R 27 [...]... 2. 5 2. 6 2x y 2 y 5 dx 2x 2 3 2 x dy 0 2. 8 x sin x sin y dx cos ydy 0 Đáp án: 2. 1 xy 2 2 x 2 y 2 Cx; x 1 ; x2 y2 1 C, C R ; x 2 2.3 ln x x x 2 1 ln x y 2. 5 C, ; y 2 y y 2 3 3 2. 7 y x ln x 1 C; x 0; x 1 x4 2. 2 ln x y2 1 C; x 2 x x x x2 1 C, C R ; y 2 2.4 y y 2 2.6 5acr tan x 2 xy C;... dx 2. 9 x t 0 dt 2. 6 y / xy 2 2 xy 2. 11 y / e x y 2. 12 y / 2. 8 y / e x y 2. 10 x 1 y 2 dx y 1 x 2 dy 0 y 1 x 1 Đáp án: 2. 1 y C x 1 e x , C R 2. 3 y ln x 2 1 1 1 1 x 2. 2 ln x 1 2 y 1 C 4 2. 4 y 2 3cos x 2Ce x 2 2.9 x 2 t 2 C, C R , C R 2 1 Ce x 1 2. 8 y ln x , C R e C 2. 10 x 1 y 2 dx y 1 x 2 ... 6 x x 2 xy y 2 1.4 z e x 1.5 z x 4 y 4 x2 2 xy y 2 1.6 z x4 y 4 2 x2 4 xy 2 y 2 1.7 z x 2 xy y 2 2 x 3 y 1.8 z 2 x4 y 4 x2 2 y 2 50 20 1.10 z xy x y 1.9 z x 2 xy y 2 2 x y 2 y2 2 1.10 w 6 x2 y 24 xy 6 x2 24 x 4 y3 15 y 2 36 y 1 1.11 w x 4 y 4 x y 2 2 Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất hai... dx dx 2. 1 2. 2 2 , x 0 , x 2 3 x3 x 1 x 1 ex 1 2. 4 e x 1dx, ( x 0) dx 2. 3 x e 1 dx dx , x 1,1 \ 0 2. 6 2. 5 x x2 1 x 1 x2 x5 2. 7 16 x 2 dx, x 4, 4 2. 8 dx, x 1,1 1 x2 2. 10 sin 3 x cos 2 xdx 2. 9 x 2 4 x 2 dx, x 2, 2 3 Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, tính các tích phân: 3.1 x 2cos2 xdx 3 .2 x sin 2 xdx 3.3... R 2 của hàm số M x, y , N x, y 1 Giải các phương trình sau: 1.1 x y dx x 2 y dy 0 1 .2 x 2 y 2 2 x dx 2 xydy 0 1.3 x3 3xy 2 2 dx 3x 2 y y 2 dy 0 1.4 xdx ydy 2x y 2 3x 2 dy 0 1.5 3 dx y y4 1.6 1.7 1 x dx 2 dy 0 y y xdy ydx x2 y 2 2 x y 1 dx 2 y x 1 dy 0 1.8 2 xydx x 2 y 2 dy 0 Đáp án: 1.1 x 2 2 xy 2. .. 18 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh - 160Q1 3Q 12 2Q1Q2 2Q2 120 Q2 18 Hãy tìm Q1 , Q2 để đạt lợi nhuận tối đa 2 ĐA: (20 ,20 ) 3 Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm Cho biết hàm cầu đối với các sản phẩm đó như sau: Q1 25 0,5 p1 , Q2 30 p2 Với hàm chi phí kết hợp: C Q 12 2Q1Q2 Q 22 20 , hãy... 2, 03 4 .2 f x; y x 2 y 2 tại M 2, 1; 1;03 4.3 f x; y 1 tại M 2, 04; 1, 2 xy 4.5 f x; y ln x 2 y 2 M 2, 1;1, 2 4.4 f x; y x 2 y tại M 3,1; 2, 1 4.6 f x; y x y tại M 1,01; 2, 04 §4 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 1 Tìm cực trị của hàm số: 1.1 z x3 3xy 2 15x 12 y 1 .2 z 1 x 4 y 4 2 x 2 4 xy 2 y 2 2x y2 1.3 z 1 6 x x 2 xy y 2 1.4... 12 Toán cao cấp 2 – Giải tích Trần Thị Khánh Linh x 0 x sin 2 dx 50.15 1.16 e x ln 1 x dx 1.18 0 x ln x e x 1 .20 dx 1 e 2 2 3 x arctan xdx 0 x arcsin xdx 3 1 1 .22 0 x 1 .23 arcsin dx 1 x 0 1 x2ex x 2 1 .25 dx ln x dx 0 1 .21 2 1 e 1 1.19 2 0 1 1.17 x cos2xdx 2 1 .24 xe x x 1 2 dx 0 dx 0 2 Cho... xdx 2x2 1 dx x 5.8 0 2 4 5.10 dx 2 3 4 x 2 1 5. 12 x ln 2 xdx 0 e 5.14 1 dx x ln x Đáp án: 2 ln 2 3 1 5.4 4 1 5.6 2 a 2 1 5 .2 5.1 1 5.3 1 ln a 6 1 5.7 2 5 5.9 5 16 5.11 3 5.5 5.8 6 5.10 6 3 2 1 4 5.14 phân kì 5. 12 5.13 phân kì 6 Tính các tích phân 2 lớp sau đây: 6 .2 6.1 3 2 x 2 ydxdy 0 1 x 2 y dxdy trong đó D là miền D phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng y 2x2 ; y... 5 y x 1 2 Chứng minh rằng hàm số y C1 C2 x x3 e2 x là nghiệm của phương trình: 6 // / 2x y 4 y 4 y xe 1 Chứng minh rằng hàm số: y 2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LI 2 Giải các phương trình sau: 2. 1 xydx x 1 dy 0 2. 3 x 2 1 y / 2 xy 2 0 với y 0 1 2. 2 4 y 2 1dx xydy 2. 4 y / cot x y 2 với y 0 1 2. 5 2 x 2 yy / y 2 2 dx 2. 7 e x 1 ... 2. 4 2. 6 2. 1 2a 2. 2 2. 3 2. 5 2. 7 2. 8 2. 10 2. 9 -1 2. 13 2. 11 2. 15 e 2. 12 2.14 1 2. 16 e 2. 17 e 2. 18 e 2. 19 2. 20 a2 b2 Xác định khoảng tăng, giảm hàm số: 3.1 y x( x 1 )2 ( x 2) 3 23 x 6x... inx 2. 2 lim x 0 sinx 1 cot 1x 2. 4 lim(sin cos ) x x x x2 1 2. 6 lim x x x4 2. 8 lim cos x x2 x 0 2. 10 lim sin x x tan 2 x 2. 2 2. 4 e 2. 6 1 2. 7 2. 8 e 2. 9... 2. 15 lim x 0 x 2. 17 lim(e x) x x2 2. 16 lim(e x) x x x 0 x x e2 x x 0 sin x 2. 19 lim 2 2. 18 lim arctanx x 2. 20 lim x 0 x cos ax cos bx Đáp án a2 2. 4 2. 6
Ngày đăng: 16/12/2016, 22:55
Xem thêm: Bài tập toán cao cấp 2, Bài tập toán cao cấp 2
