bài tập lớn môn toán cao cấp 2

Chú ý: Mỗi nhóm không dưới 8 người. Điểm tính chung cho các thành viên trong nhóm. Nhóm nào làm Project chất lượng sẽ được cộng điểm. c) Tìm tập ảnh của ánh xạ... Chứng minh rằng các tập[r]

BÀI TẬP LỚN MƠN TỐN CAO CẤP

Chú ý: Mỗi nhóm khơng người Điểm tính chung cho thành viên nhóm Nhóm làm Project chất lượng cộng điểm

Phần – Các luyện tập (4đ)

Bài Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh sau đơn ánh khơng tồn ánh

a)  

x f x

x  

 ; b)  

2

5 x f x

x  



Bài Chứng tỏ ánh xạ với cơng thức xác định ảnh sau tồn ánh không đơn ánh

a)  

3

1 x f x

x  



; b)  

2 3 1

1

x x

f x

x

 





Bài Cho ánh xạ f :33 có cơng thức xác định ảnh sau f x y z , ,  2 xyz, x 3y2 ,z x4y2z

a) Chứng tỏ ánh xạ với công thức xác định ảnh song ánh

b) Viết công thức xác định f1 c) Tìm tập ảnh ánh xạ

d) Xác định tập f1 

Bài Hãy xác định  cho u tổ hợp tuyến tính u u u1, 2, 3: a) u(7, 2, );  u1 (2,3,5),u2 (3, 7,8),u3 (1, 6,1)

b) u(1,3,5); u1 (3, 2,5),u2 (2, 4, 7),u3 (5, 6, )

Bài Chứng minh v v1, 2,v3 sở 3, tìm toạ độ u sở a) u(6,9,14); v1 (1,1,1),v2 (1,1, 2),v3 (1, 2, 3)

b) u(6,9,14); v1 (1,1, 2),v2 (1, 2,3),v3 (1,1,1)

Bài Tìm chiều sở không gian 4 a) Các véc tơ có dạng (a,b,c,0)

b) Các véc tơ có dạng (a,b,c,d)với d ab cab

Bài Tìm chiều sở không gian sinh hệ véc tơ sau: a) v1(2, 4,1),v2 (3, 6, 2), v3  ( 1, 2, 2)

Bài Cho véc tơ v v v không gian véc tơ V1, 2, 3 Chứng minh: a) Nếu  v v1, 2độc lập  v1v2, v1v2 độc lập

b) Nếu  v v v1, 2, 3 độc lập  v1v2,v2 v3,v3v1 độc lập Bài Chứng minh tập sau không gian 3

V ( , , )x y z 3 x2y z 0,  

( , , )

W  x y z  x  y z a) Tìm sở ,V W V, W

b) Tìm số chiều khơng gian ,V W V, W

Bài 10 Cho W W1, 2 hai không gian véc tơ 4 xác định sau:

  

1 ( , , , ) , , , ;

W  x y z t x y z t  y  z t ;

  

2 ( , , , ) , , , ; 0,

W  x y z t x y z t  x  y z  t Tìm sở chiều khơng gian véc tơ W W1, 2 W1W2 Bài 11 Trong không gian 4 xét:

 

span (1, 0, 0,2);(0,2,1, 1);( 1, 6, 3, 7)

V    , W span (3,2, 0,1);(1,2,1,1)  Tìm số chiều V W V, , W

Bài 12 Cho

3

A    

 

,

0

B     

 

,

1 1

C    

 

 

Tính 3A4B2C

Bài 13 Cho

1 3 A

 

 

  

 

 

,

0 2 B

 

 

 

 

 

,

2

1

4

C



 

 

 

  

 

Tính:

a) (AB)C ; b) A(BC) ; c) A B C ; d) t, t, t A B ; e) t BC t

Bài 14 Trong không gian véc tơ M2 ma trận vng cấp Tìm tọa độ ma trận

4

A   

 

sở 1 1

 

 

 

, 1



 

 

 

, 1 0



 

 

 

, 0

 

 

 

Bài 15 Tính định thức

a)

0 1 1 1 1 1 1

; b)

2

3

5

4



 

 

Bài 16 Cho

1 3

3

6

t A t t                     

a) Tìm giá trị t để A khả nghịch b) Khi t 3 tìm A1

Bài 17 Tìm hạng ma trận sau:

a,

0 1 1 1 1 1 1

 

 

 

 

 

 , b,

4

8

8

4

8 6

                      , c,

3

1

1 10 17

4 3

m            

Bài 18 Các ma trận sau có khả nghịch khơng, khả nghịch tìm ma trận nghịch đảo:

a)

1

1

2

C               ; b)

1 2 3 D            

Bài 19 Giải hệ phương trình sau:

a)

1

1

1

1

2

4

8 12

3 2

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

                      

; b)

1

1

1

1

2 13

5

2 3

3

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

                        

Bài 20 Tìm điều kiện , ,a b c để hệ phương trình sau có nghiệm:

a)

2

2 11

2

x y z a

x y z b

x y z c

             

; b)

2

2

3

x y z a

x y z b

x y z c

             

Bài 21 Tìm hệ nghiệm số chiều khơng gian nghiệm hệ phương trình sau:

a)

1

1

1

2 20

4 15

2

x x x x

x x x x

x x x x

                

; b)

2

x y z t

x y z t

           ;

Bài 22 a) Chứng tỏ v1(1, 2,3),v2 (2, 5,3),v3 (1, 0,10) sở 3

b) Tìm cơng thức xác định ảnh ( , , )f x y z ánh xạ tuyến tính f :33 biết ( ) (1, 0, 0), ( ) (0,1, 0), ( ) (0, 0,1)

1

f v  f v  f v 

1

1

1

2

0

3

5 3

2

x x x x x

x x x x x

x x x x x

x x x x

    



     

 

    



    



Hệ số hệ véc tơ sau hệ nghiệm hệ phương trình

a) 1 1, 2,1, 0, ;  2 1, 2, 0,1, ;  3 0, 0,1, 1, ;  4 1, 2, 3, 2, ;   b) 1 1, 2,1, 0, ;  2 4, 0, 0, 6, ;  3 0, 0, 1,1, ; 

Bài 24 Cho phép biến đổi tuyến tính f :33 có ma trận tắc

0

1

3 0

A

 

 

  

 

 

Hãy tìm ma trận f sở v v v1, 2, 3; Với v1(1,1,1), v2 (1,1, 0), v3 (1, 0,0)

Bài 25 a, Viết ma trận dạng toàn phương Q sở tắc 3 Tìm sở 3để biểu thức tọa độ Q sở có dạng tắc:

2 2

( 1 2, , 3) 1 2 3 1 2 1 3 Q x x x x  x  x  x x  x x

b, Tìm sở 3để phép biến đổi tuyến tính f có ma trận dạng chéo: ( , , ) ( , , )

f x y z  x y x y z xy z Phần – Dự án nhỏ (6đ)

Hãy nêu ứng dụng môn Đại số tuyến tính mà em biết, chẳng hạn: kinh tế học, kỹ thuật, dân số,

Yêu cầu: Trình bày cẩn thận, cụ thể cho Project Không nêu gạch đầu dịng mà phải nêu tốn xuất chẳng hạn dân số (trong kinh tế, ) nào? Giải sao? Dùng kiến thức chương trình? Trình bày chi tiết tốt

Tài liệu gợi ý:

 Gilbert Strang, Introduction to Linear algebra, MIT, WELLESLEY-CAMBRIDGE PRESS, 2005;

 Gilbert Strang, Linear algebra and Its applications, Thomson Brooks, 2006;  David Lay, Linear algebra and Its applications, Addison-Wesley, 2012;

 Stephen Boyd, L Vandenberghe, Introduction to Applied linear algebra, CAMBRIDGE University Press, 2018;

 GOOGLE