Bài giảng môn toán cao cấp 2

Mục lục Lý thuyết giới hạn 1.1 Dãy số 1.2 1.1.1 Tập hợp 1.1.2 Tập hợp số thực 1.1.3 Dãy số thực Hàm số biến 15 1.2.1 1.2.2 Khái niệm hàm số biến 15 Một số khái niệm liên quan đến hàm số biến 18 1.3 Giới hạn hàm số biến 22 22 1.3.2 Một số tính chất giới hạn hàm số 27 1.3.3 Các phép toán giới hạn 27 1.3.4 Một số tiêu chuẩn hội tụ 28 1.3.5 Vô bé, vô lớn 30 1.4 Bài tập chương 34 1.3.1 Các định nghĩa giới hạn Hàm số liên tục 37 2.1 Khái niệm hàm số liên tục 37 2.2 Các phép toán hàm số liên tục 39 2.3 Tính liên tục hàm số đoạn 40 2.4 Liên tục 44 i 2.5 Tính liên tục hàm số sơ cấp 45 2.6 Điểm gián đoạn hàm số 46 2.7 Bài tập chương 48 Đạo hàm vi phân hàm số biến 3.1 Đạo hàm hàm số biến 3.2 Một số khái niệm đạo hàm 53 3.1.2 Ý nghĩa hình đạo hàm 57 3.1.3 Các quy tắc tính đạo hàm 58 3.1.4 Đạo hàm hàm hợp 60 3.1.5 Đạo hàm hàm ngược 61 3.1.6 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp 62 3.1.7 Đạo hàm cấp cao hàm số 63 Vi phân hàm số biến 64 3.2.1 Định nghĩa 64 3.2.2 Mối liên hệ đạo hàm vi phân 65 3.2.3 Ứng dụng phép tính vi phân vào tính gần 65 Vi phân cấp cao 66 Một số ứng dụng đạo hàm 67 3.3.1 Một số định lý giá trị trung bình 3.3.2 Quy tắc De L’Hospital để tìm giới hạn hàm số 67 71 Công thức khai triển Taylor 74 3.4 Bài tập chương 77 3.3.3 50 3.1.1 3.2.4 3.3 50 Nguyên hàm tích phân bất định 4.1 Tích phân bất định ii 80 80 4.1.1 Nguyên hàm tích phân bất định 80 4.1.2 Bảng tích phân hàm số thường gặp 82 4.1.3 Các tính chất 82 4.2 Một số phương pháp tính tích phân bất định 84 4.3 4.2.1 Phương pháp đổi biến 84 4.2.2 Phương pháp tích phân phần 85 Một số dạng tích phân bất định 87 4.3.1 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 87 4.3.2 Tích phân hàm số lượng giác 89 4.3.3 Tích phân hàm số vô tỷ 91 4.4 Bài tập chương 92 Tích phân xác định hàm biến số 5.1 Tích phân xác định 94 94 5.1.1 Khái niệm 94 5.1.2 Tính chất tích phân xác định 98 5.1.3 Công thức Newton-Leibnit 99 5.2 Một số phương pháp tính tích phân xác định 100 5.2.1 Phương pháp đổi biến 100 5.2.2 Phương pháp tích phân phần 102 5.3 Ứng dụng tích phân xác định 104 5.3.1 Tính diện tích hình phẳng 104 5.3.2 Tính độ dài đường cong 106 5.3.3 Tính thể tích vật thể 108 5.3.4 Tính diện tích diện tích xung quanh vật thể tròn xoay 110 5.4 Tích phân suy rộng 110 5.4.1 Tích phân suy rộng với cận vô 110 iii 5.4.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn 115 5.5 Bài tập chương 119 Tài liệu tham khảo 124 Tài liệu tham khảo 124 iv Chương Lý thuyết giới hạn 1.1 Dãy số 1.2 Hàm số biến 1.3 Giới hạn hàm số biến 1.1 1.1.1 Dãy số Tập hợp a Khái niệm + Khái niệm tập hợp phần tử định nghĩa khái niệm biết, ta mô tả + Ta nói tập tất đối tượng xác định hợp lại tạo thành tập hợp, đối tượng phần tử tập hợp Kí hiệu tập hợp chữ in hoa: A, B, C, , X, Y, Z phần tử tập hợp kí hiệu a, b, c, x, y, z + Phần tử a thuộc tập A, viết a ∈ A + Phần tử b không thuộc tập A, viết b ∈ / A b Các phương pháp mô tả tập hợp Chương Lý thuyết giới hạn i) Liệt kê phần tử tập hợp ii) Chỉ tính chất mà phần tử thuộc tập có c Tập rỗng: Tập rỗng tập phần tử nào, kí hiệu ∅ d Sự tập hợp + Tập A gọi tập tập B phần tử x ∈ A x ∈ B, kí hiệu A ⊂ B B ⊃ A (hình 1.1) Hình 1.1: +) Ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R + Hai tập A B gọi phần tử tập A phần tử tập B ngược lại, kí hiệu A = B Vậy A = B ⇐⇒ A ⊂ B B ⊂ A d Các phép toán tập hợp i) Phép hợp + Hợp tập A B tập hợp tất phần tử thuộc A thuộc B, kí hiệu A ∪ B (hoặc A.B)( hình 1.2) Vậy A ∪ B = {x x ∈ A x ∈ B} Hình 1.2: ii) Phép giao Chương Lý thuyết giới hạn + Giao tập A B tập hợp tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, kí hiệu A ∩ B (hình 1.3) Vậy A ∩ B = {x x ∈ A x ∈ B} + Nếu A ∩ B = ∅ ta nói A B rời Hình 1.3: iii) Phép hiệu + Hiệu tập A B tập phần tử thuộc A mà không thuộc B, kí hiệu A B (hình 1.4) Vậy ta có A + Cho A ⊂ E Tập E A=E B = {x x ∈ A x ∈ / B} A gọi tập bù A E, kí hiệu A Vậy A Hình 1.4: Nhận xét Ta có số kết sau: A ⊂ E, A = A iv) Các tính chất phép toán tập hợp + Tính chất giao hoán: A∪B=B∪A A ∩ B = B ∩ A Chương Lý thuyết giới hạn + Tính chất kết hợp: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C + Tính chất phân phối: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) + Công thức DeMorgan: với tập A ⊂ E, B ⊂ E ta có A ∪ B = A ∩ B A ∩ B = A ∪ B e Tích Đề-các tập hợp + Tích Đề-các tập A B tập tất cặp (a, b) có thứ tự, a trước b sau a ∈ A, b ∈ B, kí hiệu A × B Vậy A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B} + Khi A = B ta kí hiệu A × A = A2 + Tổng quát, tích Đề-các n tập hợp tập X1 × X2 × × Xn = {(xi , , xn ) xi ∈ Xi (i = 1, , n)} + Khi X1 = · · · = Xn = X ta có Xn = X × X × × X = {(xi , , xn ) xi ∈ X (i = 1, , n)} n lần Chú ý Nói chung A × B ̸= B × A Chương Lý thuyết giới hạn 1.1.2 Tập hợp số thực a Số hữu tỷ Ta biết tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, , n, } Để mở rộng lớp nghiệm cho phương trình x + n = 0, n ∈ N ta đưa thêm vào tập số nguyên Z Z = {0, ±1, ±2, } Để mở rộng lớp nghiệm cho phương trình mx + n = 0, m, n ∈ Z ta đưa vào tập số hữu tỷ Q p Q = { p, q ∈ Z, q ̸= p, q có ước ± 1} q Ví dụ Các số hữu tỷ ; ; , b Số vô tỷ Ta thấy tập số hữu tỷ hẹp, chẳng hạn ta xét nghiệm √ dương phương trình x2 − = Ta có x = nghiệm √ ta chứng minh số vô tỷ Do đó, ta cần xây dựng tập số chứa số số hữu tỷ p Một số không biểu diễn dạng (p, q ∈ Z) gọi số vô q tỷ Tập số vô tỷ Q Ví dụ √ = 1, 414213562 ; π = 3, 141592 Để dễ phân biệt số hữu tỷ số vô tỷ người ta đưa khái 1 niệm số thập phân, chẳng hạn ta xét số hữu tỷ , Ta viết Chương Lý thuyết giới hạn số dạng số thập phân = 0, 125; = 0, 3333333 Ta nói số hữu tỷ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn, số hữu tỷ biểu diễn dạng số thập phân vô hạn, tuần hoàn c Số thực Tập số hữu tỷ số vô tỷ gọi tập số thực, kí hiệu R Vậy R = Q ∪ Q Người ta chứng minh số hữu tỷ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn vô hạn tuần hoàn Với số vô tỷ không thế, người ta chứng minh số vô tỷ biểu diễn dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn Chú ý Ta có bao hàm thức N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Tập số thực có nhiều tính chất quan trọng lý thuyết tập hơp, lý thuyết hàm số biến số thực Tuy nhiên ta đưa số tính chất Ngoài có nhiều tính chất quan trọng khác, bạn đọc tham khảo giáo trình + Tập R tập thứ tự toàn phần + Tập R tập có tính đầy + Tập R tập có tính trù mật 1.1.3 Dãy số thực i) Khái niệm Chương Tích phân xác định hàm biến số 5.3.4 Tính diện tích diện tích xung quanh vật thể tròn xoay Khi quay cung AB có phương trình y = y(x) hàm khả vi liên tục đoạn [a, b], quanh trục Ox diện tich xung quanh vật thể tròn xoay tạo thành tính theo công thức ∫ b √ S = 2π |y(x)| + y ′2 (x)dx (5.22) a Ví dụ 106 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành quay đường cong y = x3 , ≤ x ≤ quanh trục Ox Hướng dẫn Áp dụng công thức (5.22) có ∫1 √ ∫1 √ S =2π y + y ′2 dx = 2π x3 + 9x4 dx 2π = 36 ∫1 (1 + 9x4 )1/2 d(1 + 9x4 ) = √ π (10 10 − 1) 27 5.4 5.4.1 Tích phân suy rộng Tích phân suy rộng với cận vô a Định nghĩa + Cho hàm số f (x) xác định [a, +∞) khả tích đoạn ∫A [a, A] (a < A) Ta biết tích phân a f (x)dx có nghĩa với A > a Nếu tồn giới hạn ∫ A lim A→+∞ f (x)dx a 110 Chương Tích phân xác định hàm biến số giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại 1) hàm f (x) [a, +∞), kí hiệu ∫ +∞ f (x)dx a Khi đó, ta nói tích phân tích phân suy rộng hội tụ viết ∫ +∞ ∫ A f (x)dx = lim f (x)dx (5.23) A→+∞ a a Nếu không tồn giới hạn giới hạn ±∞ ta nói tích phân suy rộng phân kỳ ∫a B + Tương tự, tích phân suy rộng hàm số (−∞, a] f (x)dx có nghĩa với B < a xác định ∫ a ∫ a f (x)dx = lim f (x)dx B→−∞ −∞ (5.24) B + Nếu hàm f (x) xác định (−∞, +∞) khả tích [A, B] với ∀ A, B(A < B) ta định nghĩa ∫ ∞ ∫ a ∫ f (x)dx = f (x)dx + −∞ −∞ +∞ f (x)dx (5.25) a ∫ +∞ Ta nói tích phân suy rộng −∞ f (x)dx hội tụ tích phân ∫a ∫ +∞ f (x)dx f (x)dx hội tụ −∞ a Nhận xét Nếu tích phân suy rộng khoảng (−∞, a], [a, +∞), (−∞, +∞) hàm f (x) hội tụ ta nói f (x) khả tích khoảng tương ứng Nhận xét Khi tính tích phân suy rộng người ta dùng công thức Newton-Leibnit để tính, sau cho cận dần tới vô cùng, chẳng hạn ∫ A f (x)dx = F (A) − F (a) (∀A ≥ a) a Nếu tích phân tích phân suy rộng hội tụ, tức giới hạn lim F (A) A→+∞ hữu hạn, ta viết lim F (A) = F (+∞) Khi đó, ta có A→+∞ ∫ +∞ f (x)dx = F (+∞) − F (a) a 111 (5.26) Chương Tích phân xác định hàm biến số Ví dụ 107 Tính tích phân (nếu có) ∫ +∞ I= e−x dx Hướng dẫn Với A ≥ ta xét tích phân ∫ A A −x −x I(A) = e dx = −e = − e−A e 1 Do đó, ta lim I(A) = Vậy tích phân cho hội tụ A→+∞ e Ví dụ 108 Xét hội tụ tích phân ∫ +∞ dx I= (a > 0, α > 0) xα a Hướng dẫn + Nếu α = ∫ a +∞ dx = lnx x +∞ = +∞; a + Nếu α ̸=   ∫ +∞ dx +∞ = a1−α xα  a  α−1 α < α > Vậy tích phân hội tụ α > phân kỳ < α ≤ Ví dụ 109 Tính tích phân (nếu hội tụ) ∫ +∞ dx I= −∞ x + Hướng dẫn Ta có ∫ +∞ ∫ A A π dx dx = lim = lim arctgx = 2 x + A→+∞ x + A→+∞ ∫ ∫ 0 π dx dx = lim = lim arctgx = B→−∞ B x2 + B→−∞ B −∞ x + ∫ +∞ ∫ ∫ +∞ dx dx dx =⇒ I = = + =π 2 x2 + −∞ x + −∞ x + 112 Chương Tích phân xác định hàm biến số Ví dụ 110 Tính tích phân (nếu hội tụ) ∫ +∞ I= cosxdx Hướng dẫn Bằng cách tính trực tiếp dễ thấy ích phân phân kỳ b Các dấu hiệu so sánh Định lý 5.13 Cho hàm f (x) g(x) khả tích khoảng [a, A] (0 < a < A) ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈ [a, +∞) Khi đó, ta có ∫ +∞ ∫ +∞ i) Nếu a g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ; ∫ +∞ ∫ +∞ ii) Nếu a f (x)dx phân kỳ a g(x)dx phân kỳ Ví dụ 111 Xét hội tụ tích phân sau x2 e dx ∫ ∞ − I= Hướng dẫn Ta có ∫ +∞ ∫ ∫ 2 − x2 − x2 e dx = e dx = 0 +∞ − x2 e dx Do tích phân thứ tích phân xác định đoạn hữu hạn nên giá trị số hữu hạn Hơn nữa, với x ≥ ta có x2 e− ≤ e− , x x x2 ∫ +∞ − ∫ +∞ − mà tích phân e dx hội tụ nên tích phân e dx hội tụ 113 Chương Tích phân xác định hàm biến số Ví dụ 112 Xét hội tụ tích phân sau ∫ +∞ + sinx dx x2 Hướng dẫn Ta có 0≤ Mà tích phân + sinx ≤ ,x ≥ x2 x2 ∫ +∞ dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ x2 Định lý 5.14 Cho hàm f (x), g(x) xác định, không âm khoảng [a, +∞) khả tích khoảng [a, A] (0 < a < A) cho tồn giới hạn f (x) = k, < k < +∞ x→+∞ g(x) ∫ +∞ ∫ +∞ Khi đó, tích phân a f (x)dx a g(x)dx hội tụ lim phân kỳ Chứng minh Thật vậy, theo định nghĩa giới hạn suy ra, với ϵ > bé tùy ý, với x lớn, có k−ϵ< f (x) 0) Sử dụng Định lý (5.13) vào bất đẳng (5.27) cho ta điều chứng minh Ví dụ 113 Xét hội tụ tích phân sau ∫ +∞ (1 − cos )dx x 114 Chương Tích phân xác định hàm biến số Hướng dẫn Ta thấy 1 (sin )2 1 − cos 2sin2 x 2x 2x = lim = lim lim = 1 x→0 x→0 x→0 2 x x 2x ∫ +∞ Mà tích phân dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ x2 Ví dụ 114 Xét hội tụ tích phân sau ∫ +∞ (e x − 1)dx Hướng dẫn Ta có: ex − lim x x→+∞ Mà tích phân +∞ ∫ 1 x =1 dx phân kỳ nên tích phân cho phân kỳ Định lý 5.15 (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân ∫ +∞ a f (x)dx hội tụ với ϵ > tồn A > cho ∫ A2 f (x)dx < ϵ, (A1 , A2 > A) A1 5.4.2 Tích phân suy rộng hàm không bị chặn a Định nghĩa + Cho hàm số f (x) xác định không bị chặn b, tức lim f (x) = ∞ Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a, b − η] x→b− (0 < η < b − a) điểm b gọi điểm bất thường (điểm kỳ dị) Nếu tồn giới hạn ∫ b−η f (x)dx lim η→0+ a giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại 2) hàm f (x) ∫b [a, b], kí hiệu a f (x)dx Vậy ∫ b−η ∫ b f (x)dx (5.28) f (x)dx = lim a η→0+ 115 a Chương Tích phân xác định hàm biến số ta nói tích phân hội tụ Nếu không tồn giới hạn giới hạn ∞ ta nói ∫b tích phân a f (x)dx phân kỳ + Cho hàm f (x) xác định (a, b] không bị chặn a, tức lim f (x) = ∞ Giả sử hàm f (x) khả tích đoạn [a + γ, b] x→a+ (0 < γ < b − a) a gọi điểm bất thường Nếu tồn giới hạn ∫ b f (x)dx lim γ→0+ a+γ giới hạn gọi tích phân suy rộng (loại 2) hàm f (x) ∫b [a, b], kí hiệu a f (x)dx Vậy ∫ ∫ b b f (x)dx = lim γ→0+ a f (x)dx (5.29) a+γ Nếu giới hạn tồn hữu hạn tích phân ∫b a f (x)dx hội tụ; không tồn giới hạn giới hạn ∞ ta nói tích phân ∫b a f (x)dx phân kỳ + Nếu hàm f (x) không bị chặn c (a < c < b) ta định tích ∫b phân suy rộng a f (x)dx biểu thức ∫ ∫ b f (x)dx = a ∫ c f (x)dx + a b f (x)dx (5.30) c ∫b Tích phân suy rộng a f (x)dx hội tụ tích phân ∫c ∫b f (x)dx a c f (x)dx hội tụ Ví dụ 115 Xét hội tụ tích phân ∫ b dx (a < b, α > 0) α a (b − x) 116 Chương Tích phân xác định hàm biến số Hướng dẫn Một số trường hợp xảy ra: + x = b điểm bất thường( α > 0) + Với α ̸= ta có ∫ b ∫ b−η dx dx = lim α η→0+ a (b − x)α a (b − x) η 1−α (b − a)1−α = lim [ + ] η→0+ α − 1−α (b − a)1−α = + lim η 1−α 1−α α − η→0+ hay  (b − a)1−α   b dx 1−α = α  a (b − x) +∞ ∫ + α = ta có ∫ b−η lim η→0+ Vậy ta có a ∫b a α < 1, α > dx = lim [−lnη + ln(b − a)] = +∞ (b − x) η→0+ dx hội tụ α < phân kỳ α ≥ (b − x)α Ví dụ 116 Tích phân ∫ b a dx (x − a)α (a < b, α > 0) hội tụ α < phân kỳ α ≥ Hướng dẫn Giải tương tự ví dụ Ví dụ 117 Tính tích phân (nếu có) ∫ dx √ x2 Hướng dẫn Áp dụng ví dụ với α = hội tụ b Các dấu hiệu so sánh 117 < tích phân cho Chương Tích phân xác định hàm biến số Định lý 5.16 Cho hàm số f (x), g(x) xác định [a, b) khả tích [a, b − η] (0 < η < b − a) Giả sử ≤ f (x) ≤ g(x), x ∈ [a, b) Khi đó, ta có ∫b ∫b i) Nếu a g(x)dx hội tụ a f (x)dx hội tụ; ∫b ∫b ii) Nếu a f (x)dx phân kỳ a g(x)dx phân kỳ Định lý 5.17 Cho hàm số f (x) g(x) xác định, không âm khoảng [a, b) khả tích [a, b − η] (0 < η < b − a) cho tồn giới hạn f (x) = k, < k < +∞ x→b− g(x) ∫b ∫b Khi đó, tích phân a f (x)dx a g(x)dx hội tụ lim phân kỳ Ví dụ 118 Tính tích phân sau (nếu có) ∫ 1 √ − x2 −1 Hướng dẫn Ta thấy điểm x = ±1 điểm bất thường lim √ = +∞ x→±1 − x2 Với < η < ta có ∫ 1−η √ = arcsinx − x2 Do ∫ 1 √ = lim − x2 η→0+ + Tương tự, ta có ∫ 1−η √ ∫ −1 √ 1−η = arcsin(1 − η) π = lim arcsin(1 − η) = − x2 η→0+ π = − x2 118 Chương Tích phân xác định hàm biến số ∫ 1 √ = − x2 −1 ∫ √ + − x2 −1 ∫ √ π π = + = π 2 − x2 Ví dụ 119 Xét hội tụ tích phân sau ∫ cosx √ dx − x2 Hướng dẫn Ta thấy cosx lim √ = +∞ x→1− − x2 Do đó, điểm x = điểm bất thường Hơn nữa, ta có cosx √ ≤√ , x ∈ [0, 1) − x2 − x2 ∫1 √ dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ − x2 Ví dụ 120 Xét hội tụ tích phân sau ∫ √ x dx sinx − e Hướng dẫn Ta thấy √ x lim sinx = +∞ x→0+ e −1 Do đó, điểm x = điểm bất thường Hơn nữa, ta có ( √ ) x lim :√ =1 x→0+ esinx − x ∫1 √ dx hội tụ nên tích phân cho hội tụ x 5.5 Bài tập chương Bài 5.1 Tính tích phân sau ln2 ∫ √ 1) ex − 1dx 119 ∫29 √ (x−2) √ 2) dx 3 3+ (x−2) Chương Tích phân xác định hàm biến số 3) 5) ln5 ∫ ∫4 x2 (x+1) 9) ∫1 11) 13) 15) 17) √ 3x+1 e ln ∫3 21) √dx 1+ 2x+1 ∫0 ln ∫3 ∫1 ∫1 6) 1−ex 1+ex dx 8) 10) 12) dx 4x 2x 3e √ +e dx 2x 1+e ∫1 23) 25) 27) 29) −1 ∫2 31) 33) 35) ∫2 ∫2 −1 ∫2 √ 2x−5 dx x2 +4x+13 ∫ 20) ∫1 22) x−x3 x4 dx 1+x 1+x6 √ dx x2 +2x+9 √ 2 √ x15 + x8 dx (ex +1)(x2 +1) dx −2 ∫4 24) 1√ ∫ √x2 +1 x2 dx √ ∫ x3 √ dx 1+x2 ∫1 ex dx (ex +1) −1 ∫0 18) √ √ dx x+9− x √ √ ∫1 ∫2 e2x +3 dx ln ∫3 16) 4x − x2 + dx e−2x e−x +1 dx ∫1 14) x e√ dx (ex +1) ex −1 √ ∫2 √ x(e2x + x + 1)dx −1 ln ∫2 ∫2 dx √ 1x dx e +1 −1 19) 4) ∫13 1 7) √ ex ex −1 ex +3 dx √ √2 dx 30) dx 32) ( x−1 x+2 ) dx (4+x2 ) 34) ∫1 ∫2 dx 36) ∫1 120 √1 x x2 −1 √ ∫3 x2 −6x+9 x x3 +1 dx √ √ x+1+ x √ ∫2 28) dx √ x3 x2 + 9dx ∫1 26) √x 1−x2 dx x6 (1+x2 ) x2 +3x+2 x+3 1−x5 x(1+x5 ) x3 +1 dx dx dx dx dx Chương Tích phân xác định hàm biến số ∫1 37) ∫1 39) ∫4 41) 4x−1 x3 +2x2 +x+2 x2 4−x2 dx 38) dx (x − 1) ln x dx ∫ 45) ∫e 47) e ∫ 49) ∫5 51) −3 ln x (x+1) 46) dx ∫1 48) |4x−1| x2 −3x+2 dx 50) √ cos x dx 7+cos 2x π 2) − π2 4) 6) tg xdx 8) π π sin x+sin x cos 2x π ∫ ∫3 π π dx 10) dx ∫ cos √ x+sin x dx 3+sin 2x sin x cos2 x+3 dx ∫2 π ∫ ∫4 x.tg xdx π sin x cos6 x dx 12) ∫2 π π 15) √ cos x cos x − cos3 xdx π 13) |ln x| dx √ x ∫ 11) ln x )dx √ ln( x2 + + x)dx ∫π2 sin √x π 9) ∫e ∫2 1+sin x x 1+cos x e dx 7) ( ln12 x − π ∫2 ∫3 x2 ln(1 + x1 ) dx (|x + 2| − |x − 2|) dx π 5) dx e π √ x ln(x+ 1+x2 ) √ 1+x2 −1 3) e ∫2 e Bài 5.2 Tính tích phân sau π ∫2 1−sin x 1) (1+cos x)ex dx ∫2 ∫2 44) dx x2 ln(x + 1) dx ∫1 42) 1+x x ln 1−x dx x3 +2x2 +10x+1 x2 +2x+9 ∫3 40) ∫e √1+3 ln x ln x dx x 43) ∫1 √1 sin x 1+cos x dx sin4 x−cos4 x sin x+cos x+1 dx π sin x cos x+1 dx 14) ∫4 π cos x cos x+1 dx 16) ∫2 121 cos5 xsin4 xdx Chương Tích phân xác định hàm biến số π π 17) ∫2 cos x+sin x+3 dx π 19) ∫ π π 21) ∫ π 23) ∫ π 25) ∫ ∫2 18) π cotg x dx ∫2 20) 27) 29) ∫ π ∫2 22) 2−cos x dx π √ tgx 1−ln2 (cos x) dx ∫2 24) π gx−1 ( ttgx+1 ) dx ∫2 26) sin4 x dx cos4 x+sin4 x √ sin√x √ dx cos x+ sin x π ln(1 + tgx)dx ∫4 28) tan x √ dx cos x cos2 x+1 2+tgx dx π −1 e∫ 30) e Bài 5.3 Tính tích phân suy rộng sau ∫0 ∫2 1) xex dx 2) 3) 5) 7) 9) dx π sin x cos x+sin x dx π cos3 x cos4 −3cos2 x+3 π ∫ sin5 x cos x+1 dx −∞ ∫1 ln2 x.dx x ∫0 dx 1+x2 −∞ ∫1 dx √ 1−x2 ∫1 dx √ 1−x2 −1 +∞ ∫ 6) 8) dx (x−1) +∞ ∫ 4) −∞ ∫0 −1 xcos2 (ln x+1) dx dx 1+x2 dx 1+x2 √ dx 1−x2 Bài 5.4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = x + x1 , trục hoành, đường thẳng x = −2 đường thẳng x = −1 b) Đồ thị hàm số y = − x2 , đường thẳng x = đường thẳng x = c) Đồ thị hàm số y = − x12 , đường thẳng y = − đường thẳng y= 122 Chương Tích phân xác định hàm biến số d) Đồ thị hàm số y = 2, (x−1) trục hoành, đường thẳng x = đường thẳng x = e) Đồ thị hai hàm số y = − x2 y = x √ f) Đồ thị hai hàm số y = x y = − x g) Hai đường cong x − y2 = x + 2y2 = h) Hai đường cong x = y3 − y2 2y = x Bài 5.5 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = 4ax(a > 0) đường thẳng x = a ka2 Hãy tìm k Bài 5.6 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = x2 , trục tung hai đường thẳng y = 0, y = b) Đồ thị hàm số y = x3 trục tung hai đường thẳng y = 1, y = c) Đồ thị hàm số y = ln x trục tung hai đường thẳng y = 0, y = d) Đồ thị hàm số y = − x2 , trục tung đường thẳng y = Bài 5.7 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn bởi: a) Đồ thị hàm số y = x(4 − x) trục hoành b) Đồ thị hàm số y = ex , trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = c) Đồ thị hàm số y = ln x trục hoành hai đường thẳng x = 1, x = d) Đồ thị hàm số y = √ x, trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = 123 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn, Trần Đức Long, Giáo trình giải tích, Tập 2, NXB Giáo dục, 2002 [2] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích toán học, Tập 1, NXB Giáo Dục, 1997 [3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán câp cấp tập 2, NXB Giáo Dục, 2002 [4] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thuỷ Thanh, Đặng Huy Ruận, Phép tính vi phân hàm biến, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [5] Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng giải tích 1, NXB ĐHQG Hà Nội, 2005 [6] Vũ Tuấn, Giáo trình giải tích toán học, Tập 1, NXB Giáo dục, 2011 [7] Phichtengon G N Cơ sở giải tích toán học, tập 2, NXB Giáo Dục [8] Y.Y Liasko, A.C Boiatruc, IA.G Gai, G.P Golovac, Giải tích toán học (Các ví dụ tập- Tập 2) NXB ĐH THCN, 1979 [9] Sze-Tsen Hu, Cơ sở giải tích toán học NXB ĐH THCN, 1979 124 ... dụ Chứng tỏ n2 + lim = n→∞ n2 + Hướng dẫn Thật ta có n2 +2 < ϵ n2 > với n > n0 ta có n2 +1 n2 +2 ϵ n2 +1 n2 +2 −1 = n2 +2 Với ϵ > cho trước [√ ] − Vì lấy n0 = ϵ − n2 +1 n→∞ n +2 − < ϵ Do lim... số sơ cấp 62 3.1.7 Đạo hàm cấp cao hàm số 63 Vi phân hàm số biến 64 3 .2. 1 Định nghĩa 64 3 .2. 2 Mối liên hệ đạo hàm vi phân 65 3 .2. 3 Ứng... 4.1 .2 Bảng tích phân hàm số thường gặp 82 4.1.3 Các tính chất 82 4 .2 Một số phương pháp tính tích phân bất định 84 4.3 4 .2. 1 Phương pháp đổi biến 84 4 .2. 2