Cho tập hợp các số thực và D . Hàm số xác định trên D là một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm xD với một giá trị duy nhất ( ) . y f x Nếu f là hàm số xác định trên D thì ta kí hiệu : ( ) f D x y f x hoặc y f (x), x D. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm số f. Ví dụ 1. Cho hàm số 2 y x x 1, x 0 , 4). Khi đó tập xác định của hàm số là 0, 4).
BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP (UEF) CHƯƠNG I GIỚI HẠN LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN I.1 HÀM SỐ KHÁI NIỆM Cho tập hợp số thực D Hàm số xác định D quy luật f đặt tương ứng điểm x D với giá trị y f ( x ) Nếu f hàm số xác định D ta kí hiệu f :D x y f ( x) y f ( x ), x D Tập hợp D gọi tập xác định hàm số f Ví dụ Cho hàm số y x2 x 1, x [0 , 4) Khi tập xác định hàm số D [0,4) 3 x , nÕu -1 x x , nÕu x>1 Ví dụ Cho hàm số f ( x) Tập xác định hàm số tập hợp nào? Lưu ý Khi cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định Trường hợp hàm số đuợc cho cơng thức mà khơng nói thêm ta quy ước tập xác định tập hợp tất giá trị biến số x để f ( x ) Ví dụ Cho hàm số y ln( x 2) Khi tập xác định hàm số tập hợp giá trị x cho x hay x > Vậy D (2, ) Ví dụ Tìm tập xác định hàm số y x2 Lưu ý Nếu hàm số f xác định D tập hợp giá trị f ( x), x D gọi tập giá trị hàm số Ví dụ Với x D (2, ) , ta có f ( x ) ln( x 2) ( ; ) nên tập giá trị hàm số y ln( x 2) Ví dụ Tìm tập xác định tập giá trị hàm số x , nÕu x không hàm sơ cấp 2x+3 , nÕu x b) Hàm số f ( x ) I.2 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ KHÁI NIỆM Dưới ta kí hiệu Df tập xác định hàm số f ( x ) Định nghĩa Ta nói số b giới hạn hàm số f ( x ) x a với dãy số xn Df \ a , xn a ta có f ( xn ) b Khi ta viết b lim f ( x ) xa Trong định nghĩa trên, a, b số hữu hạn 5x x 1 x Ví dụ Tìm giới hạn sau định nghĩa lim CÁC TÍNH CHẤT CỦA GIỚI HẠN HÀM SỐ (1) Nếu hàm số f ( x ) có giới hạn giới hạn (2) Nếu f ( x ) g( x ) h( x ) vµ lim f ( x ) lim h( x ) b lim g( x ) b xa xa xa (3) Nếu lim f ( x ) b, lim g( x ) c b, c hữu hạn xa xa lim ( f ( x ) g( x )) b c ; lim ( f ( x ) g( x )) b c ; xa xa lim ( f ( x ) g( x )) b.c ; f ( x) b c ; c x a g( x ) xa lim lim ( f ( x ) g( x ) ) bc b xa (4) Nếu lim f ( x ) b lim f ( x) b xa xa (5) Nếu lim f ( x) lim f ( x ) xa xa MỘT VÀI GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT lim ( 0) x x sin x lim 1 x 0 x lim x lim x ln p x x xp ex ( 0, p (p ) ) x x 1 1 lim e , lim x x e x x lim 1 x x 0 x e CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP KHỬ Ta có dạng vơ định: ; ; ; 0. ; 00 ; 1 ; 0 Các phương pháp khử dạng vô định: - Nhân, chia cho biểu thức liên hợp - Chia tử, mẫu cho biểu thức khác không - Biến đổi làm xuất giới hạn đặc biệt - Áp dụng tính chất giới hạn hàm số - Sử dụng vô bé tương đương - Sử dụng quy tắc L’ Hospital Ví dụ Tính giới hạn sau a) lim x2 x x4 81 x 3 x b) lim x 5 x2 25 c) 2x x 4 x 2 x2 x x lim d) lim GIỚI HẠN MỘT PHÍA Trong định nghĩa giới hạn hàm số f ( x ) x a , bổ sung thêm điều kiện x a , ta có giới hạn bên phải f ( x ) , kí hiệu lim f ( x ) x a Tương tự ta có khái niệm giới hạn bên trái hàm số đó, kí hiệu lim f ( x ) xa Rõ ràng, điều kiện cần đủ để lim f ( x ) b lim f ( x ) lim f ( x ) b xa xa xa Ví dụ Tính giới hạn phía lim f ( x ), lim f ( x) biết x 1 f ( x) x 1 x 1 x 1 x 1 sin x sin x sin x , suy tồn lim ; lim x x x 0 x x 0 x 0 Ví dụ Tính lim Ví dụ Tìm giới hạn phía x2 16 x2 16 , lim x 4 x x 4 x lim QUY TẮC L’HOSPITAL Định lý Giả sử (i) Các hàm số f ( x ), g( x ) xác định khoảng ( x0 , b] ; lim f ( x) lim g( x) ( hay lim f ( x) lim g( x) ) ; (ii) x x0 (iii) (iv) x x0 x x0 Trên ( x0 , b] tồn đạo hàm hữu hạn f '( x ) Tồn giới hạn lim g '( x ) k x x0 x x0 f '( x ), g '( x ) g '( x ) 0; f ( x) k x x0 g( x ) Khi lim Chú ý: - Trong định lý x0 số hữu hạn Ngồi ra, định lí cho trường hợp hai hàm số f ( x ), g( x ) xác định khoảng [ a , x0 ) x0 số hữu hạn - Quy tắc L’ Hospital áp dụng cho hai dạng vô định , Các dạng vô định khác phải biến đổi, đưa hai dạng này, sau áp dụng quy tắc Ví dụ Sử dụng quy tắc L’ Hospital để tìm giới hạn sau 1 ln x x 0 ln sin x b) lim x x sin x ln cos x x 0 ln cos3 x ex lim d) x e x a) lim c) lim e x e x I.3 HÀM SỐ LIÊN TỤC KHÁI NIỆM - Hàm số f ( x ) gọi liên tục x0 x0 Df lim f ( x) f ( x0 ) x x0 - Hàm số f ( x ) gọi liên tục E f ( x ) liên tục x E CÁC TÍNH CHẤT (1) Nếu hàm số f ( x ), g( x ) liên tục x0 hàm số f ( x) f ( x ) g( x ) , f ( x ) g( x ) , f ( x ) g( x ) , (víi g( x0 ) 0) g( x ) liên tục x0 (2) Nếu f : X Y liên tục x0 X , g : Y liên tục y0 f ( x0 ) Y hàm hợp g f : X liên tục x0 (3) Hàm sơ cấp liên tục điểm thuộc tập xác định (4) Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a, b] nhận giá trị trái dấu hai đầu mút đoạn thẳng (nghĩa f(a).f(b) < 0) phương trình f(x) = có nghiệm x (a, b ) Ví dụ Xét liên tục hàm số sau x = e x , x f ( x) x2 , x Ví dụ Xét liên tục hàm số sau tập xác định x2 , x f ( x) 4 x 2, x Ví dụ Tìm c để hàm số sau liên tục tập xác định: cx x , x f ( x) x cx , x Ví dụ Chứng minh phương trình x = mcosx có nghiệm với m CHƯƠNG II ĐẠO HÀM CỦA HÀM MỘT BIẾN II.1 ĐẠO HÀM KHÁI NIỆM Cho hàm số y f ( x ) xác định khoảng (a, b) x0 ( a, b) Cho x0 số gia x bé cho x0 x ( a, b) , hàm số có số gia tương ứng f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) Giới hạn tỉ số f ( x0 ) x gọi đạo hàm hàm số f(x) x0 kí x hiệu f '( x0 ) Vậy, ta có cơng thức f ( x0 ) x 0 x f '( x0 ) lim Nếu đặt x x0 x hay x x x0 x x x0 Khi cơng thức tính đạo hàm viết dạng f ( x ) f ( x0 ) x x0 x x0 f '( x0 ) lim Hàm số có đạo hàm gọi hàm khả vi Ngồi ra, f ( x ) có đạo hàm x0 x0 f ( x ) liên tục Ví dụ Tính đạo hàm hàm số f ( x ) ln x điểm x0 Ta có f ( x ) f (1) ln x ln1 ln(1 x 1) x 1 lim lim lim 1 x x x x 1 x 1 x 1 x 1 x f '(1) lim Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau điểm x0 f ( x ) x( x 1)( x 2)( x 3)( x 4)( x 5) Lưu ý Đạo hàm hàm số f(x) điểm tính cơng thức f ( x h) f ( x ) h h0 f '( x) lim Ví dụ Cho hàm số f ( x) x2 x Tính f '( x ) Ví dụ Xét tính khả vi hàm số sau x tính f'(0): x2 x , x f ( x) sin x , x BẢNG ĐẠO HÀM CƠ BẢN x x ' a a x ' x 21x e e ' 1 x ' x ln a log a x ' x ln a x ln x ' x sin x cos x cos x tg x ' cos x cotg x ' ' ' sin x sin x CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM u v ' u ' v ' u v ' u ' v ' c u ' c u ' ' ' u u v uv uv u v u v v2 v ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP ' ' ' ' Nếu y yu , u u x y yu x hàm hợp x Khi y x' y u' u x' BẢNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP u u ' a a 1 ' u ' u u ln a u e e u ' ' u u' u' loga u u ln a u' ln u u sin u ' u ' cos u cos u u' tg u cos u u' cotg u sin u ' ' ' u ' u sin u ' ' ' u' u Ví dụ Tính đạo hàm hàm số sau a) y (2x 1)3 ( x2 1) ; c) y b) y ln(ln x ) ( x 1)( x 2) ; x3 d) y ĐẠO HÀM CẤP CAO ln x x2 ' a) Đạo hàm cấp hai y '' y ' b) Đạo hàm cấp n bất kì: y( n) y( n1) ' Ví dụ Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau a) y ln x b) y s in3x c) y d) y x x Ví dụ Cho hàm số f ( x) ax2 bx c với x Hãy tính f (1) , biết f (2) 26 ; f ' (2) 23 ; f '' (2) 14 II.2 VI PHÂN KHÁI NIỆM a) Vi phân cấp Nếu y f x hàm số x vi phân y tính công thức dy y ' dx hay dy f ' x dx b) Vi phân cấp hai Vi phân vi phân cấp gọi vi phân cấp hai, kí hiệu tính cơng thức d2 y d( dy) y " dx2 Ví dụ Tính vi phân cấp một, cấp hai hàm số sau a) y e2 x ln( x2 ) x b) y 3( x2 1)(2x 3) ỨNG DỤNG CỦA VI PHÂN Sử dụng vi phân tính đạo hàm hàm số y = y(x) cho phương trình F(x, y) = 0, mà ta gọi hàm ẩn Khi ta có Fx' dx Fy' dy y '( x ) F' dy x dx Fy' Ví dụ Cho hàm số y = y(x) xác định phương trình: y y x Hãy tính y'(1) Ví dụ Cho hàm số y = y(x) xác định phương trình: x2 y Hãy tính y’(x) Ví dụ Cho hàm số y = y(x) xác định phương trình: x y 25 Hãy tính y’(x) II.3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT HÀM SỐ KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN Định lý Nếu f '( x ) với x (a, b ) hàm số f tăng khoảng (a, b) Nếu f '( x ) với x (a, b ) hàm số f giảm khoảng (a, b) Nếu f '( x ) với x (a, b ) hàm số f hàm khoảng (a, b) Ví dụ Tìm khoảng tăng, giảm hàm số f ( x ) 2x x2 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Cho đồ thị hàm số y = y(x) đường cong (c) Phương trình tiếp tuyến với (c) điểm ( x0 , y0 ) là: y y0 f '( x0 )( x x0 ) , f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong f ( x) 2x2 x điểm (- 2; 0) KHẢO SÁT CỰC TRỊ a) Cực trị địa phương Định lý Nếu f '( x ) x f '( x ) đổi dấu qua x x điểm cực trị địa phương hàm số f ( x ) Cụ thể, đổi dấu từ + sang – x điểm cực đại địa phương Còn đổi dấu từ – sang + x điểm cực tiểu địa phương Định lý Nếu f '( x ) x f ''( x ) x điểm cực đại địa phương Nếu f '( x ) x f ''( x ) x điểm cực tiểu địa phương b) Cực trị toàn cục Định lý Nếu hàm số f ( x ) liên tục đoạn [a, b] có đạo hàm khoảng (a, b) có giá trị lớn giá trị nhỏ [a, b] Lưu ý Để tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x ) đoạn [a, b], ta tìm đạo hàm f '( x ) giải phương trình f '( x ) để tìm tất điểm dừng Sau tính giá trị hàm số f ( x ) điểm dừng so sánh với f(a), f(b) để suy GTLN, GTNN Để tìm GTLN, GTNN hàm số f ( x ) khoảng mở (hữu hạn vơ hạn) cần lập bảng biến thiên hàm số khoảng 2x Ví dụ Tìm cực trị địa phương hàm số f ( x ) x 1 Ví dụ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau đoạn [0; 1]: f ( x) e x e2 x Ví dụ Tìm cực tiểu hàm số y x x ( x 0) Ví dụ Tìm khoảng tăng, giảm cực trị địa phương hàm số x , x f ( x ) x3 , x / x , x KHẢO SÁT TÍNH LỒI, LÕM ĐIỂM UỐN Định lý Nếu f ''( x ) với x (a, b ) hàm số f lồi ngặt khoảng (a, b) Nếu f ''( x ) với x (a, b ) hàm số f lõm ngặt khoảng (a, b) Nếu f ''( x ) x f ''( x ) đổi dấu qua x x điểm uốn hàm số f (x ) Ví dụ Tìm khoảng lồi, lõm điểm uốn hàm số f ( x ) x ln x Ví dụ Cho hàm số f ( x) x 2x e a) Tìm cực đại cực tiểu địa phương hàm số b) Xét tính lồi lõm điểm uốn đồ thị hàm số Ví dụ Một công ty sản xuất thấy x (đơn vị tính: ngàn sản phẩm) bán giá sản phẩm thị trường p( x ) 1200 x2 16 (đơn vị tính: la) a) Hãy viết hàm doanh thu R( x ) (cho biết đơn vị tính) b) Tìm số sản phẩm bán để công ty đạt doanh thu cực đại Tìm doanh thu cực đại CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN III.1 KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Cho không gian R2 ( x, y) : x, y R tập hợp D R2 Ánh xạ R f : D ( x, y) z f ( x, y) gọi hàm hai biến xác định tập hợp D Như vậy, cặp số thực ( x, y ) D tương ứng với số thực z f ( x, y) Ta gọi biến số x, y biến số độc lập, biến số z biến số phụ thuộc vào x, y ; f ( x, y) giá trị hàm hai biến ứng với cặp số thực ( x, y ) D Ví dụ Cho D R2 , f ( x, y) x3 y2 xy Thế tập xác định hàm số khơng gian R2 , ứng với cặp số ( x, y) (2, 1) D , ta có z f (2, 1) 23 ( 1)2 2.( 1) Ứng với cặp số ( x, y) (3,2) D , ta có z f (3,2) 33 22 3.2 29 TẬP XÁC ĐỊNH Thông thường cho hàm số, người ta phải cho trước tập xác định D cho ánh xạ f để tính giá trị tương ứng hàm số Tuy nhiên, nhiều trường hợp, người ta cho ánh xạ f mà không cho tập xác định Khi đó, ta quy ước tập xác định D hàm số tập hợp cặp số ( x, y) R2 cho giá trị biểu thức f ( x, y) số thực Ví dụ Cho hàm số biểu thức f ( x, y) y x2 Rõ ràng, muốn f ( x, y) số thực, ta phải có y x2 Như vậy, tập xác định hàm số tập hợp D ( x, y) R2 : y x2 ( x, y) R2 : y x2 Chẳng hạn, ( x, y) (1,2) D,( x, y) (2,1) D Ví dụ Tìm tập xác định hàm số f ( x, y) ln(2 x y 1) Giải Ta có tập xác định hàm số cho D ( x, y) R2 : x y ( x, y) R2 : y x Chẳng hạn, ( x, y) (2,4) D,( x, y) (2,5) D Ví dụ Tìm tập xác định hàm số a) z ln( y x 1) b) z x2 y2 x2 y2 10 An AA A ( n lần) 1 2 Ví dụ 13 Cho ma trận A Khi 3 1 2 1 2 5 10 A2 . 3 3 15 10 5 10 1 2 35 30 A A A . 15 10 3 45 10 Chú ý: Thứ tự thực phép toán ma trận tương tự số: nhân trước, cộng sau Phép trừ A B xem hệ phép cộng phép nhân với số: A B A ( 1) B Ví dụ 14 Hãy thực phép tốn sau 2 1 2 5 a) 1 0 ; b) 4 2 3 2 1 3 1 4 3 3 t 3 1 2 1 t 2 2 3 c) ; d ) 0 ; e) 2 4 3 2 1 2 1 3 CÁC TÍNH CHẤT Giả sử phép tốn thực Khi ta có tính chất sau phép tốn ma trận A B B A, A O A, A ( A ) O, A ( B C ) ( A B) C, A( BC ) ( AB)C, A A, AI IA A,( ) A ( A ), ( ) A A A, ( A B) A B Ví dụ 15 Cho ma trận 1 1 2 A ;B 3 1 1 2 ; C 1 2 Hãy tính ma trận M ABC cách sau đây: a) Tính A (BC ) b) Tính ( AB )C Ví dụ 16 Cho ma trận 2 1 0 3 A ; B 4 4 1 Hãy tìm ma trận X, biết a) X 3A 2B ; c) 2X 3A B b) 2X 2A B d) 2A 4B 2X 20 VI.2 ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM a) Định thức cấp một: định thức ma trận vuông cấp A a11 Khi ta có det A a11 a11 Ví dụ A 4 , detA 4; B 3 ,det B 3 a a b) Định thức cấp hai: định thức ma trận vuông cấp hai A 11 12 a21 a22 a11 a12 a11a22 a21a12 Khi det A a21 a22 Ví dụ 3 2 A ,det A 2.7 4.3 2; ( 3).2 5.4 26 4 Ví dụ Cho ma trận 3 2 A ;B 4 5 Hãy tính định thức: A ; B ; AB a11 c) Định thức cấp ba: định thức ma trận vuông cấp ba A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 Khi a11 det A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a a a a12a23 a31 a13 a21a32 a23 11 22 33 a31a22 a13 a32 a23 a11 a33 a21a12 a33 Ví dụ 1 2.1.1 ( 1).2.( 3) 3.0.2 ( 3).1.3 2.2.2 1.0.( 1) 3 Ví dụ Tính định thức sau 2 a) 1 m b) 1 m Ví dụ Tìm m để định thức sau 2 a) m 3 m 2m b) m2 1 1 21 d) Định thức bù - phần bù đại số Cho A aij nn ma trận vng cấp n Khi đó, định thức thu từ A cách xố dòng i cột j gọi định thức bù phần tử aij , i j kí hiệu Dij Số Aij ( 1) Dij gọi phần bù đại số phần tử aij 1 Ví dụ Cho ma trận A 4 Ta có 7 a11 1, D11 3, A11 ( 1)11 D11 3 a12 2, D12 6, A12 ( 1)1 D12 Ví dụ a) Xét ma trận a11 2, D11 7, A11 A ; , 4 a12 3, D12 4, A12 4 a11 A11 a12 A12 det A b) Tương tự, xét ma trận a11 2, D11 3, A11 3; 1 a12 1, D12 6, A12 6; A ; a13 3, D13 3, A13 3; 3 a11 A11 a12 A12 a13 A13 det A e) Định thức cấp n Cho A aij nn ma trận vuông cấp n Khi định thức A gọi định thức cấp n tính công thức det A a11 A11 a12 A12 a1n A1n 2 1 2 Ví dụ Cho ma trận vuông cấp bốn A 2 0 3 1 1 2 Thế det A A11 A12 A13 A14 2 2 2 Mà A11 31; A13 1 25; A14 2 11 3 2 3 2 3 Vậy det A 2 22 Ví dụ 10 Tính định thức cấp bốn 3 0 1 1 2 CÁC TÍNH CHẤT Định thức cấp có tính chất sau det A det At (Hai ma trận chuyển vị có định thức nhau) Định thức có dòng Định thức có hai dòng giống tỉ lệ với Nhân tử chung dòng đem ngồi định thức Định thức ma trận tam giác tích phần tử thuộc đường chéo Nếu đổi chỗ hai dòng định thức đổi dấu Định thức khơng hay đổi, cộng vào dòng phần tử tương ứng dòng khác nhân với số Các tính chất thay chữ “dòng” chữ “cột” Cơng thức định nghĩa định thức cấp n thay dòng dòng khác, nghĩa det A ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain , i 1,2, , n 10 Tương tự ta có cơng thức khai triển định thức theo cột bất kì: det A a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj , j 1,2, , n 3 1 1 Ví dụ 11 det det 2 ; 0 0; 3 1 4 10 0 Ví dụ 12 ; 1.4.6; 2.4.7 2 2 0 6 3 3 ; 1 4 7 4 7 Ví dụ 13 3 12 0 2 3 Ví dụ 14 1 A31 A32 A33 3 A12 A22 A32 Sử dụng tính chất trên, ta dễ dàng tính định thức cấp cao Ví dụ 15 4 4 4 1 2 7 1 2 7 1 2 7 160 2 8 10 0 4 0 4 7 10 13 0 36 0 40 23 Ví dụ 16 Hãy tính định thức sau 1 1 1 1 a) 1 1 1 1 1 1 1 c) 1 17 1 5 b) d) 13 39 49 32 37 4 1 8 4 0 2 VI.3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO KHÁI NIỆM Định nghĩa: Cho A aij nn ma trận vuông cấp n Ma trận B thỏa mãn điều kiện AB BA In gọi ma trận nghịch đảo A kí hiệu B A1 1 2 ;B Ví dụ A 1 1 Khi ta có AB BA I2 nên B A1 Chú ý: Nếu B A1 A B1 Do ta nói A B ma trận nghịch đảo Định nghĩa: Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo A1 ta nói A ma trận khả nghịch, hay khả đảo ĐIỀU KIỆN KHẢ NGHỊCH Định lý: Để ma trận vuông A khả nghịch, cần đủ det A 1 Ví dụ Ma trận A khả nghịch (theo ví dụ 1) ta thấy det A Ví dụ Các ma trận sau có khả nghịch khơng? 1 2 2 a) ; b) 4 ; c) 1 2 3 Ví dụ Tìm a để ma trận 1 A 1 a 0 khả nghịch PHƯƠNG PHÁP TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Có hai phương pháp tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông a) Phương pháp định thức: (sử dụng phần bù đại số) Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng A aij , ta cần: nn 24 Tính det A - Nếu det A kết luận ma trận A khơng có ma trận nghịch đảo - Nếu det A A có ma trận nghịch đảo A1 Tính phần bù đại số tất phần tử aij A Lập ma trận phụ hợp từ phần bù đại số thu PA Aij nn Tính ma trận nghịch đảo A1 det A PAt 1 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A 1 Ta có det A 1; A11 3, A12 1, A21 2, A22 t 1 1 1 2 PA ; A 1 2 2 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận 1 1 A 2 2 3 Ta có det A 6; A11 11, A12 12, A13 7, A21 7, A22 6, A23 5, A31 1, A32 0, A33 1; t 11 11 12 7 11 12 7 1 PA 7 ; A 7 5 1 6 5 1 1 1 1 6 1 6 0 Ví dụ Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phương pháp định thức 4 2 a) A ; 3 1 b) B 1 1 0 Ví dụ Cho ma trận 1 1 A ; 1 1 2 B ; 2 1 C 3 Hãy tìm ma trận X, biết a) AB ACX b) A 2CX B b) Các phép biến đổi sơ cấp ma trận bất kì: Ta gọi phép biến đổi sau phép biến đổi sơ cấp dòng ma trận bất kì: Đổi chỗ hai dòng tuỳ ý ma trận Nhân tất phần tử dòng với số khác 25 Cộng vào dòng phần tử tương ứng dòng khác nhân với số Tương tự ta có phép biến đổi sơ cấp cột ma trận Ví dụ 1 2 1 2 1 0 A 3 2 3 0 1 1 3 5 0 1 2 1 0 1 0 7 0 25 21 6 0 0 25 21 6 0 2 1 7 4 7 6 3 1 6 2 1 7 25 21 6 0 0 c)Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp biến đổi sơ cấp: Để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vng A aij , ta lập ma trận mở rộng nn có dạng A In Sau biến đổi sơ cấp dòng ma trận thành ma trận có dạng In B Nếu phép biến đổi thực B A1 Ví dụ 10 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A 1 2 phép biến đổi sơ cấp dòng Lập ma trận mở rộng biến đổi sơ cấp dòng, ta Vậy 1 1 1 2 A I2 1 0 1 0 1 2 A 1 1 Ví dụ 11 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phép biến đổi sơ cấp dòng 1 2 A 3 1 1 Lập ma trận mở rộng biến đổi sơ cấp dòng, ta 1 2 0 1 2 0 A I 3 0 0 5 6 3 1 1 0 0 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 5 6 3 0 1 5 26 1 0 1 0 6 0 2 1 Ví dụ 12 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phép biến đổi sơ cấp dòng 1 A 1 1 1 0 Ví dụ 13 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau phép biến đổi sơ cấp dòng a) 1 1 1 A 2 2 2 2 1 4 b) 0 0 A 2 0 0 2 1 2 1 2 0 1 VI.4 HẠNG CỦA MA TRẬN KHÁI NIỆM a) Định thức con: Cho ma trận A aij mn Định thức gồm phần tử thuộc giao định thức cấp k A k dòng k cột tuỳ ý A gọi 1 Ví dụ Cho ma trận A 5 9 10 11 12 Ta xét vài định thức A - Định thức cấp một: (giao dòng với cột 3); - Định thức cấp hai: - 8 (giao dòng 1,2 với cột 2,4); Định thức cấp ba: (giao ba dòng với cột 1, 2, 3) 10 11 Ngồi ma trận A có định thức cấp ba khác, tất định thức cấp ba A Các định thức cấp cao không tồn b) Hạng ma trận: Ta nói hạng ma trận A p A có định thức cấp p khác 0, định thức cấp cao khơng tồn Khi ta viết rank( A ) p r( A ) p 27 Ví dụ Cho ma trận 1 A 5 9 10 11 12 Ta có định thức cấp hai A khác 0, định thức cấp cao không tồn Do hạng A Để ý A có định thức cấp khác 0, nhiên hạng Như vậy, hạng ma trận cấp cao định thức khác Ví dụ Cho ma trận bậc thang 1 0 B 0 0 5 10 11 12 0 0 Ta thấy B có định thức cấp ba 60 0 10 khác 0, định thức cấp bốn chứa dòng Vậy hạng B 3, số dòng có phần tử khác khơng Ta có tính chất sau hạng ma trận TÍNH CHẤT Hạng ma trận bậc thang số dòng có phần tử khác Mọi phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi hạng ma trận Từ hai tính chất trên, ta có phương pháp tìm hạng ma trận: Để tìm hạng ma trận, ta biến đổi thành ma trận bậc thang áp dụng tính chất để kết luận Ví dụ Tìm hạng ma trận 1 A 5 9 10 11 12 Ta biến đổi ma trận cho thành ma trận bậc thang: 1 1 1 A 5 0 4 8 12 0 4 8 12 A ' 9 10 11 12 0 8 16 24 0 0 ma trận bậc thang Theo tính chất 2, ta có rank( A ) rank( A ') ; Theo tính chất ta lại có rank( A ') Vậy rank( A ) Ví dụ Tìm hạng ma trận sau theo tham số m 1 3 C 3 2 2 3 8 m 3 m 28 Ta biến đổi C thành ma trận bậc thang: 1 1 0 1 1 1 1 1 1 C C' 0 1 1 m 0 0 m 0 1 1 m 0 0 2 m r( C ) r( C ') 3 m Ta có Ví dụ Tìm hạng ma trận sau đây: a) 1 1 1 A 2 2 2 2 1 4 b) 1 1 1 B 2 2 2 2 1 4 Ví dụ Tìm m để ma trận sau có hạng 1 1 A 1 1 3 2 m CHƯƠNG VII HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VII.1 KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình có dạng a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 22 2n n (1) am1 x1 am2 x2 amn xn bm aij , bi số cho trước, x j ẩn số ( i 1,2, , m; j 1,2, , n) Trong (1) ta thấy có m phương trình n ẩn số Đặt A aij ma trận hệ số ẩn, m n B bi m1 X x j n1 ma trận hệ số tự do, ma trận ẩn số Khi hệ phương trình (1) viết dạng ma trận AX B (2) NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Nghiệm hệ phương trình tuyến tính gồm n số thứ tự (1,2, ,n ) cho thay x j j ( j 1, 2, , n ) vào tất phương trình hệ, ta đẳng thức 29 x x x 1 Ví dụ Cho hệ phương trình tuyến tính 2 x1 x2 x3 11 Ta có x1 1 3 1 A , B , X x2 2 11 x3 Thay x1 3, x2 1, x3 vào hai phương trình trên, ta đẳng thức Vậy nghiệm hệ phương trình cho (3,1,2) Nghiệm hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận Chẳng hạn, hệ 3 phương trình có nghiệm 1 2 Ta thử lại cách xét tích ma trận tương ứng: 3 1 3 1 AX 1 B 2 2 11 ĐIỀU KIỆN CĨ NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH Để hệ phương trình (1) có nghiệm, cần đủ rank( A B) rank( A) , A B ma trận mở rộng, thu cách viết thêm ma trận B vào bên phải ma trận A Ví dụ Xét hệ phương trình ví dụ trên, ta có ma trận mở rộng: 1 3 1 1 3 1 A B A ' B ' 2 11 0 1 13 Suy rank( A ) rank( A ') 2; rank( A B) rank( A ' B ') Vậy rank( A B) rank( A) Ví dụ Hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng? x1 x2 x3 x1 x2 x3 x4 2 x x x a) x1 x2 x3 x4 ; b) 2 x x x x x1 x2 x3 x1 x2 x3 Ta tìm hạng ma trận tương ứng 1 a) A B 3 1 2 2 1 0 0 2 1 4 1 2 2 4 10 1 0 4 10 1 A ' B ' 0 0 4 10 30 Ta có rank( A ) rank( A ') 2; rank( A B) rank( A ' B ') Suy rank( A B) rank( A) Vậy hệ phương trình cho khơng có nghiệm b) 1 A B 1 1 2 1 2 2 4 1 1 1 1 A ' B ' 0 1 0 1 2 1 2 0 1 1 0 0 Ta có rank( A ) rank( A ') 3; rank( A B) rank( A ' B ') Suy rank( A B) rank( A) Vậy hệ phương trình có nghiệm Ví dụ Hệ phương trình sau có nghiệm hay khơng? x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 x 5x 9x 8x VII.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP (còn gọi phương pháp Gauss) Giả sử hệ phương trình (1) có nghiệm, nghĩa rank( A B) rank( A) Xét hai trường hợp xảy sau a ) rank ( A B ) rank ( A ) n Khi đó, từ ma trận bậc thang A ' B ' thu tìm hạng ma trận, ta lập hệ phương trình giải ngược từ lên để tìm ẩn số Ví dụ Giải hệ phương trình x1 x2 x3 2 x x x x1 x2 x3 x1 x2 x3 Theo ví dụ 3b) VII.1, ta có rank( A B) rank( A) Từ ma trận bậc thang A ' B ' , ta lập hệ phương trình x1 x2 x3 x1 x2 1 x2 x x3 2 Ví dụ Giải hệ phương trình sau x 2x 2x x 3x 3x 2 x x x b ) rank ( A B ) rank ( A ) k n Khi ma trận A ' tồn định thức cấp k khác 0, k ẩn số tương ứng với định thức gọi ẩn hệ phương trình, lại n k ẩn gọi ẩn tự Từ ma trận 31 bậc thang A ' B ' ta lập hệ phương trình chuyển ẩn tự sang vế phải Sau giải ngược từ lên để tìm ẩn Cho ẩn tự giá trị tuỳ ý ta thu tập hợp tất nghiệm hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình sau x1 x2 x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 x 5x 9x 8x Lập ma trận mở rộng A B , sau vài phép biến đổi sơ cấp (xem lại ví dụ mục VII.1), ta thu ma trận bậc thang có dạng 1 2 A ' B ' 0 7 1 0 0 0 Ta có rank( A B) rank( A) Trong ma trận A ' ta chọn định thức ẩn chính, lại hai ẩn số hệ phương trình x3 , x4 , hai ẩn số x1, x2 ẩn tự Từ ma trận bậc thang ta có x1 26 x3 17 x4 x 1 x x x1 x2 x3 x4 x x x x x4 Chú ý: Trường hợp a ) hệ phương trình có nghiệm; Trường hợp b ) hệ có vơ số nghiệm Có nhiều cách chọn định thức khác khơng, từ có nhiều cách chọn ẩn chính, ẩn tự Tuy nhiên nên chọn ẩn cho việc tìm chúng sau thuận lợi Chẳng hạn, ví dụ 3, ta chọn định thức khác ẩn 7 x1, x3 , suy ẩn tự x2, x4 Khi việc tìm ẩn theo ẩn tự khó khăn Ví dụ Giải hệ phương trình sau x4 x 2x x1 x x x 3x x 5x 7x 32 Ví dụ Giải hệ phương trình sau x x 3x x b) x x x 2x 4x x 6x 5x 4x y 5z a) x y 3z 2x y z Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m x y z 2t m x y z t 2m x y 5z t m Xét ma trận mở rộng 1 2 A B 1 1 1 2 0 2 0 0 1 2 m m 1 2m 1 0 2 1 m 1 0 6 3 5 1 m m 1 m A ' B ' 3m - Nếu m 1 rank( A B) rank( A) nên hệ phương trình vơ nghiệm - Nếu m 1 rank( A B) rank( A) nên hệ phương trình có vơ số nghiệm Trong ma trận A ' ta chọn định thức ẩn chính, lại hai ẩn số bậc thang, ta có hệ phương trình 1 , hai ẩn số 1 y, z ẩn tự Thay x, t m 1 vào ma trận x 1 y z y x 2t 1 y z z t 3 y z t y z Ví dụ Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m x y 3z z 0 2x y 7z m PHƯƠNG PHÁP CRAMER Xét hệ phương trình (1), số phương trình số ẩn số Khi A ma trận vng cấp n Ta có định lý Cramer sau Định lý Nếu A ma trận vng có định thức khác hệ phương trình (1) có nghiệm tính cơng thức xj Dj ( j 1,2, , n) det A D j định thức thu từ A cách thay cột j ma trận B 33 Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer x1 x2 x3 2 x1 x2 x3 21 7x x 3x Ta có 1 1 6 A 2 4 ; B 21 ;det A 12 ; 7 1 3 1 1 1 D1 21 4 0; D2 21 4 36; D3 21 36 1 3 3 1 Vậy nghiệm hệ phương trình cho x1 x2 x 3 Ví dụ Giải hệ phương trình sau phương pháp Cramer x1 x2 x3 x1 x2 x3 3 x x x PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO (đọc thêm) Ta xét hệ phương trình (1) A ma trận vng có định thức khác Khi đó, biết, A có ma trận nghịch đảo A1 Nhân hai vế phương trình ma trận AX B với A1 từ bên trái ta nghiệm hệ phương trình X A1B Ví dụ 10 Giải hệ phương trình sau ma trận nghịch đảo x1 x2 x3 x1 x2 x x x 1 Ta có 1 2 3 x1 1 1 A 3 ; B 2 ; X x2 ; A 6 1 1 1 x3 2 1 Vậy nghiệm hệ phương trình X A 1 3 1 1 B 6 2 2 1 1 3 34 ... thức cấp p khác 0, định thức cấp cao không tồn Khi ta viết rank( A ) p r( A ) p 27 Ví dụ Cho ma trận 1 A 5 9 10 11 12 Ta có định thức cấp hai A khác 0, định thức cấp cao khơng... x 1)( x 2) ; x3 d) y ĐẠO HÀM CẤP CAO ln x x2 ' a) Đạo hàm cấp hai y '' y ' b) Đạo hàm cấp n bất kì: y( n) y( n1) ' Ví dụ Tính đạo hàm cấp hai hàm số sau a) y ln x b) y ... dòng 1,2 với cột 2,4); Định thức cấp ba: (giao ba dòng với cột 1, 2, 3) 10 11 Ngồi ma trận A có định thức cấp ba khác, tất định thức cấp ba A Các định thức cấp cao không tồn b) Hạng ma trận: