Một số bài tập môn toán cao cấp 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP A2 I. Giới hạn a. lim x0  1 + 3x 5   1 2x 7 sin5x b. lim x0 ln(cos3x)  e 2x 1  sinx c. lim x4  x 2 x 2 5x + 4 d. lim x0 1 + sinx cosx 1 + sin3x cos3x e. lim x2 x x 2 2 x 2 f. lim x  2  tanx  2x g. lim x0  cotx  1 x  h. lim x2  x 2 4  tan x 4 i. lim x+ x. e x k. lim x0  cos  x x l. lim x0  1 sin2x  cotx m. lim x+  x 2 1 x 2 + 1  x 2 +5 n. lim x0  1 + tanx 1 + sinx  1 sin 3 x o. lim x0  sinx x  1 x 2 II. Đạo hàm – vi phân 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau: a . y = sin  2 ln arctan x 3   b . y =  x +  x 2 + 1 c . y = ln  1 sinx 1 + sinx d. y =  sinx  tanx e. y = arccot  1 x 1 + x  f . y = cos 2 x. cos3x + cosx 3 . sin 1 x 2. Tìm đạo hàm cấp n của các hàm số bằng phương pháp qui nạp toán học a. y = 1 2x 1 b. y = 1 x 2 1 c . y = x x + 1 d. y = ln  1 x  e. y = e x . ln  x + 1  f. y = x x + 1 . sinx g. y = sinx 1 x h. y = e x . sin2x 3. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số a.  x = cost y = sint  b.  x = 2t t 2 y = 3t t 3  c. y = x 1 + x 2 d. r = 2 + 2cos III. Tích phân 1. Tính các tích phân xác định sau: a.  x 1  x + 1 9 4 dx b.  dx  x + 9   x 16 0 c.  dx x  1 + lnx e 3 1 d.  dx 1 + cosx  2    2  e.  x sin 2 x dx  3   4  f.  ln(1 + x) e 2 1 0 dx g.   cosx cos 3 xdx  2    2  h.   1 + x 2 x 2 dx  3 1 i.   1 e 2x ln2 0 dx k.  dx x 3 + x 2 1 l.  x 3 x 2 3x + 2 dx 1 2  0 m.  e x  e x 1 e x + 3 ln 5 0 dx n.  x + 2 2x 2 + 3x 2 dx 3 2 o.  tan 5 xdx  4  0 p.  e x cosx  2  0 dx 2. Tính các tích phân suy rộng: a.  dx x  x 2 1 +  2 b.  dx x  x 2 + 1 + 1 c.  e   x + 0 dx d.  arc x 2 +  3 dx e.  e x sinx + 0 dx f.  dx xlnx e 0 g.  dx x 3 1 2 1 h.  dx x 2 4x + 3 2 0 i.  dx 1 + cosx  0 k.  ln  1 + x 2  x + 1 dx l.  e x 2 x 2 + 1 dx m.  1 + x 2 x 3 + 1 dx n.   x. e x + 0 dx o.  dx xlnx + 2 p.  sinx x 2 +  2  dx 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: a) x – y – 1 = 0, y 2 = 2x + 1 b) y = x 2 2 , y = 1 1+x 2 c) y = lnx, y = ln 2 x d) y = cosx, y = sinx; 0 x 2 e) y = e x , trục Oy và tiếp tuyến của y = e x tại điểm có hoành độ x = 1 f) y = x 3 , y = 4x g)  x = 1 sint y =  1 + sint  cost  , trục Ox, 0 <  9 2 4. Tính độ dài các đường cong: a) y = lnx với 1 x e b) x = cos 3 t, y = sin 3 t , 0 2 c) x = 2cost, y = sint, 0 2 5. Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục Ox a) y = 4x x 2 và y = x b) y = e x , x = 0, x = 1 và y = 0 c) y = x 2 , y = 8x d) y = 1 1+x 2 , y = x 2 2 IV. Chuỗi 1. Tìm tổng riêng và tổng của các chuỗi số: .  1   + 1   =1 .  1   + 2   =1 .  3  + 2  6   =1 .  2+ 1  2  + 1  2  =1 2. Xét sự hội tụ - phân kỳ của các chuỗi số: a.  1 n 2 .  2 3  n  n=1 b.  1 ln  n + 1   n=1 c.  sin   3 n   n=1 d.   n   n + 1   n=1 e.  n 2 4 n  n=1 f.  n! 4 n  n=1 g.  1 n  n 3   n  n=2 h.  7 3n  2n 5  !  n=3 i.   n!  2  2n  !  n=1 k.  2 n . n! n n  n=1 l.  n 2 sin   2 n   n=1 m.  1 cos  n   n=1 n.  n 3n 1  2n1  n=1 o.  n 1 n + 1  n  n+1   n=1 p.  1 3 n  n + 1 n  n 2  n=1 q.  1 n. lnn  n=2 r.  1 ln  n!   n=2 s.  1  n + 1  ln 2 n  n=2 t.  n. tan   2 n+1   n=1 u.   1  n+1 2 n 2 n!  n=1 v.   1  n 2n + 1 n 2 + 1  n=1 w.   1  n n. lnn  n=2 x.   1  n  2n + 1 3n + 1  n  n=1 3. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm: a.  1 n. 2 n . x n  n=1 b.  n n + 1  x 2  n  n=1 c.   n!  2  2n  ! x n  n=1 d.  3 n n 2  x 1  n  n=1 e.   x + 2  n n. 3 n  n=1 f.  1 n 2  x + 1  n  n=1 g.   x + 2  n n  n + 1   n=1 h.  n  x + 1  n  n=1 i.  1 2 n  x 2  n  n=1 k.   n  x 2  n  n=1 l.  x n sin   2 n   n=1 m.  2 n sin  x 3 n   n=1 n.  sin  nx  n 2  n=1 o.  1 n! x n  n=1 p.  1 1 + x n  n=1 4. Tìm tổng của các chuỗi hàm: a.  x 2n1 2n 1  n=1 = x + x 3 3 + x 5 5 + + x 2n1 2n 1 + với  x  < 1 b.   1  n1 x 2n1 2n 1  n=1 = x  x 3 3 + x 5 5 +  1  n1 x 2n1 2n 1 +  với  x  < 1 c.  n.  n + 1  x n1  n=1 = 1.2 + 2.3x + 3.4x 2 + + n.  n + 1  x n1 +  với  x  < 1 . cosx  2    2  e.  x sin 2 x dx  3   4  f.  ln(1 + x) e 2 1 0 dx g.   cosx cos 3 xdx  2    2  h.   1 + x 2 x 2 dx  3 1 i.   1 e 2x ln2 0 dx k.  dx x 3 + x 2 1 . l.  x 3 x 2 3x + 2 dx 1 2  0 m.  e x  e x 1 e x + 3 ln 5 0 dx n.  x + 2 2x 2 + 3x 2 dx 3 2 o.  tan 5 xdx  4  0 p.  e x cosx  2  0 dx 2. Tính các tích phân suy rộng: a.  dx x  x 2 1 +  2 . ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP A2 I. Giới hạn a. lim x0  1 + 3x 5   1 2x 7 sin5x b. lim x0 ln(cos3x)  e 2x 1  sinx c. lim x4  x 2 x 2 5x + 4 d. lim x0 1 +