Bài giảng môn toán cao cấp 3

Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bịchặn thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trongmiền ấy, nó liên tục đều trong miền

BÀI GIẢNG

MÔN: TOÁN CAO CẤP 3

Mùa Thu, 08-2014

1 Hàm số nhiều biến số 1

1.1 Khái niệm về hàm nhiều biến 1

1.1.1 Định nghĩa hàm hai biến (ba biến) 1

1.1.2 Giới hạn của hàm nhiều biến 3

1.1.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến số 5

1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến số 5

1.2.1 Đạo hàm riêng và cách tính 5

1.2.2 Vi phân của hàm hai biến số 7

1.2.3 Đạo hàm của hàm số hợp và hàm số ẩn 9

1.2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 12

1.2.5 Đạo hàm theo hướng Gradient 14

1.3 Cực thị hàm nhiều biến 15

1.3.1 Cực trị không có điều kiện 15

1.3.2 Cực trị có điều kiện 17

1.3.3 Cực trị của hàm nhiều biến 18

1.3.4 Cực trị không có điều kiện 18

1.3.5 Cực trị có điều kiện 20

2 Tích phân bội 25 2.1 Tích phân kép 25

2.1.1 Bài toán dẫn đến tích phân kép 25

2.1.2 Định nghĩa tích phân bội 2: 26

2.1.3 Các tính chất của tích phân bội 2 28

2.1.4 Cách tính tích phân kép trong hệ trục toạ độ Đề các 30

2.1.5 Đổi biến trong tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực 34

2.2.2 Tính diện tích hình phẳng 38

2.2.3 Ứng dụng cơ học của tích phân kép 38

2.3 Tích phân bội ba 40

2.3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân bội ba 43

2.3.2 Định nghĩa tích phân bội ba 44

2.3.3 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ đề các 45

2.3.4 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ 50

2.3.5 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu 53

2.3.6 Một vài ứng dụng của tích phân bội ba 55

3 Tích phân đường và mặt 62 3.1 Tích phân đường loại một 62

3.1.1 Định nghĩa 62

3.1.2 Cách tính 66

3.1.3 Ứng dụng 69

3.1.4 Nhắc lại kiến thức 70

3.2 Tích phân đường loại hai 70

3.2.1 Định nghĩa 70

3.2.2 Cách tính 72

3.2.3 Công thức Green 75

3.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân 77

3.3 Tích phân mặt loại một 81

3.3.1 Định nghĩa 81

3.3.2 Cách tính 82

3.3.3 Ứng dụng của tích phân mặt loại một 83

3.4 Tích phân mặt loại hai 84

3.4.1 Định nghĩa 84

3.4.2 Cách tính 84

3.4.3 Công thức Stokes 84

3.4.4 Công thức Ostrograsky 84

4 Phương trình vi phân 85

4.1 Đại cương về phương trình vi phân cấp 1 86

4.1.1 Dạng tổng quát, khái niệm về nghiệm tổng quát và nghiệm riêng 86

4.1.2 Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm Bài toán Cauchy 87 4.2 Một số phương trình vi phân cấp 1 88

4.2.1 Phương trình dạng khuyết 88

4.2.2 Phương trình với biến số phân ly 91

4.2.3 Phương trình thuần nhất 92

4.2.4 Phương trình tuyến tính cấp 1 94

4.2.5 Phương trình Bernoulli 96

4.2.6 Phương trình vi phân toàn phần 97

4.2.7 Phương trình Clairaut 99

4.2.8 Phương trình Lagrange 100

4.3 Phương trình vi phân cấp 2 100

4.3.1 Các khái niệm về phương trình vi phân cấp 2 100

4.3.2 Bài toán Cauchy 101

4.3.3 Phương trình dạng khuyết 102

4.3.4 Phương trình tuyến tính thuần nhất 104

4.3.5 Phương trình tuyến tính không thuần nhất Phương pháp biến thiên hằng số Lagrange 106

4.3.6 Phương trình tuyến tính cấp hệ số không đổi 108

Hàm số nhiều biến số

1.1 Khái niệm về hàm nhiều biến

Định nghĩa 1.1 Xét trong không gian R2, D là một tập hợp trong R2 Khi đó, ánhxạ

f : D −→ R

u = (x, y) 7−→ v = f (x, y)được gọi là một hàm số hai biến số xác định trên D D được gọi là miền xác địnhcủa hàm f ; x, y được gọi là các biến số độc lập

Từ đó ta có thể định nghĩa hàm nhiều biến như sau:

Xét trong không gian Euclid n chiều Rn Một phần tử là một bộ n số thực, D làmột tập hợp trong Rn Khi đó ánh xạ

f : D −→ R

u = (x1, x2, , xn) 7−→ v = f (x1, x2, , xn)

được gọi là một hàm số có n biến số xác định trên D; D được gọi là miền xác địnhcủa hàm f ; x1, x2, , xn được gọi là các biến số độc lập.

d(M, N ) = p(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ + (xn− yn)2 (1.1)Đặc biệt: Với n = 2, M (x1, x2) và N (y1, y2)

d(M, N ) = p(x1− y1)2+ (x2− y2)2 (1.2)Với n = 3, M (x1, x2, x3) và N (y1, y2, y3)

d(M, N ) =p(x1− y1)2+ (x2− y2)2+ (x3− y3)2 (1.3)

Ta thấy rằng Rnlà một không gian véc tơ trên trường số thực với tích vô hướng

đã định nghĩa trong chương không gian véc tơ nên ta có các tính chất sau:

M0 là một tập hợp nào đó chứa  - lân cận của điểm M0

Ví dụ 4 D0 = {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 < 1} - là một lân cận của điểm O(0, 0), với

 = 1

+Tập E là một tập hợp trong Rn Điểm M ∈ E được gọi là điểm trong của tập

E nếu tồn tại một - lân cận nào đó của điểm M nằm hoàn toàn trong E Tập Eđược gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong

Ví dụ 5 M0(

2,3) là điểm trong của tập D0 , D0 là tập mở.

+Điểm N ∈ Rn được gọi là điểm biên của tập E nếu mọi - lân cận của N vừachứa điểm thuộc E vừa chứa điểm không thuộc E Tập hợp tất cả những điểm biêncủa tập E được gọi là biên của tập E

+ Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín,

là đa liên nếu bị giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau từng đôi một

+ Trong không gian R2 ( trong mặt phẳng Oxy) tập liên thông được gọi là đơn liênnếu nó được giới hạn bởi một đường cong kín, là đa liên nếu nó được giới hạn bởinhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một

(phần này vẽ được hình minh họa thì tốt hơn)

Trong khuôn khổ của của cuốn bài giảng này chúng ta chỉ xét các hàm hai biếnhoặc ba biến Trường hợp số biến lớn hơn ba được xem xét tương tự

+ Dãy điểm Mn(xn, yn) dần tới điểm M0(x0, y0) trong R2 và viết Mn → M0 khi

n → ∞ nếu

lim

n→∞d(M, M0) = 0hay nếu

lim

n→∞xn= x0, lim

n→∞yn= y0Định nghĩa 1.2 Giả sử hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định trong một lân cận

D của điểm M0, có thể trừ tại M0 Ta nói rằng hàm số f (M ) có giới hạn A (hữuhạn) khi điểm M dần tới điểm M0 nếu ∀ > 0 bé tuỳ ý cho trước, ∃δ > 0 sao chod(M0, M ) < δ thì |f (x, y) − A| <  và kí hiệu là

+ Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm

số một biến số Chẳng hạn

1

x2+ y2 → +∞ khi (x, y) → (x0, y0)+ Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương, nguyên lý kẹp giữa của giới hạnhàm số một biến số cũng đúng cho hàm nhiều biến số

Ví dụ 8 Tìm lim

(x,y)→(0,0)

xy

px2 + y2 Thật vậy, ta thấy rằng hàm số f (x, y) xác định trên R2\ {(0, 0)} ,

xy

px2+ y2

px2+ y2 |y| ≤ |y| Mặt khác, lim

Chú ý Trong giới hạn của hàm số có một biến số thì khi x → x0 thì x có thể dần

từ hai phía, còn trong giới hạn của hàm hai biến thì khi điểm M (x, y) → M0(x0, y0)

có thể dần về theo mọi hướng trong R2 Và cũng tương tự như hàm một biến, đểgiới hạn hàm nhiều biến tồn tại thì khi điểm M → M0 theo mọi hướng hàm số đềuphải nhận được cùng một kết quả Đây cũng là tính duy nhất của giới hạn hàmnhiều biến

Ví dụ 9 Tìm lim

(x,y)→(0,0)

xy

x2+ y2.Thật vậy, ta thấy rằng hàm số f (x, y) xác định trên R2 \ {(0, 0)} , nếu cho(x, y) → (0, 0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có

1.1.3 Tính liên tục của hàm nhiều biến số

Định nghĩa 1.3 Hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định trong miền D, M0(x0, y0) ∈

D Ta nói rằng hàm số f (M ) liên tục tại M0 nếu tồn tại giới hạn:

lim

M →M 0

f (M ) = f (M0) hay lim

(x,y)→(x 0 ,y 0 )f (x, y) = f (x0, y0) (1.5)Nếu miền D đóng, M0 là một điểm biên của D thì lim

+ Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm số một biến sốliên tục Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong một miền đóng, bịchặn thì nó bị chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trongmiền ấy, nó liên tục đều trong miền ấy

Ví dụ 10 Xét tính liên tục của hàm sau tại điểm (0, 0):

lim

(x,y)→(0,0)

xy

px2 + y2 = 0 = f (0, 0)

Vậy, hàm số f (x, y) liên tục tại điểm (0, 0)

1.2 Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến số

Cho hàm số z = f (x, y) Nếu cho biến số y một giá trị không đổi y = y0 thì khi đóhàm f (x, y0) trở thành hàm số của một biến số độc lập x Giả sử hàm một biến này

có đạo hàm tại x0, tức là tồn tại

gọi là đạo hàm riêng cấp một của hàm hai biến z = f (x, y) đối với biến x tại điểm

M0(x0, y0) và ký hiệu là ∂f (x,y)∂x ; z0x hay f0x(x, y)

Hiệu ∆xz = f (x0 + δx, y0) − f (x0, y0) được gọi là số gia riêng của hàm số f (x, y)theo biến x tại điểm M0(x0, y0)

f0x(x0, y0) = lim

∆x→0

∆xz

∆xtương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y tại M0(x0, y0) và ký hiệu là

Ví dụ 1 Tính đạo hàm riêng của hàm hai biến số:

1.2.2 Vi phân của hàm hai biến số

Ta xét ví dụ sau đây:

Cho hình chữ nhật có chiều dài các cạnh là x, y khi đó diện tích của hình chữ nhật

là S = x.y Bây giờ nếu cho x và y các số gia ∆x, ∆y thì diện tích được tăng thêm là

∆S = (x + ∆).(y + ∆y) − x.y

= xy + x∆y + y∆x + ∆x.∆y − xy

= x∆y + y∆x + ∆x.∆y

từ đẳng thức trên ta thấy rằng số gia ∆S của diện tích ( tức là số gia của hàm số

S = a.y) có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, một số hạng là x∆y +y∆x

tỷ lệ với ∆x, ∆y vì ∆x, ∆y là những số đã biết (bậc nhất đối với với ∆x, ∆y) vàmột số hạng ∆x, ∆y là một vô cùng bé bậc cao hơn ∆x, ∆y khi ∆x, ∆y tiến đếnkhông Vì vậy với ∆x, ∆y bé thì ta có thể xem: ∆S = x∆y = y∆x, khi đó ta cócông thức khá chính xác để tính gần đúng ∆S

Định nghĩa 1.4 hàm z = f (x, y) được gọi là khả vi tại điểm M0(x0, y0) nếu số giatoàn phần Bây giờ ta tìm vi phân toàn phần của hàm số: z = x

Ta có f0x = 1, f0y = 0 vậy ta có dz = 1.∆x + 0.∆y = ∆x

Tương tự vi phân toàn phần của hàm số z = y là:

dz = dy = 0.∆x + 1.∆y = ∆y Vây đối với cá biến độc lập thì số gia và vi phântoàn phần trùng nhau, vì vậy vi phân toàn phần của hàm số z = f (x, y) có thể viết

dz = f0x(x, y)dx + f0y(x, y)dy

Một hàm số z = f (x, y) có vi phân tại một điểm (x, y) thì nó khả vi tại điểm đó.Chú ý: Qua phần ví dụ mở đầu, ta thấy rằng một hàm số hai biến số chỉ só đạohàm riêng tại một điểm thì chưa chắc đã khả vi tại điểm ấy mà chỉ khi các đạo hảmriêng đó liên tục, hàm số mới khả vi Ngược lại, nếu hàm số hai biến số khả vi tạimột điểm thì có các đạo hàm riêng tại diểm đó vì vậy đối với các hàm số hai biến

số khái niệm hàm số khả vi và hàm số có đạo hàm riêng là không tương đương

Đó cũng là điểm khác nhau căn bản của hai hàm hai biến và hàm một biến

Ví dụ 2 cho z = x.y Tính ∆z, dz tại điểm (2, 3) biết ∆x = 0, 1; ∆y = 0, 2

Ta có:

∆z = (2 + 0, 1)(3 + 0.3) − 2.3 = 0, 72

dz = 3.0, 1 + 2.0, 2 = 0, 7vậy ta thấy sai khác của ∆z và dz là 0,02

* Ứng dụng của vi phân toàn phần vào tính gần đúng

Viết lại công thức

∆z = f0x(x, y).∆x + f0x(x, y).∆y + γ1∆x + γ2∆y = dz + γ1∆x + γ2∆y (1.6)khi ∆x và ∆y khá bé, thì số hạng γ1∆x + γ2∆y không đáng kể so với

f0x(x, y).∆x + f0y(x, y).∆y = dznên có thể bỏ qua, khi đó ta có:

∆z = f0x(x, y).∆x + f0x(x, y).∆y ≈ dz (1.7)Công thức (1.3) cho thấy rằng khi ∆x và ∆y khá bé thì số gia toàn phần có thểxem xấp xỉ bằng vi phân toàn phần của hàm số Đó là công thức tính gần đúng sốgia của hàm số bằng vi phân

Người ta cũng dùng vi phân toàn phần để tính gần đúng giá trị hàm số tại mộtđiểm Bài toán đặt ra là: Biết giá trị của hàm số z = f (x, y) tại ddiemr x0, y0 và cácgiá trị đạo hàm riêng tại điểm ấy, cần tìm giá trị của hàm số tại lân cận của điểm(x0+ ∆x, y0+ ∆y), (∆x, ∆y có thể âm hoặc dương) Vì thông thường tính chínhxác giá trị hàm số tại các điểm (x0+ ∆x, y0+ ∆y) khá phức tạp hoặc có thể khôngthực hiện đúng hẳn được, do đó người ta phải tính gần đúng bằng công thức (1.3)như sau:

z = f [u(x, y), v(x, y)]

Định nghĩa 1.6 Cho D là một tập hợp trong R2 xét ánh xạ ϕ : D → R2, f : ϕ(D) →

Ví dụ 4 z = eusinv mà u = x + y; v = xy thì ta có z = ex+ysin(xy)

Vấn đề đặt ra ở đây là ta cần tính đạo hàm riêng của hàm số z theo hai biến độclập x và y tức là cần tính z0x và z0y của hàm số z = f [u(x, y), v(x, y)]

Giả sử các hàm số z, u, v đều có các đạo hàm riêng liên tục đối với các biến củachúng tức là tồn tại các đạo hàm riêng z0u, z0v, u0x, u0y

Bây giờ giữ y không đổi và cho x một số gia là ∆x thì u có số gia tương ứng là ∆xu,

v có số gia tương ứng là ∆xv, khi đó hàm số z = f [u(x, y), v(x, y)] là một hàm của

ột biến x nên z có số gia ∆xz và ∆yz được xác định như sau, từ công thức

∆xz = z0u∆xu + z0v∆xv + γ1∆xu + γ2∆xv, với γ1,γ2 là các vô cùng bế khi ∆x → 0Lập tỷ số ∆x z

⇒ z0x= z0u.u0x+ z0v.v0x.Hoàn toàn tương tự cũng có

z0y = z0u.u0y + z0v.v0yVậy ta có công thức

z0x = ex+ysin x.y + y.e(x+y)cos x.y

z0y = ex+ysin x.y + xex+ycos x.y1.2.3.2 Đạo hàm hàm sô ẩn

a) Hàm ẩn một biến số: Xét phương trình

Nếu ta cho x một giá trị xác đinh x0, từ phương trình F (xo, y) = 0 có thể tìm đượcmột hay nhiều giá trị y0 sao cho F (x0, y0) = 0 thì khi đó ta nói rằng biểu thức chứamột hay nhiều hàm số ẩn y theo biên x Chẳng hạn từ phương trình xa22 +yb22 = 1 tađược y = ±ba√

a2− x2

Phương trình ấy xác định hai hàm số ẩn trong đoạn [−a, a] Trong trường hợp này

ta tìm được biểu thức tường minh, trường hợp này không phải lúc nào cũng thực

hiện được, chẳng hạn từ hệ thức x = y (x > 0.y > 0) không thể tính được tườngminh y theo x.

Vấn đề dặt ra ở đây hãy tính đạo hàm của hàm số ẩn y theo biến x, tức là tính y0x

Vì y là một hàm của biến x nên ta có thể viết

F (x, y) = F (x, y(x)) = 0đạo hàm hai vế theo x ta được

F0

y

(Với giả thiết rằng F0

y 6= 0)vậy ta có công thức để tính đạo hàm của hàm số ẩn là:

y0x = −F

0 x

F0 y

Ví dụ 6 tính đạo hàm của hàm ẩn xác định từ phương trình :

x2

a2 + y

2

b2 = 1Đặt F (x, y) = xy22 +yb22 − 1 = 0

1.2.3.3 Hàm ẩn của hàm hai biến số

Nếu ứng với mỗi cặp (x, y) mà ta luôn tìm được một hay nhiều giá trị z sao cho

x, y, z thoả mãn phương trình F (x, y, z) = 0 thì ta nói rằng phương trình (1.2.4)xác định một hay nhiều hàm số ẩn của hai biến số x, y

Ví dụ 7 Phương trình x2+y2+z2 = R2xác định hai hàm số ẩn z theo hai biến x, y là

z = ±pR2− x2− y2

Bây giờ ta đi xét cách tính đạo hàm riêng z0x, z0y của z theo hai biến x, y

Ta thấy rằng z là hàm số của hai biến số x, y nên ta có viết lại phương trình:

F (x, y, z) = 0 ⇔ F (x, y, z(x, y)) = 0 khi đó để tính z0x thì ta xem y không đổi khi

đó ta trở lại đậo hàm của hàm số ẩn một biến số x và hàm phải tìm là z khi đó tacó

z0x = −F

0 x

F0 z

tương tự ta cũng có:

z0y = −F

0 y

F0 z

Ví dụ 8 cho hàm số ẩn hai biến số xác định bởi phương trình:

F 0

z = −e2xyz +1

z0y = −F

0 y

F0 z

• ∂y ∂y kí hiệu là ∂x2, z

y y lần thứ nhất lấy đạo hàm riêng theo y sau đó lạilấy đạo hàm riêng theo y một lần nữa

z00xx = 2y z00xy = 2x

z00yy = 2 z00yx = 2xTương tự như trên đạo hàm riêng của các đậo hàm riêng cấp hai gọi là các đạo hàmriêng cấp ba, đạo hàm riêng của các đậo hàm riêng cấp ba gọi là các đạo hàm riêngcáp bốn

Trường hợp hàm nhiều hơn hai biến trở lenn ccũng được định nghĩa tương tự nhưtrên

Định lí Schwart ( Sơ - vác -sơ) Nếu trong một lân cạn nào đó của điểm M (x0, y0)hàm số z = f (x, y) có các đạo hàm riêng f00xy, f00yx và các đạo hàm riêng đó liêntục tại điểm M (x0, y0) thì f00xy = f00yx

Ví dụ 10 cho hàm số z = x2y + y2 Ta đã tính ở trên thì ta có z00xy = 2x; z00yx= 2xvậy z00xy = z00yx

Xột hàm số z = f (x, y) Vi phân toàn phần của nó là nếu tồn tại cũng là một hàm

số của hai biến số x và y, vi phân toàn phần của dz nếu tồn tại thỡ được gọi là viphân toàn phần cấp 2 và được ký hiệu là d2z Vậy

d2z = d(dz) = d(fx0dx + fy0dx)

Cứ tiếp tụ như vậy ta có các vi phân toàn phân cấp ba, cấp bốn , .

d3z = d(d2z)

· · ·

dnz = d(dn−1z)Bây giờ, từ biểu thức

d2z = d(dz) = d(fx0dx + fy0dx) = (fx0dx + fy0dx)0xdx + (fx0dx + fy0dx)0ydy

= fx002dx2+ (fxy00 + fyx00)dxdy + fy002dy2

Giả sử rằng hàm f (x, y) là liên tục khi đó ta có d2z = fx002dx2+ 2fxy00 dxdy + fy002dy2

1 Cho hàm u(x, y, z) là một hàm số xác định trong miền D ∈ R3 Qua điểm

M0(x0, y0, z0) ∈ D ta vẽ một đường thẳng định hướng mà véc tơ đơn vị là →l ; M làmột điểm trên đường thẳng ấy, ta có

ρ→0

u(x 0 +ρ,y 0 ,z 0 )−u(x 0 ,y 0 ,z 0 )

ρ = ∂u(x0 )

∂x Như vậy ta thấy rằng đạo hàm riêng ∂u∂x của hàm u theo biến x là đạo hàm của hàm

u theo hướng của trục Ox, Cũng vậy ∂u∂y;∂u∂z là các đạo hàm của u theo hường củacác trục Oy, Oz

Đạo hàm của hàm số u = u(x, y, z) theo hướng →l biểu thị tốc độ biến thiên củahàm u theo hướng →l

Định lý 1.1 Nếu hàm số u = u(x, y, z) khả vi tại điểm M0(x0, y0, z0) thì tại điểm

ấy nó có đạo hàm theo hướng →l và ta có:

Chú ý 1 Hàm số u(x, y, z) là hàm số có các đạo hàm riêng tại M0(x0, y0, z0), người

ta gọi Gradient của u tạiM0(x0, y0, z0) là véc tơ có các thành phần :

j ,→k là các véc tơ đơn vị của các trục

Ox, Oy, Oz, thì ta có

∆x = 1 = ρ cos α; ∆y = −2 = ρ cos β; ∆z = 2 = ρ cos γ

Suy ra cos α = 13; cos β = −23; cos γ = 23

Vậy ∂u∂l(M0) = ∂u(M0 )

mọi điểm M (x, y) nằm trong lân cận của điểm M0(x0, y0) thì ta luôn có f (x0, y0) <

f (x, y)

Định nghĩa 1.8 Hàm số z = f (x, y) gọi là đạt cực tiểu tại điểm M (x0, y0) nếu tại mọiđiểm M (x, y) nằm trong lân cận của điểm M (x0, y0) thì ta luôn có f (x0, y0) > f (x, y)Giá trị cực đại, cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số Điểm M mà tại đó hàm

số đạt cực trị gọi là điểm cực tri của hàm số

Ví dụ 12 Hàm số z = 12 − sin(x2+ y2) đạt cực đại tại điểm O(0, 0) Thật vậy ta

có f (0, 0) = 12 − sin(0 + 0) = 1

2 Với mọi điểm M (x, y) nằm trong lân cậ của điểmO(0, 0) ta đều có sin(x2+ y2) > 0 do đó f (x, y) = 12 − sin(x2 + y2) > 12 tức là giánđoạn tại O(0, 0) lớn hơn mọi giá trị của hàm số trong lân cận của điểm O(0, 0)

1.3.1.2 Điều kiện ắt có để hàm số có cực trị

Định lý 1.3 Nếu hàm số z = f (x, y) khả vi và đạt cực trị tại điểm M (x0, y0) thì tại

đó cácđạo hàm riêng ∂f∂x;∂f∂y đều triệt tiêu

Chú ý 2 : định lí trên chỉ là điều kiện ắt có nhưng chưa phải là điều kiện đủ, nghĩa

là chỉ nói tại các điểm cực trị thì các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu, ngược lại tạinhững điểm mà tại đó các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu thì chưa chắc đã có cựctrị ( Điều này sẽ được nhắc trong các ví dụ ) Do đó khi tìm cực trị của một hàm

số thì ta đi tìm những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệttiêu Những điểm mà tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp một triệt tiêu đượcgọi là các điểm dừng

1 Nếu B2 − AC < 0thì hàm số z = f (x, y) đạt cực trị, đó là điểm cực đại nếu

A < 0 và là điểm cực tiểu nếu A > 0 2 Nếu B2− AC > 0 thì hám số z = f (x, y)

không đạt cực trị tại M0(x0, y0) 3 Nếu B − AC = 0 thì hàm số z = f (x, y) có thểđạt cực trị cũng có thể không đạt cực trị (trường hợp nghi ngờ).

Ví dụ 13 Tìm cực trị của hàm hai biến:

z = x3+ y3 − 9xyGiải Ta có:







y(y3− 33) = 03y2− 9x = 0

Vậy ta có hai ddiemr dừng đó là M1(0, 0) và M2(3, 3)

Tại M1(0, 0) ta có B2− AC = (−9)2− 0 = 81 > 0, vậy hàm số không có cực trị.Tại M2(3, 3) ta có B2− AC = (−9)2− 18.18 = −243 < 0, vậy hàm số đạt cực trị và

đó là điểm cực tiểu vì A = 6.3 = 18, ta có zmin = 33+ 33− 9.3.3 = −27

1 Định nghĩa Người ta gọi cực trị của hàm số z = f (x, y) trong đó x và y là cácbiến bị rang buộc bởi hệ thức g(x, y) = 0 là cực trị có điều kiện

2 Định lí (Điều kiện ắt có của cực trị có điều kiện)

Giả sử điểm M0(x0, y0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm số f (x, y) với điều kiệng(x, y) = 0 và giả sử:

• Ở lân cận của điểm M0(x0, y0) các hàm số f (x, y) và g(x, y) có các đọa hàmriêng cấp một liên tục

• Các đạo hàm riêng g0

x, g0y không đồng thời bằng không tại điểm M0(x0, y0).Khi đó tại M0 ta có:

f0x f0y

g0x g0y

... (−9)2− 18.18 = −2 43 < 0, hàm số đạt cực trị

đó điểm cực tiểu A = 6 .3 = 18, ta có zmin = 3< sup >3< /sup>+ 3< sup >3< /sup>− 9 .3. 3 = −27

1 Định nghĩa Người... ngờ).

Ví dụ 13 Tìm cực trị hàm hai biến:

z = x3< /sup>+ y3< /sup> − 9xyGiải Ta có:







y(y3< /sup>− 3< small >3< /small>) = 03y2−... class="text_page_counter">Trang 9

1.1 .3 Tính liên tục hàm nhiều biến số

Định nghĩa 1 .3 Hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định miền D, M0(x0,