Bài giảng môn toán cao cấp 3

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT HƯNG YÊN BỘ MÔN TOÁN- KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG MÔN: TOÁN CAO CẤP Mùa Thu, 08-2014 Mục lục Hàm số nhiều biến số 1.1 1.2 1.3 Khái niệm hàm nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa hàm hai biến (ba biến) 1.1.2 Giới hạn hàm nhiều biến 1.1.3 Tính liên tục hàm nhiều biến số Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến số 1.2.1 Đạo hàm riêng cách tính 1.2.2 Vi phân hàm hai biến số 1.2.3 Đạo hàm hàm số hợp hàm số ẩn 1.2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 12 1.2.5 Đạo hàm theo hướng Gradient 14 Cực thị hàm nhiều biến 15 1.3.1 Cực trị điều kiện 15 1.3.2 Cực trị có điều kiện 17 1.3.3 Cực trị hàm nhiều biến 18 1.3.4 Cực trị điều kiện 18 1.3.5 Cực trị có điều kiện 20 Tích phân bội 2.1 25 Tích phân kép 25 2.1.1 Bài toán dẫn đến tích phân kép 25 2.1.2 Định nghĩa tích phân bội 2: 26 2.1.3 Các tính chất tích phân bội 28 2.1.4 Cách tính tích phân kép hệ trục toạ độ Đề 30 2.1.5 Đổi biến tích phân bội hai hệ tọa độ cực 34 i 2.2 2.3 Ứng dụng tích phân bội hai 36 2.2.1 Tính thể tích vật thể 36 2.2.2 Tính diện tích hình phẳng 38 2.2.3 Ứng dụng học tích phân kép 38 Tích phân bội ba 40 2.3.1 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân bội ba 43 2.3.2 Định nghĩa tích phân bội ba 44 2.3.3 Cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ đề 45 2.3.4 Cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ trụ 50 2.3.5 Cách tính tích phân bội ba hệ tọa độ cầu 53 2.3.6 Một vài ứng dụng tích phân bội ba 55 Tích phân đường mặt 3.1 3.2 62 Tích phân đường loại 62 3.1.1 Định nghĩa 62 3.1.2 Cách tính 66 3.1.3 Ứng dụng 69 3.1.4 Nhắc lại kiến thức 70 Tích phân đường loại hai 70 3.2.1 Định nghĩa 70 3.2.2 Cách tính 72 3.2.3 Công thức Green 75 3.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào đường cong lấy tích phân 77 3.3 3.4 Tích phân mặt loại 81 3.3.1 Định nghĩa 81 3.3.2 Cách tính 82 3.3.3 Ứng dụng tích phân mặt loại 83 Tích phân mặt loại hai 84 3.4.1 Định nghĩa 84 3.4.2 Cách tính 84 3.4.3 Công thức Stokes 84 3.4.4 Công thức Ostrograsky 84 ii 3.4.5 Trường 84 Phương trình vi phân 4.1 85 Đại cương phương trình vi phân cấp 86 4.1.1 Dạng tổng quát, khái niệm nghiệm tổng quát nghiệm riêng 86 4.1.2 4.2 4.3 Định lý tồn nghiệm Bài toán Cauchy 87 Một số phương trình vi phân cấp 88 4.2.1 Phương trình dạng khuyết 88 4.2.2 Phương trình với biến số phân ly 91 4.2.3 Phương trình 92 4.2.4 Phương trình tuyến tính cấp 4.2.5 Phương trình Bernoulli 96 4.2.6 Phương trình vi phân toàn phần 97 4.2.7 Phương trình Clairaut 99 4.2.8 Phương trình Lagrange 100 94 Phương trình vi phân cấp 100 4.3.1 Các khái niệm phương trình vi phân cấp 100 4.3.2 Bài toán Cauchy 101 4.3.3 Phương trình dạng khuyết 102 4.3.4 Phương trình tuyến tính 104 4.3.5 Phương trình tuyến tính không Phương pháp biến thiên số Lagrange 106 4.3.6 Phương trình tuyến tính cấp hệ số không đổi 108 iii Chương Hàm số nhiều biến số 1.1 Khái niệm hàm nhiều biến 1.1.1 Định nghĩa hàm hai biến (ba biến) Định nghĩa 1.1 Xét không gian R2 , D tập hợp R2 Khi đó, ánh xạ f : D −→ R u = (x, y) −→ v = f (x, y) gọi hàm số hai biến số xác định D D gọi miền xác định hàm f ; x, y gọi biến số độc lập Ví dụ f : D −→ R u = (x, y) −→ v = f (x, y) = x2 + xy − y − x + Để cho đơn giản, ta thường nói cho hàm hai biến f (x, y) = x2 + xy − y − x + xy Ví dụ f (x, y) = x + y2 Từ ta định nghĩa hàm nhiều biến sau: Xét không gian Euclid n chiều Rn Một phần tử n số thực, D tập hợp Rn Khi ánh xạ f : D −→ R u = (x1 , x2 , , xn ) −→ v = f (x1 , x2 , , xn ) Chương Hàm số nhiều biến số gọi hàm số có n biến số xác định D; D gọi miền xác định hàm f ; x1 , x2 , , xn gọi biến số độc lập Ví dụ f : V −→ R u = (x, y, z) −→ v = f (x, y, z) = x3 + x2 yz − 3y + 5y + 2x2 − hàm ba biến số b) Tập hợp Rn Giả sử M (x1 , x2 , , xn ) N (y1 , y2 , , yn ) hai điểm Rn Người ta định nghĩa khoảng cách hai điểm M N ; kí hiệu d(M, N ), cho công thức sau đây: d(M, N ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + + (xn − yn )2 (1.1) Đặc biệt: Với n = 2, M (x1 , x2 ) N (y1 , y2 ) d(M, N ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 (1.2) Với n = 3, M (x1 , x2 , x3 ) N (y1 , y2 , y3 ) d(M, N ) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (x3 − y3 )2 (1.3) Ta thấy Rn không gian véc tơ trường số thực với tích vô hướng định nghĩa chương không gian véc tơ nên ta có tính chất sau: a) d(M, N ) ≥ với M, N b) d(M, N ) = ⇔ M ≡ N c) d(M, N ) ≤ d(M, Q) + d(Q, N ) với M, N, Q ba điểm nằm không gian + M0 điểm thuộc Rn Ta gọi ( > 0)- lân cận điểm M0 tập hợp tất điểm M Rn cho d(M, N ) ≤ M0 tập hợp chứa Người ta gọi lân cận điểm - lân cận điểm M0 Ví dụ D0 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y < 1} - lân cận điểm O(0, 0), với = +Tập E tập hợp Rn Điểm M ∈ E gọi điểm tập E tồn - lân cận điểm M nằm hoàn toàn E Tập E gọi tập mở điểm điểm Chương Hàm số nhiều biến số 1 Ví dụ M0 ( , ) điểm tập D0 , D0 tập mở +Điểm N ∈ Rn gọi điểm biên tập E - lân cận N vừa chứa điểm thuộc E vừa chứa điểm không thuộc E Tập hợp tất điểm biên tập E gọi biên tập E Ví dụ L0 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y = 1} -là biên tập D0 + Tập E gọi tập đóng chứa điểm biên Ví dụ D1 = {(x, y) ∈ R2 |x2 + y ≤ 1} -là tập đóng + Tập hợp D gọi bị chặn tồn cầu chứa + Tập D gọi liên thông nối hai điểm D đường liên tục nằm hoàn toàn D + Tập hợp liên thông gọi đơn liên giới hạn mặt kín, đa liên bị giới hạn nhiều mặt kín rời đôi + Trong không gian R2 ( mặt phẳng Oxy) tập liên thông gọi đơn liên giới hạn đường cong kín, đa liên giới hạn nhiều đường cong kín rời đôi (phần vẽ hình minh họa tốt hơn) Trong khuôn khổ của giảng xét hàm hai biến ba biến Trường hợp số biến lớn ba xem xét tương tự 1.1.2 Giới hạn hàm nhiều biến + Dãy điểm Mn (xn , yn ) dần tới điểm M0 (x0 , y0 ) R2 viết Mn → M0 n → ∞ lim d(M, M0 ) = n→∞ hay lim xn = x0 , lim yn = y0 n→∞ n→∞ Định nghĩa 1.2 Giả sử hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định lân cận D điểm M0 , trừ M0 Ta nói hàm số f (M ) có giới hạn A (hữu hạn) điểm M dần tới điểm M0 ∀ > bé tuỳ ý cho trước, ∃δ > cho d(M0 , M ) < δ |f (x, y) − A| < lim f (x, y) = A hay M →M0 kí hiệu lim f (x, y) = A hay (x,y)→(x0 ,y0 ) lim f (x, y) = A x→x0 y→y0 (1.4) Chương Hàm số nhiều biến số + Khái niệm giới hạn vô hạn định nghĩa tương tự hàm số biến số Chẳng hạn → +∞ (x, y) → (x0 , y0 ) x2 + y + Các định lý giới hạn tổng, tích, thương, nguyên lý kẹp giới hạn hàm số biến số cho hàm nhiều biến số xy Ví dụ Tìm lim (x,y)→(0,0) x2 + y Thật vậy, ta thấy hàm số f (x, y) xác định R2 \ {(0, 0)} , |x| x2 + y ≤ 1, ∀(x, y) = (0, 0); nên |f (x, y)| = = x2 + y |x| x2 + y |y| ≤ |y| |y| = lim Mặt khác, xy (x,y)→(0,0) Do đó, theo nguyên lý kẹp ta có: lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y = Chú ý Trong giới hạn hàm số có biến số x → x0 x dần từ hai phía, giới hạn hàm hai biến điểm M (x, y) → M0 (x0 , y0 ) dần theo hướng R2 Và tương tự hàm biến, để giới hạn hàm nhiều biến tồn điểm M → M0 theo hướng hàm số phải nhận kết Đây tính giới hạn hàm nhiều biến xy + y2 Thật vậy, ta thấy hàm số f (x, y) xác định R2 \ {(0, 0)} , cho Ví dụ Tìm lim (x,y)→(0,0) x2 (x, y) → (0, 0) theo phương đường thẳng y = kx, ta có f (x, kx) = k + k2 Do lim (x,y)→(0,0) x2 xy k = +y + k2 Vậy (x, y) → (0, 0) giới hạn dần giá trị khác tùy theo giá trị k, mà giới hạn có tính nên không tồn giới hạn (x, y) → (0, 0) Chương Hàm số nhiều biến số 1.1.3 Tính liên tục hàm nhiều biến số Định nghĩa 1.3 Hàm số z = f (M ) = f (x, y) xác định miền D, M0 (x0 , y0 ) ∈ D Ta nói hàm số f (M ) liên tục M0 tồn giới hạn: lim f (M ) = f (M0 ) hay lim M →M0 (x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = f (x0 , y0 ) (1.5) Nếu miền D đóng, M0 điểm biên D lim f (M ) hiểu giới M →M0 hạn f (M ) M dần đến M0 bên D + Hàm số z = f (x, y) liên tục điểm D gọi hàm liên tục D + Hàm số f (M ) gọi liên tục miền D ∀ > cho trước, ∃δ > cho với cặp điểm M , M thuộc D mà d(M , M ) < δ |f (M )−f (M )| < + Hàm số nhiều biến số liên tục có tính chất hàm số biến số liên tục Chẳng hạn, hàm số nhiều biến số liên tục miền đóng, bị chặn bị chặn miền ấy, đạt giá trị lớn giá trị bé miền ấy, liên tục miền Ví dụ 10 Xét tính liên tục hàm sau điểm (0, 0):  xy    (x, y) = (0, 0) + y2 x f (x) =    (x, y) = (0, 0) Thật vậy, theo ví dụ (8) ta có lim (x,y)→(0,0) xy x2 + y = = f (0, 0) Vậy, hàm số f (x, y) liên tục điểm (0, 0) 1.2 1.2.1 Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến số Đạo hàm riêng cách tính Cho hàm số z = f (x, y) Nếu cho biến số y giá trị không đổi y = y0 hàm f (x, y0 ) trở thành hàm số biến số độc lập x Giả sử hàm biến Chương Hàm số nhiều biến số có đạo hàm x0 , tức tồn f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) ∆x lim ∆x→0 gọi đạo hàm riêng cấp hàm hai biến z = f (x, y) biến x điểm M0 (x0 , y0 ) ký hiệu ∂f (x,y) ; ∂x z x hay f x (x, y) Hiệu ∆x z = f (x0 + δx, y0 ) − f (x0 , y0 ) gọi số gia riêng hàm số f (x, y) theo biến x điểm M0 (x0 , y0 ) ∆x z ∆x→0 ∆x f x (x0 , y0 ) = lim tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y M0 (x0 , y0 ) ký hiệu f y (x0 , y0 ) = lim ∆y→0 ∆y z ∆y ∆y z = f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) gọi số gia riêng hàm số f (x, y) theo biến y điểm M0 (x0 , y0 ) Vì (x0 , y0 ) điểm tùy ý nên z x (x, y), x y (x, y) hàm số Nhận xét Khi tính đạo hàm riêng hàm số z theo biến x ta coi hàm z = f (x, y) hàm số phụ thuộc vào đối số x tiến hành đạo hàm hàm số biến số Ví dụ Tính đạo hàm riêng hàm hai biến số: 1) z = sin(x2 + y ) x x = 2xcos(x2 + y ) z y = 2ycos(x2 + y ) | 2) z = x2 siny z x = 2xsiny z y = x2 cosy Nhận xét tương tự ta có đạo hàm riêng cho hàm số có n (n > 3) biến số Chương Phương trình vi phân Ta tìm thừa số tích phân số trường hợp đặc biệt: ∂P ∂Q +) − = Q.f (x) ⇒ α(x, y) = e f (x)dx ∂y ∂x ∂P ∂Q +) − = −P.g(y) ⇒ α(x, y) = e g(y)dy ∂y ∂x Ví dụ 67 Giải phương trình (1 − x2 y)dx + x2 (y − x)dy = Hướng dẫn Thừa số tích phân α(x, y) = Nghiệm phương trình x2 y2 − − xy + = C x Ngòi phương trình có nghiệm kỳ dị x = 4.2.7 Phương trình Clairaut Là phương trình có dạng y = xy + f (y ) Đặt y = t ta có y = xt + f (t) Đạo hàm vế theo x ta dy dt dt = t + x + f (t) = t dx dx dx Vậy ta có phương trình [x + f (t)] dt = dx Các trường hợp xảy dt i) = hay t = Phương trình có nghiệm tổng quát y = dx Cx + f (C) ii) x = −f (t) phương trình có nghiệm kỳ dị   x = −f (t)  y = −tf (t) + f (t) Ví dụ 68 Giải phương trình y = xy − cosy 99 Chương Phương trình vi phân 4.2.8 Phương trình Lagrange Là phương trình có dạng y = xg(y ) + f (y ) hàm f, g hàm khả vi Đặt y = t ta có y = xg(t) + f (t) Đạo hàm vế theo x ta dt dt dy = g(t) + xg (t) + f (t) = t dx dx dx Chuyển vế ta [g(t) − t] dx + g (t)x = −f (t) dt Đó phương trình tuyến tính hàm x(t) Nếu nghiệm tổng quát x = Cα(t) + β(t) đường cong tích phân tổng quát phương trình Lagrange   x = Cα(t) + β(t)  y = [Cα(t) + β(t)]g(t) + f (t) Ví dụ 69 Giải phương trình y = 2xy − ey 4.3 4.3.1 Phương trình vi phân cấp Các khái niệm phương trình vi phân cấp Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng F (x, y, y , y ) = (4.18) F hàm số biến độc lập Nếu từ (4.18) giải y (4.18) có dạng y = f (x, y, y ) 100 (4.19) Chương Phương trình vi phân f hàm số biến độc lập * Nghiệm tổng quát Ta gọi nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp hàm y = ϕ(x, C1 , C2 ) thoả mãn phương trình vi phân với số C1 , C2 Trong nhiều trường hợp ta thu nghiệm phương trình dạng Φ(x, y, C1 , C2 ) = xác định nghiệm tổng quát dạng ẩn Hệ thức gọi tích phân tổng quát phương trình (4.19) * Nghiệm riêng Ta gọi nghiệm riêng phương trình (4.19) hàm số y = ϕ(x, C10 , C20 ) mà ta thu cách cho C1 , C2 nghiệm tổng quát giá trị xác định C10 , C20 Hệ thức Φ(x, y, C10 , C20 ) = cho ta tích phân riêng tương ứng 4.3.2 Bài toán Cauchy Định lý 4.3 Giả sử f (x, y, z) liên tục miền chứa điểm (x0 , y0 , y ) Khi đó, lân cận x = x0 tồn nghiệm y = y(x) phương trình (4.19) thoả mãn y(x0 ) = y0 , Hơn nữa, y (x0 ) = y (4.20) ∂f ∂f , liên tục miền nghiệm ∂y ∂y Bài toán tìm nghiệm phương trình (4.19) thoả mãn điều kiện (4.20) gọi toán Cauchy hay toán giá trị ban đầu 101 Chương Phương trình vi phân 4.3.3 Phương trình dạng khuyết a Phương trình khuyết y, y’ + Xét phương trình F (x, y”) = Đặt y = p ta phương trình F (x, p ) = 0, phương trình vi phân cấp p Giả sử nghiệm tổng quát phương trình p = f (x, C1 ) nghiệm tổng quát phương trình cho y= f (x, C1 )dx + C2 Ví dụ 70 Giải phương trình y = xex với điều kiện y(0) = 1, y (0) = Hướng dẫn Nghiệm phương trình y = (x + 2)e−x + x − Ví dụ 71 Giải phương trình x=y +y +1 b Phương trình khuyết y + Xét phương trình F (x, y , y ) = Đặt p = y ta phương trình F (x, p, p ) = phương trình cấp p Ví dụ 72 Giải phương trình y − y = x(x − 1) x−1 với điều kiện y(2) = 1, y (2) = −1 102 Chương Phương trình vi phân Hướng dẫn Đặt y = p ta thu phương trình vi phân tuyến tính cấp p − p = x(x − 1) x−1 Ta tính nghiệm tổng quát phương trình p= x3 x2 − + C1 x − C1 2 Mà y = p nên ta thu nghiệm phương trình x4 x3 x2 y= − + C1 − C1 x + C2 Từ giả thiết suy C1 = −3, C2 = Vậy nghiệm cần tìm y= x4 x3 3x2 − − − 3x + c Phương trình khuyết x Xét phương trình F (y, y y ) = Đặt y = p (p = p(y)) ta có y” = dp dp dy dp dp = =y =p dx dy dx dy dy Do đó, ta xem p hàm số chưa biết y Phương trình trở thành F (y, p, p dp ) = dy Đó phương trình cấp p Ví dụ 73 Tìm nghiệm phương trình sau yy − (y )2 = thoả mãn điều kiện y(0) = 1, y (0) = 103 Chương Phương trình vi phân Hướng dẫn Đặt y = p(y) ⇒ y = py yx = p dp Thay vào phương dy trình ta dp − p2 = dy dp ⇒ p = y − p = dy yy − y = yp +) p = ⇒ y = ⇒ y = C nghiệm phương trình không thoả mãn điều kiện ban đầu nên nghiệm bị loại dp dp dy +) y − p = ⇒ = dy p y ⇒ y = C2 eC1 x Từ điều kiện ban đầu ta suy C1 = 2, C2 = Vậy nghiệm cần tìm y = e2x 4.3.4 Phương trình tuyến tính a Phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình có dạng y + p(x)y + q(x)y = f (x) (4.21) p(x), q(x), f (x) hàm số biến x + Nếu f (x) ≡ phương trình (4.21) gọi phương trình tuyến tính + Nếu f (x) = phương trình (4.21) gọi phương trình tuyến tính không + Nếu p(x), q(x) số phương trình (4.21) gọi phương trình tuyến tính hệ số b Phương trình tuyến tính cấp 104 Chương Phương trình vi phân Xét phương trình y + p(x)y + q(x)y = (4.22) Định lý 4.4 Nếu y1 (x), y2 (x) nghiệm phương trình (4.22) y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) với C1 , C2 nghiệm phương trình (4.22) Định nghĩa 4.1 Hai hàm số y1 (x), y2 (x) gọi độc lập tuyến tính αy1 (x) + βy2 (x) = với x thuộc miền xác định y1 (x), y2 (x) α = β = Ngược lại, hàm gọi phụ thuộc tuyến tính Định lý 4.5 Nếu y1 (x), y2 (x) nghiệm độc lập tuyến tính (4.22) y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) nghiệm tổng quát (3.5) với C1 , C2 Chú ý Không có phương pháp chung giải phương trình tuyến tính với hệ số hàm Chú ý Nếu biết nghiệm riêng y1 (x) phương trình (4.22) ta tìm nghiệm riêng thứ cách đặt y2 (x) = y1 (x)u(x) Sau đó, tìm u(x), suy y2 (x) Chú ý 105 Chương Phương trình vi phân Để tìm nghiệm riêng thứ độc lập tuyến tính với nghiệm riêng y1 ta sử dụng công thức Liuville: y2 (x) = y1 (x) e− p(x)dx dx y12 (x) (4.23) Ví dụ 74 Giải phương trình sau (1 − x2 )y + 2xy − 2y = biết nghiệm riêng y1 (x) = x Hướng dẫn Dễ dàng thấy nghiệm riêng thứ y2 (x) = −x2 − Vậy nghiệm tổng quát y = C1 x + C2 (x2 + 1) Ví dụ 75 Giải phương trình sau (2x + 1)y + (4x − 2)y − 8y = biết nghiệm riêng y1 (x) = e2x 4.3.5 Phương trình tuyến tính không Phương pháp biến thiên số Lagrange a Phương trình tuyến tính cấp không Xét phương trình không (4.21) phương trình (4.22) tương ứng Định lý 4.6 Nghiệm tổng quát phương trình không (4.21) nghiệm tổng quát phương trình (4.22) tương ứng nghiệm riêng phương trình (4.21) Định lý 4.7 (Nguyên lý chồng chất nghiệm) 106 Chương Phương trình vi phân Cho phương trình tuyến tính không y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x) (4.24) Nếu y1 (x) nghiệm phương trình y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) y2 (x) nghiệm phương trình y + p(x)y + q(x)y = f2 (x) y = y1 (x) + y2 (x) nghiệm phương trình (4.24) b Phương pháp biến thiên số Lagrange Giả sử nghiệm phương trình (4.22) có dạng y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) C1 , C2 số Ta tìm nghiệm (4.21) dạng y = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) C1 = C1 (x), C2 = C2 (x) hàm số phụ thuộc x + Ta có y = C1 y1 + C1 y1 + C2 y2 + C2 y2 + Ta chọn C1 , C2 cho C y1 + C y2 = + Tính y , y sau thay y, y , y vào phương trình (4.21) ta thu C1 y1 + C2 y2 = f (x) Vậy hàm số y = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) nghiệm phương trình (4.21) hệ số C1 , C2 thoả mãn hệ   C1 y1 + C2 y2 =  C y + C y = f (x) 1 2 107 (4.25) Chương Phương trình vi phân + Do y1 , y2 nghiệm độc lập tuyến tính (4.22) x thuộc miền xác định y1 , y2 ta có y1 y2 = (định thức Wronsky nghiệm đltt) (4.26) y1 y2 Hệ phương trình (4.26)) có nghiệm nhất, kí hiệu C1 = ϕ1 (x), C2 = ϕ2 (x) hay   C1 = ϕ1 (x)dx + C  C = ϕ2 (x)dx + C Vậy nghiệm phương trình không (4.21) có dạng y = C y1 (x) + C y2 (x) + y1 (x) ϕ1 (x)dx + y2 (x) ϕ2 (x)dx C C số Ví dụ 76 Giải phương trình y − y = x x Hướng dẫn Theo phương pháp biến thiên số Lagrange ta nghiệm tổng quát phương trình y = C1 x + C2 + x Ví dụ 77 Giải phương trình ex y −y = x e +1 4.3.6 Phương trình tuyến tính cấp hệ số không đổi + Xét phương trình có dạng y + py + qy = f (x) p, q số cho trước 108 (4.27) Chương Phương trình vi phân Nhận xét Các kết phương trình tuyến tính hệ số hàm cho trường hợp hệ số Tuy nhiên, ta giải đơn giản a Phương trình tuyến tính cấp Xét phương trình có dạng y + py + qy = (4.28) Để tìm nghiệm (4.28) ta cần tìm nghiệm riêng độc lập tuyến tính Ta tìm nghiệm dạng y = eλx λ số phải tìm + Tính y , y sau thay y, y y vào phương trình (4.28) ta thu phương trình λ2 + pλ + q = (4.29) (4.29) gọi phương trình đặc trưng Vậy λ nghiệm phương trình (4.29) y = eλx nghiệm riêng (4.28) a) Nếu phương trình (4.29) có nghiệm thực λ1 = λ2 y1 = eλ1 x y2 = eλ2 x nghiệm riêng độc lập tuyến tính phương trình (4.28) nghiệm tổng quát phương trình (4.28) y = C1 eλ1 x + C2 eλ2 x p nghiệm riêng phương trình (4.28) y1 = eλ1 x Ta tìm nghiệm b) Nếu phương trình (4.29) có nghiệm thực λ1 = λ2 = − riêng thứ có dạng y2 = xeλ1 x Do đó, nghiệm tổng quát (4.28) y = eλ1 x (C1 + C2 x) 109 Chương Phương trình vi phân c) Nếu phương trình (4.29)có nghiệm phức liên hợp λ1 = α + iβ λ2 = α − iβ nghiệm riêng phương trình (4.28) y = e(α+iβ)x ; y = e(α−iβ)x Theo công thức Euler ta có eiβx = cosβx + isinβx; e−iβx = cosβx − isinβx Do đó, ta   y = eαx (cosβx + isinβx) (4.30)  y = eαx (cosβx − isinβx) Ta thấy, y y nghiệm phương trình (4.28)   y1 = y + y = eαx cosβx (4.31) y −  y = y = eαx sinβx 2 nghiệm phương trình(4.28) Ta thấy nghiệm độc lập tuyến tính Vậy nghiệm tổng quát (3.11) y = eαx (C1 cosβx + C2 sinβx) b Phương trình tuyến tính cấp không Xét phương trình có dạng y + py + qy = f (x) (4.32) p, q số cho trước Nhận xét Ta áp dụng phương pháp biến thiên số Lagrange để tìm nghiệm phương trình (4.32) 110 Chương Phương trình vi phân Ví dụ 78 Giải phương trình ex y” − y = x e +1 Hướng dẫn Ta dễ dàng nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e−x + (x − ln(ex + 1)ex ) + e−x ln(ex + 1) − Ví dụ 79 Giải phương trình y” + y = sinx Hướng dẫn Ta dễ dàng nghiệm tổng quát phương trình y = C1 )cosx + C2 sinx − xcosx + sinxln|sinx| Chú ý 1) Tuy nhiên, số trường hợp đặc biệt vế phải f (x) ta cần tìm nghiệm riêng (4.32) Trong phần ta xét số trường hợp đặc biệt: 2) Ta dùng phương pháp đồng thức để tìm hệ số đa thức * Trường hợp f (x) = eαx Pn (x) + Nếu α không nghiệm (4.29) ta tìm nghiệm riêng (4.32) dạng Y = eαx Qn (x) + Nếu α nghiệm đơn (4.29) ta tìm nghiệm riêng (4.32) dạng Y = eαx xQn (x) 111 Chương Phương trình vi phân + Nếu α nghiệm kép (4.29) ta tìm nghiệm riêng (4.32) dạng Y = eαx x2 Qn (x) Ví dụ 80 Giải phương trình y” + y = x2 + Hướng dẫn Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 cosx + C2 sinx + x2 − Ví dụ 81 Giải phương trình y” − 3y + 2y = ex (3 − 4x) Hướng dẫn Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 ex + C2 e2x + ex (2x2 + x) Ví dụ 82 Giải phương trình y” − 4y + 4y = 4e2x Hướng dẫn Nghiệm tổng quát phương trình y = (C1 + C2 x)e2x + 2x2 e2x Ví dụ 83 Giải phương trình y” − 3y = e3x − 18x * Trường hợp f (x) = eαx {Pn (x)cosβx + Pm (x)sinβx} α, β số; Pn (x), Qn (x) đa thức bậc n, m tương ứng cho trước 112 Chương Phương trình vi phân Nhận xét Ta chứng minh : + Nếu α ± iβ không nghiệm (4.29) nghiệm riêng phương trình (4.32) có dạng Y = eαx {Ql (x)cosβx + Rl (x)sinβx} + Nếu α ± iβ nghiệm phương trình (4.29) nghiệm riêng phương trình (4.32) có dạng Y = xeαx {Ql (x)cosβx + Rl (x)sinβx)} l = max(m, n) Ví dụ 84 Giải phương trình y” + y = cos2x Hướng dẫn Nghiệm tổng quát phương trình y = C1 cosx + C2 sinx − cos2x Ví dụ 85 Giải phương trình y” + y = cosx Hướng dẫn Nghiệm tổng quát phương trình x y = C1 cosx + C2 sinx + sinx Ví dụ 86 Giải phương trình y” + y = cos3 x 113 ... 81 > 0, hàm số cực trị Tại M2 (3, 3) ta có B − AC = (−9)2 − 18.18 = −2 43 < 0, hàm số đạt cực trị điểm cực tiểu A = 6 .3 = 18, ta có zmin = 33 + 33 − 9 .3. 3 = −27 1 .3. 2 Cực trị có điều kiện Định... 77 3. 3 3. 4 Tích phân mặt loại 81 3. 3.1 Định nghĩa 81 3. 3.2 Cách tính 82 3. 3 .3 Ứng dụng tích phân... dụ 13 Tìm cực trị hàm hai biến: z = x3 + y − 9xy Giải Ta có:    3x2 − 9y =  p = z = 3x2 − 9y = x ⇔  3y − 9x =  q = z = 3y − 9x = y     3x2 − 9y =  3x2 − 9y =  y4 − 9y = ⇔ ⇔ ⇔  3y