ĐỀ CƯƠNG ôn tập môn TOÁN CAO cấp 3

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3 Biên soạn: Cao Văn Tú Lớp: CNTT_K12D Trường: ĐH CNTTTT Thái Nguyên. Cấu trúc đề thi: Gồm 6 câu Câu 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính. Câu 2: Giải phương trình vi phân có biến số phân ly. Câu 3: Giải phương trình vi phân toàn phần. Câu 4: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên. Câu 5: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng. Câu 6: Giải hệ phương trình vi phân. Thời gian làm bài: 90 phút. DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH A. Lý thuyết, phương pháp giải. Dạng phương trình: (1) Cách giải:  Bước 1: Xác định  Bước 2: Tính:  Bước 3: Kết luận: Nghiệm tổng quát của phương trình là: Lưu ý: B. Bài tập ví dụ. Giải phương trình: () Hướng dẫn: Phương trình () tương đương với phương trình + Ta có: . + Tính: Đặt: . + Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là: . DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ BIẾN SỐ PHÂN LY A. Lý thuyết, phương pháp giải. Dạng phương trình: Cách giải: Lấy tích phân 2 vế ta được: B. Bài tập ví dụ. Giải phương trình: Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với Vậy nghiệm của phương trình đã cho là . DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN A. Lý thuyết, phương pháp giải. Dạng phương trình: Cách giải: + Bước 1: Xác định phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần. +Bước 2: Chọn thuộc tập xác định của . Khi đó tích phân tổng quát của phương trình là: B. Bài tập ví dụ. Giải phương trình: Hướng dẫn: Ta có: Suy ra phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần. Chọn . Khi đó tích phân tổng quát của phương trình là: (1) . Xét: Đặt: Vậy . DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ BIẾN THIÊN A. Lý thuyết, phương pháp giải. Dạng phương trình: Cách giải: + Bước 1: Xác định + Bước 2: Tính: + Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: + Bước 4: Ta tìm nghiệm riêng y của phương trình không thuần nhất có dạng: trong đó là các số thỏa mãn: + Bước 5: Kết luận. Nghiệm của phương trình đã cho là: B. Bài tập ví dụ. Giải phương trình: biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là y1 = x2. Hướng dẫn: Ta có: . Tính: . Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: Ta tìm nghiệm riêng y của phương trình không thuần nhất có dạng: . Trong đó là các số thỏa mãn: . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: . DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG A. Lý thuyết, phương pháp giải. Dạng phương trình: Các giải: PTĐT: + Phương trình có 2 nghiệm phân biệt: . + Phương trình có 2 nghiệm phức: . + Phương trình có nghiệm kép: .  Trường hợp 1: Xác định: bậc bằng m. bậc 0 bậc 1 bậc 2  không là nghiệm của phương trình đặc trưng . Đồng nhất hai vế suy ra nghiệm cần tìm.  là nghiệm của phương trình đặc trưng . Đồng nhất hai vế suy ra nghiệm cần tìm. (Với là nghiệm đơn ; là nghiệm kép )  Trường hợp 2: Xác định: có bậc m có bậc n Suy ra .   không là nghiệm của phương trình đặc trưng : là nghiệm của phương trình đặc trưng: Lưu ý: Nếu là nghiệm bội h (h = 1là nghiệm đơn) của phương trình đặc trưng, ta tìm y có dạng: B. Bài tập ví dụ. Ví dụ 1: Giải phương trình: Hướng dẫn: PTĐT: Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: Ta có: bậc 0 là nghiệm kép của phương trình đặc trưng ta tìm y có dạng: Tính: Thay vào phương trình đã cho. Từ đó suy ra được A = 2. Suy ra: Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: . Ví dụ 2: Giải phương trình: Hướng dẫn: PTĐT: Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: Ta có: bậc 1; bậc 0. Suy ra . Suy ra = i là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Thay vào phương trình đã cho. Đồng nhất 2 vế phương trình ta được hệ phương trình: . Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là: . DẠNG 6: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN A. Lý thuyết, phương pháp giải. Dạng hệ phương trình: Cách giải: + Bước 1: Giải phương trình đặc trưng: + Bước 2: Tìm các giá trị tương ứng.  Với ta có hệ phương trình:  Với ta có hệ phương trình:  Với ta có hệ phương trình: + Bước 3: Bảng nghiệm cơ bản: k x y z Vậy nghiệm của hệ phương trình là: B. Bài tập ví dụ. Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Phương trình đặc trưng: . + Với k = 2 ta có hệ: . Chọn . + Với k = 1 ta có hệ : . Chọn . + Với k = 3 ta có hệ: . Chọn + Bảng nghiệm cơ bản: k x y z 0 0 Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là: . MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THEO CẤU TRÚC ĐỀ TRÊN ĐỀ 01 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTTTT Mã đề thi: 256 Đề thi gồm có 6 câu ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: Giải phương trình vi phân: Câu 2: Giải phương trình vi phân: Câu 3: Giải phương trình vi phân: Câu 4: Giải phương trình , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là Câu 5: Giải phương trình: Câu 6: Giải hệ phương trình vi phân sau: Hết Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ ĐỀ 02 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTTTT Mã đề thi: 124 Đề thi gồm có 6 câu ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1: Giải phương trình vi phân: Câu 2: Giải phương trình vi phân: Câu 3: Giải phương trình vi phân: Câu 4: Giải phương trình , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là Câu 5: Giải phương trình: . Câu 6: Giải hệ phương trình vi phân sau: Hết Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN CÔNG THỨC CƠ BẢN CÔNG THỨC MỞ RỘNG ; ; ; ; ; BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN Hàm sơ cấp Hàm số hợp u = u(x)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN CAO CẤP 3

Biên soạn: Cao Văn Tú Lớp: CNTT_K12D Trường: ĐH CNTT&TT Thái Nguyên

Cấu trúc đề thi: Gồm 6 câu

Câu 1: Giải phương trình vi phân tuyến tính

Câu 2: Giải phương trình vi phân có biến số phân ly

Câu 3: Giải phương trình vi phân toàn phần

Câu 4: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên

Câu 5: Giải phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng

Câu 6: Giải hệ phương trình vi phân

Thời gian làm bài: 90 phút

DẠNG 1: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

A Lý thuyết, phương pháp giải

Dạng phương trình: y'p x y  q x  (1)

Cách giải:

 Bước 1: Xác định p x   , p x ?

 Bước 2: Tính: A e p x d( ) x; Bep x d( ) x; DAq x d( ) x

 Bước 3: Kết luận: Nghiệm tổng quát của phương trình là: yB D C  

Lưu ý: lnf x  ln f x   

B Bài tập ví dụ

Giải phương trình: x y ' y x2arctanx (*)

Hướng dẫn: Phương trình (*) tương đương với phương trình y' y xarctanx x 0

x

x

+ Tính:

; 1

x

x

Đặt: 2 2

2

1

dx

x

v x





2

yx x x x C

DẠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ BIẾN SỐ PHÂN LY

A Lý thuyết, phương pháp giải

Dạng phương trình: ( ) f y dy f x d( ) x

Cách giải:

Lấy tích phân 2 vế ta được:  f y dy( ) f x d( ) x

B Bài tập ví dụ

Giải phương trình: 12

' 1

y

y

 

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

2

2 2

1

1

y

y

y dy

            

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là yarctany x C

DẠNG 3: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

A Lý thuyết, phương pháp giải

Dạng phương trình: P x y d , xQ x y dy , 0

Cách giải:

+ Bước 1: Xác định P x y   , ; Q x y,  ? P y'Q x' ? phương trình đã cho là

phương trình vi phân toàn phần

+Bước 2: Chọn x0 ?; y0 ? thuộc tập xác định của P x y   , ; Q x y Khi đó tích phân , tổng quát của phương trình là:

P x y d  Q x y dyC hay P x y d  Q x y dyC

B Bài tập ví dụ

Giải phương trình: x4ln x 2x y d3 x 3x 2y dy2 0

Hướng dẫn:

Ta có:

 

 

2

y

x

y x

  

Suy ra phương trình đã cho là phương trình vi phân toàn phần

Chọn x0 1; y0 0 Khi đó tích phân tổng quát của phương trình là:

y x

1 1

x

I  x x d

Đặt:

3

x

1

4x

1

1

ln xd

x du

x

 

   

0 0

y

y x

               

DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ BIẾN THIÊN

A Lý thuyết, phương pháp giải

Dạng phương trình: y"p x y1( ) 'p x y2( )  f x( )

Cách giải:

+ Bước 1: Xác định p x1( ); ( )f x ?

1

y



+ Bước 3: Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: yC y1 1C y2 2

+ Bước 4: Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất có dạng:

   

*

y C x y C x y trong đó C C là các số thỏa mãn: 1, 2

 

 

 

 

1 1 2 2

x '

* ?

y





 











+ Bước 5: Kết luận Nghiệm của phương trình đã cho là: y y y*

B Bài tập ví dụ

Giải phương trình: x y"- 2y = x cosx biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân 2 3

thuần nhất tương ứng là y 1 = x 2

Hướng dẫn:

Ta có: p x1( )0; ( )f x xcosx

1

 

3x

yC x C  

 

 

Ta tìm nghiệm riêng y* của phương trình không thuần nhất có dạng:

1

*

3x

y C x x C x  

 

  Trong đó C C là các số thỏa mãn: 1, 2 2

1 1

3 3

2 2

1

2

3x

3 3

3x sin 3

x C



 

 





  



 







2

x

    

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

2

3x

x

 

       

DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG

A Lý thuyết, phương pháp giải

Dạng phương trình: y"a y1 'a y2  f x( )

Các giải:

k a k a

2

k x k x

k k

k k



 

k a bi

 

  

kx

k k k  y C xC e

 Trường hợp 1: ( ) f x P x e m( ) x

Xác định:  ?; P x m( )? bậc bằng m

( )

m

P x bậc 0 Q x m( )A

( )

m

P x bậc 1 Q x m( ) AxB

( )

m

P x bậc 2 Q x m( )Ax2Bx C

m

y e Q x

hai vế suy ra nghiệm cần tìm

  là nghiệm của phương trình đặc trưng * S x ( )

m

y x e Q x

vế suy ra nghiệm cần tìm

(Với  là nghiệm đơn  S 1;  là nghiệm kép  S 2)

 Trường hợp 2: f x( )ex.P x m( )cosx Q x m( )sinx

Xác định: ?;?;

m

m

Suy ra Smax m n,

 S  0 H x S( ) A R x; S( )B

 S 1 H x S( )Ax B R x ; S( )Cx D

-  i không là nghiệm của phương trình đặc trưng :

y e H x x R x x

-  i là nghiệm của phương trình đặc trưng:

y x e H x x R x x

Lưu ý: Nếu  i là nghiệm bội h (h = 1là nghiệm đơn) của phương trình đặc trưng, ta tìm y* có dạng: y*x e h x.H x S( )cosx R x S( )sinx

B Bài tập ví dụ

Ví dụ 1: Giải phương trình: y" 10 ' 25 y  y4.e5x

Hướng dẫn:

1 2

k  k     k k

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y(C1xC e2) 5x

f x  e  

P x m( )4bậc 0 Q x m( )A

5

   là nghiệm kép của phương trình đặc trưng ta tìm y* có dạng: 2 5x

*

y x e A

y  x e A  Ax e  Ax e

 y* "2Ax e 5x5Ax e2 5x'2Ae5x10Axe5x10Axe5x25Ax e2 5x

Thay y*,   y* ', y* " vào phương trình đã cho Từ đó suy ra được A = 2

Suy ra:y*2x2e5x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

5x 2 5x

y y y  C xC e  e

Ví dụ 2: Giải phương trình: " y  y xcosx

Hướng dẫn:





       

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: yC1cosx C 2sinx

( )

m

P x x bậc 1; Q x m( )0 bậc 0 Suy ra ( )

1

( )

S

S

S

 



    

Suy ra  i = i là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng

0

      

0

x

      

2

Thay y*,   y* ', y* " vào phương trình đã cho

Đồng nhất 2 vế phương trình ta được hệ phương trình:

0

D



   

  



   



2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y y y  C x C x  x x x x

DẠNG 6: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

A Lý thuyết, phương pháp giải

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x

a x a y a z dt

dy

a x a y a z I dt

dz

a x a y a z dt

   





   





   



Cách giải:

+ Bước 1: Giải phương trình đặc trưng:

3

0

k k



   

 

+ Bước 2: Tìm các giá trị ( ,p p1 2,p tương ứng 3)

 Với k k1ta có hệ phương trình:

 

11 1 1 12 2 13 3

31 1 32 2 33 1 3

0

0









 Với k k2 ta có hệ phương trình:

11 2 1 12 2 13 3

31 1 32 2 33 2 3

0

0









 Với k k3 ta có hệ phương trình:

11 3 1 12 2 13 3

31 1 32 2 33 3 3

0

0









+ Bước 3: Bảng nghiệm cơ bản:

k

1 2 3

1

k k b b b 1, 2, 3 1

1

k t

2

k t

3

k t

a e

2

k k b b b 1, 2, 3 2

1

k t

2

k t

3

k t

b e

3

k k d d d 1, 2, 3 3

1

k t

2

k t

3

k t

d e

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

3

3

3

k t

k t k t

k t

k t k t

k t

k t k t

x C a e C b e C d e

y C a e C b e C d e

z C a e C b e C d e







B Bài tập ví dụ

Giải hệ phương trình:

x 2x 2 2z

d

y z dt

dy

dt dz

x y dt

   





   





   



Hướng dẫn giải:



         



+ Với k = 2 ta có hệ:

1 3

  







    

   



Chọn p3 1 ( ,p p p1 2, 3)1,1,1

+ Với k = 1 ta có hệ :

0

0

0 0

  

   



Chọn p2 1 ( ,p p p1 2, 3)0,1,1

+ Với k = 3 ta có hệ:

0

0

0 0

   

   



Chọn p3 1 ( ,p p p1 2, 3)1, 0,1

+ Bảng nghiệm cơ bản:

2

e

1

e

3

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

2

t t

t t

x C e C e

z C e C e C e

  



 



   



MỘT SỐ ĐỀ THI THỬ THEO CẤU TRÚC ĐỀ TRÊN

ĐỀ 01

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT

-

Mã đề thi: 256

Đề thi gồm có 6 câu

ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ

Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

Giải phương trình vi phân: y'cos2x y 1

Câu 2:

Giải phương trình vi phân: xydx + (x + 1) dy = 0

Câu 3:

3x y dx 2y3xy dy

Câu 4:

Giải phương trình

2x

2

   , biết một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là

x 1

e y x



Câu 5:

Giải phương trình: " 5 ' 6y  y y13sin3x

Câu 6:

Giải hệ phương trình vi phân sau:

x

2

d

dt dy

dt dz

dt





  





   



-Hết -

Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi

CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ

ĐỀ 02

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CNTT&TT

-

Mã đề thi: 124

Đề thi gồm có 6 câu

ĐỀ THI HẾT HỌC PHẦN Môn: PHUONG TRINH VI PHAN Hệ: DHCQ

Thời gian làm bài 90 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1:

Giải phương trình vi phân:  2 

x y d x y

Câu 2:

Giải phương trình vi phân:

   

2 2

2x 1

 



 

Câu 3:

Câu 4:

thuần nhất tương ứng là y1 x

Câu 5:

Giải phương trình: y" 10 ' 25 y y4e5x

Câu 6:

Giải hệ phương trình vi phân sau:

x 3x+

5 3z

d

y z dt

dy

dt dz

x y dt

  





   





   



-Hết -

Thí sinh KHÔNG được sử dụng tài liệu, không ghi vào đề thi

CB coi thi không giải thích gì thêm và nộp lại đề thi cho phòng chức năng theo qui chế của Bộ

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN

dxxC

C

x

dx





   11

  x C

x

dx

ln

 

C n

b ax a dx

b

ax

n











1

e x dxe x C

a

a

dx

a

x

x

ln

cosx.dxsinxC ;

  nxC

n dx

nx) 1sin

(

cos

sinx.dxcosxC;

  nxC

n dx

nx 1cos

sin

 dx tg x tgxC

cos

2

 dx  gx  gxC

x (1 cot ) cot

sin

2

C a

x x

a



2

2

x a

x

a

dx

arctan

1

2

2

duuC

C

u du





  11

b dx a ax b C

1 )

( 1

C u

n dx

u dx

n







)

1 (

1 1

C e

a dx

u

a du a

u

u  

   axb C

a dx b

sin(

   axb C

a dx b

cos(

u

du dx

u

u

ln

'

;

 dx u C u

u

2

'

u

dx u

2







x a a x

a

dx

ln 2

1

2 2

a x x a C x

BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN

Hàm sơ cấp Hàm số hợp u = u(x)

 '  '

x x

'

2

   

 

 

 ' 1

x

2 x



 ' 1 '

u   u .u ' '

2

   

 

 

 ' '

u u

2 u



 x ' x

 '

a  a ln a

 u ' u '

 u ' ' u

a  u a ln a

 ' 1

ln x

x



 '

a

1 log x

xln a



' u

ln u

u



' a

u log u

u ln a



 

 

 

'

'

2

2

1

cos 1

sin

x

x



 

  

    

 

 

' '

2

2

'

cos '

sin

u

u u

u



 

  

    