1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Đề ôn tập môn toán cao cấp docx

29 598 2

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 29
Dung lượng 5,3 MB

Nội dung

Đề 1: Câu 1: Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y + = + tại điểm (2,1) đến cấp 3. X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+ (X/3 +Y/3) 2 -(X/3 +Y/3) 3 + o(ρ 3 )] = + X - Y - X 2 + Y 2 + XY + X 3 - Y 3 - XY 2 + o(ρ 3 ) = + (x-2) - (y-1) - (x-2) 2 + (y-1) 2 + (x-2)(y-1) + (x-2) 3 - (y-1) 3 - (x-2)(y-1) 2 + o(ρ 3 ) Câu 2:tìm cực trị của hàm 2 2 12 3z x y xy x y= + + − − Điểm dừng: <=> x=7, y=-2 A= z’’ xx =2, B=z’’ xy =1, C=z’’ yy =2 Δ=AC-B 2 =3>0, A=2>0 =>z(x,y) đạt cực tiểu tại (7,-2) Câu 3: Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số ∑ ∞ =1n n n v u với u n = n n       + 2 1 2 và v n = 2 2 1 n n       + = = = 2/e 2 <1 => ∑ ∞ =1n n n v u hội tụ theo tiêu chuẩn Cauchy Câu 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa 1 2 1 ( 1) 4 (3 1) n n n n x n − ∞ = − − ∑ ρ= = =1/4 => -4<x 2 <4 => -2<x<2 x= 2 : = hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ: [-2;2] Câu 5: Tính tích phân kép 2 2 1 D I dxdy x y = ∫∫ + , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 2 6 ,x x y x y x≤ + ≤ ≥ x=rcosφ, y=rsinφ 2 2 1 D I dxdy x y = ∫∫ + = = = 4-2 Câu 6: Tính tích phân ( ) ( ) 2 2 cos x C I e xy dx y y x dy= + + + ∫ với C là chu vi tam giác ABC, A(1,1), B(2,2), C(4,1), chiều kim đồng hồ. Các đk công thức Green thỏa Chiều C ngược chiều quy ước ( ) ( ) 2 2 cos x C I e xy dx y y x dy= + + + ∫ = = =-7/2 Câu 7: Tính ( )= + + + ∫Ñ C I ydx z x dy xdz , với C là giao của 2 2 1+ =x y và 1z y= + , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Công thức Stokes I = = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS , trong đó S là phần mặt nón 2 2 2 z x y= + , nằm giữa hai mặt phẳng 0, 1z z= = . D=pr xOy S là hình chiếu của phần mặt nón xuống xOy, D={x 2 +y 2 =1} ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS = = /2 Đề 2: Câu 1. Cho hàm 2 ( , ) xy f x y xe= . Tính 2 (2,1)d f . f'’ x = +xy 2 f’’ xx = 2y 2 + xy 4 => f’’ xx (2,1)= 4e 2 f’’ xy = 4xy + 2x 2 y 3 => f’’ xy (2,1)=16e 2 f’ y =2x 2 y f’’ yy = 2x 2 +4x 3 y 2 => f’’ yy (2,1)=40e 2  d 2 f(2,1)=4e 2 dx 2 + 32e 2 dxdy + 40e 2 dy 2 Câu 2. Tìm gtln, gtnn của 2 2 2 2 1 ( , ) ( ) x y f x y y x e − + = − trên miền 2 2 {( , ) | 4}D x y x y= + ≤  x=0,y=0 v x=1,y=0 v x=-1,y=0 Xét: L(x,y,λ)= +λ(x 2 +y 2 -4)  x=0,y= , λ=-5e 5 v x= ,y=0, λ=-3e -3 f(0,0)=0 f(1,0)=-1 f(-1,0)=1 f(0,2)= f(0,-2)=4e 5 f(2,0)= f(-2,0)=-4e -3 Maxf=4e 5 x 2 +y 2 4 Minf=-1 x 2 +y 2 4 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số: a/ )2( 2 2 1 + ∞ = ∑       + − nn n n n b/ 1 1 3. )2 (6.4.2 )12 (5.3.1 + ∞ = ∑ − n n n n a) = = =1/e 3 <1  )2( 2 2 1 + ∞ = ∑       + − nn n n n hội tụ theo tc Cauchy b) = = 6>1  1 1 3. )2 (6.4.2 )12 (5.3.1 + ∞ = ∑ − n n n n phân kỳ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 3) 2 ln n n n x n n ∞ = − − ∑ + ρ= = = 1 => -1<x-3<1=> 2<x<4 x=2: phân kỳ theo tc so sánh x=4: hội tụ theo tc Leibnitz Miền hội tụ (2,4] Câu 5. Tính tích phân kép 2 2 x y D I e dxdy − − = ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1 4, 0, 3x y y y x≤ + ≤ ≥ ≤ 2 2 x y D I e dxdy − − = ∫∫ = = (e -4 -e -1 ) Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ , với C là phần đường cong siny x x= + , từ (0,0)A đến ( , )B π π . = => tích phân ko phụ thuộc đường đi ( ) ( ) C I x y dx x y dy= + + − ∫ = = Câu 7. Tìm diện tích phần mặt cầu 2 2 2 z R x y= − − nằm trong hình trụ 2 2 x y Rx+ = . Gọi S là phần mặt cầu 2 2 2 z R x y= − − nằm trong hình trụ 2 2 x y Rx+ = D=pr xOy S, D={x 2 +y 2 Rx} S= dxdy = rdr =2R( Câu 8. Tính tích phân mặt loại hai 3 3 3 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy , với S là biên vật thể giới hạn bởi 2 2 2 2 2 4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa 3 3 3 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy = - =-3 = ( Đề 3: Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln x f x y x y y = + . Tính 2 (1,1)d f f’x= 2ln + (2x+y)/x f’’xx= 2/x –y/x 2 => f’’xx(1,1)=1 f’’xy= -2/y +1/x => f’’xy(1,1)=-1 f’y= ln - (2x+y)/y = ln -2x/y -1 f’’yy= -1/y +2x/y 2 => f’’yy(1,1)=1  d 2 f(1,1)=dx 2 -2dxdy+dy 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm số z = xy + x 3 + y 9 với x > 0, y > 0 Điểm dừng:  x=1, y=3 A=z’’ xx =6/x 3 B=z’’ xy = 1 C=z’’ yy =18/y 3 Δ=AC-B 2 = -1 x=1, y=3 => Δ=3>0, A=6>0 => z(x,y) đạt cực tiểu tại x=1, y=3 Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 1 4 7 (3 2) (2 1)!! n n n ∞ = × × − ∑ − L Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 1 !( 4) n n n n x n ∞ = − ∑ ρ= = = n =1/e => -e<x-4<e => -e+4<x<e+4 x= -e+4: = phân kỳ x= e+4: phân kỳ theo so sánh Miền hội tụ (-e+4,e+4) Câu 5. Tính tích phân kép ( 2) D I x dxdy= + ∫∫ , trong đó D là miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1, 0 9 4 x y y+ ≤ ≥ x=3rcosφ, y=2rsinφ ( 2) D I x dxdy= + ∫∫ = = 6 Câu 6. Tính tích phân ( ) ( ) 2 3 2 C I x y dx x y dy= + + + ∫Ñ , trong đó C là biên của miền phẳng giới hạn bởi 2 2 ,y x y x= − = − , chiều kim đồng hồ. S là biên của miền phẳng giới hạn bởi 2 2 ,y x y x= − = − Các đk CT Green thỏa, C ngược chiều quy ước ( ) ( ) 2 3 2 C I x y dx x y dy= + + + ∫Ñ = = -2 = -9 Câu 7. Tìm diện tích phần mặt 2 2 z x y= + nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z+ + = . S là phần mặt 2 2 z x y= + nằm trong hình cầu 2 2 2 2x y z z+ + = . D=pr xOy S, D={x 2 +y 2 1} S= dxdy = rdr = Câu 8. Tính 2= ∫∫ S I xdS , với S là phần mặt trụ 2 2 4+ =x y nằm giữa hai mặt phẳng 1, 4z z= = . S1={x= }, S2={ x= } D1=pr yOz S1=D2=pr yOz S2 2= ∫∫ S I xdS = + = 2 dydz + 2 dydz =0 Đề 4: Câu 1. Cho hàm 2 2 ( , ) 4 sin ( )f x y y x y= + − . Tính 2 (0,0)d f f’x= 2sin(x-y)cos(x-y)=sin2(x-y) f’’xx= 2cos2(x-y)=> f’’xx(0,0)=2 f’’xy= -2cos(x-y)=> f’’xy(0,0)=-2 f’y= 8y-2sin(x-y)cos(x-y)=8y-sin2(x-y) f’’yy= 8+2cos2(x-y) => f’’yy(0,0)=10  d 2 f(0,0)=2dx 2 -4dxdy+10dy 2 Câu 2. Tìm cực trị của hàm 3 2 12 8 .z x y x y= + − Điểm dừng:  x=2, y=-4 A=z’’ xx =6xy+24 B=z’’ xy = C=z’’ yy =0 Δ=AC-B 2 = -9 =-144<0  z(x,y) ko có cực trị Câu 3. Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số 1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L = =3/4 <1  1 2 5 8 (3 1) 1 5 9 (4 3) n n n ∞ = × × − ∑ × × − L L hội tụ theo tc D’alembert Câu 4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi luỹ thừa 3 1 ( 1) ( 1) 2 ( 1)ln( 1) n n n n x n n ∞ = − + ∑ + + [...]... với C là nửa trên đường tròn x + y = 2 y I= = =4 Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính I = Ñ x + y)dx + (2 x − z )dy + ydz , với C là giao ∫( C và x + y + z = 0 , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z S là mặt giao của C là giao của x 2 + y 2 + z 2 = 4 và x + y + z = 0 I = Ñ x + y )dx + (2 x − z )dy + ydz = ∫( (S có n=( C = = =- S=- ) = -4 Đề 7 Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y)= y ln(x2- y2) Tính dz(... x 2 + y 2 + z 2 = 4 S I = ∫∫ x 2 dS = S Câu 8 Dùng công thức Stokes, tính I = Ñ x− y ∫ (3 C 2 )dx + (3 y − z 2 )dy + (3z − x 2 )dz , với C là giao của z = x 2 + y 2 và z = 2 − 2 y , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z 2 2 S là mặt giao của của z = x + y và z = 2 − 2 y , n= (0, I = Ñ x − y 2 )dx + (3 y − z 2 )dy + (3z − x 2 )dz = ∫ (3 C = = Đề 8 ' ' Câu 1 Tìm zx , zy của hàm ẩn z = z(x,y) xác... đường tròn x +y = 2x, x +y = 6x và các đường 2 2 2 2 D thẳng y = x, y = 0 J= ∫∫ dxdy = D Câu 6 Tìm hàm h(x2- y2), h(1) = 1 để tích phân đường sau đây không phụ thuộc đường đi I= ∫ AB [ ] h( x 2 − y 2 ) x( x 2 + y 2 )dy − y ( x 2 + y 2 )dx với AB là cung không cắt đường x2 = y2  h(x2-y2)= c h(1)=1 => c=1  h(x2-y2)= 1 Câu 7 Tính I = ∫∫∫ ( x + yz )dxdydz , với V giới hạn bởi z = x 2 + y 2 và z + x 2 +... Câu 8 Tính tích phân mặt I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy , với S là phần mặt S x 2 + y 2 + z 2 = 2 x , phần z ≤ 0 , phía dưới Thêm mặt z=0 Công thức Gauss I = ∫∫ 2 xdydz + ( 3 y + z ) dxdz + ( 2 z + 4 y ) dxdy = S = Đề 10  xy , if ( x, y ) ≠ (0, 0)  2 2 Câu 1 Tính f xy (0, 0) f ( x, y ) =  x + y  0, if ( x, y ) = (0, 0)  // (x,y) khác (0,0): f’x(x,y) = f ‘x(0,0) = =0 f ‘’xy(0,0)... phẳng giới D x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0 I = ∫∫ ( x + | y |) dxdy D = =   x y y 1 I= ∫  − ÷dx +  + ÷ dy  x2 + y 2 x2 ÷  x2 + y2 x ÷ (1,1)     (2,3) Câu 6 Tính tích phân , theo đường cong C không qua gốc O và không cắt trục tung => tp ko phụ thuộc đường đi   x y y 1 − 2 ÷dx +  + ÷  2 ∫  x + y 2 x ÷  x 2 + y 2 x ÷dy (1,1)     (2,3) I= = Câu 7 I = ∫∫∫ V 1 dxdydz , với V được giới hạn bởi x... , với S là phần mặt S paraboloid z = x + y , bị cắt bởi z = 2 − 2 x , phía dưới 2 2 D =prxOyS={ (x+1)2+y2 =3}, x+1=rcosφ,y=rsinφ I = ∫∫ ( x + 2 y )dydz + ( y + 2 z ) dxdz + ( z + 2 x ) dxdy S = = = = Đề 9  2−1 2  x + y , if ( x, y ) ≠ (0, 0) Câu 1 Tìm miền xác định và miền giá trị của f ( x, y ) = e  −3, if ( x, y ) = (0, 0)  Miền xác định: {R\ xy=0} f(x,y)=  lnf(x,y) = , (x,y) khác (0,0) , (x,y)... 3z ) dxdz + z dxdy , với S là phần mặt 2 S trụ x 2 + y 2 = 2 y , phía trên I = ∫∫ xdydz + ( 2 y + 3 z ) dxdz + z 2 dxdy = S = = x=rcosφ, y-1=rsinφ I= =2 = 3/2 phẳng x + y + z = 4 nằm trong hình = = = = Đề 6 Câu 1 Cho hàm 2 biến z = z(x, y) = 3e x dz = 6xy3 dx + 9x2y2 2 3 y Tính dz(1,1) và ∂2z (1,1) ∂x∂y dy => dz(1,1) = 6edx+9edy 6xy3 = 18xy2 + 6xy33x2y2 = 18xy2 + 18x3y5 => ∂2z (1,1) = 36e ∂x∂y Câu 2... + z dxdy , với S là nửa dưới mặt cầu x 2 2 2 S I = ∫∫ x 2 dydz + y 2 dxdz + z 2 dxdy = dydz+ S dydz= + dydz = dydz+ dydz + =- Tương tự rdr= =0 dydz=0 2 rdr = 2 -1) + y 2 + z 2 = 2 z , phía trên I= = Đề 5  f = f (u ) = u 3 + sin u;  ∂2 f Câu 1 Tính , với  x ∂x∂y u = 2 xy + e  Câu 2 Tìm cực trị có điều kiện: f ( x, y ) = 2 x 2 + 12 xy + y 2 ; x 2 + 4 y 2 = 25 L(x,y,λ)= 2x2+12xy+y2 +λ(x2+4y2-25)... I= ∫∫ arctg ( D ) x 2 + y 2 dxdy = ) x 2 + y 2 dxdy với D là hình tròn: x2+y2 ≤ 3 =2 =2 Câu 6 Chứng tỏ tích phân I = ∫ e x − y [ (1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] tích phân I với C là phần ellipse C không phụ thuộc đường đi Tính x2 y 2 + = 1 từ A(3,0) đến B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ 9 4 = I = ∫ e x − y [ (1 + x + y )dx + (1 − x − y )dy ] = C = -3e3 + 2e-2 + Câu 7 Tìm thể tích vật thể giới hạn bởi... = Câu 8 Tính tích phân mặt I = ∫∫ ( x + z ) dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy , với S là phần mặt S z = x 2 + y 2 nằm dưới mặt x + z = 2 , phía trên D=prxOyS={(x+1/2)2+y2=9/4} Thêm mặt x + z = 2 Công thức Gauss I = ∫∫ ( x + z ) dydz + ( y + x ) dxdz + ( z + y ) dxdy S =- = = paraboloid . Đề 1: Câu 1: Tìm khai triển Taylor của 2 ( , ) x y f x y x y + = + tại điểm (2,1) đến cấp 3. X=x-2, Y=y-1 f(X,Y)= = 1+ = 1 + [1-(X/3 +Y/3)+. bởi 2 2 2 2 2 4,+ + ≤ ≥ +x y z z x y , phía trong. Các đk công thức Gauss thỏa 3 3 3 = + + ∫∫ S I x dydz y dxdz z dxdy = - =-3 = ( Đề 3: Câu 1. Cho hàm ( , ) (2 )ln x f x y x y y = + . Tính. xdz , với C là giao của 2 2 1+ =x y và 1z y= + , chiều kim đồng hồ theo hướng dương trục 0z. Công thức Stokes I = = = = = = Câu 8: Tính tích phân mặt loại một ( ) 2 2 = + ∫∫ S I x y dS ,

Ngày đăng: 08/08/2014, 06:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w