BÀI TẬP CHƯƠNG TOÁN CAO CẤP 3 – ĐH Chương I: Hàm nhiều biến 1.1 Tìm miền xác định của hàm số: a) ln( )z x y= + b) 2 1 z x y = − 1.2 Tìm đạo hàm riêng của các hàm số: a) 3 3 2 2 x y z x y + = + b) 2 2 ln( )z x x y= + + c) 4 , 0 y z x x = > d) 2 sin x z x x y = + 1.3 Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của các hàm số; a) 2 3 2 ( )z xy y= + b) 2 2 ln( ) 2z x x y xy= + + + . c) arctan x z y = d) 2 ln( )z x x y= + 1.4 Tìm vi phân toàn phần của các hàm số: a) 2 2 sin( )z x y= + b) 2 (sinx cos ) x z e y x= + 1.5 Tìm đạo hàm của hàm hợp: a) 2 2 2 , cos , u v z e u x v x y − = = = + b) 2 2 ln( ), , x z u v u xy v y = + = = 1.6 Tìm cực trị của các hàm số: a) 2 2 4ln 3ln , 0.z x y y x y x= + + − − > b) 3 2 2 1 2 5 3 y y z x x e e= − + − + c) 3 2 2 2 8 17z x x xy y x y= + − − − − + d) 3 2 3ln 2 7ln 3 4z x x y y y= − + − + − 1.7 Cho hàm số 3 2 2 2 2z x x y xy x y= + − − + + a) Tìm cực trị của hàm z. b) Tại điểm N(1, 2) hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox góc 0 60 . c) Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. 1.8 Cho hàm số: 3 2 2 2 4 3 27z x x y xy x y= + − − + + + a) Tìm cực trị của hàm z. b) Tại điểm N(3, 1) hàm z sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox góc 0 60 . c) Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. 1.9 Cho hàm số 3 3 2 1 1 3 2 4 3 3 x x z e e y y x = + + − − a) Tìm cực trị của hàm số. b) Tại M(-1;0) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm M theo hướng lập với trục Ox một góc 0 120 . 1.10 Tính gần đúng: a) 2 2 3 (1,03) (0,04)+ b) 0 0 sin(31 59 )+ Chương II – Tích phân bội 2.1 Đổi thứ tự tích phân trong các tích phân sau: a) 2 2 4 2 ( , ) x dx f x y dy − ∫ ∫ b) 2 5 2 0 ( , ) y dy f x y dx ∫ ∫ 2.2 Tính 3 ( ) D dxdy x y+ ∫∫ , miền D được xác định bởi 1, 1, 3x y x y≥ ≥ + ≤ . 2.3 Tính 2 ( ) D x x y dxdy− ∫∫ , D là miền giới hạn bởi 2 2 ,y x x y= = . 2.4 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểm A(-1, 4), B(2, 3), C(1, 1) và hàm mật độ ( , ) 2x y x y ρ = − . Tính: a) Tính tích phân của hàm ( , )x y ρ trên miền tam giác ABC. b) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC với mật độ là ( , ) 1x y ρ = 2.5 Tính ( ) D x x y dxdy− ∫∫ , D là miền giới hạn bởi 2 2 , 2 1y x y x= − = + 2.6 Trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm A(2, 1), B(-1, 3), C(1, 4) và hàm mật độ : ( , ) 2 3x y x y ρ = + . Tính: a) Tính tích phân của hàm ( , )x y ρ trên miền tam giác ABC. b) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC với mật độ là ( , ) 1x y ρ = . 2.7 Tính 2 2 4 D x y dxdy− − ∫∫ , D là miền xác định bởi 2 2 2 0, 0x y x y+ − ≤ ≥ 2.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ba điểmA(1, 1), B(2, -1),C(-1, 3) và hàm mật độ ( , ) 2x y x y ρ = + . Tính: a) Tính tích phân của hàm ( , )x y ρ trên miền tam giác ABC. b) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC với mật độ là ( , ) 1x y ρ = 2.9 Tính V zdxdydz ∫∫∫ , V là miền xác định bởi: 2 2 1 0 , 2 , 0 1 4 x x y x z x y≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ − − 2.10 Tính (1 ) V x y z dxdydz− − − ∫∫∫ , V là miền xác định bởi: 0, 0, 0, 1x y z x y z≥ ≥ ≥ + + ≤ . Chương III – Tích phân đường. 3.1 a) Tính I = L xydx ∫ ; L là biên của tam giác điểm A (-1;0); B(1;0), C (2;5) 3.2 Tính I = OA xdy ydx− ∫ ; Trong đó O là điểm (0;0); A là điểm (1;2), trong các trường hợp a) OA là đoạn thẳng b) OA là Parabol có trục là Oy c) OA là đường gấp khúc gồm các đoạn OB của trục Ox và đoạn BA song song với Oy 3.3 Tính I = L xyds ∫ , L là biên cung của Elip 2 2 2 2 1 x y a b + = nằm trong góc phần tư thứ nhất. 3.4 Tính I = L xyds ∫ ; với L là biên hình chữ nhật ABCD có 3 đỉnh là A(0;0);B(4;0); C(4;2) 3.5 Tính tích phân đường 2 2 L I y dx x dy= + ∫ , trong đó L là đường nối điểm (0;0) với điểm (1;1) trong các trường hợp sau: a) L là đoạn thẳng b) L là cung Parabol y = x 2 c) L là cung Parabol y = x 3.6 Cho tam giácABC với A (2,1), B(1,-2), C(3,-1). Hãy tính 2 2 2 (2 3 ) ( 3 ) ABCA x x y dx y x dy+ + − ∫Ñ bằng 2 cách: + Cách 1: Tính trực tiếp. + Cách 2: Áp dụng công thức Green. 3.7 Cho tam giác ABC với A (1,1), B(-1,2), C(3,1). Tính 2 2 ( 3 ) (2 4 ) ABCA x xy dy y yx dx + + − ∫ Ñ bằng 2 cách: + Cách 1: Tính trực tiếp. + Cách 2: Áp dụng công thức Green. 3.8 Cho tam giácABC với A (2, -1), B(3,1), C(-1,3).Hãy tính 2 2 ( 3 ) (2 4 ) ABCA x xy dx y yx dy+ + − ∫Ñ bằng 2 cách: + Cách 1: Tính trực tiếp. + Cách 2: Áp dụng công thức Green. 3.9 Xác điịnh trọng tâm của các đường dồng chất: ( sin ), (1 cos ), 0x a t t y a t t π = − = − ≤ ≤ 3.10 Tính các tích phân đường sau: a) 2 2 ( ) ( ) ABC x y dx x y dy− + + ∫ , ABC là đường gấp khúc (0,0), (2,2), (4,0)A B C . b) ( ) ( ) L xy x y dx xy x y dy+ + + + − ∫ , L là đường tròn 2 2 2x y x+ = . Chương IV – Tích phân mặt 4.1 Tính I = (2 ) s x y z ds+ + ∫∫ ; Trong đó S là phần mặt phẳng x+ y + z = 1 trong góc phần tám thứ nhất. 4.2 Tính I = ( ) S x y z dS+ + ∫∫ ; Trong đó S là phần mặt lập phương 0 1; 0 1; 0 1x y z≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ 4.3 Tính ( ) 6 4 3 S x y z dS+ + ∫∫ ; Trong đó S là phần mặt phẳng x + 2y + 3z = 6 nằm trong góc phần tám thứ nhất 4.4 Tính 4 2 3 S x y z ds + + ÷ ∫∫ ; Trong đó S là phần mặt phẳng 1 2 3 4 x y z + + = nằm trong góc phần tám thứ nhất. 4.5 Tính ( ) S yz z x xy dS+ + ∫∫ , với S là phần mặt nón 2 2 z x y= + nằm trong mặt trụ 2 2 2 0x y ax+ − = . 4.6 Tính khối lượng của mặt : 2 2 1 ( ) 2 z x y= + , 0 1z ≤ ≤ nếu khối lượng riêng ( , , )x y z z ρ = 4.7 Tính S xzdydz yxdzdx zydxdy+ + ∫∫ , S là phía ngoài của biên của hình chóp 0, 0, 0, 1x y z x y z≥ ≥ ≥ + + ≤ 4.8 Tính 2 2 2 S x dydz y dzdx z dxdy+ + ∫∫ , S là phía ngoài của biên của hình lập phương 0 , 0 , 0x a y a z a≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ . 4.9 Tính ( ) S x y z dS+ + ∫∫ , S là mặt nón 2 2 2 , 0 1z x y z= + ≤ ≤ 4.10 Tính 2 S xdydz dzdx xz dxdy+ + ∫∫ , S là mặt ngoài phần hình cầu xác định bởi 2 2 2 1,x y z+ + = , 0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥ . Chương V – Phương trình vi phân. 5.1 Giải các phương trình có biến số phân ly sau: a) (1 ) (1 ) 0x ydx y xdy+ + − = c) 2 2 ' 2 1y x xy y= + − + b) ' os2 sin 0y c y y− = d) ' os( )y c x y= − 5.2 Tìm nghiệm riêng của các phương trình thỏa mãn điều kiện ban đâu: a) 2 2 0 1 1 0, 1 x x y dx y x dy y = + + + = = b) 2 2 ( 1) ' 4x y y+ = + , 1 2 x y = = 5.3 Giải các phương trình đẳng cấp cấp 1 a) ( ) ( ) 0y x dx y x dy− + + = b) 2 2 ' 2 0xyy x y+ − = c) 01)1( = −++ dy y x edxe y x y x , Với điều kiện y(0) = 1, y(1) = 1. 5.4 Giải các phương trình vi phân tuyến tính: a) 2 ( 1) ' (2 1) 1 0x x y x y− + − + = b) 3 2 ' ( 1) 1 y y x x − = + + , 0 1 2 x y = = 5.5 Giải các phương trình vi phân sau: a) 2 2 ( 1) ' 3 5 0xy x x yy x+ + + − = b) 2 4 dy x y x y dx − = c) 2 2 2 ' xy y x y = − d) 2 2 1 ' 1 (1 ) x y y x x x + = + + 5.6 Giải các phương trình vi phân toàn phần. a) 2 ( 1) ( 3) 0x y dx x y dy+ + + − + = b) 2 2 (2 ) ( ) 0xy y dx x y y dy− + + + = 5.7 Giải các phương trình vi phân a) 2 '' ' x xy y x e− = b) 2 '' ' ln ,xy y x x− = 1 1 4 , ' 1 9 x x y y = = = − = − . 5.8 Giải các phương trình vi phân sau: a) '' ' 1 x x e y y e − = + b) y ’’ – 4y ’ + 3y = e 5x ,thỏa mãn y(0) = 3; y ’ (0) = 9 c) 4 '' 9 ' 20 x y y y e− + = d) 6 7 x y y y e ′′ ′ − − = , biết : y(1) = 0, y’(0) = 1. 5.9 Tìm nghiệm riêng của phương trình: a) 3 4 4sin 4y y y x ′′ ′ + − = , biết (0) '(0) 0y y= = b) '' ' 2 8 osy y y c x+ − = c) sin x y y e x ′′ ′ + = với y(0) = 1, y’ (0) = 0. 5.10 Giải phương trình vi phân: a) 3 4 . x y y y x e ′′ ′ + − = với y(1) = 0, y’(1) = 2 b) 2 6 5 3y y y x x ′′ ′ − + = + , với y(0) = 2, y’(0) = 1. c) 2 1 '' 4 ' 4 4 2 2 y y y x x− + = + + , Với điều kiện: y(0) = 1, y’ (0) = 2. . BÀI TẬP CHƯƠNG TOÁN CAO CẤP 3 – ĐH Chương I: Hàm nhiều biến 1.1 Tìm miền xác định của hàm số: a) ln( )z x y= + b) 2 1 z x y = − 1.2 Tìm đạo hàm riêng của các hàm số: a) 3 3 2 2 x y z x. 2 4ln 3ln , 0.z x y y x y x= + + − − > b) 3 2 2 1 2 5 3 y y z x x e e= − + − + c) 3 2 2 2 8 17z x x xy y x y= + − − − − + d) 3 2 3ln 2 7ln 3 4z x x y y y= − + − + − 1.7 Cho hàm số 3 2 2 2. đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất. Biểu diễn trên hình vẽ. 1.9 Cho hàm số 3 3 2 1 1 3 2 4 3 3 x x z e e y y x = + + − − a) Tìm cực trị của hàm số. b) Tại M(-1;0) hàm số sẽ tăng