Vi DA, =0 va ds de mn —
X„ = 0 nên với đẳng thức 5A, ĐÁ,
i=0 isl
ta suy ra hé m vecio {A,Aj} voi i= 1, 2, , m la déc lap tuyén tinh Do dé hé m+1 diém A,, Ay, Ag, , Am 1a độc lập
1.2 Ta biết rằng tọa độ của một điểm X trong khơng gian afđn A°
đối với mục tiêu afin {Eu; Eạ, E;, E¿} chính là tọa độ của vectơ
E,X ddi với cơ sở tương ứng của mục tiêu đĩ là{EoE,,E,E, ,EyE,} Vậy ta cĩ : A'(1,0/0) D' B’ = (1, 1, 0) Cc = (0, 1, 2) De (1, 0, 1) C=(1, 1,1) Goi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là tâm của các mặt bên
ABB’A’, ABCD, ADD’A’, BCC’B’, A’B’C’D’, DCC’D’ Ta AM = lạm 4 * B(O,1.0) C cĩ AM= bàn Do dé ta tinh được tâm M của mặt bên ABB'A' cĩ tọa độ là Quái ) Tương tự ta SUY rã: Tâm N của mặt bên ABCD cĩ tọa độ là (0, ) tim i 2 ;0, Tâm P của mặt bên ADD'A' cĩ tọa độ là ( ) tole pole NI kim
Tâm Q của mặt bên BCCTB” cĩ tọa độ là (~,1,—}
Tâm R của mặt bên A'B'ƠD' cĩ tọa độ là (1, 1 2 }
Trang 2(x] = A*Ix] + [al
trong dé [x], [x’] lan luot 1a ma tran cét tọa độ của điểm X đối
với mục tiêu {F,;E,} và mục tiêu {E;E,}, cịn [a] la ma tran toa độ của điểm E', đối với mục tiêu {E,;E,} Dé lap cơng thức đổi mục tiêu ta cẩn tìm ma trận chuyển A từ mục tiêu {E,;E,} sang mục tiêu {E;E,} và sau đĩ ta tìm A* Ta cĩ :
EVE, =a — 8y, —ã¿, , =ân ) Bọ Bạ = (-ay,1- ag, ,-a,} -ân) Do đĩ ta tìm được ma trận chuyển A là : l-a, 8g TH, A-l Tât 1-a; -ân -at ag l-a,
Ta dé dang tim duge A* va lap duge cơng thức đổi mục tiêu là:
Xị l~ay ai -ây [Xi ay
X2}_| —ag l-ag ag || x | 22
Xạ a, “a, la, [[ x, a,
1.4 Trước hết ta cân tim ma trận chuyển A từ mục tiêu cũ là
{A; B, D} sang mục tiêu mới là {0; B, C}
Đối với mục tiêu {A; B, Bd0) cá)
D} ta dé dang tim dược „
Trang 4Đo đĩ ta cĩ ma trận chuyển A : +1 A.|l? 2 21 2 2
sau đĩ ta tiếp tục như đã làm ở phần trên
1.5 Trong mặt phẳng ađn chứa tam giác ABC, đối với mục tiêu
{A; B, C} ta tìm được tọa độ ađn của các điểm sau đây :
11 = = = (0,1 =(S,5 A=(0,0), B=(1,0), C=(0,U, G tha)
Muốn tìm cơng thức đổi mục tiêu khi chọn mục tiêu cũ là (A;
B, C) và mục tiêu mới là {G; B, C} ta cẩn tìm ma trận chuyển A từ mực tiêu {A; B, C} sang mục tiêu {G; B, C} Ta cĩ : op -(2,-4) 2 1 ray 2 As gar GC =| -=,= (-3-3] ˆs 5Š 3 8 Vậy ta cĩ cơng thức đổi mục tiêu cần tìm là : 2 21) fa x, je] 3 3ì] |8 ` 3 ml) a 2 fle) a 3 3 3
Đối với mục tiêu {A; B, C}
trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt cĩ tọa độ là tả)
1 1
0,— =, 0}
(0, 2 » G0
tiêu ở trên ta tính được tọa độ B (x), x2) của các trung điểm nĩi
Trang 5trên đối với mục tiêu mới(G; B, C} lần lượt là G, >) cễ , 0), 1 0,-=) ( 5 ) Cách khác : Qua trọng tâm G của tam giác ABC ta vẽ GM / AB và GN / AC (xem hình vẽ) Áp dụng tính chất hình học của trọng tâm G, ta cĩ : GB - GN+ NB - -140 +245 -2 05-146 3 3 3 3 GG = Gis Mc 1 ap 246 1 0B 26 3 3 3 3 2 21 Ta c6 ma tran chuyén A = ` 3 = A* 33
và tiếp tục như đã làm ở phần trên
1.6 Giả sử trong 4 điểm đã cho cĩ ít ra là ba điểm A¡, À¿, Às
khơng thẳng hàng nghĩa là hai vecto A,A, va A|A, khéng cing phuong Khi đĩ néu 4 diém Aj, Ao, As, Ay thude một mặt phẳng
thì ta cĩ :
IẪu =ẤLÂ; THAI Âi
hay PA, -PA, = (PA, - PA, ) +n (PA; - PA, )
Trang 6Khi đĩ: “LPÁ; ¿ #2 BA„ +2 PA; +PÂ, =Ú
ta tạ S
hay PÃ, -PÃI =~ LPA, - 2PA, - 2 PA, BÀ, oy dạ dạ A,A, = -S2 PA; - 23 pay 91+ BẬT ay Oy Oy
2 (ya— —\ Ủy (@ +— ˆ = -—2(PA, - PA, )}-—2(PA, - PA;)-— “2 (Ps ~ PA) (PAS -PA)
— đi † dạ +ơa +0, PA; Oy MA 0i + 0ạ + dạ + œ = 0 nén: AVA, = -S25,Ay- “2 A,A, % tạ Đặt — F2 a, % AA, = KA,A, + HáÁ, Ta suy ra 4 điểm Ai, Á;, As, Ay thude cùng một mặt phẳng 1.7 Ta cĩ OA =(-1, 4) = ef OB = (1, -3) = ef
Gọi C là ma trận chuyển từ mục tiêu {O; ®,, e; } sang mục tiêu
{O; ef, ep }, tacé: -1 4 -1 1 °b 3] >#[ 2 3| Áp dụng cơng thức đổi mục tiêu [x] =C* [x'] + [a,], đối với điểm M(5, ~1) ta cĩ (x;, x2) =(5, —1) Do đĩ : { =—XI +X2¿ +2 =5 X; = 4xị -3x¿ -3= —1
Giải hệ phương trình này ta tìm được tọa độ Œ\, x;) của điểm
M đối với mục tiêu (O; A, B) là M =Œ\, x;) = (11, 14)
Trang 71.8 a) Theo giá thiết ta cĩ AM = „AB +BAD
Ta cần tìm toa độ điểm M đối với mục tiêu {C; CB, D} Ta cĩ CM = CÁ + AM (theo hệ thức Chasles) Vì CA = CB + CŨ ( theo qui tắc hình bình hành ) va AM = aAB+BAD = -œCÕ - BCB (i AB = -CD va AD = -CB) Do dé: CM = CA + AM = CB+ CD - aCD - pCB B _ hay “ OM =a-pCB+a- wD
Vậy điểm M cĩ tọa độ đối với mục tiêu ađn {C; B,
Dịlà
A
» M = (1-8, 1-a)
b) Tương tự ta tính được M = (B,1-a) déi véi muc tiéu {B; C, A} ©) Tương tự ta tính được M = (œ,1~) đối với mục tiêu {D; C, A}
§3
1.9 Trong m-phẳng P cho trước ta cĩ thể chọn được m+1 điểm độc lập Au Ai, , Âm Gọi B là một điểm cho trước khơng thuộc m- phẳng P Ta chứng minh hệ điểm :
{ Ay, Ai, Av Am» BY
là một hệ gồm m+2 điểm độc lập
Thực vậy nếu giả sử hệ điểm đĩ là một hệ điểm khơng độc lập
thì điểm B lại thuộc phẳng P là điều trái với giả thiết vì m-phẳng
P được xác định bởi m+1 điểm độc lập A„, Ai, , Am Vậy cĩ
Trang 8Áo, Ai, Áz, Âm, B, Ta cần chứng tỏ rằng phẳng Q này chứa tất cả các điểm của phẳng P và phẳng Q này là duy nhất Ta cĩ :
+t
Xe Qo AX=t AVA, + +t, BA + ty
Với các tham số tị, tz, ., tma trong d6 giá trị tham sé ty.) = 0
ta cĩ phương trình tham số của phẳng P Vậy phẳng Q chứa tất cả các điểm của phẳng P Nếu cĩ một cái phẳng Q' khác cũng là m+1
phẳng di qua điểm B và chứa phẳng P thì @ cũng chứa các điểm Áo, Ái, Âm, B là một hệ m+3 điểm độc lập.Vậy Q† cũng được xác định bởi m+2 điểm độc lập chứa trong Q nén Q’ tring vdi Q
Cách khác Gọi T là phẳng tổng của 0-phẳng B (là 1 điểm ) và m-phẳng P cho trước Ta cĩT =B+P Phẳng tổng này được xác định duy nhất và ta chỉ cần chứng minh rằng phẳng tổng T này cĩ
số chiều bằng m+1
Vì điểm B khơng thuộc phẳng P nghĩa là B và P khơng cĩ điểm chung, áp dụng cơng thức tính số chiều của phẳng tổng ta cĩ:
dim (B+P) = dim B + dim P ~ dim(OAV™) +1 =m+1
Vậy cĩ một (m+1)-phẳng T' duy nhất di qua điểm B cho trước và qua m-phẳng P cho trước khơng chứa điểm đĩ
1.10 Ta lập phương trình tham số của m-phẳng P xác định bởi
Trang 9Muốn lập phương trình tổng quát của P là cái phẳng m chiều ,
ta khử các tham số tị, te, tạ từ phương trình tham số ở trên ta
được phương trình tổng quát gồm n -m phương trình sau đây:
Xone =O
x, =O
Phương trình tham số của phẳng Q xác định bởi các đính cịn
Jai Emi; Emo, - » Ey cla muc tiêu {Rụ; E;JHà :
Ke Qo Enak = trisEnaBa + + tn Enak, x, =0 X, = 0 Xm =Ũ XeQec ™ Xmat =~ tag — tmes - 7 te x, m2 = bnag Xn = ty
Muốn lập phương trình tổng quát của phẳng Q là cái phẳng
n— m -1 chiều; ta khử các tham số tm„¿, tmạa, ., tạ từ phương trình trên đây của Q và được phương trình tổng quát gồm m phương trình sau đây :
x, =90
Xạ =0
Xm = 0
Xmat tXmyg tet X, Sl
Chú ý rằng phẳng Q là cái phẳng được xác định bởi
n+1-(n+1) điểm độc lập nên Q là cái phẳng n—m-1 chiều và được biểu thị bằng hệ phương trình gồm m+1 phương trình nêu trên
Trang 10Khi m=n, ta c6 phẳng P chứa n+1 đỉnh Eo, Ey, ., Ex cua muc
tiêu {Eo; E¡} nên P là tồn bộ khơng gian ađn A" Ta suy ra khi đĩ
sẽ khơng cĩ phẳng Q nữa
1.11 Gọi P là m-phẳng xác định bởi các điểm E,, By,
mục tiêu {Eụ; E,) Đây là một hệ gồm m+1 điểm độc lập Các đỉnh
cịn lại của mục tiêu là Ey» Ey -› Đụ Tương tự như đối với
E,, cha
mee?
bài 1.10 ta cĩ phương trình tham số của m-phẳng P là : Xe PoE, X=t, EE, +B, Ey, + + By Đụ x, =t, Xq = ty Xm = Em Xm = 0 Ta suy ra phuong trinh tổng quát của P là : Xmet =O x, =0
1.12 Ta nhan thay {a, b} là một hệ vectơ độc lập tuyến tính nên
Trang 11xX, =2t, -1 Xp ety x; = 4tị +7t¿ +2 xạ =4Lị +7t¿ +2 J#x ‘ae Ta cĩ phương trình tổng quát của m-phẳng cần tìm là : xị—2x;+l=0 Xạ —Xạ =Ũ
CHỦ Ý Do cách khử tham số khác nhau ta cĩ thể biểu thị phương trình tổng quát của m-phẳng cẩn tìm bằng các hệ hai phương trình khác nhau 1.13 Ta cĩ M;Ms = (-38,~1,3,2) MỊM; = (0,1,3,1) a = (3,3,1,0) b=(,1,1,0) Xét định thức tọa độ của 4 vectơ này ta thấy rằng : cột (2) ~ cột (1) = cột (4) Vậy 4 vectơ M,M;,MM;,a,b là một hệ phụ thuộc tuyến tính
Dễ dàng thấy rằng ba vectơ MjM,,a,blà độc lập tuyến tính
vì ma trận tọa độ của chúng cĩ một định thức cấp ba khác khơng
Đĩ là định thức :
4 3 1 3 1
3 1 0= f | =2z0
1 1 0
Ta lập phương trình cái phẳng đi qua điểm M; và cĩ phương xác định bởi ba vectơ độc lập tuyến tính là M,M;,a,b Đĩ chính là cái phẳng cĩ số chiểu bé nhất cần tìm Ta cĩ :
Trang 12Mã = t, MM, +t,a+¢,5 x, -1 0 3 1 xT1| = [a + tle |? 3 xy+3J 'l3| ?li| *?*|ì x, +2 1 0 0 Xị =1+8t; +ty @) X =1+t,+3t,+t, (2) X, = -3+3t, +t, +t, (3) X, = -2+t, (4) Hệ ba phương trình đầu độc lập Lấy (2) — (1) ta cé : woah Thay giá trị của tị vào (4) ta cĩ : X4 = —2 + Xa — Xị hay XỊ — X»+X¿+2=0
Ta tìm được phương trình của cái phẳng cần tìm là phương trình của một siêu phẳng vì nĩ được biểu thị bằng một phương trình Ta nhận xét và thấy rằng siêu phẳng này khơng đi qua gốc
toa dé Ey (vi toa dé cilia Ey khơng thỏa mãn phương trình siêu
phẳng) Mặt khác đường thẳng E,E; song song với siêu phẳng này
(vi trong phương trình của siêu phẳng khơng chứa thành phần x;
nghĩa là phương trình siêu phẳng thỏa mãn với mọi xạ)
Trang 13Hai vectơ AB, AỞ là một hệ độc lập tuyến tính vì ma trận
Trang 14Rut gon ta cĩ.phương trình tổng quát của mặt phẳng P là : 6,5x, + x, + 3,5x, -12=0 11, 5x, + x, + 7,5x, - 26 =0 6,5x, +x, +4,5x, -17=0 CHÚ ¥ : Do viée khit tham số từ các phương trình khác nhau nên ta sẽ cĩ thể cĩ các kết quả khác nhau
1.15 Dựa vào hang của phương trình tổng quát của cái phẳng đà
cho, ta biết đĩ là cái phẳng ba chiều (vì 5 —- 2 = 3) và do đĩ
Trang 15NHẬN XÉT : Do cĩ các cách chọn tham số khác nhau nên phương trình tham số của cái phẳng đã cho cĩ thể cĩ các cách biểu thi khác nhau 1.16 Ta cĩ AB = (-1,1,3,—2) a =(1,2,~1,-8) b = (2,3, -2, -4) Ta nhận thấy 3 vectơ AB,a,b là một hệ ba vectơ độc lập tuyến tính vì cĩ định thức : -1 1 3 1 2 -ll=-2z0 2 8 -2
Trang 16Xị =1-tị +tạ +2tg @) Xạ=_ tị+2tạ+ưtg (2) Xj =—-2+8t; -t,-2ty (8) X¿=1~9ty ~8tạ ~4t; (4) Từ (1) và (3) ta cĩ : Xị +; =T—1 + Qtr > ty = 20 tXs+Ð Từ (1) và (4) ta cĩ: - 2xị + x, =3 ~ 4íy — tạ Thay tị =; (x, +X +1) vào hệ thức trên ta cĩ: 2x, + Xq = 3 — (2x, + 2x5 + 2) — ty > ty = 4x) — 2xq - xy 41 Thay các giá trị tìm được của tạ, tạ vào (4) ta cĩ: G= T1 Ép + 1)— 3C xi — 2y — xy + DỊ = d(x, + 5x3 +2x, - 3] Thay các giá trị tìm được của tị, tạ, t¿ vào (2) ta cĩ: Xe =F On +X5 + 1) + 2(-4x) — 2x5 - x4 41) 2am + 5x3 42x, — 3) © 4x; = 2x; + 2x3 4+ 2- 32x, — 16x3 ~ 8x, + 8 + 33x; + lỗxạ + + 6x,-9 <> 3x, — 4X2 + xy - 2x, -1=0
Như vậy ta được phương trình tổng quát của cái phẳng chứa dị và d; là một siêu phẳng Đây chính là phẳng tổng của dị và dạ
CHÚ Ý: Trên đây ta đã lập phương trình tham số và phương trình
tổng quát của cái phẳng cĩ số chiêu bé nhất chứa hai đường thẳng dị và d; Nếu để tốn chỉ yêu cầu viết phương trình của cái phẳng nào đĩ thì ta chỉ cần lập hoặc là phương trình tham số hoặc là
phương trình tổng quát của cái phẳng đĩ là di
Trang 171.17 a) Dựa vào phương trình tham số của đường thẳng d; ta dễ dang thấy rằng đường thẳng này đi qua điểm A(1, 2, 3, 4) và cĩ vectơ chỉ phương a=(1, 1, 1, 1) Cịn đối với đường thẳng d; ta cĩ thể biến đổi phương trình tổng quát của nĩ thành phương trình tham số bằng cách đặt x; = 1 và ta cĩ: x, =0 x, =t-1 xX, =t x, =3
Như vậy đường thẳng d; cĩ vectơ chỉ phương b=(0, 1, 1, 0) Bây giờ trên đường thẳng d; ta lấy thêm điểm A' sao cho Ấ' =a
Cịn trên đường thẳng d; ta cĩ điểm B(0, —1, 0, 3) và lấy thêm
điểm B' sao cho BB'=b Ta đưa bài tốn đã cho về dạng lập phương trình cái phẳng cĩ số chiều bé nhất chứa bốn điểm A, A', =(1, 1, 1, 1) =(0,1,1,0) AB = ¢ = (-1,-3,-3,-1)
Ta nhận thấy e=-2b-avà như vậy hệ ba vectơ (a, b, c} phụ thuộc tuyến tính, trong đĩ (a, b} là hệ vectơ độc lập tuyến tính Ta lập phương trình cái phẳng cĩ số chiều bé nhất chứa dị, dạ đi qua điểm A và cĩ phương xác định bởi hai vectơ a, b độc lập tuyến tính , AX =tat+t,b ị= =1 1 0 x =1l+t, @ -2 1 =2+t) +t, 2 xa =t ¬ Ắ Xp +t, +t, (2) Xz -3 1 1 xạ =3+ti+tl¿ (3) x4 -4 1 0 x¿ =4+t¡ (4)
'Ta khử các tham số bằng cách lấy (1) — (4) và lấy (2) — (3) ta cĩ phương trình tổng quát của cái phẳng cân tìm là:
Trang 18X.-xX,+3=0 X¿ạT—Xs+1=0 b) Ta cĩ AB = (-2,-5,2,1) Đường thẳng AB cĩ phương trình tham số là: Xe đường thẳng AB © AX =tAB x, = 1-2 X¿ =3— BE = Xạ =~l+ 2t X,=2+t Với siêu phdng x = 0 ta 6: x, = 1- 2t=0 >t =>
Thay giá trị của t vào phương trình tham số của đường thẳng ta tính được tọa độ giao điểm với siêu phẳng xị = 0: 1 5 (x1, X2, X3, X4) = (0, 2 92) Tương tự ta tính được: * Tọa độ của giao điểm đối với siêu phẳng x; = 0 là: 1.2.1 ,13 teary ) s Tọa độ của giao điểm đối với siêu phang x; = 0 là: 1 5 (0, 37% 2? * Tọa độ của giao điểm đối với siêu phẳng xạ = 0 là: (5, 13, ~5, 0)
1.18 Ta tìm nghiệm của hệ phương trình gồm các phương trình của hai cái phẳng P và Q sau đây
Trang 19pee — 5x2 — 2x5 +2x,+7=0 -4xịi + 7X; + 4X; + 4X — 1Ơ = Ơ „ [4ã — 9x2 ~ 3x3 + 7x4 +14 =0 là ~6x;¿ —3X; + 2x + 10 = PAQ
Giải hệ 4 phương trình 4 ẩn này ta được nghiệm là: (X1, Xo, Xa, Xa) = (1, 2, 0, 0)
CHỦ Ý: -Trong khơng gian A* bai mặt phẳng cĩ thể chỉ cĩ một điểm chung duy nhất Điều này khơng xảy ra đối với khơng gian A3 vì trong A? nếu hai mặt phẳng đã cĩ một điểm chung thì chúng sẽ cĩ một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy
1.19 Các hệ phương trình tìm điểm chung và tìm phương chung
của hai cái phẳng P và Q đều vơ nghiệm Do đĩ hai cái phẳng P và Q chéo nhau vì chúng khơng cĩ điểm chung và khơng cĩ phương chung 1.20 Giả sửN = (A„ Ai, „ Ax} gồm k+1 điểm độc lập của tập M đã cho và: N’ = {Ajai, Asa, „ Âm) gồm m—k điểm độc lập cịn lại của tập M đĩ Gọi A là k-phẳng xác định bởi k+1 điểm độc lập Au, Ai, ¿ và A' là (m-k-1}phẳng xác định bởi m-k điểm độc lập Àk¿t, x2, oy Ame
Phang A cé phuong 1a V* va phdng A’ cé phuong V"*-' Ta
hãy xét điểm chung và phương chung cia hai cai phdng A va A’
Trước hết ta nhận thấy rằng A và A' khơng cĩ điểm chung tức là
Á m:A' =Ø ,.Thực vậy giả sử A A' # Ø, khi đĩ ta cĩ:
dim (A+A’) = dim A + dimA’ - dim(A 1 A’)
m=k+m-k-1-dim(An A’)
=m-1-dim(An A’)
Ta suy ra dim(A Á) = -1 là vơ lí Do đĩ A ¬ A’ = © Néu
An A' = Ø thì cơng thức về số chiều của phẳng tổng sẽ được
Trang 20CHÚ Ý: Nếu N cĩ số điểm độc lập ít hơn k+1 và N' cĩ số điểm độc
lập ít hơn m — k thì ta vẫn cĩ thể lấy phẳng A và A' như trên Bây giờ ta cần chứng minh VỀ nv™*! <6
Gia sé VS AV" 40 Khi dé cĩ vectơ x #Ơ và xe VỀ rýV + - k — Với xeV*, giả sử x= S`t,A,Ä, 1 ws KOA ua tm (AGA ~ AGAR.) - ~ i — ~ ————: = —— Ơ= ĐH, A Ãi ~ Đua ÃoAkva ~ this AoAgea — -t,A,Ấu +CỄ) ĐÁ, sake? Dat >) t, = -tea ta cd thé vist: jake? - BH - 0= 3t A2Á,¬ 5 tA¿A, án ist Vì hệ điểm A,, Ai, , Ay, —., Am dée lập nên ta suy ra t= tes = thet =.= ty =0 Ta suy ra x= 0 Vay VinV™*-! 26
và do đĩ A và A' là hai cái phẳng chéo nhau
Trang 21NHẬN XÉT Từ bài tốn này ta rút ra một hệ qủa trực tiếp là cĩ thể xác định được hai cái phẳng chéo nhau từ một hệ điểm độc lập của khéng gian afin A”
Lién hé trong A*: bốn điểm độc lập trong A” tạo thành một tứ điện Khi đĩ các cặp đường thẳng qua hai hệ điểm phân biệt là chéo nhau
1.21 A? song song với A' nghĩa là AP ¬ AT" = Ø và V"?c VI A® song song véi A’ nghia la A? A" = Ø và V1 c Vr,
Ta biết rằng phẳng giao A"¬ A" cĩ phương VP¬ V* Vì W*c VF và V1 c V' nên V* V1 c V7
APOAT=6
wi ® = (AP AANA =
AINA’ =@
Vậy phẳng giao AP¬ A1 nếu cĩ là cái phẳng song song với A'
vì (AP ¬A*%) AT = va VOW CV
1.22 Gọi phương của các siêu phẳng A, A’, o lan luot là V, V' và
V* Ta biết rằng giao của hai siêu phẳng nếu cĩ là một (n-2)-
phẳng Ta cĩ:
AA'= A"Ê cĩ phương là V"? Ana=A™? cĩ phương là V”? Ai5a= A*?"? cĩ phương là V?-?
“Theo giả thiết Á ¬ A' song song với ø nên V¬aVWVcV:
Dodd VAV AVC VaAWw
=VnVcVaV
=> Wee yr?
Hai khơng gian cĩ cùng sé chiéulan—-2nén V"? sv"?
Tương tự ta chứng mình được: vet syn?
Vay vray?
Trang 22
Mặt khác ta chứng minh được A°"?¬ A””'°= Ø
Thực vậy giả sử cĩ một điểm M e A”?^ A""'? thì ta suy ra MeAvàMeAnềnMeAA, đồng thời M e œ Vậy
Me ANA a 1A diéu trai voi giả thiết Vậy A" ?¬ A""*= Ø
và hai cái phẳng đĩ song song với nhau
1.28 Ta gọi V°, V* lần lượt là phương của hai cái phẳng A? và A*
Dựa vào phương trình tổng quát cho trước của A? va A‘ trong khơng gian ađn A" ta suy ra phương V? và V' lần lượt được xác
định bởi các hệ phương trình sau đây:
"
wv, Yayx; =0, i=1,3, „ n—p.()
jal
Theo giả thiết, (2) là hệ quả của (1) nghĩa là nếu xeVP thì
xeV', Điều đĩ cĩ nghĩa là V? c V1 tức là A" cùng phương với A*
Ngược lại nếu ÁP cùng phương với A" tức là V? c V1, khi đĩ ta
cĩ hệ phương trình (2) là hệ quả của hệ phương trình (1)
1.24 Ta viết phương trình tham số của đường thẳng AB rồi tìm giao điểm của đường thẳng AB đĩ với các siêu phẳng tọa độ
a) Ta cĩ A(4, 3,~1, 2), B(—1, 2, 1, ð)
Đường thẳng AB cĩ vectơ chỉ phương AB = (—5,—1,2,3)
Trang 23* Với siêu phẳng x; = 0 ta cĩ tọa độ giao điểm là:
(Xi, X;, Xạ, X¿) = (—11,0,5,11)
« Với siêu phẳng xạ = 0 ta cĩ tọa độ giao điểm là:
35 7
(1, Ma, Xa, X4) = rare,
« Với siêu phang x, = 0 ta cĩ tọa độ giao điểm là:
22 11 7
(XI, Xu, Xg, Xã) = (=, 1y Xø, Xã, Xã) = ( 3873 5,0)
b) Tương tự như câu a) ta cĩ: AB = (2,3,-5,3)
Đường thẳng AB cĩ phương trình tham số là: xị =1+2t x; =-l+3t x; =2-ðt x¿ =~2+ätL Các giao điểm của đường thẳng AB với các siêu phẳng tọa độ s , 59 7 5 2 91 4 7 4 lần lượt là: (0, —=,=,—=), (C,0,<,—1), CC, —,0—=),(C,1~=,0) ẩn lượt là: ( 55 ah 3 ) rg ae zo) 1.25 a) Ta ¢6 AB = (-4,3,3,-1) CD = (1,0,-3, -5) Ta nhận thấy hai đường thẳng AB và CD khơng cùng phương vì (-4:3:3:-1) # (1:0:-3:~5 )
Bây giờ ta lập phương trình tham số của hai đường thẳng AB và CD Đường thắng AB cĩ phương trình tham số là:
x, =4- 4t
Trang 24
Đường thẳng CD cĩ phương trình tham số là: x " ' ltu =-]l -1-3u —5u Tọa độ giao điểm của AB và CD nếu cĩ sẽ thỏa mãn hệ phương trình sau: 4-4t= 1+u (Œ) AB aCD: St ~1 @ ~1+3t=-1-3u (3) 2-t= -5u (4)
Từ (2) ta tính được t =-5- Thay gid tri nay cia t vao (3) ta
tinh duge u =8: Thay các giá trị này của t và u vào (1) và (4) ta
thấy hai vế khơng bằng nhau Vậy hai đường thẳng AB và GD
khơng cĩ điểm chung Mặt khác chúng khơng cùng phương nên AB và CD là hai đường thẳng chéo nhau
b) Ta c6 AB = (9, ~3,9,~8) CD = (6,-3,~6,15)
Trang 25Giải hệ phương trình này, ta tìm được t = ; va u =5 Từ đĩ ta tính được tọa độ của giao điểm I là (1, 1, 1, 1) Vậy hai đường
thẳng AB và CD cắt nhau tại I(1, 1, 1, 1)
1.26 Giả sử m-phẳng cho trước A” cĩ phương V” Gọi A*”" là m-
phẳng đi qua điểm B và nhận V” làm phương Như vậy phẳng A”"
được xác định duy nhất Ta cần chứng mình A”” song song với À”
Giá sử hai cái phẳng A" và A"" khơng song song và cĩ mt
im M ô Aơ A'" Như vậy cái phẳng A”" đi qua điểm M e A"
và cĩ phương V" nên A”” trùng với A"
Do dé A™ khong chia diém B là điểu trái với giả thiết Ta
suy ra A song song vdi A”
Cách khác: Giả sử A™ va A’ cắt nhau Theo định lí về tổng số chiều của tổng và giao của hai cái phẳng trong trường hợp cĩ điểm
chung ta cĩ: :
dim (A™ + A”) = dim A™ + dim A™ — dim (A"> A”)
Ta cé dim (A" A™) = dim (V"AV") = dim V" = m
Do do ta suy ra dim (A" + A™) =m+m-m=m
Vay A" + A™ = A™ hay A™ tring véi A™ nghia la A™ khong
chứa điểm B ( khơng thuộc A”) là điều trái với giả thiết Như vậy là A" và A”" khơng cắt nhau và cĩ chung phuong V™ nén A™ song
Trang 271.30.Vì G là tâm tỉ cự của hệ điểm Mụ, Mạ, , Mẹ ứng với họ các hẹ số mụ, m;, my với mị + mạ + + mạ # Ú nên ta cĩ: Sim, GM isl P eee : © Ym, (GE+ CM) = 0 @) i=l véi C 1a tam ti cy cia hệ diém (H, Mya, Mus, -, Mp) trong do H la Mụ) với k < p Ta cĩ thể viết tâm tỉ cự của hệ điểm (Mì, Mạ, đẳng thức (1) ở trên dưới đạng: p cee P _ — " Œ)© Šm,GỐ + 3m, (CH + HM,) =Ư isl m (2) am Eee m, C+ Sm, HM; + iv i 9 Me i Theo gia thiét H la tâm tỉ cự của hệ điểm {Mụ, Mạ¿, , Mỹ} (Œ < p) ứng với các hệ số mạ, mạ, mạ với mị + mạ + + mụ z Ú A nên ta cĩ : >im, HM; =0 i=l Mặt khác ta cĩ C là tâm tỉ cự của hệ điểm (H,M¿„¡, Mu„s, , M,} (3) k >m,, Met, Mya) > Mp VOI int ung véi cac hé si k Yim, + Meer + mụ,; + .+ mạ # Ơ nên ta cĩ: (4) G=0.Ta GB >
Thay các giá trị của (3) và (4) vào (2) ta cĩ: Ð`m,
Mụi trùng với tâm tỉ suy ra tâm tỉ cự G của hệ điểm (Mạ, Mạ,
cự Ở của hệ điểm (H, Mu.t, Mụ.¿, , Mỹ} vì từ
Trang 28a p ae
5m, C =0 mà 3m, z0nên GC =0 hay G=C i iat
1.3La) Vi G la tam ti cy cia hé điểm (P;, Ps, , Py gan véi ho các hệ số À¡, 2a, À„ nên ta cĩ đẳng thức: 0 4, GP; +A,GP, + 44, GR, thay À¡ = kÀ với ¡ = 1, 2, , k ta vẫn cĩ: ka, GP, + kA, GP, + +kd, GP, =6 Do dé ta c6 G 1a tam ti ev cia hé diém Py, Py, ho cde hé sé kAy, kag, * , KA b) Trường hợp À¡= Ag = GP, + GP, + + GB, = 0 » Pụ gắn với Ay ta chon céc A; = 1, khi dé ta cé:
Điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm P;, P;, P„ « Đối với đoạn thắng AB ta cĩ:
GA +GB=6
© GA=-GB © Ga trung diém cia doan AB « Đối với tam giác ABC ta cĩ:
GÀ + GB + GỠ =Ư
Goi A, 1a trong tam cha cạnh BC ta cĩ A, la trung
điểm của đoạn BC Theo kết
qua của bài 1.30 ta suy ra
trọng tâm của hệ điểm {A, H,
B, C} trang véi trong tam của hệ điểm {A, Ay} trong đĩ
A, 1a trong tam của hệ điểm
{B, C} Do đĩ trong tam G của tam giác ABC là tâm tỉ
cự của A, A, nén thuộc trung tuyến AA; của tam giác ABC
h A, c
Trang 29Lá luận tương tự ta cĩ G thuộc trung tuyến BBạ (B¡ là trung
điểm của đoạn AC) Vậy trọng tâm G của tam giác ABC là giao
điểm của hai đường trung tuyến AA;, BB; của tam giác đĩ
1.32.Với hai điểm P, Q phân tập
hợp những điểm M sao cho MP =kMQ
với k < 0 là tập hợp những điểm thuộc đường thẳng PQ và ở giữa hai điểm P và Q Đĩ chính là những điểm trong của đoạn thẳng PQ Do đĩ nếu ta lấy hai điểm M, M bất kì thuộc đoạn PQ thì đoạn thẳng MM nằm hồn tồn trong
đoạn PQ Vậy tập hợp những diém M sao cho MP =kMQ với
k <0 là một tập lãi
1.38 Giả sử A, B, C là ba điểm khơng thẳng hàng thuộc hình lãi +, Vì F là tập lơi nên với A e F, B e F ta cĩ đoạn thẳng AB nằm
hồn tồn trong F Li luận tương tự, ta cĩ các đoạn thẳng BC, CA cũng nằm hồn tồn trong F Gọi M là một điểm bất kì thuộc miễn trong của tam giác ABC Goi N = AM đ¬ BC Ta cĩ Ne F nén đoạn AN thuộc P và do đĩ M eF Vậy tất cả các điểm của tam giác ABC đều thuộc F
NHẬN XÉT Cĩ thể xem tam giác ABC là giao của ba nửa mặt phẳng đĩng giới hạn bởi các đường thẳng AB, BC, CA theo thứ
tự chứa C, A, B Giao này là một bộ phận lơi của F Ta dễ dàng
chứng minh được giao của hai tam giác nếu cĩ cũng là một tập lỗi
Cần chú ý rằng hợp của hai tam giác cĩ thể khơng phải là một tập
lỗi
Trang 30aa x h ne =
Sim, G6 =6 mà 3m, z0nên GỠ =Ư hay GzC it oi
1.31.a) Vi G 1a tam ti cu cla hé diém {P,, Po, ., Py gắn với họ
cdc hé sé Ay, Av, ., Ay nén ta cĩ đẳng thức: AGP, +A)GP, + 4, GP, =6
thay À¡ = kÀ; với ¡ = 1, 2, , k ta vẫn cĩ:
kA, GP, +kA, GP) + +ka, GP, = 6
Do đĩ ta cĩ G là tâm ti cy cha hé diém Py, Py, ., Py gin voi họ các hệ số kài, kà¿, ` , kêy b) Trường hợp A¡= = À¿ ta chọn các À¡ = 1, khi đĩ ta cĩ: 2 GP, +GP, + +GP, =6
Điểm G gọi là trọng tâm của hệ điểm Pị, P;, Py
« Đối với đoạn thẳng AB ta cĩ: GA +GB=6
© GA=-GB © Ga trung diém cia doan AB
+ Đối với tam giác ABC ta cĩ:
GA + GB + GỠ =ư
Gọi A; là trọng tâm của cạnh BƠ ta cĩ A¡ là trung
điểm của đoạn BC Theo kết
qủa của bài 1.30 ta suy ra
trọng tâm của hệ điểm {A, B,
B, C} trùng với trọng tâm của hệ điểm {A, A¡} trong đĩ
A, 1a trong tam của hệ điểm
{B, Cl Do dé trong tam G của tam giác ABC là tâm tỉ
cự của A, A¡ nên thuộc trung tuyến AA; của tam giác ABC
B A, Cc
Trang 31LQ H
X
Giao của hai tam giác ABC Hợp của hai tam giác ABC và ABC
và ABC là một tập lỗi khơng phải là một tập lỗi
tà sa se ine lg
1.34 a) Gid sty (ABC) =’ AB=AAC© AƠ = x AB
11 Vay ta c6 (ACB) = 2 =_1_ ay ta 06 (ACB) = 5 = Ga
b) Giả sử (ABC) =k <> AB = kAỔ
© AB + BƯ = kÀ + B © AC = kÃC + BẺ © (1-k)AC = BG
Ta suy ra CB = (1-k)GA
hay (CBA) = 1~ k= 1— (ABC) ©) Giả sử (ABC) = t © AB = LAC
© BA =tCA @ BA = t(BA - BC)
= tBẺ = (t- DBÄ
= BA BC <> (BAC) = = 130) (ABC)-1
1.35 a) Trong khéng gian afin A" déi với mục tiêu đã chọn, giả sử
ba m- phẳng P, Q, R song song với nhau lần lượt cĩ phương trình
là:
_— + t-1
Trang 32n P): Slayxj +p) = 0 jel n (Q): Mayxy +a =O$ i=1,9, ,n-m jal (R): Yayx; +r =0 ish
Các phẳng P, Q, R cĩ cùng số chiều và song song với nhau nên
phương trình của chúng cĩ đạng như trên, trong đĩ các số pị dị, x, d6i một khác nhau với chỉ số ¡ nào đĩ (và cũng cĩ thể với mọi Ì)
Gọi dị là đường thẳng đi qua điểm A(a) và cĩ phương bì hi đĩ đường thẳng dị cĩ phương trình tham số là:
xị= ai + bịt với j = 1, 2, m
Đường thẳng d; cắt các m- phẳng P, Q, R lần lugt tai Pi, Qi, Rị Giả sử các giao điểm P¡, Qạ, Rị lần lượt ứng với các giá trị tp,
Trang 33ty = 2 Say, với mọi ¡ = 1, 9, n~m ụ Daya HK Daybj m với mọi ¡ = 1,9, ,n~m Các giá trị tụ, tạ, t, khơng thay đổi với mọi ¡ = 1,2, ,n — m Ta giả sử (P;Q¡Rạ) = k, khi đĩ P,Q, = kB,R, tạ —E, - Ta cĩ (P,QiRị) = 2 = BOP f-t, 4p
Như vậy giá trị tỉ số đơn (P,Q,R;) nay khong phy thuéc vao vị
trí của đường thẳng dị nghĩa là ta cĩ (P;Q¡Rị) = (P;Q;R¿) với Pe, Qe, Re 1a các giao điểm tương ứng của đường thẳng d; với các mat
phẳng P, Q, R Điều này tất nhiên vẫn đúng khi dị và dạ song song với nhau,
Trang 34hay Q,Q, = (1~p)P,P, +pR,R,
1.86 Hai đường thẳng di, dz song song véi nhau xác định một mặt phẳng Các điểm Pị, Qị, Ri
phân biệt và Pp, Qo, Ry phan
biệt chứng tơ rằng các đường thẳng dị, dạ khơng cắt (n-2}- phẳng giao của ba siêu phẳng đã cho Mặt phẳng (dị, d;) cắt các siêu phẳng P, Q, R theo các đường thẳng P¡P¿, QiQo, RiRe (vì giao của siêu phẳng với một m-phẳng là một (m-1)-phẳng) Ta xét hai trường hợp Sau:
a) Giả sử đường thẳng P¡P; cắt đường thẳng Q¡Q; tại M thì tất nhiên M thuộc (m 2)-phẳng giao Do đĩ M thuộc siêu phẳng R
Mặt khác M thuộc mặt phẳng (dị, d;) nên M e R ^ (dị, dạ), Vậy M
thuộc đường thắng R,R; nghĩa là trong mặt phẳng (dị, đ;) ta cĩ 3
Trang 35B,Q; =tP,Rý © (P;QsR¿) = t Vậy _ (P,Q,R)) = (P;QzR¿)
b) Giả sử đường thẳng P\Pz⁄/ Q;Q¿ nghĩa là bai đường thẳng này khơng cĩ điểm chung Do đĩ mỗi đường thang P,P, va Q:Q: déu khơng cĩ điểm nào thuộc (n-2)- phẳng giao cả Ta suy ra
đường thẳng R,R; phải song song với hai đường thẳng P,P, và Q¡Q;Vì nếu RịR; cắt một trong hai đường thẳng này thì điểm
chung đĩ phải thuộc (n-2)-phẳng giao là vơ lí Vậy ba đường thắng
PỊP;, QiQ;, RịR;¿ nằm trong mặt phang (dj, dz) và song song với
nhau Ap dụng kết quả của bài 1.85 ta cĩ (P,Q¡Rị) = (P;ạQsR;)
1.37 a) Trong A" cho bai siêu phẳng œ và œ lấn lượt cĩ phương trình là: a,x, +b=0và Ð`e,x,+d=0, ft
ta
Siêu phẳng œ và siêu phẳng œ lần lượt cĩ các vectơ pháp tuyến là: a = (ai, as, , an)
C= (1, C2, «5 Cn)
s Diéu kién dé a va a c&t nhau IA ava ckhéng cong phuong nghia la a# ke ôâ a, # kẹ, với ¡ = 1, 2, n và k0
s Điều kiện để œ và ơ song song với nhau là avà ccùng
phương nghĩa là a, = ke; với i = 1, 2, n và b # kd với k z 0
» Điều kiện để œ và œ trùng nhau là avà € cùng phương nghĩa
Trang 36b) Ta chứng minh rằng phương trình của chùm siêu phẳng xác
định bởi hai siêu phẳng œ và ơ cĩ đạng :
A2, +b)+ nex, +d)=0
iA i=l
trong đĩ A va «1a cdc hé số khơng đồng thời bằng 0
« Nếu ơ” là một siêu phẳng thuộc chùm siêu phẳng nĩi trên và giả sử œ” cĩ phương trình là : Sex, +f£=0 ia Khi đĩ hệ ba phương trình : 1z ax,+b=0 Œ Me ox, td=0 @) ` ex,+f=0 (3) phải tương đương với hệ hai phương trình sau đây : Sax, +b=0 Sex, +d=0 ie
Muốn vậy ta phái cĩ điều kiện là phương trình (3) phải là hệ
qủa của hai phương trình (1) và (2), nghĩa là :
e¡ = Àa¡ + He với ì =1, 2, , n
Trang 37sNgược lại nếu một siêu phẳng bất kì cĩ phương trình đạng :
Dex, +f=0 (3) im
trong đĩ e¡ = Aa; + pe
va f= Ab + ud vdi A, «la cặp hệ số khơng đồng thời bằng 0 thì siêu phẳng đĩ cĩ phương trình là hệ qủa của hai phương trình biểu thị cho siêu phẳng œ và siêu phẳng œ Như vậy siêu phẳng Ð'ex,+f=0 với điểu kiện như trên là siêu phẳng thuộc iat chùm siêu phẳng xác định bởi hai siêu phẳng œ và œ đã cho nĩi
trên
CHU Ý Muốn xác định một siêu phẳng của chùm thỏa mãn một điều kiện nào đĩ, ta cẩn dựa vào điều kiện này để tìm ra các hệ
số À, ụ xác định sai khác một hệ số tỉ lệ khác 0 Sau khi tìm được các giá trị của À, w ta thay các giá trị này vào phương trình của
chùm siêu phẳng, ta sẽ lập được phương trình của siêu phẳng cần
tìm Với giá trị A, w) = (1, 0) ta tìm được phương trình của siêu
phẳng a; với giá trị A, m) = (0, 1) ta tìm được phương trình của siêu phẳng œ Chú ý rằng hai siêu phẳng œ và œ xác định nên chùm siêu phẳng cĩ thể cắt nhau hoặc song song với nhau Khi đĩ
siêu phẳng của chùm sẽ di qua giao œ ¬ œ (nếu cĩ) hoặc song song
với œ va a (néua na =)
§6
1.38.Trong khơng gian ađn A, cho siêu phẳng œ và một đường thắng d cĩ phương m khơng thuộc phương œ Phép chiếu song song từ khơng gian ađn A” lên mặt phẳng œ theo phương của đường thẳng đ được thực hiện như sau:
fA oa:
Với mỗi điểm M e AŠ ta cĩ {(M) = M e€ o bằng cách qua M dựng đường thẳng song song với d Đường thẳng này cắt mặt
Trang 38d fn M f(M) = M là một ánh xạ phẳng œ tại M Ta gọi M là hình chiếu song song của điểm M trên mặt phẳng «a Theo tính chất của phép chiếu song song nếu cĩ một điểm M e A2 thì ta tìm được điểm M
duy nhất thuộc œ.Vậy
Gọi V°, V? lần lượt là các khơng gian vectơ liên kết với các khơng gian ađn AŠ và ø Gọi ọ: V' ¬› V? là ánh xạ nền của f Cĩ thể coi V? = V? + VÌ trong đĩ VỀ là phương của mặt phẳng œ và V'
là phương của đường thẳng d Cần chứng minh ọ là ánh xạ tuyến
tính nghĩa là ọ cĩ tính chất :
ax + by) = ag(x) + bey)
Lấy vectơ xe VỶ ta cĩ x= Xị +x¿ trong đĩ xị e VÌ và x, e VỆ, và vectơ y e VỎ ta cĩ y= y, +y, trong dé y, e VÌ và y, e V?,
"Ta xét tính chất của ánh xạ nên ọ :
@(X)= x, với x=x, +x,: ta lấy vectơ x; thuộc V° @(y)= y; với y=y, ty, : ta lấy vectơ y, thuộc V?
g(ax + by) = axi + axs + bi ty,
ev? «vì
Ta cĩ g(ax+ by) = ax¿ + by;