1. Trang chủ
  2. » Khoa Học Tự Nhiên

Hình học cao cấp part 2 doc

29 312 1
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 29
Dung lượng 466,7 KB

Nội dung

Trang 1

S| Vậy điểm X thuộc đoạn thẳng MN thuộc đơn hình

SŒ, P\, ,Pm) Ta suy ra đơn hình m chiều đĩ là một tập lơi

NHẬN XÉT Ta cĩ thể định nghĩa đơn hình m chiều S(P,,

Pi, Pm) trong Á” xác định bởi m+1 điểm độc lập Pu,P¡, ,Pạ là

tập hợp những điểm M sao cho với một điểm O nào đĩ ta cĩ :

OM = ¥ 2,08; với yay =1 và >0 với ¡ = 0,1, m i=0 i=0 5 HÌNH HỘP m CHIEU

a) Định nghĩa Cho m+1 điểm độc lập Pu,P\, P„ của khơng

Trang 2

Diéu do chting té X thudc hình hộp m chiểu.Vậy m-hộp là

một tập lồi

c) Chú ý Người ta chứng minh được rằng giao của những

tập lồi là tập lỗi Rư ràng mỗi hình hép cĩ 2” đỉnh khác nhau

Dinh P, ting voi 4; = 0 vdi moi i Dinh P; img voi tị =1, t, = 0 nếu J#1

Trong định nghĩa hình hộp điểm gốc P, thực ra khơng đĩng một vai trị gì đặc biệt, tức là mọi đỉnh khác của hình hộp đều

cĩ thể đĩng vai trị điểm gốc

Hình hộp 0 chiều là 7 điểm, hình hộp 1 chiều là một đoạn

thẳng, hình hộp 2 chiều là một hình bình hành, hình hộp 3

chiéu là hình hộp theo nghĩa thơng thường, Nếu trong định nghĩa của hình hộp ta cho p tham số nào đĩ bằng 0 thì ta được

một hình hộp m-p chiều và hình hộp đĩ được gọi là mặt bên

m- p chiều của hình hộp m chiều đã cho Mặt bên 0 chiều chính

là đính cịn mặt bên 1 chiểu được gọi là cạnh của hình hộp

Tĩm lại một hình hộp m chiều xác định bởi m+1 điểm Pụ,

P,, Pm dé lap trong A" va duge ki hiéu 14 H(P,,P), ,Pm) :

hinh hép m chiéu rn

7 PM=3 ^;P,P,với0<2À¡<1

HP, Pi, Pe) ”" PoP vei

Me

§6 ANH XA AFIN CUA CAC KHONG GIAN AFIN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA KHƠNG GIAN AFIN 1 ĐỊNH NGHĨA

Cho A và A' là hai khơng gian an trên trường K liên kết

Trang 3

véi hai khéng gian vecto V va V Anh xa f:A-> A’ được gọi là

ánh xg gfin nếu cĩ ánh xạ tuyến tính ọ : V -› V' sao cho với

moi cap diém M,NeA va anh M' = {(M), N = {N) ta cĩ

M'N’ = @(MN)

Anh xạ tuyến tính ọ@: V - V' được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết vdi anh xa afin ƒ

CHỦ Ý : Người ta cịn cĩ thể kí hiệu ánh xạ tuyến tính @=Ẽ: ASA

2 TINH CHAT CUA ANH XA AFIN

a) Mỗi ánh xạ afin f:A -+ A' chỉ cĩ một ánh xạ tuyến lính liên kết duy nhất ọ : V -› V'

Thật vậy giả sử f cịn cĩ ánh xạ tuyến tính khác là

ọ:V - V' Khi đĩ với mọi cặp điểm M,N thuộc A ta cĩ MÌN =g0(MN) và MÌN =g'0MN) Do đĩ @(MN) = ø (MN) hay

p =ụ@

b) Với mỗi ánh xạ tuyến tính @ : V -› V' và với cập điểm le A va I'e A' xác định duy nhất mệt ánh xạ ađn f:Á -> A' nhận @ là ánh xạ tuyến tính liên kết và cĩ f) = I

Thật vậy, ta xác định ánh xạ f: A — A' biến mỗi điểm M e A

thành diém M’ « A’ sao cho g(IM) = IM` Bhi d6 fla ánh xa

an liên kết với ánh xạ tuyến tính ø vì mọi M, Ne A ta cĩ :

(MN) = pIN - IM) = o(IN)~- @(IM)= IN -ÙM = MN"

Ro rang f(1) = I’ va 4nh xa f 1& duy nhất vì giả sử 6 anh xa

afin f’ : A > A‘cé dnh xạ tuyến tính liên kết là p va f U) = Ï thì với mọi điểm M e A ta cĩ ;

I'f (MD = @ĐM) = Lf(M) nên f (MƠ = ÂM), Do đĩ f= f

©) Tích của hai ánh xạ ađn f :A -› A`' và g :A' + A" là một ánh xạ am và được kí hiệu là gof Ánh xạ liên kết của tích got nay

Trang 4

là tích của hai ánh xạ liên kết của hai ánh xạ f và g

Tính chất này được suy ra từ định lí nĩi rằng tích của hai ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ tuyến tính Do đĩ ta suy ra ánh xạ liên kết của tích gof cũng là một ánh xạ tuyến tính Nếu

gọi @ và tụ là hai ánh xạ liên kết của f và g, người ta dễ đàng chứng minh được rằng ánh xạ tích wsọ là ánh xạ tuyến tỉnh

liên kết với ánh xạ afn guf

q) Cho n+1 điểm độc lập M,,M:, ,M, trong khơng gian ađn

n chiêu Á” và cho n+1 điểm tuỳ ý M,,M', ,M, trong khơng

gian afin A’ Khi đĩ cĩ một và chỉ một ánh xạ ađn duy nhất f†: A" — A' sao cho f(M,) = M’ vdi i= 0,1, , n

Chứng minh

Vĩ n+1 điểm Mụ, M¡, ,Mạ độc lập trong A* nên hệ n vectơ

MM, ,MẸM, >› MỤM, là một cơ sở của khơng gian vectơ A" liên kết với A" Khi đĩ cĩ một ánh xạ tuyến tính duy nhất

@: A" + A’ sao cho 9(M,M,) = MM; véii = 0,1, , n

Theo tính chất b) cĩ một ánh xạ ađn duy nhất f: A" -› A‘ sao cho f(M,) = M’, va fcé anh xạ tuyến tính ọ liên kết của f

Như vậy f(M,;) = M; và f là duy nhất

e) Anh xa afin f: A> A’ bién một m - phẳng của A thành

một ¿ - phẳng của A' với ¿ < m,

Chứng mình

Goi @ A> a là ánh xa tuyến tính liên kết với ánh xạ an £ Á -›> A' và A” là m - phẳng của A cé phuong A™ cA Khi đĩ CA”) là một khơng gian vectơ con ¡ chiều nào đĩ của Ä

mà ¿ <m Giả sử I là một điểm nào đĩ của A" và I= 1) Gọi A” là ? - phẳng ađn đi qua I và cĩ phương là Am,

Trang 5

Ta cần chứng minh f(A") = A”

Thật vậy giả sử điểm M'e< A”), gọi M e A” là tạo ảnh

của M 7

Ta cĩ M' =fM), khi đĩ EM” = gữM) e g(A”)= AT,

Đo đĩ M' j AT,

Mặt khác nếu Me A thì AM 'e A’ cho nên nếu ta lấy x là tạo ánh của A’M’ thi A’M’ = ọ(x) rơi gọi M là điểm cia A™ sao cho AM= x thi M' = ĐM) tức là M'e f(A”).Vậy tính chất

trên được chứng minh

3 DANG CẤU AFIN

Nếu ánh xạ ađn f: A ~> A' là một song ánh thì nĩ gọi là

phép đẳng cấu afin của khơng gian afin A lên khơng gian ađn

A' Khi đĩ tất nhiên Á và A' cĩ cùng một số chiều va g(A) =A’

là phép đẳng cấu tuyến tính giữa hai khơng gian vectơ Ä va

A

Hệ quả Trong A® va A” lan lugt cho hai muc tiéu afin {RE} va {E',; Ej} véi i =1,2, n thi cé duy nhat mét phép

dang cau afin f : A” > A™ sao cho f (BH; ) = E) với ¡ = 0,1, 2, TL

4 PHEP BIEN DOJ AFIN

a) Dinh nghia Phép dang edu afin f: A > A cia khéng gian

afin A lén chinh.n6 duge gọi là phép biến đổi afin ƒ của khơng

gian ađn A và được gọi tắt là phép an Khi đĩ ánh xạ tuyến

tính liên kết : A-> Ä của f là một phép tự đẳng cấu tuyến

tính và cịn được gọi là phép biến đổi tuyến tính

Thí dụ Cho khơng gian ađn A liên kết với khơng gian veetơ

V Cho vectơ v cố định trong V và xét ánh xạ £ A —› A sao cho

Trang 6

nếu M` = ĐM) thì MM'= v Phép afin f nhu thé goi la pháp

tinh tién theo vecto v và được kí hiệu là t; Vecto v goi la vectơ tịnh tiến

Phép tịnh tiến t¿ là một phép biến đổi ađn với ánh xạ tuyến tính liên kết ø là phép đồng nhất ldy : V > V

Thật vậy với mọi M,N e A ta cĩ o( MN) = Idy (MN) =

=MN = MM +MN +NN=v+MN +(v)=MN

Ngược lại nếu f là một phép biến đổi afin ma ánh xạ tuyến tính liên kết @ = Idy thi fla một phép tịnh tiến That vậy, lấy một điểm I cố dinh cia A va dat I’ = f(D) Khi đĩ : Mg(M)= MM’ = Mi+ r+ T'M = Mi+ Il + o(IM ) = M+ I+ TM's Il vi fM = IM

b) Định lí Trong khơng gian aBn A" cho hai hệ điểm độc

lập là A„Ai, A, và A',, Ah, A),„ Khi đĩ cĩ một phép biến đối

an duy nhất £ A” > A" sao cho NA) = A’, vdi i = 0,1, n

Định lí này là hệ quả trực tiếp của tính chất đ về sự xác định

của ánh xạ an với ánh xạ tuyến tính liên kết với f là phép

biến đổi tuyến tính

©) Định lí Tích của hai phép afin là một phép an cĩ phép

biến đổi tuyến tính liên kết là tích các phép biến đối tuyến tính liên kết của hai phép afin đã cho Đảo ngược của một phép afin là một phép ađn cĩ phép biến đổi tuyến tính liên kết là đáo ngược của phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin da

cho :

Chúng mình

Trang 7

đổi tuyến tính liên két lan luot la g:A > A va w: A >A Khi

đĩ gọi M, N là một c&ép diém nao dé cia A va M’ = f(M), N' = f(N), M” = g(M’) = g f (M), N" = g (N’) = g f (N) thi ta cd:

MN” = y(MN) = w.o(MN) Nhu vay tich gf: A> AIA một ánh xạ ađn cĩ ánh xa tuyén tinh lién két la y.g Vig va y la những phép biến đổi tuyến tính nên y.¢ cing 1a mot phép biến

đổi tuyến tính Do đĩ gf là phép biến đối ađn Đảo ngược của phép ađn f là phép an f ” cĩ phép biến đổi tuyến tính liên kết là g} , d) Định lí Phép biến đổi afin biến một m - phẳng thành một m - phẳng ` Chứng mình

Gia sti f:A > A 1a một phép ađn của khơng gian afin A và

gọi A" là một m-phẳng nào đĩ của A Theo tính chất c) của ánh xạ aũn §6 ta cĩ fA”) là cái phẳng / chiều của A ma / < m

Nhưng vì f Ì: A -> A là một phép ađn biến f(A™) thanh A™ nén m <¿ Từ đĩ ta suy ra / = m Vay f(A”) la m-phang

Hệ quả Phép ađn f: A -> A biến một đường thẳng thành

một đường thẳng

e) Định li Phép afin f : A > A bao tén tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng nghĩa là nếu P' = f (P), Q = f(Q), R = f(R) và

P, Q, R thang hàng thì PQ,R' thẳng hang va (PQR) = (P'QR)

Chứng minh

Goi o lA phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép ađn f

và giả sử PQ= APR thi PQ’ = o( PQ) = ọ(PR) = Ao(PR) =

=AP'R’.Ti đĩ ta suy ra nếu P, Q, R thẳng hàng thì P, Q, R' thẳng hàng và (PQR) = (PQR) = ^

36

Trang 8

vs.”

5 PHƯƠNG TRÌNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFIN

Trong A" cho một mục tiêu ađn (Eq;E} Gọi f:A" — A" là một phép biến đổi ađn Muốn lập phương trình của phép biến đổi ađn f ta hãy tìm hệ thức liên hệ giữa toạ độ (xi,xs, XuÌ

của một điểm X « A° và tọa độ (xì,x›, x'„) của điểm fX) đối với mục tiêu da chon

Gọi E) =KEi) với ¡ = 0,1, n Vì f là phép biến đổi ađn nên n+1 điểm E,, E;, E'„ độc lập và tạo nên wnột mục tiêu {Eu BE} Giả sử C là ma trận

chuyển từ mục tiêu (E,;E;} _ fo ẻ

sang mục tiêu {E,;E`} và ! x1

(bi b¿ bạ) là tọa độ của me! 3 wo ‘el

điểm E,= fE) đối với mục `“ 1 '

tiéu {E,;E;}.Ta cin chú ý ! x '

rằng C cũng là ma trận tư |

chuyển từ cơ sở {E,E,} {EB} (EB)

sang cơ sở {E,E;) với c

hinh 2

i= 1,2, n

Gọi X = ĐX),theo định nghĩa của f ta cĩ g(E,X)= E¿X' Nếu (X1,X2, %n) 14 toa độ của X đối với mục tiêu {E,;E;} thì :

E,X= x, E,E, + x2E,E,) + 4x,E,E,

"= @(E,X) = x: ELE, + xB jE) + + xn E,E)

Do d6 E, 0

Điều đĩ cĩ nghĩa là điểm X' cĩ tọa độ đối với mục tiêu

{E;E¡)Hà GXi,xs, xa)Ta suy ra rằng sự liên hệ giữa các tọa độ (xj) và (x;) là sự Hên hệ giữa các tọa độ của cùng một điểm X'

Trang 9

trong đĩ {xÌ], [x] và [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của các

điểm X, X' và E', đối với mục tiêu đã chọn {E,;E;)}

Ma trận C* khơng suy biến (là ma trận chuyển vị của ma

trận chuyển C) được gọi là ¿ma trận của phép dfin ƒ đã cho và phương trình (1) ở trên là phương trình của phép ađn đĩ Ta

chú ý rằng đối với cơ sở {e,} = {E,E; }, phép biến đổi tuyến tính o điên kết với phép ađn f nĩi trên) cĩ phương trình là :

[x1= C1]

Trong đĩ (x] và [x'] là ma trận cột tọa độ của các vectơ x

và œ(x) đối với cơ sở { e, } của khơng gian vectơ A

Ngược lại đối với một mục tiêu đã chọn {E,;E¡} mỗi phương trình cĩ dạng [x] = B[x] +[b'] trong đĩ B là một ma trận vuơng

cấp n khơng suy biến đều là phương trình của một phép biến

` đổi ađn nào đĩ.Thật vậy, ta gọi ( bìị,b», „,bn) là tọa độ của

điểm EQ đối với mục tiêu {Eu;E;} và {fEu;E¡} là mục tiêu aÏn sao cho B* là ma trận chuyển từ {E,;E;) sang {E',,E;} Khi biết B

và [b] thì mục tiêu {E',;E;} hồn tồn được xác định

Bay gid goi f: A" > A" la phép afin sao cho f(E;) = E; với i= 0,1,2, ,n thì dễ dàng thấy rằng phương trình của phép ađn † đối với mục tiêu {Eu;E,} chính là phương trình {x] = B[x] + [b] đã cho

Thí dụ 1 Một phép tịnh tiến tụ: A" ¬ A" được xác định bởi phép đồng nhất trong V° (là khơng gian vectơ liên kết của A’)

Trang 10

Thí dụ 2 Trong mặt phẳng afđn A? đối với mục tiêu đã chọn, hãy lập phương trình của phép biến đổi ađn f biến các

diém A(1,0), B(0,2), C(-3,0) lan lượt thành các điểm A(2,3),

B(-1,4), C(—2, ~1)

Giải

Phương trình của phép ađn f cĩ dạng tổng quát là :

m =A¡XỊ +RaX; +C¡ hay x nh Mi

Xe = bx, + box, + Cy Xã bị be |x fy

Ta cần tìm các số a),a2,by,b2,¢1,c cia phép afin f

Ta cĩ theo giả thiết A(1,0) — A(2,3) B(0,2) > B(-1,4) C(-3,0) > C(-2, -1) nên ta cĩ hệ phuong trinh ; 22a + @®) 38 =bị + (2) -1 =2a + ty (8) 4 =2b, + & {4) -2 =-38a, + ¢ (5) -1 =~3b, + & (6)

Ta được một hệ gồm 6 phương trình, 6 ẩn Giải hệ phương trình này ta được phương trình của phép afin cẩn tìm là :

xì lị= l TE] A + Ầ 1 =X -Xgt1

Xo 11; 2 Xạ =Xi+X¿ạ+2

6 MỐI QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH CỦA MỘT PHÉP

BIẾN ĐỔI AFIN ĐỐI VỚI HAI MUC TIEU AFIN KHAC NHAU

Giả sử đối với mục tiêu ađn {E„;F¡} phép afin f:A" — A" cĩ phương trình là :

Trang 11

[x’] = B [x] + [b]

Bay gid d6i voi mét muc tiéu afin khac 14 {E’,;E'}} phép afin f d6 c6 phuong trình là:

[x]= BIx] +[b'}

Vi B và B' cũng là ma trận của phép biến đổi tuyến tính ọ :V' -› V° liên kết của phép ađn f đối với các cơ sở tương ứng là {E,E; } và {ESE; } với ¡ = 1, 2, n Từ đĩ ta suy ra sự liên hệ giữa B và B' bằng hệ thức : B' = (C*}1B.C* trong đĩ C là ma trận chuyển từ cơ sở (EBV} sang cơ sở (EE; }

CHÚ ý Trong phương trình của phép biến đổi ađn f đối với

một mục tiêu ađn {E,;E;} cho trước cĩ dang [x'] = B[x] + [b], nếu ta cho [x] = {0] ta cĩ [x1] =[b] Điêu đĩ cĩ nghĩa là (bị, bạ, , bạ) chính là tọa độ của diém f(E,) = E’,

Nhân xét này giúp ta rút ngắn được quá trình lập phương trình của phép biến đổi ađn trong trường hợp giả thiết cho biết tọa độ của điểm f (E,) đối với mục tiêu {Eu;E;}

7.ẢNH CỦA ĐƠN HÌNH m CHIỀU VÀ CỦA HÌNH HỘP m CHIEU QUA PHEP BIEN DOI AFIN f

a) Định lí : Qua phép biến đổi ađn một don hinh m chiéu biến thành một đơn hình m chiêu

Chứng minh

Giả sử đơn hình m chiều xác định bởi m+1 điểm Á,,A¡, ,Ám

độc lập.Đối với mục tiêu ađn cho trước,các điểm A; cĩ tọa độ là : Aji = (aj, aig, , ain) V6i i = 0,1,2, ,m

40

Trang 12

Nếu dùng cách viết ma trận thì tọa độ các điểm của don hình trên cĩ dạng : [x] = tolaol + tia] + + Em[am] trong đĩ các t¡ > Ư với i= 0,1,.,m và t+tị+ +tnạ=1

Bay giờ giả sử phép ađn f cĩ phương trình là {x] = B[x] +

+[b] trong đĩ B là ma trận vuơng cấp n khơng suy biến Nếu

X(xj) là điểm thuộc đơn hình S(A,A: Am) và X@ầœj) là ảnh của điểm đĩ thì : {x] =B(tfa,] + ti[a] + + tx[am]) + [b] Chú ý đến điều kiện t„+ t; + + t„ =1 ta sẽ cĩ : [x'] = ¢.(Blaol+{b]) + t:(Bla,}+[b]) + + tạ(B[amj+[b]) hay |Ixl= te[a¿] + tia: } + +tala’n |

trong đĩ [a:] = B[a;] + [b] tức [a;] là ma trận cột tọa độ của điểm A' = ĐA,) với ¡ = 0,1,2, m Bởi vậy ta cĩ điểm X'(x;) thuộc đơn hình xác định bởi m+1 điểm A,,A:, ,A'„ độc lập.Các điểm

này chính là ảnh của m + 1 diém A,,Aj; Am qua phép afin f

Vậy đơn hình m chiều là một khái niệm afin Ta cĩ :

S(A,An, , mm) = Đ8(A¿,Ai, Âm))

b) Định lí Qua phép biến đổi ađn một m - hộp biến thành

một m - hộp

Chứng mính

Ta biết rằng tập hợp những điểm M trong A” sao cho với

m+1 điểm Pạ,P\, ,P„ độc lập ta cĩ PM=Š`2,P,P, với 0 <A¡< 1

isl

là một hình hộp m chiều

Trang 13

— mm —— ——~ £: A" 5A”, ta cĩ: o(M)= Š'À¡oŒ,P,)= S)A,PẠP, i=l m Các điểm P2,P°, , Pa là m + 1 điểm độc lập Do đĩ PM =ÐA¡P¿P; với 0< A¡< 1 trong đĩ ĐM) = M' và i=l KP) =Pì với ¡ = 0,1, m Vậy qua phép ađn f, hình hộp m chiều HŒ,,P:, ,P„) biến thành hình hộp m chiều H(P,P\, ,P„)

§7.NHĨM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI AFIN CỦA

KHƠNG GIAN AFIN VA HINH HOC AFIN

1 CÁC ĐỊNH NGHĨA

a)Khơng gian hình học là một tập hợp M khác rỗng và mỗi

phần tử của nĩ được gọi là một điểm Mỗi tập hợp con H của M

gọi là một hình Một song ánh f :M — M của M lên chính nĩ được

gọi là một phép biến đổi và tập hợp các phép biến đổi của M làm thành một z„hĩm đối với phép tốn lấy tích các song ánh

b} Một tập hợp F khơng rỗng gồm những phép biến đổi f nào đĩ của khơng gian M được gọi là một nhĩm các phép biến đổi với phép tốn là tích của hai phép biến đổi nếu cĩ hai điều kiện sau

đây :

— Nếu f và g là hai phép biến đổi bất kì thuộc tập hợp F thi tích g„f cũng là một phép biến đổi thuộc E

~ Nếu f là phép biến đổi thuộc F thì phép đáo ngược f'U cũng

thuộc F `

Trang 14

vi F khéng rồng) thì theo điều kiện thứ h:- «6 fe F va theo điều kiện thứ nhất thì e = ff~' thuộc F Phép + .s nhất e đĩng vai trị

phần tử đơn vị trong nhĩm F vi eof = foe = f déi véi moi fe F

Ngồi ra ta cịn thấy rằng tích các phép biến đổi cĩ tính chất kết hợp nghĩa là đối với bất kì ba phép biến đổi f, g, h của khơng gian M ta đều cĩ f, (g.,h) = (f„ g).h

Thí dụ 1 Gọi c# là tập hợp tất cả các phép ađn của khơng

gian ađn A thì ‹# là một nhĩm biến đổi của khơng gian A và được gọi là nhĩm afin của A

Thí dụ 2 Tập hợp các phép tịnh tiến của A làm thành một

nhĩm, cịn tập hợp các phép vị tự khơng lập thành một nhĩm vì

tích hai phép vị tự cĩ thể khơng phải là một phép vị tự

©) Gọi F là một nhĩm biến đổi của khơng gian M và Hạ, Hạ

là hai hình nào đĩ của M Khi đĩ hình H; gọi là tương đương

uới hình Hạ đốt uới nhĩm F' nếu cơ một phép biến đổi f e F biến

hình H; thành hình Hạ Ta kí hiệu H;) = Hạ hay H; (P) Hạ

Từ định nghĩa trên ta để đàng suy ra :

- Một hình H bất kì của M luơn luơn tương đương với

chính nĩ (đối với nhĩm F) Thật vậy, vì ta cĩ phép đồng nhất e<F và c(H) = H

— Nếu Hị (Ÿ)H; thì Hạ (7) Hị Thật vậy, nếu cĩ f e F

sao cho f{H;) = Hạ thì cĩ f *e F để f X⁄Hạ) = Hị

- Néu H, (F/ Hy, H;(Ÿ)H; thì H,(Ÿ2H; Thật vậy, vì nếu

cĩ fg e F sao cho f{H)) = H; và g(H;) = Hạ thì g/ĐH¡) = Hạ với

gfe F

Trang 15

thành các lớp F- tương đương sao cho hai hình thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi cĩ một phép f e F biến hình này thành hình kia

Thí dụ trong mặt phẳng afđn A* các hình tam giác thuộc cùng một

lớp vì hai tam giác ABC và ABRC' bất kì trong mặt phẳng đà hai hệ ba điểm độc lập) sẽ xác định một phép afin duy nhất f sao cho :

f(A) = A’, (B) = BY (C) = C’

2 CAC BAT BIẾN ĐỐI VỚI NHĨM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

AFIN :

a)Định nghĩa.Một tính chất của hình H sẽ gọi là bất biến đối tới nhĩm F nếu nĩ khơng thay đổi khi ta dùng một phép biến đổi

†e F để biến hình H thành một hình khác Như vậy ta cĩ thể nĩi

một cách khác rằng : Một tính chất của hình H sẽ gọi là bất biến

đối cớt nhĩm F' nếu mọi hình H, tương đương với H đối với nhĩm

E đều cĩ tính chất đĩ

Các tính chất bất biến đối với nhĩm các phép biến đổi ađn c4 trên khơng gian afin A được gọi là các tính chất dfin hay các bất bién afin

b) Cac tinh chat afin - Thi du vé cdc khai niém afin

— Tinh chat déc lap hay khơng độc lập của một hệ điểm là tinh chat afin vi phép biến đổi ađn biến hệ diểm độc lập thành hệ điểm độc lập , biến hệ điểm khơng độc lập thành hệ điểm khơng

độc lập

— Tính chất song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai cái phẳng là tính chất ađn vì các tính chất này khơng thay đổi qua các phép bỉ n đổi afđn Giả sử phẳng œ song song với phẳng j thì qua phép biến đổi afin f ta cĩ phẳng f(œ) cũng song song với phẳng

f)

— Các khái niệm được xây dựng từ các bất biến ađn được gọi là các khái niệm qiữn

Thí dụ: Hình tam giác, đường trung tuyến trong một tam giác, hình bình hành, m- phẳng, ti số đơn của ba điểm thẳng hàng là

Trang 16

những khái niệm ađn ; cịn hình vuơng, hình tam gide déu, hinh lập phương, đường trịn, khơng phải là những khái niệm aln vì

các hình này thay đổi qua phép biến đổi ađn

3 HÌNH HỌC AFIN

a) Hình học của một nhĩm các phép biến đổi Mơn học nghiên cứu mọi bất biến đối với nhĩm các phép biến đổi F của

khơng gian M gọi là hình học của nhĩm Ê trên khơng gian M Nếu

trên khơng gian M cĩ nhiều nhĩm các

phép biến đổi khác nhau thì khi đĩ trên

cùng một khơng gian M cĩ thể cĩ nhiều ⁄4 thứ hình học khác nhau Giá sử F là một

/

nhĩm các phép biến đối nào đĩ của ⁄

khơng gian M và E' là nhĩm con của

nhĩm F ( H3) Ta cĩ FC F Khi đĩ nếu

cĩ một phép biến đổi f eF thì f e F, Do

đĩ mọi bất biến của nhĩm F' đều là bất

biến của nhĩm F Nĩi cách khác hình hình 8 học của nhĩm F là một bộ phận của hình

học của nhĩm F" Cĩ thể nĩi rằng khi đĩ hình học của nhĩm con F’

phong phú hơn hình học của nhĩm F

b) Hình học của nhĩm các phép biến đổi afin, Áp dụng những điều trình bày trên đây đối với khơng gian aũm A, ta cé tập hợp các phép biến đổi ađn của khơng gian ađn A làm thành một

nhĩm ‘

'Ta dùng kí hiệu c#° để chỉ nhĩm các phép biến đổi afin cia khơng gian afin n chiêu A" Hai hình H; và Hạ của khơng gian ađn Á" tương đương đối với nhĩm c#" được gọi là tuong duong afin Mọi bất biến của nhĩm an là các bất biến øfin và các khái niệm

được định nghĩa thơng qua các bất biến ađn gọi là các khái niệm afin Cuối cùng bình học của nhĩm c#“ trên khơng gian ađn A” được gọi là hình học afin n chiéu Sau day ta hãy nêu thêm một số khái niệm ađn được nghiên cứu trong hình học ađn n chiêu :

Trang 17

¬ Mục tiêu ađn là một hệ gồm n+1 điểm độc lập

~ Đơn hình m chiều xác định bởi m+1 điểm độc lập, là sự

mở rộng của khái niệm tứ diện trong khơng gian 3 chiều ¬ Hình hộp m chiều là sự mở rộng của khái niệm hình hộp

trong khơng gian 3 chiều :

CHÚ Y Các khái niệm hình học cĩ liên quan đến độ đài đoạn thẳng và độ lớn của gĩc như đường cao của tam giác, đường trung trực của một đoạn thắng, đường phân giác của một

gĩc, hình tứ điện đều, hình câu v.v đều khơng phải là khái

niệm ađn nên khơng được nghiên cứu trong hình hoc afin Tuy

nhiên ta cĩ thể nĩi rằng : hình vuơng tương đương ađn với một

hình bình hành nào đĩ, hình tứ điện đều tương đương afin với

một hình tứ điện bất kì, hình lập phương tương đương ađn với một hình hộp xiên bất kì v.v Từ việc nhận ra các tính chất

aln của một hình giúp ta cĩ thể nhận ra bài tốn nào là bài tốn của hình học ađn và do đĩ cĩ thé sử đụng các cơng cụ

thích hợp của hình học ađn để giải các bài tốn đĩ

§8 CÁC SIÊU MẶT BẬC HAI

TRONG KHƠNG GIAN AFIN

1.ĐỊNH NGHĨA

Trong khơng gian ađn A” trên trường số thực với một mục

tiêu afin {E,; Ej} cho trước, một siêu mật bậc hai (S) là tập hợp

tất cả những điểm X thuộc A" cĩ tọa độ (xị,xz, xạ) đối với mục

tiêu đã chọn thỏa mãn một phương trình bậc hai đối với các Xị cĩ dạng :

Trang 18

ĐXI,X¿, Xn) = Ð)apxiX + 23 ax, +a, =0 (i)

il ial

trong đĩ các hệ số au, ai,a„ đều là số thực, các aụ khơng đồng thời bằng 0 và aụ = aj¡

Như vậy (8) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) và do đĩ phương trình (1) gọi là phương trình của (S)

Với n = 2 và n = 3 các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đường bậc hơi uè mặt bộc hai

CHÚ ý Theo định nghĩa trên, tập hợp các điểm X = (:,x¿, xa) đối

với một mục tiêu cho trước cĩ phương trình xị*+ xzŠ + + xu2+ L= 0

cũng là một siêu mặt bậc hai nhưng khơng chứa một điểm ađn

thực nào Tuy vậy nếu xét trong khơng gian afđn phức (khi đĩ tọa

độ các điểm là những số phức) thì phương trình đĩ xác định một

tập hợp khơng rỗng Bởi vậy trong khơng gian afin thực ta sẽ gọi

những siêu mặt bậc hai như thế là siêu mớt bộc hai do 3.DẠNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH

SIÊU MẶT BẬC HAI

Nếu ta gọi A =[au ] là ma trận đối xứng và vuơng cấp n mà

phần tử ở hàng ¡ cột j là hệ số aụ Vì au = a¡; nên A = A*, Khi

Trang 19

Vì các hệ số au khơng đồng thời bằng 0 nên hạng của ma trận A lớn hơn hay bằng 1

Thí dụ : trong AŠ cho mặt bậc hai (8) cĩ phương trình : x? — 9y? + z” + 4xy — 8xz - 4yz ~ 14x - 4y + 14z + 16 = 0

Mặt bậc hai (S) cịn cĩ thể viết dưới dạng sau đây :

XIỔ — 2xj” + xạ” + 4xiX; — ĐXiXs — — 4xox3 - l4xị ~ 4Xa + l4x; + 16= 0 Phương trình của (8) cĩ thể viết dưới dạng ma trận như sau: 1 2 -47x,] %1 [x1 x2 X3].] 2-2 —3Jx;|+9 [—-7 -27l|x;| +16=0 _4 -2_ 1 xs Xạ 3.DINH Li Qua một phép biến đổi ađn, một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu mặt bậc hai Chứng mính Giả sử ta cĩ siêu mặt bậc hai (Š) cĩ phương trình : {x]* Alx] + 2 [a]* [x] + a, = 0 (2) và một phép biến đổi ađn f cĩ phương trình [x] = Bfx] + [b] (với det B z 0) @) Thay (3) vào (2) ta cĩ : (B[x] + [b]*#A(BIx] + [BJ) + 2[a]* ŒB{x1 + [b]) + a; = 0 Khai triển phương trình trên với chú ý rằng

[x]#B*A[b] = [bl#*ABlx] (vì hai vế của đẳng thức này là những ma trận vuơng cấp 1 nên chuyển vị của nĩ bằng chính nĩ) ta sẽ

CĨ :

Trang 20

ix'FALx'] + 2[a*[x'] + a, = 0 (4) trong đĩ : A'= B*AB

[a]= B* (A[b] + [a])

a, = [b]*A[b] + 2 [al* [b] + a,

Ta cĩ A' = A'* vì B*AB = (B*AB)” và hạng của A' bằng hạng của B*AB nghĩa là bằng hạng của A (> 1) do det B # 0

Vậy (4) cũng là phương trình của một siêu mặt bậc hai (8), đĩ chính là ảnh của siêu mặt bậc hai (S) qua phép ađn f đã cho

4 GIÁO CỦA SIÊU MẶT BẬC HAI VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Trong A° cho siêu mặt bậc hai (Š) cĩ phương trình :

[x]*A[x] + 2[a]*[x] + a, = 0 (2)

và đường thẳng (d) đi qua điểm Bibi, bạ, , bạ) cĩ khơng gian

chỉ phương một chiều sinh ra bởi vectơ ẽ (e\, Co, ., Cn) Khi dé ta

cĩ phương trình tham số của đường thẳng (d) là :

xị= bị + địt vớii= 1,2, ,n

Viết phương trình (đ) dưới đạng ma trận ta cĩ :

[x] = [b] + [e]t (5)

Các giao điểm của siêu mặt bậc hai (S) với đường thẳng (d)

sẽ cĩ tọa độ thỏa mãn cả phương trình (2) và phương trình (5) "Thay (ð) vào (2) ta cĩ :

([b] + [c]t)*A([b} + {clt) + 2[a]* ([b] + [e]t) + a, = 0

Trang 21

Q = [b}*Alb] + 2fa}*[b) + ap = Yaybib; +2) a,b, +a,

ijel i

Nếu t„ là nghiệm của phương trình (6) thi bing cach thay t,

vào (5), ta tìm được tọa độ của giao điểm Ta xét các trường hợp sau:

+) Néu {c]*A[c] # 0 thi (6) là một phương trình bậc hai đối

với t, khi đĩ nĩ cĩ thể cĩ hai nghiệm phân biệt hoặc một nghiệm kép hoặc vơ nghiệm (xét trên trường số thực) Như vậy

đường thẳng sẽ cắt siêu mặt bậc hai tại hai điểm phân biệt

hoặc tại một điểm (mà ta sẽ gọi nĩ là điểm kép) hoặc khơng

cắt Trường hợp đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một điểm

kép, đường thẳng đĩ trở thành tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai

tại điểm tiếp xúc là (điểm kép)

*) Nếu [e]*A[c] = 0 và P z 0 thì phương trình (6) cĩ nghiệm

duy nhất, khí đĩ đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một

điểm +

*) Néu [c]*Alc] = 0, P = 0, Q z0 thì phương trình (6) vơ

nghiệm, tức là đường thẳng khơng cắt siêu mật bậc hai (trên trường số thực)

*) Nếu [e]#FAlcl = 0, P = 0, Q = 0 thi phuong trinh (6) nghiệm với mọi giá trị của t Khi đĩ tồn bộ đường thẳng (đ) nằm trên siêu mặt bậc hai (8) và ta cĩ (đ) c (S)

5.TÂM CỦA SIÊU MẶT BẬC HAI

Trang 22

NHAN XÉT Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu điểm M thuộc siéu mat bac hai (8) và (5S) cĩ tâm I thì điểm M' đối xứng của M

đối với I cũng thuộc (S) Vậy nếu (S)-# Ø thì tâm của nĩ chính

là tâm đối xứng của tập (S) và tâm này là một điểm

b) Binh Ii Trong khơng gian an A" với mục tiêu đã chọn,

cho siêu mặt bậc hai (8) cĩ phương trình :

(x}*A[x] + 2[a]*[x} + a, = 0 (2)

Điều kiện cần và đủ để (S) cĩ tâm là det A z 0 (hay hạng

của ma trận vuơng A bằng n) Nếu det A = 0 (hay hạng của

A <n) thì (8) vơ tâm (nghĩa là khơng cĩ tâm hoặc vơ số tâm)

Chứng minh

Giả sử O là một điểm cĩ tọa độ là G1”, x¿”, xạ”) đối với mục tiêu đã chọn Ta hãy tịnh tiến mục tiêu đã chọn {E,; E;} đến mục tiêu {O; E;} tức là dùng cơng thức đổi mục tiêu ;

[x] = Ix] + [x°] (7)

trong đĩ [x”] là ma trận cột tọa độ của điểm O đối với {E,; Ej} Thay giá trị của [x] trong (7) vào phương trình của (§) ta cĩ :

(ix') + 2°)" A([x'] + [x°]) + 9[a]# ([x] + Ix°]) + a =0

hay (x Alx'] + Ae] + [a]) be] + a’, = 0

Điểm O = (x¡”, x;°, xạ") là tâm của (S) khi và chỉ khi : Alx’] + [a] = 0

Như vậy tọa độ tâm của siêu mặt bậc hai (8) là nghiệm của

Trang 23

trận cột tọa độ cĩ trong phương trinh cia (S) Ta suy ra:

— Nếu det A z 0 hệ phương trình (8) nĩi trên cĩ nghiệm

duy nhất tức là (S) cĩ tâm

- Nếu dẹt Á = 0 hệ phương trình (8) vơ nghiệm hoặc vơ số nghiệm tức là (S) khơng cĩ tâm Nếu hạng của ma trận A bằng

r thì tất cả nghiệm của (8), nếu cĩ là các điểm thuộc một m -

phẳng với m = n ~ r Đây cũng là trường hợp phương trình (8)

Trang 24

Trong hình học giải tích ta biết đường bậc hai (8) là một đường elip nhận O làm tâm

)Trong A° cho đường bậc hai (9) cĩ phương trình :

B

x -2xy ty? + 4x-6y +1=0

Hay tim tam cda (S) Giải

1 -1 2 x

Taco A= | 1 | va ri=| oh ¥ thing det A= 0 'Ta cĩ phương trình tìm tâm là :

1 -1llx 2 x-y+2=0

| + =0 hay

-1 lily -3 -x+y-3=0

Hệ phương trình này vơ nghiệm nên đường cong (S) da cho khơng cĩ tâm Đường cong này là đường parabol

6 DIEM Ki DI CUA SIEU MAT BAC HAI

a) Định nghĩa Một điểm I gọi là điểm kì di của siêu mặt bậc hai (S) nếu I thuộc (8) và I đơng thời là tâm của (S)

b) Cách tìm điểm kì dị Giá sử trong A’, siêu mặt bậc hai (8) cĩ phương trình là: Ixl#A[x] + 2{alflxl + a; = 0 Theo định nghĩa điểm kì đị cĩ tọa độ thoả mãn hệ phương trình : [x}*A[x] + 2[al*[x] + a, = 0 Alx] + la] = 0

Thí dụ trong khơng gian 3 chiều thơng thường (cũng là một

khơng gian afin A”) mặt nĩn trịn xoay là một mặt bậc hai cĩ điểm kì dị là đỉnh của mặt nĩn đĩ

Hệ quả: - Siêu mặt bậc hai cĩ tâm là một khái niệm afđin -_— Tâm của siêu mặt bậc hai cũng là một khái niệm ađin

— Điểm kì đị của siêu mặt bậc hai cũng là một khái niệm afin

Trang 25

7.PHUGNG TIEM CAN VA DUONG THEM CAN CUA SIKU MAT BAC HAI

a) Định nghĩa Vecto ¢ 0 va c6 toa độ (cụ, cạ, , eạ) gọi là

phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (8) với phương trình (2) nếu :

[e]*A[c} = Sa cic, =0 yey

ijel

Người ta cịn gọi phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai là

phương uơ tận của siêu mặt bậc hai đĩ Đối với một siêu mặt

bậc hai cĩ tâm, một đường thẳng (t) đi qua tâm gọi là đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai đĩ, nếu phương của nĩ là phương

tiệm cận và nĩ khơng cắt siêu mặt bậc hai

Ta dễ dàng chứng mỉnh được phương tiệm cận và đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai là những khái niệm afin tức là

khái niệm bất biến qua nhĩm các phép biến adi afin b) Siêu phẳng kính liên hợp với phương ư

Dinh li Cho hai điểm Mì,M; thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đường thẳng MỊM; cĩ phương khơng đổi ẻ z Ư

mà khơng phải là phương tiệm cận Khi đĩ tập hợp trung điểm cáo đoạn thắng M;M; nằm trên một siêu phẳng (đi qua tâm nếu cĩ của (5)) Siêu phẳng đĩ gọi là siêu phẳng kính của (8) liên hợp uới phương & Ngược lại phương é cũng được gọi là

phương liên hợp với siêu phẳng kính đĩ

Chứng minh

Trong A” với mục tiêu đã chọn, giả sử siêu mặt, bậc hai (8)

cĩ phương trình :

Trang 26

Goi Mi, M; là hai điểm thuộc ~

(8) và 1 = (bi,bz, ,bạ) là trung điểm — —_“——— của đoạn thẳng MỊM; Đường thắng

M, M,

M,Mp cĩ phương trình tham số :

x=bi+ec¡iE với i=1,2,.,n trong đĩ (e, cạ, , e;} là tọa độ của

vectơ chỉ phương c (H3) Để tìm tọa độ của giao điểm Mị và Mẹ ta giải phương trình (6) sau đây :

([e]*Afe])t? + 2Pt+Q=0 (6) hinh 3

Gọi t1,t, la nghiệm của phương trình (6) lần lượt ứng với các giao điểm M,,Mp Vi I là trung điểm của đoạn M;¡M¿ nên :

TMi +IM2=0 @© tiẻ +iyẽ =Ũ

o

©= (tị + tạ) ¿= Ủ© ti+tạ=0 vic #

Vay P = 0 hay (b]*Alc] + [a]*[c] = 0 hay [c]*{A[b]} +[a]) = 0

Như vậy tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng M:M; thoả mãn phương trình : (cJ*“(AIx] + [a]) = 0 (9)

Trong phương trình đĩ [c]*A z 0 vì nếu [c]*A = 0 thì

[c}*A[c] =0 tite ¢ 1a phương tiệm cận của (S), điều này trái với giả thiết Vậy phương trình (9) là phương trình của một siêu

phẳng

Vi tam của (8) cĩ tọa độ thoả mãn phương trình A{x] +[a] = 0

nên cũng thỏa mãn phương trình (9) nĩi trên

Trang 27

Vậy nếu siêu mặt bậc hai (S) cĩ tâm thì siêu phẳng kính

liên hợp với phương ¿ nào đĩ sẽ đi qua tâm của siêu mặt bậc hai đĩ

c) Các thí dụ

Thí dụ 1 : Trong A? hãy tìm phương tiệm cận của đường bậc

hai (S') cĩ phương trình đối với một mục tiêu afin cho trước là:

3x? — 2xy + 3y +2x — 4y +1=0

Giải

Muốn tìm phương tiệm cận của một siêu mặt bậc hai (S) ta

chỉ việc cho phần bậc hai trong phương trình của (S) triệt tiêu

Ta cĩ [x]*Alx] = 0 Khi đĩ tập hợp tất cả những veetơ x cĩ toạ

độ nghiệm phương trình này là những vectơ chỉ phương tiệm cận của (S8) Do đĩ :

Phương tiệm cận của đường bậc hai (S') cĩ phương trình 3x2 — 2xy + By? +2x-4y +1=0 được cho bởi phương trình 3x? ~ 2xy +.8y = 0 Dat k = Ï ta cĩ 3k? - 2k + 3 = 0 Phương trình này vơ x nghiệm Vậy duéng bac hai (S‘) khong cé phuong tiém can (S' la đường elip)

Thí dụ 2: Trong A? cho đường cong (G) cĩ phương trình đối

với mục tiêu afin cho trước là x” ~ 2 xy + yŸ + 4x — 6y +1=0

Tìm phương tiệm cận của G

Giải

Phương tiệm cận của đường bậc hai (GŒ) xác định bởi nghiệm của phương trình :

x°~2xy+y°=0

36

Trang 28

Dat a=2 tacd: x

2?- 22+ 1 =0 Ta cĩ 2 nghiệm ^¡ = À; =1

Vậy dường bậc hai (G) cĩ hai phương tiệm cận trùng nhau, hay nĩi cách khác đường cong G chỉ cĩ 1 phương tiệm cận với vecto chỉ phương e = (1,1)

Thí dụ 3 Trong AŸ với một mục tiêu ađin cho trước cho mặt

bậc hai ( ) cĩ phương trình x”+ 3y” - z” + 5x +3y — 9 = 0

Tìm phương tiệm cận của mặt bậc hai (, ⁄⁄ ) Giải Phương tiệm cận của ( ) được xác định bởi phương trình: 9 ® x?+ 3y? -z

Đây là phương trình của mặt nĩn bậc hai thực đỉnh O là

gốc tọa độ Siêu mặt bậc hai ( ⁄⁄) cĩ vơ số phương tiệm cận

c=Œœ, y z) mà tọa độ của vectơ đĩ thỏa mãn phương trình

x’+ 3y? — 2? = 0 Thi du ta cĩ thể chọn vectơ ¢, = (1,1,2) làm vectơ chỉ phương cho 1 đường sinh của nĩn này Cac vecto cộng tuyến với c¡ cĩ dạng ke, với k z 0 đều là vecto chi

phương của đường sinh đĩ Ngồi ra ta cĩ thể chọn vơ số vectơ e, khác cĩ tọa độ thỏa mãn phương trình (*) ở trên

Thí dụ 4 Trong A' cho siêu mặt bậc hai (S) cĩ phương trình đối với một mục tiêu cho trước là :

x? — By? 4 zẺ + 4xy — 6x2 ~ 4yz ~ 14x — Áy + 142+16=0 và phương c= (1,2,3) Tìm siêu phẳng kính của (S) liên hợp với

¢ da cho

Hay chứng tỏ siêu phẳng này đi qua tâm của siêu mặt bậc

Trang 29

Giải

Ap dung cơng thức (9) ta cĩ phương trình của siêu phẳng kính liên hợp với phương e= (1,3,3) đối với siêu mặt bậc hai cho trước là: 1 si -Th J123]|| 23 -2 2||*|* -sll=o ~4 -8 1 Jlzj LÃI| Sau khi thực hiện các phép tính, ta cĩ phương trình siêu phẳng kính liên hợp vớie là : -7x - By - 5z +10 = 0 hay 7x + 8y + 5z-10=0 Tâm của siêu mặt bậc hai (8) là điểm O cĩ tọa độ (x,y,z) thỏa mãn hệ phương trình: A[x] + [a] = 0, cụ thể là : x+2y-42-7 = 0 [x= 2x-2y-22-2 = 0 @ {y=1 (-4x-2y+2+7 = 0 [z=-1

Ta nhận thấy tọa độ tâm O(1,1, -1) nghiệm phương trình của siêu phẳng kính liên hợp với phương é, nghĩa là siêu phẳng kính liên hợp với phương ¢ di qua tam O của (6)

8.DẠNG CHUẨN TẮC CỦA SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG A"

a) Đặt vấn đề Trong khơng gian ađn Á" với mục tiêu ađn

{O; 61.832 e, } một siêu mặt bậc hai (S) cĩ phương trình

tổng quát là :

Ngày đăng: 20/06/2014, 13:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN