S| Vậy điểm X thuộc đoạn thẳng MN thuộc đơn hình
SŒ, P\, ,Pm) Ta suy ra đơn hình m chiều đĩ là một tập lơi
NHẬN XÉT Ta cĩ thể định nghĩa đơn hình m chiều S(P,,
Pi, Pm) trong Á” xác định bởi m+1 điểm độc lập Pu,P¡, ,Pạ là
tập hợp những điểm M sao cho với một điểm O nào đĩ ta cĩ :
OM = ¥ 2,08; với yay =1 và >0 với ¡ = 0,1, m i=0 i=0 5 HÌNH HỘP m CHIEU
a) Định nghĩa Cho m+1 điểm độc lập Pu,P\, P„ của khơng
Trang 2Diéu do chting té X thudc hình hộp m chiểu.Vậy m-hộp là
một tập lồi
c) Chú ý Người ta chứng minh được rằng giao của những
tập lồi là tập lỗi Rư ràng mỗi hình hép cĩ 2” đỉnh khác nhau
Dinh P, ting voi 4; = 0 vdi moi i Dinh P; img voi tị =1, t, = 0 nếu J#1
Trong định nghĩa hình hộp điểm gốc P, thực ra khơng đĩng một vai trị gì đặc biệt, tức là mọi đỉnh khác của hình hộp đều
cĩ thể đĩng vai trị điểm gốc
Hình hộp 0 chiều là 7 điểm, hình hộp 1 chiều là một đoạn
thẳng, hình hộp 2 chiều là một hình bình hành, hình hộp 3
chiéu là hình hộp theo nghĩa thơng thường, Nếu trong định nghĩa của hình hộp ta cho p tham số nào đĩ bằng 0 thì ta được
một hình hộp m-p chiều và hình hộp đĩ được gọi là mặt bên
m- p chiều của hình hộp m chiều đã cho Mặt bên 0 chiều chính
là đính cịn mặt bên 1 chiểu được gọi là cạnh của hình hộp
Tĩm lại một hình hộp m chiều xác định bởi m+1 điểm Pụ,
P,, Pm dé lap trong A" va duge ki hiéu 14 H(P,,P), ,Pm) :
hinh hép m chiéu rn
7 PM=3 ^;P,P,với0<2À¡<1
HP, Pi, Pe) ”" PoP vei
Me
§6 ANH XA AFIN CUA CAC KHONG GIAN AFIN VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA KHƠNG GIAN AFIN 1 ĐỊNH NGHĨA
Cho A và A' là hai khơng gian an trên trường K liên kết
Trang 3véi hai khéng gian vecto V va V Anh xa f:A-> A’ được gọi là
ánh xg gfin nếu cĩ ánh xạ tuyến tính ọ : V -› V' sao cho với
moi cap diém M,NeA va anh M' = {(M), N = {N) ta cĩ
M'N’ = @(MN)
Anh xạ tuyến tính ọ@: V - V' được gọi là ánh xạ tuyến tính liên kết vdi anh xa afin ƒ
CHỦ Ý : Người ta cịn cĩ thể kí hiệu ánh xạ tuyến tính @=Ẽ: ASA
2 TINH CHAT CUA ANH XA AFIN
a) Mỗi ánh xạ afin f:A -+ A' chỉ cĩ một ánh xạ tuyến lính liên kết duy nhất ọ : V -› V'
Thật vậy giả sử f cịn cĩ ánh xạ tuyến tính khác là
ọ:V - V' Khi đĩ với mọi cặp điểm M,N thuộc A ta cĩ MÌN =g0(MN) và MÌN =g'0MN) Do đĩ @(MN) = ø (MN) hay
p =ụ@
b) Với mỗi ánh xạ tuyến tính @ : V -› V' và với cập điểm le A va I'e A' xác định duy nhất mệt ánh xạ ađn f:Á -> A' nhận @ là ánh xạ tuyến tính liên kết và cĩ f) = I
Thật vậy, ta xác định ánh xạ f: A — A' biến mỗi điểm M e A
thành diém M’ « A’ sao cho g(IM) = IM` Bhi d6 fla ánh xa
an liên kết với ánh xạ tuyến tính ø vì mọi M, Ne A ta cĩ :
(MN) = pIN - IM) = o(IN)~- @(IM)= IN -ÙM = MN"
Ro rang f(1) = I’ va 4nh xa f 1& duy nhất vì giả sử 6 anh xa
afin f’ : A > A‘cé dnh xạ tuyến tính liên kết là p va f U) = Ï thì với mọi điểm M e A ta cĩ ;
I'f (MD = @ĐM) = Lf(M) nên f (MƠ = ÂM), Do đĩ f= f
©) Tích của hai ánh xạ ađn f :A -› A`' và g :A' + A" là một ánh xạ am và được kí hiệu là gof Ánh xạ liên kết của tích got nay
Trang 4là tích của hai ánh xạ liên kết của hai ánh xạ f và g
Tính chất này được suy ra từ định lí nĩi rằng tích của hai ánh xạ tuyến tính là một ánh xạ tuyến tính Do đĩ ta suy ra ánh xạ liên kết của tích gof cũng là một ánh xạ tuyến tính Nếu
gọi @ và tụ là hai ánh xạ liên kết của f và g, người ta dễ đàng chứng minh được rằng ánh xạ tích wsọ là ánh xạ tuyến tỉnh
liên kết với ánh xạ afn guf
q) Cho n+1 điểm độc lập M,,M:, ,M, trong khơng gian ađn
n chiêu Á” và cho n+1 điểm tuỳ ý M,,M', ,M, trong khơng
gian afin A’ Khi đĩ cĩ một và chỉ một ánh xạ ađn duy nhất f†: A" — A' sao cho f(M,) = M’ vdi i= 0,1, , n
Chứng minh
Vĩ n+1 điểm Mụ, M¡, ,Mạ độc lập trong A* nên hệ n vectơ
MM, ,MẸM, >› MỤM, là một cơ sở của khơng gian vectơ A" liên kết với A" Khi đĩ cĩ một ánh xạ tuyến tính duy nhất
@: A" + A’ sao cho 9(M,M,) = MM; véii = 0,1, , n
Theo tính chất b) cĩ một ánh xạ ađn duy nhất f: A" -› A‘ sao cho f(M,) = M’, va fcé anh xạ tuyến tính ọ liên kết của f
Như vậy f(M,;) = M; và f là duy nhất
e) Anh xa afin f: A> A’ bién một m - phẳng của A thành
một ¿ - phẳng của A' với ¿ < m,
Chứng mình
Goi @ A> a là ánh xa tuyến tính liên kết với ánh xạ an £ Á -›> A' và A” là m - phẳng của A cé phuong A™ cA Khi đĩ CA”) là một khơng gian vectơ con ¡ chiều nào đĩ của Ä
mà ¿ <m Giả sử I là một điểm nào đĩ của A" và I= 1) Gọi A” là ? - phẳng ađn đi qua I và cĩ phương là Am,
Trang 5Ta cần chứng minh f(A") = A”
Thật vậy giả sử điểm M'e< A”), gọi M e A” là tạo ảnh
của M 7
Ta cĩ M' =fM), khi đĩ EM” = gữM) e g(A”)= AT,
Đo đĩ M' j AT,
Mặt khác nếu Me A thì AM 'e A’ cho nên nếu ta lấy x là tạo ánh của A’M’ thi A’M’ = ọ(x) rơi gọi M là điểm cia A™ sao cho AM= x thi M' = ĐM) tức là M'e f(A”).Vậy tính chất
trên được chứng minh
3 DANG CẤU AFIN
Nếu ánh xạ ađn f: A ~> A' là một song ánh thì nĩ gọi là
phép đẳng cấu afin của khơng gian afin A lên khơng gian ađn
A' Khi đĩ tất nhiên Á và A' cĩ cùng một số chiều va g(A) =A’
là phép đẳng cấu tuyến tính giữa hai khơng gian vectơ Ä va
A
Hệ quả Trong A® va A” lan lugt cho hai muc tiéu afin {RE} va {E',; Ej} véi i =1,2, n thi cé duy nhat mét phép
dang cau afin f : A” > A™ sao cho f (BH; ) = E) với ¡ = 0,1, 2, TL
4 PHEP BIEN DOJ AFIN
a) Dinh nghia Phép dang edu afin f: A > A cia khéng gian
afin A lén chinh.n6 duge gọi là phép biến đổi afin ƒ của khơng
gian ađn A và được gọi tắt là phép an Khi đĩ ánh xạ tuyến
tính liên kết : A-> Ä của f là một phép tự đẳng cấu tuyến
tính và cịn được gọi là phép biến đổi tuyến tính
Thí dụ Cho khơng gian ađn A liên kết với khơng gian veetơ
V Cho vectơ v cố định trong V và xét ánh xạ £ A —› A sao cho
Trang 6nếu M` = ĐM) thì MM'= v Phép afin f nhu thé goi la pháp
tinh tién theo vecto v và được kí hiệu là t; Vecto v goi la vectơ tịnh tiến
Phép tịnh tiến t¿ là một phép biến đổi ađn với ánh xạ tuyến tính liên kết ø là phép đồng nhất ldy : V > V
Thật vậy với mọi M,N e A ta cĩ o( MN) = Idy (MN) =
=MN = MM +MN +NN=v+MN +(v)=MN
Ngược lại nếu f là một phép biến đổi afin ma ánh xạ tuyến tính liên kết @ = Idy thi fla một phép tịnh tiến That vậy, lấy một điểm I cố dinh cia A va dat I’ = f(D) Khi đĩ : Mg(M)= MM’ = Mi+ r+ T'M = Mi+ Il + o(IM ) = M+ I+ TM's Il vi fM = IM
b) Định lí Trong khơng gian aBn A" cho hai hệ điểm độc
lập là A„Ai, A, và A',, Ah, A),„ Khi đĩ cĩ một phép biến đối
an duy nhất £ A” > A" sao cho NA) = A’, vdi i = 0,1, n
Định lí này là hệ quả trực tiếp của tính chất đ về sự xác định
của ánh xạ an với ánh xạ tuyến tính liên kết với f là phép
biến đổi tuyến tính
©) Định lí Tích của hai phép afin là một phép an cĩ phép
biến đổi tuyến tính liên kết là tích các phép biến đối tuyến tính liên kết của hai phép afin đã cho Đảo ngược của một phép afin là một phép ađn cĩ phép biến đổi tuyến tính liên kết là đáo ngược của phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin da
cho :
Chúng mình
Trang 7đổi tuyến tính liên két lan luot la g:A > A va w: A >A Khi
đĩ gọi M, N là một c&ép diém nao dé cia A va M’ = f(M), N' = f(N), M” = g(M’) = g f (M), N" = g (N’) = g f (N) thi ta cd:
MN” = y(MN) = w.o(MN) Nhu vay tich gf: A> AIA một ánh xạ ađn cĩ ánh xa tuyén tinh lién két la y.g Vig va y la những phép biến đổi tuyến tính nên y.¢ cing 1a mot phép biến
đổi tuyến tính Do đĩ gf là phép biến đối ađn Đảo ngược của phép ađn f là phép an f ” cĩ phép biến đổi tuyến tính liên kết là g} , d) Định lí Phép biến đổi afin biến một m - phẳng thành một m - phẳng ` Chứng mình
Gia sti f:A > A 1a một phép ađn của khơng gian afin A và
gọi A" là một m-phẳng nào đĩ của A Theo tính chất c) của ánh xạ aũn §6 ta cĩ fA”) là cái phẳng / chiều của A ma / < m
Nhưng vì f Ì: A -> A là một phép ađn biến f(A™) thanh A™ nén m <¿ Từ đĩ ta suy ra / = m Vay f(A”) la m-phang
Hệ quả Phép ađn f: A -> A biến một đường thẳng thành
một đường thẳng
e) Định li Phép afin f : A > A bao tén tỉ số đơn của các hệ ba điểm thẳng hàng nghĩa là nếu P' = f (P), Q = f(Q), R = f(R) và
P, Q, R thang hàng thì PQ,R' thẳng hang va (PQR) = (P'QR)
Chứng minh
Goi o lA phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép ađn f
và giả sử PQ= APR thi PQ’ = o( PQ) = ọ(PR) = Ao(PR) =
=AP'R’.Ti đĩ ta suy ra nếu P, Q, R thẳng hàng thì P, Q, R' thẳng hàng và (PQR) = (PQR) = ^
36
Trang 8vs.”
5 PHƯƠNG TRÌNH CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI AFIN
Trong A" cho một mục tiêu ađn (Eq;E} Gọi f:A" — A" là một phép biến đổi ađn Muốn lập phương trình của phép biến đổi ađn f ta hãy tìm hệ thức liên hệ giữa toạ độ (xi,xs, XuÌ
của một điểm X « A° và tọa độ (xì,x›, x'„) của điểm fX) đối với mục tiêu da chon
Gọi E) =KEi) với ¡ = 0,1, n Vì f là phép biến đổi ađn nên n+1 điểm E,, E;, E'„ độc lập và tạo nên wnột mục tiêu {Eu BE} Giả sử C là ma trận
chuyển từ mục tiêu (E,;E;} _ fo ẻ
sang mục tiêu {E,;E`} và ! x1
(bi b¿ bạ) là tọa độ của me! 3 wo ‘el
điểm E,= fE) đối với mục `“ 1 '
tiéu {E,;E;}.Ta cin chú ý ! x '
rằng C cũng là ma trận tư |
chuyển từ cơ sở {E,E,} {EB} (EB)
sang cơ sở {E,E;) với c
hinh 2
i= 1,2, n
Gọi X = ĐX),theo định nghĩa của f ta cĩ g(E,X)= E¿X' Nếu (X1,X2, %n) 14 toa độ của X đối với mục tiêu {E,;E;} thì :
E,X= x, E,E, + x2E,E,) + 4x,E,E,
"= @(E,X) = x: ELE, + xB jE) + + xn E,E)
Do d6 E, 0
Điều đĩ cĩ nghĩa là điểm X' cĩ tọa độ đối với mục tiêu
{E;E¡)Hà GXi,xs, xa)Ta suy ra rằng sự liên hệ giữa các tọa độ (xj) và (x;) là sự Hên hệ giữa các tọa độ của cùng một điểm X'
Trang 9trong đĩ {xÌ], [x] và [b] lần lượt là ma trận cột tọa độ của các
điểm X, X' và E', đối với mục tiêu đã chọn {E,;E;)}
Ma trận C* khơng suy biến (là ma trận chuyển vị của ma
trận chuyển C) được gọi là ¿ma trận của phép dfin ƒ đã cho và phương trình (1) ở trên là phương trình của phép ađn đĩ Ta
chú ý rằng đối với cơ sở {e,} = {E,E; }, phép biến đổi tuyến tính o điên kết với phép ađn f nĩi trên) cĩ phương trình là :
[x1= C1]
Trong đĩ (x] và [x'] là ma trận cột tọa độ của các vectơ x
và œ(x) đối với cơ sở { e, } của khơng gian vectơ A
Ngược lại đối với một mục tiêu đã chọn {E,;E¡} mỗi phương trình cĩ dạng [x] = B[x] +[b'] trong đĩ B là một ma trận vuơng
cấp n khơng suy biến đều là phương trình của một phép biến
` đổi ađn nào đĩ.Thật vậy, ta gọi ( bìị,b», „,bn) là tọa độ của
điểm EQ đối với mục tiêu {Eu;E;} và {fEu;E¡} là mục tiêu aÏn sao cho B* là ma trận chuyển từ {E,;E;) sang {E',,E;} Khi biết B
và [b] thì mục tiêu {E',;E;} hồn tồn được xác định
Bay gid goi f: A" > A" la phép afin sao cho f(E;) = E; với i= 0,1,2, ,n thì dễ dàng thấy rằng phương trình của phép ađn † đối với mục tiêu {Eu;E,} chính là phương trình {x] = B[x] + [b] đã cho
Thí dụ 1 Một phép tịnh tiến tụ: A" ¬ A" được xác định bởi phép đồng nhất trong V° (là khơng gian vectơ liên kết của A’)
Trang 10Thí dụ 2 Trong mặt phẳng afđn A? đối với mục tiêu đã chọn, hãy lập phương trình của phép biến đổi ađn f biến các
diém A(1,0), B(0,2), C(-3,0) lan lượt thành các điểm A(2,3),
B(-1,4), C(—2, ~1)
Giải
Phương trình của phép ađn f cĩ dạng tổng quát là :
m =A¡XỊ +RaX; +C¡ hay x nh Mi
Xe = bx, + box, + Cy Xã bị be |x fy
Ta cần tìm các số a),a2,by,b2,¢1,c cia phép afin f
Ta cĩ theo giả thiết A(1,0) — A(2,3) B(0,2) > B(-1,4) C(-3,0) > C(-2, -1) nên ta cĩ hệ phuong trinh ; 22a + @®) 38 =bị + (2) -1 =2a + ty (8) 4 =2b, + & {4) -2 =-38a, + ¢ (5) -1 =~3b, + & (6)
Ta được một hệ gồm 6 phương trình, 6 ẩn Giải hệ phương trình này ta được phương trình của phép afin cẩn tìm là :
”
xì lị= l TE] A + Ầ 1 =X -Xgt1
Xo 11; 2 Xạ =Xi+X¿ạ+2
6 MỐI QUAN HỆ GIỮA PHƯƠNG TRÌNH CỦA MỘT PHÉP
BIẾN ĐỔI AFIN ĐỐI VỚI HAI MUC TIEU AFIN KHAC NHAU
Giả sử đối với mục tiêu ađn {E„;F¡} phép afin f:A" — A" cĩ phương trình là :
Trang 11[x’] = B [x] + [b]
Bay gid d6i voi mét muc tiéu afin khac 14 {E’,;E'}} phép afin f d6 c6 phuong trình là:
[x]= BIx] +[b'}
Vi B và B' cũng là ma trận của phép biến đổi tuyến tính ọ :V' -› V° liên kết của phép ađn f đối với các cơ sở tương ứng là {E,E; } và {ESE; } với ¡ = 1, 2, n Từ đĩ ta suy ra sự liên hệ giữa B và B' bằng hệ thức : B' = (C*}1B.C* trong đĩ C là ma trận chuyển từ cơ sở (EBV} sang cơ sở (EE; }
CHÚ ý Trong phương trình của phép biến đổi ađn f đối với
một mục tiêu ađn {E,;E;} cho trước cĩ dang [x'] = B[x] + [b], nếu ta cho [x] = {0] ta cĩ [x1] =[b] Điêu đĩ cĩ nghĩa là (bị, bạ, , bạ) chính là tọa độ của diém f(E,) = E’,
Nhân xét này giúp ta rút ngắn được quá trình lập phương trình của phép biến đổi ađn trong trường hợp giả thiết cho biết tọa độ của điểm f (E,) đối với mục tiêu {Eu;E;}
7.ẢNH CỦA ĐƠN HÌNH m CHIỀU VÀ CỦA HÌNH HỘP m CHIEU QUA PHEP BIEN DOI AFIN f
a) Định lí : Qua phép biến đổi ađn một don hinh m chiéu biến thành một đơn hình m chiêu
Chứng minh
Giả sử đơn hình m chiều xác định bởi m+1 điểm Á,,A¡, ,Ám
độc lập.Đối với mục tiêu ađn cho trước,các điểm A; cĩ tọa độ là : Aji = (aj, aig, , ain) V6i i = 0,1,2, ,m
40
Trang 12Nếu dùng cách viết ma trận thì tọa độ các điểm của don hình trên cĩ dạng : [x] = tolaol + tia] + + Em[am] trong đĩ các t¡ > Ư với i= 0,1,.,m và t+tị+ +tnạ=1
Bay giờ giả sử phép ađn f cĩ phương trình là {x] = B[x] +
+[b] trong đĩ B là ma trận vuơng cấp n khơng suy biến Nếu
X(xj) là điểm thuộc đơn hình S(A,A: Am) và X@ầœj) là ảnh của điểm đĩ thì : {x] =B(tfa,] + ti[a] + + tx[am]) + [b] Chú ý đến điều kiện t„+ t; + + t„ =1 ta sẽ cĩ : [x'] = ¢.(Blaol+{b]) + t:(Bla,}+[b]) + + tạ(B[amj+[b]) hay |Ixl= te[a¿] + tia: } + +tala’n |
trong đĩ [a:] = B[a;] + [b] tức [a;] là ma trận cột tọa độ của điểm A' = ĐA,) với ¡ = 0,1,2, m Bởi vậy ta cĩ điểm X'(x;) thuộc đơn hình xác định bởi m+1 điểm A,,A:, ,A'„ độc lập.Các điểm
này chính là ảnh của m + 1 diém A,,Aj; Am qua phép afin f
Vậy đơn hình m chiều là một khái niệm afin Ta cĩ :
S(A,An, , mm) = Đ8(A¿,Ai, Âm))
b) Định lí Qua phép biến đổi ađn một m - hộp biến thành
một m - hộp
Chứng mính
Ta biết rằng tập hợp những điểm M trong A” sao cho với
m+1 điểm Pạ,P\, ,P„ độc lập ta cĩ PM=Š`2,P,P, với 0 <A¡< 1
isl
là một hình hộp m chiều
Trang 13— mm —— ——~ £: A" 5A”, ta cĩ: o(M)= Š'À¡oŒ,P,)= S)A,PẠP, i=l m Các điểm P2,P°, , Pa là m + 1 điểm độc lập Do đĩ PM =ÐA¡P¿P; với 0< A¡< 1 trong đĩ ĐM) = M' và i=l KP) =Pì với ¡ = 0,1, m Vậy qua phép ađn f, hình hộp m chiều HŒ,,P:, ,P„) biến thành hình hộp m chiều H(P,P\, ,P„)
§7.NHĨM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI AFIN CỦA
KHƠNG GIAN AFIN VA HINH HOC AFIN
1 CÁC ĐỊNH NGHĨA
a)Khơng gian hình học là một tập hợp M khác rỗng và mỗi
phần tử của nĩ được gọi là một điểm Mỗi tập hợp con H của M
gọi là một hình Một song ánh f :M — M của M lên chính nĩ được
gọi là một phép biến đổi và tập hợp các phép biến đổi của M làm thành một z„hĩm đối với phép tốn lấy tích các song ánh
b} Một tập hợp F khơng rỗng gồm những phép biến đổi f nào đĩ của khơng gian M được gọi là một nhĩm các phép biến đổi với phép tốn là tích của hai phép biến đổi nếu cĩ hai điều kiện sau
đây :
— Nếu f và g là hai phép biến đổi bất kì thuộc tập hợp F thi tích g„f cũng là một phép biến đổi thuộc E
~ Nếu f là phép biến đổi thuộc F thì phép đáo ngược f'U cũng
thuộc F `
Trang 14vi F khéng rồng) thì theo điều kiện thứ h:- «6 fe F va theo điều kiện thứ nhất thì e = ff~' thuộc F Phép + .s nhất e đĩng vai trị
phần tử đơn vị trong nhĩm F vi eof = foe = f déi véi moi fe F
Ngồi ra ta cịn thấy rằng tích các phép biến đổi cĩ tính chất kết hợp nghĩa là đối với bất kì ba phép biến đổi f, g, h của khơng gian M ta đều cĩ f, (g.,h) = (f„ g).h
Thí dụ 1 Gọi c# là tập hợp tất cả các phép ađn của khơng
gian ađn A thì ‹# là một nhĩm biến đổi của khơng gian A và được gọi là nhĩm afin của A
Thí dụ 2 Tập hợp các phép tịnh tiến của A làm thành một
nhĩm, cịn tập hợp các phép vị tự khơng lập thành một nhĩm vì
tích hai phép vị tự cĩ thể khơng phải là một phép vị tự
©) Gọi F là một nhĩm biến đổi của khơng gian M và Hạ, Hạ
là hai hình nào đĩ của M Khi đĩ hình H; gọi là tương đương
uới hình Hạ đốt uới nhĩm F' nếu cơ một phép biến đổi f e F biến
hình H; thành hình Hạ Ta kí hiệu H;) = Hạ hay H; (P) Hạ
Từ định nghĩa trên ta để đàng suy ra :
- Một hình H bất kì của M luơn luơn tương đương với
chính nĩ (đối với nhĩm F) Thật vậy, vì ta cĩ phép đồng nhất e<F và c(H) = H
— Nếu Hị (Ÿ)H; thì Hạ (7) Hị Thật vậy, nếu cĩ f e F
sao cho f{H;) = Hạ thì cĩ f *e F để f X⁄Hạ) = Hị
- Néu H, (F/ Hy, H;(Ÿ)H; thì H,(Ÿ2H; Thật vậy, vì nếu
cĩ fg e F sao cho f{H)) = H; và g(H;) = Hạ thì g/ĐH¡) = Hạ với
gfe F
Trang 15thành các lớp F- tương đương sao cho hai hình thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi cĩ một phép f e F biến hình này thành hình kia
Thí dụ trong mặt phẳng afđn A* các hình tam giác thuộc cùng một
lớp vì hai tam giác ABC và ABRC' bất kì trong mặt phẳng đà hai hệ ba điểm độc lập) sẽ xác định một phép afin duy nhất f sao cho :
f(A) = A’, (B) = BY (C) = C’
2 CAC BAT BIẾN ĐỐI VỚI NHĨM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
AFIN :
a)Định nghĩa.Một tính chất của hình H sẽ gọi là bất biến đối tới nhĩm F nếu nĩ khơng thay đổi khi ta dùng một phép biến đổi
†e F để biến hình H thành một hình khác Như vậy ta cĩ thể nĩi
một cách khác rằng : Một tính chất của hình H sẽ gọi là bất biến
đối cớt nhĩm F' nếu mọi hình H, tương đương với H đối với nhĩm
E đều cĩ tính chất đĩ
Các tính chất bất biến đối với nhĩm các phép biến đổi ađn c4 trên khơng gian afin A được gọi là các tính chất dfin hay các bất bién afin
b) Cac tinh chat afin - Thi du vé cdc khai niém afin
— Tinh chat déc lap hay khơng độc lập của một hệ điểm là tinh chat afin vi phép biến đổi ađn biến hệ diểm độc lập thành hệ điểm độc lập , biến hệ điểm khơng độc lập thành hệ điểm khơng
độc lập
— Tính chất song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai cái phẳng là tính chất ađn vì các tính chất này khơng thay đổi qua các phép bỉ n đổi afđn Giả sử phẳng œ song song với phẳng j thì qua phép biến đổi afin f ta cĩ phẳng f(œ) cũng song song với phẳng
f)
— Các khái niệm được xây dựng từ các bất biến ađn được gọi là các khái niệm qiữn
Thí dụ: Hình tam giác, đường trung tuyến trong một tam giác, hình bình hành, m- phẳng, ti số đơn của ba điểm thẳng hàng là
Trang 16những khái niệm ađn ; cịn hình vuơng, hình tam gide déu, hinh lập phương, đường trịn, khơng phải là những khái niệm aln vì
các hình này thay đổi qua phép biến đổi ađn
3 HÌNH HỌC AFIN
a) Hình học của một nhĩm các phép biến đổi Mơn học nghiên cứu mọi bất biến đối với nhĩm các phép biến đổi F của
khơng gian M gọi là hình học của nhĩm Ê trên khơng gian M Nếu
trên khơng gian M cĩ nhiều nhĩm các
phép biến đổi khác nhau thì khi đĩ trên
cùng một khơng gian M cĩ thể cĩ nhiều ⁄4 thứ hình học khác nhau Giá sử F là một
/
nhĩm các phép biến đối nào đĩ của ⁄
khơng gian M và E' là nhĩm con của
nhĩm F ( H3) Ta cĩ FC F Khi đĩ nếu
cĩ một phép biến đổi f eF thì f e F, Do
đĩ mọi bất biến của nhĩm F' đều là bất
biến của nhĩm F Nĩi cách khác hình hình 8 học của nhĩm F là một bộ phận của hình
học của nhĩm F" Cĩ thể nĩi rằng khi đĩ hình học của nhĩm con F’
phong phú hơn hình học của nhĩm F
b) Hình học của nhĩm các phép biến đổi afin, Áp dụng những điều trình bày trên đây đối với khơng gian aũm A, ta cé tập hợp các phép biến đổi ađn của khơng gian ađn A làm thành một
nhĩm ‘
'Ta dùng kí hiệu c#° để chỉ nhĩm các phép biến đổi afin cia khơng gian afin n chiêu A" Hai hình H; và Hạ của khơng gian ađn Á" tương đương đối với nhĩm c#" được gọi là tuong duong afin Mọi bất biến của nhĩm an là các bất biến øfin và các khái niệm
được định nghĩa thơng qua các bất biến ađn gọi là các khái niệm afin Cuối cùng bình học của nhĩm c#“ trên khơng gian ađn A” được gọi là hình học afin n chiéu Sau day ta hãy nêu thêm một số khái niệm ađn được nghiên cứu trong hình học ađn n chiêu :
Trang 17¬ Mục tiêu ađn là một hệ gồm n+1 điểm độc lập
~ Đơn hình m chiều xác định bởi m+1 điểm độc lập, là sự
mở rộng của khái niệm tứ diện trong khơng gian 3 chiều ¬ Hình hộp m chiều là sự mở rộng của khái niệm hình hộp
trong khơng gian 3 chiều :
CHÚ Y Các khái niệm hình học cĩ liên quan đến độ đài đoạn thẳng và độ lớn của gĩc như đường cao của tam giác, đường trung trực của một đoạn thắng, đường phân giác của một
gĩc, hình tứ điện đều, hình câu v.v đều khơng phải là khái
niệm ađn nên khơng được nghiên cứu trong hình hoc afin Tuy
nhiên ta cĩ thể nĩi rằng : hình vuơng tương đương ađn với một
hình bình hành nào đĩ, hình tứ điện đều tương đương afin với
một hình tứ điện bất kì, hình lập phương tương đương ađn với một hình hộp xiên bất kì v.v Từ việc nhận ra các tính chất
aln của một hình giúp ta cĩ thể nhận ra bài tốn nào là bài tốn của hình học ađn và do đĩ cĩ thé sử đụng các cơng cụ
thích hợp của hình học ađn để giải các bài tốn đĩ
§8 CÁC SIÊU MẶT BẬC HAI
TRONG KHƠNG GIAN AFIN
1.ĐỊNH NGHĨA
Trong khơng gian ađn A” trên trường số thực với một mục
tiêu afin {E,; Ej} cho trước, một siêu mật bậc hai (S) là tập hợp
tất cả những điểm X thuộc A" cĩ tọa độ (xị,xz, xạ) đối với mục
tiêu đã chọn thỏa mãn một phương trình bậc hai đối với các Xị cĩ dạng :
Trang 18ĐXI,X¿, Xn) = Ð)apxiX + 23 ax, +a, =0 (i)
il ial
trong đĩ các hệ số au, ai,a„ đều là số thực, các aụ khơng đồng thời bằng 0 và aụ = aj¡
Như vậy (8) là siêu mặt bậc hai xác định bởi phương trình (1) và do đĩ phương trình (1) gọi là phương trình của (S)
Với n = 2 và n = 3 các siêu mặt bậc hai được gọi lần lượt là đường bậc hơi uè mặt bộc hai
CHÚ ý Theo định nghĩa trên, tập hợp các điểm X = (:,x¿, xa) đối
với một mục tiêu cho trước cĩ phương trình xị*+ xzŠ + + xu2+ L= 0
cũng là một siêu mặt bậc hai nhưng khơng chứa một điểm ađn
thực nào Tuy vậy nếu xét trong khơng gian afđn phức (khi đĩ tọa
độ các điểm là những số phức) thì phương trình đĩ xác định một
tập hợp khơng rỗng Bởi vậy trong khơng gian afin thực ta sẽ gọi
những siêu mặt bậc hai như thế là siêu mớt bộc hai do 3.DẠNG MA TRẬN CỦA PHƯƠNG TRÌNH
SIÊU MẶT BẬC HAI
Nếu ta gọi A =[au ] là ma trận đối xứng và vuơng cấp n mà
phần tử ở hàng ¡ cột j là hệ số aụ Vì au = a¡; nên A = A*, Khi
Trang 19Vì các hệ số au khơng đồng thời bằng 0 nên hạng của ma trận A lớn hơn hay bằng 1
Thí dụ : trong AŠ cho mặt bậc hai (8) cĩ phương trình : x? — 9y? + z” + 4xy — 8xz - 4yz ~ 14x - 4y + 14z + 16 = 0
Mặt bậc hai (S) cịn cĩ thể viết dưới dạng sau đây :
XIỔ — 2xj” + xạ” + 4xiX; — ĐXiXs — — 4xox3 - l4xị ~ 4Xa + l4x; + 16= 0 Phương trình của (8) cĩ thể viết dưới dạng ma trận như sau: 1 2 -47x,] %1 [x1 x2 X3].] 2-2 —3Jx;|+9 [—-7 -27l|x;| +16=0 _4 -2_ 1 xs Xạ 3.DINH Li Qua một phép biến đổi ađn, một siêu mặt bậc hai biến thành một siêu mặt bậc hai Chứng mính Giả sử ta cĩ siêu mặt bậc hai (Š) cĩ phương trình : {x]* Alx] + 2 [a]* [x] + a, = 0 (2) và một phép biến đổi ađn f cĩ phương trình [x] = Bfx] + [b] (với det B z 0) @) Thay (3) vào (2) ta cĩ : (B[x] + [b]*#A(BIx] + [BJ) + 2[a]* ŒB{x1 + [b]) + a; = 0 Khai triển phương trình trên với chú ý rằng
[x]#B*A[b] = [bl#*ABlx] (vì hai vế của đẳng thức này là những ma trận vuơng cấp 1 nên chuyển vị của nĩ bằng chính nĩ) ta sẽ
CĨ :
Trang 20ix'FALx'] + 2[a*[x'] + a, = 0 (4) trong đĩ : A'= B*AB
[a]= B* (A[b] + [a])
a, = [b]*A[b] + 2 [al* [b] + a,
Ta cĩ A' = A'* vì B*AB = (B*AB)” và hạng của A' bằng hạng của B*AB nghĩa là bằng hạng của A (> 1) do det B # 0
Vậy (4) cũng là phương trình của một siêu mặt bậc hai (8), đĩ chính là ảnh của siêu mặt bậc hai (S) qua phép ađn f đã cho
4 GIÁO CỦA SIÊU MẶT BẬC HAI VỚI ĐƯỜNG THẲNG
Trong A° cho siêu mặt bậc hai (Š) cĩ phương trình :
[x]*A[x] + 2[a]*[x] + a, = 0 (2)
và đường thẳng (d) đi qua điểm Bibi, bạ, , bạ) cĩ khơng gian
chỉ phương một chiều sinh ra bởi vectơ ẽ (e\, Co, ., Cn) Khi dé ta
cĩ phương trình tham số của đường thẳng (d) là :
xị= bị + địt vớii= 1,2, ,n
Viết phương trình (đ) dưới đạng ma trận ta cĩ :
[x] = [b] + [e]t (5)
Các giao điểm của siêu mặt bậc hai (S) với đường thẳng (d)
sẽ cĩ tọa độ thỏa mãn cả phương trình (2) và phương trình (5) "Thay (ð) vào (2) ta cĩ :
([b] + [c]t)*A([b} + {clt) + 2[a]* ([b] + [e]t) + a, = 0
Trang 21Q = [b}*Alb] + 2fa}*[b) + ap = Yaybib; +2) a,b, +a,
ijel i
Nếu t„ là nghiệm của phương trình (6) thi bing cach thay t,
vào (5), ta tìm được tọa độ của giao điểm Ta xét các trường hợp sau:
+) Néu {c]*A[c] # 0 thi (6) là một phương trình bậc hai đối
với t, khi đĩ nĩ cĩ thể cĩ hai nghiệm phân biệt hoặc một nghiệm kép hoặc vơ nghiệm (xét trên trường số thực) Như vậy
đường thẳng sẽ cắt siêu mặt bậc hai tại hai điểm phân biệt
hoặc tại một điểm (mà ta sẽ gọi nĩ là điểm kép) hoặc khơng
cắt Trường hợp đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một điểm
kép, đường thẳng đĩ trở thành tiếp tuyến của siêu mặt bậc hai
tại điểm tiếp xúc là (điểm kép)
*) Nếu [e]*A[c] = 0 và P z 0 thì phương trình (6) cĩ nghiệm
duy nhất, khí đĩ đường thẳng cắt siêu mặt bậc hai tại một
điểm +
*) Néu [c]*Alc] = 0, P = 0, Q z0 thì phương trình (6) vơ
nghiệm, tức là đường thẳng khơng cắt siêu mật bậc hai (trên trường số thực)
*) Nếu [e]#FAlcl = 0, P = 0, Q = 0 thi phuong trinh (6) nghiệm với mọi giá trị của t Khi đĩ tồn bộ đường thẳng (đ) nằm trên siêu mặt bậc hai (8) và ta cĩ (đ) c (S)
5.TÂM CỦA SIÊU MẶT BẬC HAI
Trang 22NHAN XÉT Từ định nghĩa trên ta suy ra nếu điểm M thuộc siéu mat bac hai (8) và (5S) cĩ tâm I thì điểm M' đối xứng của M
đối với I cũng thuộc (S) Vậy nếu (S)-# Ø thì tâm của nĩ chính
là tâm đối xứng của tập (S) và tâm này là một điểm
b) Binh Ii Trong khơng gian an A" với mục tiêu đã chọn,
cho siêu mặt bậc hai (8) cĩ phương trình :
(x}*A[x] + 2[a]*[x} + a, = 0 (2)
Điều kiện cần và đủ để (S) cĩ tâm là det A z 0 (hay hạng
của ma trận vuơng A bằng n) Nếu det A = 0 (hay hạng của
A <n) thì (8) vơ tâm (nghĩa là khơng cĩ tâm hoặc vơ số tâm)
Chứng minh
Giả sử O là một điểm cĩ tọa độ là G1”, x¿”, xạ”) đối với mục tiêu đã chọn Ta hãy tịnh tiến mục tiêu đã chọn {E,; E;} đến mục tiêu {O; E;} tức là dùng cơng thức đổi mục tiêu ;
[x] = Ix] + [x°] (7)
trong đĩ [x”] là ma trận cột tọa độ của điểm O đối với {E,; Ej} Thay giá trị của [x] trong (7) vào phương trình của (§) ta cĩ :
(ix') + 2°)" A([x'] + [x°]) + 9[a]# ([x] + Ix°]) + a =0
hay (x Alx'] + Ae] + [a]) be] + a’, = 0
Điểm O = (x¡”, x;°, xạ") là tâm của (S) khi và chỉ khi : Alx’] + [a] = 0
Như vậy tọa độ tâm của siêu mặt bậc hai (8) là nghiệm của
Trang 23trận cột tọa độ cĩ trong phương trinh cia (S) Ta suy ra:
— Nếu det A z 0 hệ phương trình (8) nĩi trên cĩ nghiệm
duy nhất tức là (S) cĩ tâm
- Nếu dẹt Á = 0 hệ phương trình (8) vơ nghiệm hoặc vơ số nghiệm tức là (S) khơng cĩ tâm Nếu hạng của ma trận A bằng
r thì tất cả nghiệm của (8), nếu cĩ là các điểm thuộc một m -
phẳng với m = n ~ r Đây cũng là trường hợp phương trình (8)
Trang 24Trong hình học giải tích ta biết đường bậc hai (8) là một đường elip nhận O làm tâm
)Trong A° cho đường bậc hai (9) cĩ phương trình :
B
x -2xy ty? + 4x-6y +1=0
Hay tim tam cda (S) Giải
1 -1 2 x
Taco A= | 1 | va ri=| oh ¥ thing det A= 0 'Ta cĩ phương trình tìm tâm là :
1 -1llx 2 x-y+2=0
| + =0 hay
-1 lily -3 -x+y-3=0
Hệ phương trình này vơ nghiệm nên đường cong (S) da cho khơng cĩ tâm Đường cong này là đường parabol
6 DIEM Ki DI CUA SIEU MAT BAC HAI
a) Định nghĩa Một điểm I gọi là điểm kì di của siêu mặt bậc hai (S) nếu I thuộc (8) và I đơng thời là tâm của (S)
b) Cách tìm điểm kì dị Giá sử trong A’, siêu mặt bậc hai (8) cĩ phương trình là: Ixl#A[x] + 2{alflxl + a; = 0 Theo định nghĩa điểm kì đị cĩ tọa độ thoả mãn hệ phương trình : [x}*A[x] + 2[al*[x] + a, = 0 Alx] + la] = 0
Thí dụ trong khơng gian 3 chiều thơng thường (cũng là một
khơng gian afin A”) mặt nĩn trịn xoay là một mặt bậc hai cĩ điểm kì dị là đỉnh của mặt nĩn đĩ
Hệ quả: - Siêu mặt bậc hai cĩ tâm là một khái niệm afđin -_— Tâm của siêu mặt bậc hai cũng là một khái niệm ađin
— Điểm kì đị của siêu mặt bậc hai cũng là một khái niệm afin
Trang 257.PHUGNG TIEM CAN VA DUONG THEM CAN CUA SIKU MAT BAC HAI
a) Định nghĩa Vecto ¢ 0 va c6 toa độ (cụ, cạ, , eạ) gọi là
phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai (8) với phương trình (2) nếu :
[e]*A[c} = Sa cic, =0 yey
ijel
Người ta cịn gọi phương tiệm cận của siêu mặt bậc hai là
phương uơ tận của siêu mặt bậc hai đĩ Đối với một siêu mặt
bậc hai cĩ tâm, một đường thẳng (t) đi qua tâm gọi là đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai đĩ, nếu phương của nĩ là phương
tiệm cận và nĩ khơng cắt siêu mặt bậc hai
Ta dễ dàng chứng mỉnh được phương tiệm cận và đường tiệm cận của siêu mặt bậc hai là những khái niệm afin tức là
khái niệm bất biến qua nhĩm các phép biến adi afin b) Siêu phẳng kính liên hợp với phương ư
Dinh li Cho hai điểm Mì,M; thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đường thẳng MỊM; cĩ phương khơng đổi ẻ z Ư
mà khơng phải là phương tiệm cận Khi đĩ tập hợp trung điểm cáo đoạn thắng M;M; nằm trên một siêu phẳng (đi qua tâm nếu cĩ của (5)) Siêu phẳng đĩ gọi là siêu phẳng kính của (8) liên hợp uới phương & Ngược lại phương é cũng được gọi là
phương liên hợp với siêu phẳng kính đĩ
Chứng minh
Trong A” với mục tiêu đã chọn, giả sử siêu mặt, bậc hai (8)
cĩ phương trình :
Trang 26Goi Mi, M; là hai điểm thuộc ~
(8) và 1 = (bi,bz, ,bạ) là trung điểm — —_“——— của đoạn thẳng MỊM; Đường thắng
M, M,
M,Mp cĩ phương trình tham số :
x=bi+ec¡iE với i=1,2,.,n trong đĩ (e, cạ, , e;} là tọa độ của
vectơ chỉ phương c (H3) Để tìm tọa độ của giao điểm Mị và Mẹ ta giải phương trình (6) sau đây :
([e]*Afe])t? + 2Pt+Q=0 (6) hinh 3
Gọi t1,t, la nghiệm của phương trình (6) lần lượt ứng với các giao điểm M,,Mp Vi I là trung điểm của đoạn M;¡M¿ nên :
TMi +IM2=0 @© tiẻ +iyẽ =Ũ
o
©= (tị + tạ) ¿= Ủ© ti+tạ=0 vic #
Vay P = 0 hay (b]*Alc] + [a]*[c] = 0 hay [c]*{A[b]} +[a]) = 0
Như vậy tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng M:M; thoả mãn phương trình : (cJ*“(AIx] + [a]) = 0 (9)
Trong phương trình đĩ [c]*A z 0 vì nếu [c]*A = 0 thì
[c}*A[c] =0 tite ¢ 1a phương tiệm cận của (S), điều này trái với giả thiết Vậy phương trình (9) là phương trình của một siêu
phẳng
Vi tam của (8) cĩ tọa độ thoả mãn phương trình A{x] +[a] = 0
nên cũng thỏa mãn phương trình (9) nĩi trên
Trang 27Vậy nếu siêu mặt bậc hai (S) cĩ tâm thì siêu phẳng kính
liên hợp với phương ¿ nào đĩ sẽ đi qua tâm của siêu mặt bậc hai đĩ
c) Các thí dụ
Thí dụ 1 : Trong A? hãy tìm phương tiệm cận của đường bậc
hai (S') cĩ phương trình đối với một mục tiêu afin cho trước là:
3x? — 2xy + 3y +2x — 4y +1=0
Giải
Muốn tìm phương tiệm cận của một siêu mặt bậc hai (S) ta
chỉ việc cho phần bậc hai trong phương trình của (S) triệt tiêu
Ta cĩ [x]*Alx] = 0 Khi đĩ tập hợp tất cả những veetơ x cĩ toạ
độ nghiệm phương trình này là những vectơ chỉ phương tiệm cận của (S8) Do đĩ :
Phương tiệm cận của đường bậc hai (S') cĩ phương trình 3x2 — 2xy + By? +2x-4y +1=0 được cho bởi phương trình 3x? ~ 2xy +.8y = 0 Dat k = Ï ta cĩ 3k? - 2k + 3 = 0 Phương trình này vơ x nghiệm Vậy duéng bac hai (S‘) khong cé phuong tiém can (S' la đường elip)
Thí dụ 2: Trong A? cho đường cong (G) cĩ phương trình đối
với mục tiêu afin cho trước là x” ~ 2 xy + yŸ + 4x — 6y +1=0
Tìm phương tiệm cận của G
Giải
Phương tiệm cận của đường bậc hai (GŒ) xác định bởi nghiệm của phương trình :
x°~2xy+y°=0
36
Trang 28Dat a=2 tacd: x
2?- 22+ 1 =0 Ta cĩ 2 nghiệm ^¡ = À; =1
Vậy dường bậc hai (G) cĩ hai phương tiệm cận trùng nhau, hay nĩi cách khác đường cong G chỉ cĩ 1 phương tiệm cận với vecto chỉ phương e = (1,1)
Thí dụ 3 Trong AŸ với một mục tiêu ađin cho trước cho mặt
bậc hai ( ) cĩ phương trình x”+ 3y” - z” + 5x +3y — 9 = 0
Tìm phương tiệm cận của mặt bậc hai (, ⁄⁄ ) Giải Phương tiệm cận của ( ) được xác định bởi phương trình: 9 ® x?+ 3y? -z
Đây là phương trình của mặt nĩn bậc hai thực đỉnh O là
gốc tọa độ Siêu mặt bậc hai ( ⁄⁄) cĩ vơ số phương tiệm cận
c=Œœ, y z) mà tọa độ của vectơ đĩ thỏa mãn phương trình
x’+ 3y? — 2? = 0 Thi du ta cĩ thể chọn vectơ ¢, = (1,1,2) làm vectơ chỉ phương cho 1 đường sinh của nĩn này Cac vecto cộng tuyến với c¡ cĩ dạng ke, với k z 0 đều là vecto chi
phương của đường sinh đĩ Ngồi ra ta cĩ thể chọn vơ số vectơ e, khác cĩ tọa độ thỏa mãn phương trình (*) ở trên
Thí dụ 4 Trong A' cho siêu mặt bậc hai (S) cĩ phương trình đối với một mục tiêu cho trước là :
x? — By? 4 zẺ + 4xy — 6x2 ~ 4yz ~ 14x — Áy + 142+16=0 và phương c= (1,2,3) Tìm siêu phẳng kính của (S) liên hợp với
¢ da cho
Hay chứng tỏ siêu phẳng này đi qua tâm của siêu mặt bậc
Trang 29Giải
Ap dung cơng thức (9) ta cĩ phương trình của siêu phẳng kính liên hợp với phương e= (1,3,3) đối với siêu mặt bậc hai cho trước là: 1 si -Th J123]|| 23 -2 2||*|* -sll=o ~4 -8 1 Jlzj LÃI| Sau khi thực hiện các phép tính, ta cĩ phương trình siêu phẳng kính liên hợp vớie là : -7x - By - 5z +10 = 0 hay 7x + 8y + 5z-10=0 Tâm của siêu mặt bậc hai (8) là điểm O cĩ tọa độ (x,y,z) thỏa mãn hệ phương trình: A[x] + [a] = 0, cụ thể là : x+2y-42-7 = 0 [x= 2x-2y-22-2 = 0 @ {y=1 (-4x-2y+2+7 = 0 [z=-1
Ta nhận thấy tọa độ tâm O(1,1, -1) nghiệm phương trình của siêu phẳng kính liên hợp với phương é, nghĩa là siêu phẳng kính liên hợp với phương ¢ di qua tam O của (6)
8.DẠNG CHUẨN TẮC CỦA SIÊU MẶT BẬC HAI TRONG A"
a) Đặt vấn đề Trong khơng gian ađn Á" với mục tiêu ađn
{O; 61.832 e, } một siêu mặt bậc hai (S) cĩ phương trình
tổng quát là :