Toán học cao cấp tập 1 part 8 docx

Trang 1

“6, So

T(w) = <Âu, ww) + + <ku, wow,

keu, wp >wy + + k<u, wp >,

R(<u, wy >wy + + <u, Ww, >w,) =#f()

Thí dụ 6.1.8 Một trường hợp riêng của thí dụ trên là trường hợp sau: V = RỂ với tích vô hướng Euelid Những vectơ wị =(l1,0, 0) và

w2 = (0, 1, 0) tạo thành một cơ sở Z

trực giao của mặt phang Oxy

(bạn đọc kiểm tra lại) Vậy nếu v = (x, y, 2) 6 RỶ thì hình chiếu trực giao của v lên mặt phẳng Øxy cho bởi TO) =< ¥, MỊ > MỊ# <V, M2 >2 =x (1,0, 0) + y (0, 1, 0) = (x, y, 0) (xem hinh 53) Hình 53 Thi du 6.1.9 Giả sử V là không gian vectơ m chiếu, và S = tị, W2, , mạ} là một cơ sở của V Thế thì mỗi v e V có biểu diễn duy nhất VS cw + C22 + + ey, nghĩa là có OD, = (C1 C2 os Gy) € RM Xét ánh xạ 7 : V —> R” xác định bởi T0) =9); Ta sẽ chứng mình 7 là ánh xạ tuyến tính Thật vậy, với w 6 V nữa ta có

u = byw + byw + + bwy,

Trang 2

cy nghĩa là có (9s = (bị, bạ, bạ) € R”, Do đó (+ y)g = Ơn +c|, bạ + c2, sa Đụ + Cu) = (bị, bạ, By) + (Cụ, C2, so Cm) = (5s + @)s 3 (iog = (khi, kba, khu) = k(ị, bạ, By) = ks Một cách tương tự, ánh xạ 7: V —> -⁄4x¡ xác định bởi [TO] = Ws cũng là một ánh xa tuyến tính

Thí dụ 6.1.10 V là một không gian có tích vô hướng và vụ là một véctơ cố định của V Giả sử 7 : V —› R là một ánh xạ xác định bởi TU) = <M, vạ > Theo tính chất của tích vô hướng ta có TỚI +9) =<H + V,Vạ >»=<H, Và > † <V,Va > = Tứ) +70) ; T(ku) =< kt, vg > =k <u, vy > = kT (u) Vậy 7 là một ánh xạ tuyến tính

Thí dụ 6.1.11 Gia st V = C[O, 1] và W là không gian con của C{0, 1]

gồm tất cả những hàm số có đạo hàm liên tục trên 9 < ¿ < 1

Giả sử Ð : W —› V là ánh xạ xác định bởi

DỰ)=

Trang 3

@ Theo tính chất của đạo hàm ta có Df + =F +s) = fits = Df) + Dla) Dk) = fy = If = kDỢ) Vậy Ð là một ánh xạ tuyến tính Thí dụ 6.1.12 Giả sử V = C[O, 1] và ÿ : V ~› R là ánh xạ xác định 1 bởi J(ƒ) = J fiat 9 Dễ thấy, theo tính chất của tích phân : 1 j 1 JE + 9) = Jr + stone = J ender + [ etna 9 0 9 =J/)+7) : 1 1 if) = [ưu =k J fide 0 0 Vay Ƒ là một ánh xạ tuyến tính 6.1.4 Các phép toán vẻ ánh xạ tuyến tính 1) Giả sử V và W là hai không gian vectơ và ƒ:VW và g:V-+W

là hai ánh xạ tuyến tính từ V tới W

Ta định nghĩa tổng ƒ + g của hai ánh xạ tuyến tính và tích kƒ của

một ánh xạ tuyến tính với một số thực # như sau :

Vae V, (f + gu) = ƒ() + gú) 6 W

Vue V, DW) = ae W

Trang 4

Dễ thấy rằng ƒ + z và &/ cũng là những ánh xạ tuyến tính từ V tới

W (bạn đọc kiểm tra lại) l

Bay gid, goi /(V, W) là tập tất cả những ánh xạ tuyến tính

từ V tới W: Z@, W):= Ƒ1ƒ: V — W, ƒ tuyến tính)

Với hai phép toán cộng ánh xạ tuyến tính và nhân ánh xạ tuyến tính với một số thực vừa định nghĩa, có thể chứng minh được rằng

Z4, W) là một không gian vectơ trên trường số thực

2) Bây giờ giả sử V, W, là ba không gian vectơ và

ƒ:V+W,g:W>U là hai ánh xạ tuyến tính

Khi đó anh xa hop g°f (xem 1.5.8) xác định bởi Vy œ V

(œ= Ø@) = g(fO)) 6 U là một ánh xạ tuyến tính từ V tới Ứ

6.1.5 Sự đẳng cấu của không gian n chiều với R"

Định nghĩa 6.1.2 Hai không gian vectơ V và V'` gọi là đằng cấu nếu giữa các vectơ x œ V và các veciơ x` € V` có một tương ứng Ì~l

xX” sao Cho, nếu x C x” và y c> y` thì

xtyoxty'’ kxokx'’ ke R

Hai không gian đẳng cấu có những tinh chất giống nhau

Dựa vào các kết quả ở thí dụ 6.1.9 ta suy ra định lí sau :

Dinh lí 6.1.1 Mọi không gian n chiêu V đều đẳng cấu với R°

Chứng mình : Xét ánh xạT : V — RỲ xác định bởi

ve Ve› Tạ) =(v)g 6 RẺ,

trong đó Š là một cơ sở của V,

Trang 5

%% tae Theo thí du 6.1.9 thì ánh xạ 7 là tuyến tính và tạo ra một tương ứng 1~—! giữa V và R” nghĩa là xeVc>z(x)s R" Đồng thời với XEVOSO (as e€ R" yeV€›(y)c e R” ta có x†+ye€V©(x+y)s =(Œ)sg +()s e R” ÂxeV@© (xe); =k(x)c © RB”

Vậy V đẳng cấu với R”

Chú ý 6.1.3 Khái niệm đẳng cấu của hai không gian hữu hạn

chiểu nói trên có thể suy cho cả các không gian vectơ bất kì Cụ thể

hơn, ta xét hai không gian vecto V va W va giả sử tồn tại một ánh xạ

tuyến tính 7 từ V sang W

T:V¬VW

Khi đó ta nói 7 là một phép đổng cấu của V trên W Nếu ngoài ra

W lại trùng với V thì ta nói 7 là một phép f đồng cấu của V

Nếu 7 là một song ánh tir V lên W thì ta nói 7 là một phép đẳng cấu của V trên W, Nếu ngoài ra W lại trùng với V thì ta nói 7 là một phép / đẳng cấu của V

Khi tồn tại một phép đẳng cấu của V lên W ta nói V đẳng cấu với

W, W dang cấu với V, V và W đẳng cấu với nhau

Người ta thường đồng nhất hai không gian đẳng cấu với nhau, tức

là xem hai không gian đó như là một

BÀI TẬP : 6.1 - 6.9,

Trang 6

6.2 CAC TINH CHAT CUA SNH XA TUYEN TINH -

HAT NHAN VA ANH

6.2.1 Tinh chat dau tién

Dinh li 6.2.1 V va W la hai khéng gian vecto

NéuT : ¥V — W la mét anh xq tuyén tink thi (a) T(8) = 8 (b) T(-v) = T(v), Vv eV (C)T —w)=T(v)T— T(w), Vv, we V Chứng mình : (a) Giả sử ve V, Vì 0y = Ø (xem định lí 5.].L phần (c)), nên 7(0) = T(0v) =0T(x) = 9 (b) Bây giờ, vì —r = (1) (xem định lí 5.1.1 phần (4), nên TCv) = T(TUy) = (CDT0) = =TÓ) (c) Vì r — m= v + (-w) (xem chú ý 5.1.8) nên w — w= w + (—L) w, đo đó T(v = w) = TW + CD) = TO) + TKD) = TV) - Tw)

6.2.2 Khái niệm hạt nhàn và ảnh của ánh xa tuyến tính

Định nghĩa 6.2.1 Giả sử V và W là hai không gian vecto và

T :V — W là một ánh xạ tuyến tính

Khi đó tập tất cả các phần tử của V có ảnh là Ð e W gọi là hạt

nhân của T, kí hiệu là Ker() :

KerŒ) := {x|xe V,T7@) = 9}

Tập tất cả các phần tử của W là ảnh của ít nhất một phần tử của V

gọi là ảnh của 7, kí hiệu là Im(7) :

Im(T): = tyl ye W, axe V, T(x) =y}

Nhu vay

Im(T) = T(V)

Bạn đọc có thể tham khảo định nghĩa 1.5.2

Trang 7

“og x Thi dy 6.2.1 Gia st T : V — W 1a anh xa khong Khi đó (xem thí đụ 6.1.4) ta có Vy€V,T(+)=0< W Vậy Ker(T) = V Vì Ø là anh duy nhat cha moi v € V nén Im(T) = {6} Thi dy 6.2.2 Gia sit T: R" 3 R™ 1a Anh xạ nhân với ma trận thuộc -„x„: đi địa Ay A-l“t #1 se đầu đụ - đe động Nhân của 7 gồm tất cả các vectơ x = (xị, xạ, x„) R” sao cho ma x tran [x] = * la nghiệm của hệ thuần nhất A[r} = 9 itn Ảnh của 7 gồm những vectơ y = (Ị, Yạ, y„) e R”" sao cho hệ ‘1 Ale] = bh fy) = |? Ym tương thích (nghĩa là có nghiệm) 6.2.3 Tính chất của nhân và ảnh Định lí 6.2.2 Nếu T :V ~»W là một ánh xụ tuyến tính thì (a) Ker(T) là một không gian con của V

(b) 1m(T) là một không gian con của W

Trang 8

8 “Ÿ ot Chứng mình : (a) Để chứng minh Eer() là một không gian con

của V ta phải chứng minh nó đóng kín đối với phép cộng vectơ và

phép nhân vectơ với rnột số trong V (định lí 5.2.1) Giả sử 9ị, vạ 6 Ker(7) và k c R Ta có TỌi +v;) = TÓA) +02) = 04+ 0= 0 Vậy vị +vạ € KerỮ) Bây giờ Tlky) = kT) = kO = 0 Vay kv, © Ker(T) Xong phan (a)

(b) Giả sử wị và wạ € Im(7) ta phai ching minh w, + w € ImŒ) và kwi e Im(7) với mọi k e R Muốn thế ta phải tìm được ø và b e V Sao cho

Ta) = wị +wy và T(b) = bại

Vì wị và w¿ € ImŒ) nên tổn tại những vecto a, va a, € V sao cho Ti) = wỊ và Ty) = mạ Đặta=ái tay và b= kai thì

T(a) = T(a + a2) = T(4¡) + T(42) = WỊ + W2

Tứ) = T(ka,) = KT (a1) = bon

Vậy xong phần (b)

Thí dụ 6.2.3 Giả sử T : R” — R” là ánh xạ nhân với ma trận cỡ m xn Vì Ker(T) gồm những nghiệm của phương trình Áx = Ô nên

Ker() là không gian nghiệm của hệ đó

Mặt khác im(T) gồm những vectơ b sao cho tồn tại x để Ax =b thoa man Vay /m(T) là không gian cột của ma trận A (tức là không

gian sinh bởi các vectơ cột của 4)

6.2.4 Hạng của ánh xạ tuyến tính — Định lí về số chiều

1 Định nghĩa 6.2.2 Nếu T : V —¿ W là một ánh xạ tuyến tính thì

số chiêu của Im(T) gọi là hạng của T, kí hiệu là rank(T) :

rank(T) := dim(/m(T))

Trang 9

or

Thi du 6.2.4 Gid sit T : R’ — R” la phép quay cia R? mot géc 74 Vé mat hình học ta thấy ngay rằng

Im (T) = R? va Ker (T) = (8)

Vậy dim(Ker(7)) = 0 và

rank() = (dim(Im(T)) = 2

Thí dụ 6.2.5 Giả sử T : R” ~› R” là ánh xạ nhân với ma trận

Cỡ m x n Ở thí dụ 6.2.3 ta đã thấy rằng Im(7) bằng không gian cột cha A, vậy hạng của 7 bằng số chiều của không gian cột của 4, tức chính là hạng của 4 (chú ý 5.5.2) Tóm lại rank(T) = A) Ở thí dụ 6.2.3 ta cũng thấy rằng Ker(7) là không gian nghiệm của phương trình Ax = 8 Vậy

dim(Ker()) = dìm (không gian nghiệm của Ax = 9

2 Định lí sau đây cho biết liên hệ giữa rank(7) tức là dim(Im(T)) với dim(Ker(7)) :

Trang 10

& là một cơ sở của Ker(7) Vì $¡ độc lap tuyến tính nên theo định li 5.4.5

có thể thêm vào đó ø — r vectØ vạạ, ., vạ nữa để

Ÿ2= li ss Vee ped oes Pad

tạo thành một cơ sở trong Ÿ Để tính dim(ImŒ)) ta xét họ

8 = [7@,¿1), TƠn)}

gồm n —r vecto € Im(T)

Ta sẽ chứng minh 8; sinh ra Im(Œ7) và độc lập tuyến tính

Để chứng minh Š; sinh ra Im(7), ta xét v bất kì thuộc Ÿ và tính

TŒ) Vì S¿ là cơ sở trong V nên

VS Oy Hee FeV, + Cp Veg Foe FOV ye

Do đó

T(v) = cj T (vp) + + CT) + Cry Tp) to + Ty)

7Œ) = €Cr+jT(Vr+g) + + cnT(vu) vì vạ, , v„ € Ker() Vậy S53 sinh ra Im(7)

Dé ching minh S3 doc lap tuyến tính ta xét điều kiện (5.3.1) Cpa T pgp) + + cnŸ(v„) = 8 (6.2.1) Nó tương đương với

T(Cr¿jVz¿| + + CzVạ) = 9

nghĩa là

Cra rey toe + CaƠn â Ker(T)

Do đó, vì S¡ là cơ sở cia Ker(T}

Trang 11

Ta suy ra

€ỊVI He Cy — Cp Mpg mee €uVy, = Ø Nhung Sj lại là cơ sở của V nên điều kiện này cho

c, = 0, Vi

Vậy điều kiện (6.2.1) suy ra

Crựi =Ũ, e, =0, nghĩa 1a S3 doc lap tuyến tính

Từ hai kết quả trên, áp dung định lí 5.4.2 ta suy ra Im(7) là không gian n —r chiều

Vậy có

dim(ImŒ)) + dim(Ker(Œ)) = (n ~r) + r = n

Xong chứng minh định lí

3 Trường hợp đặc biệt khi V = R”, W= R” và7; Rh _, R” lạ

ánh xạ nhân với ma tran A cé m x ø thì định lí 6.2.3 về số chiêu cho

đim(Ker(T)) = ø — rank(T)

= số cột của Á — hạng của A

Vậy có

Trang 12

enh Oy Vì ma trận hệ số có 5 cột, nên theo định lí 6.2.4 hạng của ma trận 4, ø(4) thoả mãn 1=5- ø(4) Do d6 pA) = 4 BÀI TẬP : 6.10 - 6.21 6.3 MA TRAN CUA ANH XA TUYEN TINH 6.3.1 Mở đầu

Ở thí dụ 6.1.2 ta đã thấy rằng mỗi ma trận cỡ m x x tạo ra một

ánh xạ tuyến tính từ R” tới R” Nay ta sẽ chứng minh rằng mọi ánh

xạ tuyến tính trên các không gian hữu hạn chiều có thể thực hiện

bằng một phép nhân ma trận

6.3.2 Khái niệm ma trận của ánh xạ tuyến tính

Xét hai không gian hữu hạn chiếu : V có ø chiều và W có m chiều Giả sử 8 là một cơ sở trong V, B` là một cơ sở trong W :

Bea (Uy, Up, oy Ugh B= {Vp VQ Vụ] Cho ánh xạ tuyến tính 7 :V — W Khi đó

x€VPT(x)cW

X =X¡H} + Xu, T(X) = YỊVỊ + + YmVYm

Trang 13

Chuyển qua toa độ ta có

COB = Crp XZ xu) € RỦ, (T+))p: = Ö,, y2, yạ,) € RP nghĩa là 3 Bi *2 » p=] | € Mar (Og =| | © Maret Xn Ym “Ta muốn tìm ma trận A € ~#f„x„ liên hệ [x]g voi [T@)]g: sao cho Alzls=[TG@)lg Vxe V (6.3.1)

dé cho T(x) có thể thực hiện được bằng một phép nhân ma trận Định nghĩa 6.3.1 Ma trận A cỡ m x n thỏa mãn (6.3.1) nếu có, xế được gọi là ma trận của ánh +ạ tuyến tính T : V — W đối với cơ sở B trong V va B’ trong W

Để chứng tổ ma tran A tồn tại, bảy giờ ta tìm cách xây dựng nó Trước hết ta có một nhận xét

Chú ý 6.3.1 Mọi ánh xạ tuyến tính ƒ: V — W được xác định hoàn toan boi flu 8),j= 1, 8 (đó là giá trị của ƒ tại “)

Thật vay, voix = xru¿ + + Xu#„ € V thì

ƒÑ) =ẨNHMỊ + + My) = XI) + + x,fu,)-

Bây giờ, vì phép nhân với ma trận là một ánh xạ tuyến tính nên dựa

vào chú ý 6.3.1, ta xây dựng ma trận Á bằng cách xác định A[u t;]g bởi

Ala,lg = [T()]g 7= 1, (6.3.2)

Vì Tứ) € W nên nó có phân tích trong cơ sé B’

Trang 14

nghia 1a [T0)]s: =

tụy

Mặt khác, vì u; là vectơ thứ ƒ của cơ sở 8 trong V nên A[,]s bằng cột thứ j của A (Bạn đọc có thể kiểm tra lại bằng cách thực hiện phép nhân)

Trang 15

kí ung “2, Vế phải đúng bằng Alxls Vậy ma trận A xây đựng bởi (6.3.5) là ma trận thoả mãn (6.3.1) Tóm lại, ta có

Định lí 6.3.1 Cho ánh xạ tuyến tính T :V — W từ không gian n chiều V tới không gian m chiêu W thì ma trận của nó đối với cơ sở B

trong V và cơ sở B' trong W là ma trận (6.3.5) Chi ý 6.3.2 Về cách tính anh T(x) của BoC x Ta có sơ đồ x tính trực tiếp T(x) ——— tà a) (3) Tính gián tiếp xB nhân A[x]s T)]p› (2)

Theo so dé này, khi đã có x € V muốn tính TŒ) có hai cách : cách

thứ nhất là tính trực tiếp, cách thứ hai là tính gián tiếp qua ba bước :

(1) Tính ma trận toạ độ [x]g cla x

(2) Nhân A[x]s để được [T(+)]g:

(3) Tái tạo T(x) tit ma tran toa độ TOO] g-

Có hai lí do cho thấy tầm quan trọng của cách tính gián tiếp Thứ nhất, nó cung cấp một phương tiện có hiệu quả để tiến hành những

ánh xạ tuyến tính trên máy tính điện tử Lí do thứ hai có tính lí

thuyết, nhưng có những hệ quả quan trọng trong thực tiễn

Ma tran A phụ thuộc những cơ sở 8 và B’ Thông thường ta chọn B va B’ sao cho việc tính các ma trận toạ độ càng đơn giản càng tốt Ta

cũng có thể chọn B và 8 làm cho ma trận A đơn giản, chẳng hạn sao

cho ma trận A là ma trận thưa Nếu có thể làm được điều đó thì A cé thể cung cấp những thông tin quan trọng về tính tuyến tính của T

Trang 16

6.3.3 Truong hop riéng

1)V=R”,wW=R” Xét

T7:Rh`R”

Giả sử 8 và B' là các cơ sở chính tắc trong V và W : Be (epee Cy} B= Up Sint

trong đó các vectơ e; và ƒ; viết ở dang cột : 0 0 e=|1 hang i “|1 hang j Inxi 9 Spex Khi đó nếu ta viết x va T(x) ở dạng cột thì cố x TO) x=| |=l“la : TQ) = : ={TO) 3: Xx " TOY n Ma trận A tương ứng có dạng A= [T(e,) Tle,)I trong đó 7(e,) viết ở dang cột

Định nghĩa 6.3.2 Ma trận A này gọi là ma trận chính tắc của T

Vì cơ sở chính tắc là duy nhất nên ma trận chính tắc của 7 là duy nhất

2) V =W Ta thudng chon B’ = B Ma tran A tương ứng gọi là ma trận của 7 đối với B Liic dé (6.3.1) viết

Trang 18

T(e3)= |] 0 |= _ ° c—=cc — ——~ >> 110 1 -1 0 Vay A= 001 100

Thi du 6.3.3 Gia sit T : R? R? 1A anh xa tuyén tinh bién moi

vecto (x, y) € R? thành ảnh đối xứng của nó đối với trục tung (hình

54) Hãy tìm ma trận chính tắc của 7 (các vectơ viết ở dạng cột) lay ma repeal z«o=1|[ |] Hình 54 -1 0 va ty A= mm

Kiểm tra lại: “he HN

Thi du 6.3.4 Gid st T : P¡ — P¿ là ánh xạ tuyến tính xác định bởi

Tự@G)) = xp@)

Trang 19

Hãy tìm ma trận của T đối với các co sở

B= uy, uy} và Bˆ= [HÍp, Ha, 82} trong đồ ứị = Ì, 2 = x; Hìịp= l2 =3, =AẾ Giải : Từ công thức về T ta có Tứ) =TÓ) = Œ@(1) =x Tứ) =T@œ) = œ0) = + Bằng cách kiểm tra lại ta có 9 9 [7@)]g: = | LỊ @2)]pg; = |0]: 0 ` 1 Vậy ma trận của 7 đối với 8 và 8” là 0 0 A=HT7G/))g[T@z)lg]= |1 0| 0 1 Thí dụ 6.3.5 Giả sữT : Pạ —› Pa, B và Bˆ như ở thí dụ trên, và giả sử T(x) = 1 - 2x

Hãy ding ma tran A thu duge ở thí dụ trên để tinh 7(x) một cách

gián tiếp và so sánh với cách tính trực tiếp

Trang 20

Tính trực tiếp ta có

TŒ) =T( ~ 2x) =x(1 — 2x) = x — 2x2

Trang 21

105 Giải : Từ định nghĩa của T ta có 2 - 3 Tuy) = | | =2, và Túe) = | | = 3w, - 2 0 Vậy [T(w)]pg = ol [T(z)]pg = 3Í: 2 0 Do đó ma trận của 7 đối với B là A = l HT

Chú ý 6.3.2 Có thể chứng minh được điều ngược lại của định lí 6.3.1, cụ thể là : Cho ma trận My 42 ty a đ ae Œ A=|2r 2 Í, _.- mn bao giờ cũng tồn tại ánh xạ tuyến tính 7 :V — W xác định bởi [T0/)]p; bằng cột thứ j của A = Alujlg nhận 4 làm ma trận đối với cơ sở 8 và 8”, Trường hợp riêng : V=R”,W=R" ð và B' là các cơ sở chính tắc Đó là thí dụ 6.1.2,

6.3.5 Ma trận của toán tử tuyến tính trong không gian Enclid Gia sir V 1a khong gian Euclid n chiều với tích vô hướng < >, B= (eạ,e¿, e„} là một cơ sở trực chuẩn của V và 7 là một toán tử

tuyến tính trong V Khi đó công thức (6.3.3) cho

Te) = tye, + fala to + byl

Trang 22

Do dé

< Tle), ep > =< tiết + f2j€2 +ei + fu€n, €ị > = Ny

Vậy theo (6.3.4), (6.3.5) toán tử tuyến tính T có ma trận trong cơ sở B là A= (ty) với tụ =< Tle,), đị>=<đi, T(e,) > (6.3.6) BÀI TẬP : 6.22 - 6.33 6.4 SỰ ĐỒNG DẠNG 6.4.1 Ma trận đồng dạng

Định nghĩa 6.4.1 Giả sử A và B là hai ma trận vuông cùng cấp n Ta nói B đồng dạng với A, kí hiệu B ©2 A, nếu tôn tại một ma trận

không suy biến (tức là khả đảo) P cấp n sao cho

B=P ‘AP

Chú ý 6.4.1 Đẳng thức B = P` ÍÁP có thể viết A=PBP !=(P ly Tạp”, Đặt P`Ì = Ø ta có

A=Q ÌBQ, Q khơng suy biến

Vậy nếu Ø đồng dạng với A thì A đồng dạng với Ö

6.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính thông qua phép đổi cơ sở

Định lí 6.4.1 Giả sửT :V —V là một toán tử tuyến tính trong

Trang 23

Ching minh - Theo giả thiết của định Ii ta c6, Vx EV:

Alxlg =[T@)]pg., ATxig = (Tp

Vì P là ma trận chuyển cơ sở từ 8 sang B’ nén Phi ma trận

chuyển cơ sở từ 8' sang 8 và có

Plalp: = [x] PIT, =f7G)lp-

Do đó - ATxlg-=[TG)lp =P TTG)Ig =P Atxlg= P TAPIxlp tức là Allg = Pl APL vr eV

Trang 24

oN 28 Do đó ma trận chính tắc của 7 là 1 1 A= -2 4 Bây giờ ta lập ma trận chuyển cơ sở P từ 8 sang B' Ta thấy Hị =ểi +iea, Hạ = ụ +22 Do 46 lạ = |) I⁄;]g = [2 “Vay P= I - ¬ Ta suy ra p1 Ì -1 if Do dé theo định lí 6.4.1, ma trận của 7 đối với cơ sở B' la worn? TE EEE 3} Chú ý 6.4.2 Ma tran A’ có đạng chéo, nó đơn giản hơn A, và có nhiều tính chất đáng chú ý như 32_,.„ |2 92 60112? 0 ssss-D Tý SHE 3Ì

Chú ý 6.4.3 Tù chú ý 6.4.2 ta có thể đặt vấn để sau : Cho ma tran

A vuông bất kì Hỏi có thể tìm được ma trận P vuông cùng cấp để ma

tran A’= P TẠP có đạng đơn giản hơn A, chang han như ma trận A” có đạng chéo, được không ? Đó là vấn đẻ rút gọn ma trận mà ta sé

giải quyết một phần ở chương sau thông qua các trị riêng và vectơ

riêng của ma trận

BÀI TẬP : 6.34, 6.35

Trang 25

oy TOM TAT CHUONG VI Ánh xạ tuyến tính V va W là hai không gian vectơ (trên trường R) T:V—W Nói 7 là ánh xạ tuyến tính nếu Tit + vps Tụ) +70) Vu,v€V

T(ku) =KTũO Vư€ V, VEER

Tit dinh nghia d6 suy ra (a) T(Ø = Ø (b)7() = -Tœ) (c) T(u — y) = To — TÚ) Hạt nhân và ánh Ker(7) := {v€VIT() =6} ImỮ) := {w € WI 3y €V,T() = w} =T0)

Ker(7) là một không gian con của V, Im(7) là một không gian con của W, ` Tạng của ánh xạ tuyến tính

rank(T) : = dim(7(V)) = dim(Im(T))

Nếu V là không gian ø chiêu thì

rank(T) + dim(Ker(T)) = n

Anh xa tuyén tinh va ma tran

V là không gian ø chiều có cơ so 1a B W là không gian m chiều có cơ sở là '

Cho ma tran A cO m x n thì phép nhân Á với vecto x € V tẠO ra một ánh xạ tuyến tính từ V tới W

Trang 26

ov! Ngược lại, cho một ánh xa tuyến tính 7 : ¥ > W thi tén tai ma tran A cm Xn để ánh xạ T có thể thực hiện thông qua phép nhân với ma tran A: A[xip = [T(x)]g xe Vv Ma trận A gọi là ma trần của ánh xạ T đối với các cơ sở B trong ÝÌ va B’ trong W Ma trận Á xác định bởi : cột thứ j của Á là [T(w))]g ,j = 1,2, 8

u; 1a vecto thứ j của cơ sở Ö Sự đồng dạng của 2 ma trận vuông thuộc ‹ #ạ

Nói A đồng dạng với Ø, kí hiệu A +2 Ö, nếu tồn tại ma trận không

suy biến P € ⁄4 để có A = P BP

Nếu A*2 8 thì B2 A

Ma trận của ánh xạ tuyến tính qua biến đổi cơ sở V là không gian vectơ n chiều

7 :V —'V là một toán tử tuyến tính trên V Đối với cơ sở B của V, TT có ma trận 4,

Đối với cơ sở B8 của V, 7 có ma trận A', P là ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’,

Trang 27

‘55 2g

3), y) =Œ,y +) 6) fy y) = (26 + y, x - v)

Df yy =O») 8) fl y= Ax, Yo

6.2 Anh xaf: RÌ R7 đưới đây có phải là tuyến tính không : D ỨC y,z) =(X,x+ y¥+z) 2) flx, y, 2) = (0, 0)

3) fay.) =, 1) 4) fly y 2) = (2x +y, 3y — 4z)

6.3 Anh xa fs, 4 > R dudi day có phải là tuyến tính không :

I ab _ d 2 ab = del?

Fle aij met } II 2l] ta

3) § 2) =28+ 3ð +c—d si i} =a 4b’,

6.4 Ánh xa fi: Py > P2 dudi đây có phải là tuyến tính không :

1) flag tayx + ax”) = đọ + (ay † 42)X + (244 — 3ai)x2 2) flag + ax + ax") = ay + a(x tb) + đa(x+ ĐỀ — 3) flay + ayx + ax) =0

4) flay + ayx + ax’) = (ag+ I tayx + dạ”

6.5 Cho ƒ: Rˆ —› RỂ là ánh xạ biến mỗi điểm của mặt phẳng

thành điểm đối xứng của nó đối với trực y Hãy tìm công thức cho ƒ và chứng tỏ rằng nó là một toán tử tuyến tính trong RẺ

6.6 Gọi ‹ Z4 x „ là tập các ma trận cỡ zm xn Cho 8 là một ma trận cỡ 2 x 3 hoàn toàn xác dinh, Ching minh rằng ánh xạ T:-42x; —® + xs định nghĩa bởi T(A) = AB là ánh Xa tuyến tính

6.7 Cho T : R3 > RŸlà một ánh xạ ma trận và giả sử

aleleGh ae (hell -[g

Trang 28

+ „` _ (a) Tim ma tran cia T 1 (b) Tim T |3 8 x (c) Tim T |} y 6.8 Cho inh xaT: R̬Wlà một phép chiếu trực giao các điểm của RỶ lên mặt phẳng xÓz {a) Tìm công thức của T (b) Tim T(2, 7, -1)

6.9 S là một cơ sở trong không gian n chiéu V

a) Chứng minh rằng nếu vị, vạ , v, là một họ độc lập tuyến tính trong V thì các vectơ toạ độ (ị);, (12), ., (vy); cũng tạo thành một họ độc lập tuyến tính trong R” và ngược lại

b) Nếu {vị, , v¡) sinh ra V thì {Œ\)s„ (¥,),} cfing sinh ra R° và ngược lại 6.10 Cho 7 : R” — RỶ là ánh xạ nhân với ma trận Hà 1) Hỏi vectơ nào dưới đây thuộc Im(T) ? (a) (1, =4), (b) (5, 0), , (c) (-3, 12) 2) Vectơ nào dưới đây thuộc Ker(T) ? {a) (5, 10), (b) (3, 2), (Œ) (1, 1)

6.11 1) Cho ánh xạ tuyến tính 7 = P¿ — P xác định bởi 7T{()) = xp(0 Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Ker() :

(ax? (b) 0? (€)1+x?

Trang 29

tuy 2) Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Im(7) : (a)x + x?? (by +x? (c) 3-47? 6.12 V là một không gian vectơ, cho 7 : V —› V xác định bởi T0) =3+e (a) Tìm Ker(7) (b) Tìm Im(7)

6.13 Tìm số chiều của Ker(7) và ImŒ) với

{a) 7 cho ở bài tập 6.]0 {b) 7 cho ở bài tập 6.11 6.14 V là không gian ø chiều Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính 7 : V —› V xác định bởi (a) T(x) = x; (b) T(x) = 8; (c) T(x) = 3x 6.15 Xét cơ sở S = {v), v9, v3} trong R trong đó vị =(1,2, 3), r2 = (2, 5, 3) và = (1,0, 10)

Tìm biểu diễn ánh xạ tuyến tính : 7 : RỶ —› RỂ xác định bởi

TA) =Q,0), T2) = (1,0), 7(9x) = (0, 1) Tinh TCL, 1, 1), trong các cơ sở chính tắc của RỶ, RẺ, 6.16 Tìm ánh xạ tuyến tính 7 : P¿ — P¿ xác định bởi T(L) = 1 +x, TA) = 3 —xŸ, T(xŠ) = 4+ 2x — 3x7 Tinh (2 — 2x + 3x2) 6.17 Tính đim(Ker(7)) trong đó (a)T : RỂ — RỶ có hạng 3 (bìT: Pa — Pš có hạng l () Im của 7: RỂ — R” là RỂ (đ)T: 2 —> 2 có hạng 3 6.18 A là ma trận cỡ 5 x 7 có hạng bằng 4

(a) Hãy tìm số chiều của không gian nghiệm của Ax = 6

(b) Hỏi Ax = b có tương thích với mọi b € RẺ không ? Lí do

Trang 30

Pe

6.19 T 1a mot 4nh xa ma wn x4e dinh nhu dudi day Hãy tìm : (4) một cơ sở cho Im(7) ;

(b) một cơ sở cho Ker(7) ; (c) số chiều của Im(7) và Ker(T) 1-1 3 2 0 -1 |5 6 4 2/4 0 2 7 4 2 00 0 14 50 9 4152 3-2 10-1 3) 1230 4) +1 0-10-1 23 51 8 6.20 Goi D : P3 > P2 là ánh xạ đạo hàm D(p) = p’ Hay mo ta Ker(D) 6.21 Goi J : P¡ —> R là ánh xạ tích phân 1 1p)= | pG)4x -l Hay mo ta Ker(J)

6.22 Hãy tìm ma trận chính tắc (xem định nghĩa 6.3.2) của mỗi

toán tử tuyến tính sau :

Trang 31

6.24 Tìm ma trận chính tắc của toán tử tuyến tính 7 : RỶ — RẺ biến + = (+, y) thành đối xứng của nó đối với

{a) Trục x

(b) Duong phân giác y = x (c) Gốc toa độ

Hãy tính T@2, L) trong mỗi trường hợp

6.25 Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính 7 : Py P, xac dinh bai

Tag + ayx + aax2) = (áo + đi) — (2a, + 343)x đối với các cợ sở chính tắc trong P2 và Py 6.26 Cho T : RẦ —› RỶ xác định bởi T(x), XQ) = (xy + 2x9, — x, 0) (a) Tìm ma trận của 7 đối với các cơ sở 8 = (uy, 42} trong R? và B= {ry , v2, v3} wong RỂ: uy, = (I, 3), wy = (-2, 4) vị = (1, 1, 1), vy = (2,2,0), ¥5 =, 0, 0) {b) Dùng ma trận thu được ở (a) để tính 7(8, 3) 6.27 ChoT : RỶ —› RỶ xác định bởi T(ăt, xạ, +3) =Œ| T2, Ä32—Xiy XI —X3) (a) Tìm ma trận của 7 đối với cơ sở 8 = | vị, vạ, va} vị =(,0, 1), v2 = (0, 1, 1), 3 = 1, 0) (b) Ding ma tran thu duge 6 (a) dé tinh T(2, 0, 0)

Trang 32

13 6.29 Cho vị = (1, 3), vg = (Hl, 4) va A = [ 2 | là ma trận của ánh xạT : R — RỂ đối với cơ sở 8 = {vị, vạÌ qœ) Tìm [T()]g và [T@2)]g (b) Tìm Tầ)) và T02) (c) Tim T.1) 3-210 6.30.ChoA=| 1 621 -3 071

là ma trận của ánh xạ Ï : RÍ — RỶ đối với các cơ sở 8 = {ĐỊ, Và, tạ, yg} trong RỶ và 8'= {w), 2, W3) trong RỀ: vị =(0, 1,1,1), vạ= Œ, 1,—1, —1), và = (1, 4, —l, 2), vị = (6, 9, 4, 2) wy = (0, 8, 8), 2 = (-7, 8, 1), #3 = (-6,9,1) (a) Tim [TO pg T0+2)]pg, ƑO+)1g ƒG4)ln- (b) Tim T(v}), T(2), T(¥3) Tg) (c) Tìm 7Ó, 2, 0, 0) 1 3-1 6.31.ChoA=|2 0 5| làma trận của ánh xạ 6-2 4 T + Py > Pp A6i với co $8 B= (0, vp, vg} voi vị = 3x +37, vạ=Í +ây + 212, vị =3 + 7x + 237 (a) Tìm [T(v)lg, [f(>›)]g, (*3)]p (b) Tim T(v}), T02), T063) () Tìm TA +3”)

6.32 Cho Ð : P2 —› Pạ là toán từ đạo hàm Đ(p) = p“

Tim ma tran của Ð đối với mỗi cơ sở 8 = {pị, 2 px} dưới đây : 312

Trang 33

‘og

2

@) py = le py =x pgax

(b) py = 2, pp = 23x py = 2 - vt Bx

(c) Dùng ma trận thu được ở (a) để tính Ø2(6 ~ 6x + 24x"),

(d) Lam lai phan (c) đối với ma trận ở (b)

6.33 Trong các bài tập dưới đây hãy tìm ma trận của 7 đối với cơ

Sở Ö rồi suy ra ma trận của 7 đối với cơ sở B” 1)T: 27 3)7: RỶ — RỶ xác định bởi Tíxi, x;) = (vị —2x;, —2) B= (ity, uy}, B= (vy, vg} tị =(10), mạ =(0, 1), vi = 2, 1), và = (3, 4) : RỂ — RỶ xác định bởi F(x) XQ) = (xy + 7x, 3x, — 4x) B= {uy, ty}, B= (yy, vg} ay = Q, 3), uy = (4, -L), ¥) = C1, 3) vy = C1, -1) R? > R? xac dinh bai T(x}, 2.43) = (ay + 20g ~ 24, “X19, xy + 7A3)

8 là cơ sở chuẩn tắc trong R, B= {vy và, va}

4T =RÌ RẺ là phép chiếu trực giao lên mật phẳng xÓy, 8 và vị =(0,0), và =1, 1,0), 2= Q, 1, 1)

Trang 34

oy DAP SO 6.1 1) c6; 2) khong ; 3) có; 4) có 3) không; 6) có; 7) có ; 8) không 6.2.1) có: 2) có; 3) không ; 4) có 6.3.1) có; 2) không ; 3) có ; 4) không &.4 1) có ; 2) có ; 3) có ; 4) không 6.5 +, y) = —, y) sz.2[ 3, [9]; [ere OT oad! -55|` Ol xe |} 6.8 a) T(x, y, 2) = (x, y, 0) b) (2, 7,0) 6.10 1) a)c) 2)a) 6.11 1) b); 2) a) 6.12 a) Ker(T) = {6} ; b) Im(F) =V 6.13 a) dim(Ker(T)) = 1 ; dim(Im(7)) = 1; b) dim(Ker(f)) = 0 ; dim(Im(T)) = 3 6.14 a) dim(Ker(T)) = 0 ; dim(Im(7)) =”; b) dim(Ker(7)) = n ; dim(Im(7)) = 0; c}dim(Ker(7)) = 0 ; dim(Im{7)) = ở 6.15 T(x, y, z) = (30x — 10y — 3z, -9x + By +2), TQ, 1,1) = (17, =5) 6.16 T(2 —2x + 3x7) = 8 + 8x — 7x, 6.17 a) dim(Ker(T)) = 2; b) đim(Ker()) = 4; c) dim(Ker(T)) = 3; d) dim(Ker(T)) = 1 6.18 a) s6 chiéu = dim(Ker(7)) = 3;

b) Không Muốn cho Av = b tương thích Vb 6 RỂ, phải có ImŒ) = RỂ,

nhưng vì rank(7) = 4 nên dim(Im(7)) = 4 # 5 nên Im(7) # RỒ

Trang 39

“ae

se

Chương VI

TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA TỐN TỬ TUYẾN TÍNH

7.1 TRE RIENG VA VECTO RIENG CUA MA TRAN

7.1.1 Mở đầu

Trong nhiều bài toán, khí cho toán tử tuyến tính 7 : V —› V thì có

một vấn đề quan trọng là xác định được những số A sao cho T(x) = Ax,

tức là 7(x) tỉ lệ với x, x # 0 Ta sẽ nghiên cứu vấn đề này và nêu lên

một vài ứng dụng

7.1.2 Khái niệm trị riêng và vectơ riêng của ma trận

Trang 40

Chú ý 7.1.1 Nếu x là vectơ riêng của Á ứng trị riêng A thi ex, trong đó c là một hằng số khác không tuỳ ý, cũng là vectơ riêng của

A ứng trị riêng Â

That vay, ta cd

A(cx) = cAx = cAx = A{cx)

Vì vậy sau khi có x ta cé thé chon ¢ dé được vectơ riêng có độ dai bằng ], nghĩa là lcxll =1 Sc= 1/llt Vectơ riêng có độ đài bằng 1 gọi là vectơ riêng đã chuẩn hoá 7.1.3 Phương trình đặc trưng Để tìm các trị riêng của ma trận vuông Á cấp n, ta viết Áx = Ar thành Ax = Äfx, x6 R”, trong đó ? là ma trận đơn vị cấp ø Do đó có (A -ADx = 0

Đây là một hệ tuyến tính thuần nhất Muốn cho A là trị riêng của A, diéu kiện là hệ trên có nghiệm x # Ø và muốn thế điều kiện cần và đủ là

đet(A - AL) = 0 (7.1.1)

Đó là phương trình để xác định các trị riêng của 4, ta đi đến định nghĩa sau