“65 Thí dụ 8.5.2 Xét dạng toàn phương (8.5.4) ở thí dụ 8.5.1 Nó có ma trận 3-2 A= lad 5- 2 =5>0,4= =36>0 4-550, &=[ 33] <a> Vay dang toàn phương (8.5.4) có dạng chính tắc 1 1 5 af tầng =;ơ +6 (8519)
Muốn tìm công thức đổi biến ta phải xác định các vectơ cơ sở méi fi, f, Ta dựa vao (8.5.11), (8.5.12), (8.5.13) Ta cé
Do đó
9=
Ji =9, = (8n, 0)
ý =đại đị † uy đa = (Gy By)
Trang 23 Ta suy ra @, = 1/18 va O55 = 5/36 Vay {13 fr -(F%) Vậy công thức đổi biến là x |_puss 1/18] lã [I 0 sa) l] (8.5.20)
Một hệ quả của định lí 8.5.3 là phần đầu của định lí sau :
Định lí 8.5.4 Dạng toàn phương (8.5.7) xác định dương khi và
chỉ khí
A.>0,1<i<n (8.5.21)
Chứng mình Điều kiện (8.5.21) là điểu kiện đủ vi đó là hệ quả của đạng chính tắc (8.5.18)
Muốn chứng mỉnh (8.5.21) là diéu kiện cẩn trước hết ta chứng minh 4, # 0 Vi Gia sit
Q(ái, e¡) Q2), e2) AE, €;)
ep, €,) O(6y, #2) - 0y) | _ œ Lúc đó tồn tại ¡ hằng số c¡ không đồng thời bằng không để q¡ gứ #;) + cy Q0, #)+ ØŒ;, e;}= 0 Ø,, e) 06,5 9; s)
=> Oc, &,¢;) + OAcy, é; ej) + t+ AC; ø,,e/)=0 => Oe, e +e, 6; + + C¡ ếi, s) =0
> Ac, e, toy 6p + + 6 € 5 Gr Oy Oy Fly by + +60) =0 =O, ey Hy Oy tt; =0
Trang 3"ge e
Bay giờ nếu có một số 4; <0 thì trong các hệ số của dạng chính tắc (8.5.18) vừa có hệ số âm vừa có hệ số dương Do đó nếu chọn &
như sau :
[ khi hệ số của , dương
°_ˆ_ Ì1 hi hệ số của £, âm
Với š =(ố b2 Š„) chọn như vậy ta sẽ thấy O(f.£)<0 Điều nay mau thuẫn với Ó(x, x) xác định đương
Trang 45 oY ad trong d6 Q, khong chita yị : " Q = x by WY; - ij=2
Sau đó người ta làm việc với QO, chỉ còn chứa các y;, y, y„ như với @ trước Cứ thế, cho tới khi thu được biểu thức không chứa
các số hạng chéo nữa
Nếu a; =0 ta đi tìm trong số các a›;2, đ„„ CÓ số nào khác 0,
chẳng han a,, #0 thì ta đổi vai trò a,, thay cho a)
Néu t&t c4 cde a,, = 0 thi tén tai ít nhất một số hạng 2a, X5; với
a; #0 Liic dé ta dat
Xi Si +), pM Ips My Mee Ab thì có
24, XịX; = 2a;, ơ? - yy)
Trang 5Thi du 8.5.5 Xét dang toan phuong
Ox, x) = 2x, 22 + 4x, x3 - 3; - 8x3
Ta viết lại
ØŒ, x) = —; + 2, xy + 4x, X37 8x3 va dat 3 =ỗa: Xạ =ối, x; =ốy
thì được Olx, x) = —Ế? + 2Š ễ, + 4E, É, — Be? Ta viết lại Olax) = +E, 6,7 + 4: 48,8, — 2 va dat nụ =ỗ Tỗ, 3a =ỗ, # nỗ thì được Olx, x) = -yf + y3 + y.y; — By Ta viét lai ÓG4)<— ¥f HO + 2¥4)? dy} ~By3 =— yP +(y, +294) -129? va dat Mm => = 2 +2y3, 1 = 93 thì được Olx, x) =— 0} + 2 - 129? với các công thức đổi biến Th = y= 8 Tổ =X; —ị Ny = Yq + 2y3 =, +26, = x, +2x, 1s = 3 = 63 =X; hay 4 = — 2ng 4) = +4) — 2m; (8.5.23) x4 = Th -
Hệ quả Cho trong cơ sở S của không gian V dạng tồn phương
© Tơn tại ít nhất một cơ sở §' trong đó Q có dạng chính tắc
Trang 68.5.6 Định luật quán tính
Một dạng toàn phương có thể có nhiều dạng chính tắc khác nhau (trong những cơ sở mới khác nhau) Ví dụ dạng toàn phương (8.5.4) có ít ra là ba dang chính tắc khác nhau : (8.5.5), (8.5.19), (8.5.22) Sở
đĩ vậy là vì ta đã sử dụng ba phép đổi biến khác nhau, đó là (8.5.6),
(8.5.20) và (8.5.23)
Khi một dạng toàn phương được đưa về dạng chính tắc bằng hai cách khác nhau (tức là trong hai cơ sở mới khác nhan) thì số các hệ số đương bằng nhau và số các hệ số âm bằng nhau
Đó là nội dung của định luật quán tính
Từ phát biểu trên ta suy ra: số các hệ số bằng không cũng bằng nhau 8.6 AP DUNG 8.6.1 Áp dụng 1 : Nhận dạng đường bậc hai Xét phương trình bậc hai tổng quát đối với cặp toạ độ để các Œxị, x;) của diém x € R?: ax? + 2bx xy + 0x} + 2gn, + 2hx, +d =0, (8.6.1)
trong đó a, b, c, g, h, đ là những số thực cho trước Ta muốn biết
đường bậc hai này là đường gì ? đường tròn hay đường elip ? v.v
Vế trái của (8.6.1) là tổng của hai hàm : một hàm bậc hai ¿ và một
hàm bậc nhất p với
q= a? +2bxix; + ex2, p= 2gx, + 2hx, +d
Ta nhận thấy ¿ là một dạng toàn phương trong cơ sở S = {i = (1, 0), j=(0,1)} của RỶ với ma trận đối xứng :
ab
Trang 7“tage Phuong trình đặc trưng của A là a-À b = 2_ _ 2= b cea “ -(4+ c)Ä + ac - b 0
Nó có hai nghiệm thực ¡ và 4., thoả mãn điều kiện AA, = ác = ĐỂ, A +A, =a+c
Trang 8ot I Trường hợp 4 va Ap khac- 0 va cùng dấu, tức là khi ac — b >0 "Ta viết lại phương trình (8.6.4) : „ 2 ht 2 A[art) talart)-@ 669 trong đó : d -4(§ : „x2 +alZ) -d=->—+——-d h r4 wy 2 ry "2 A A A A Áp dụng công thức tịnh tiến trục (xem mục 4.2.5) : h 4, x, ae X, =&, + ta dua (8.6.5) vé dang : AX} + A,X} = (8.6.6) 1 Gid sit d’ # 0 va cing ddu vdi A, A: Ta chia hai vế của (8.6.6) cho d’: x? : Xp 1 (JA) 1A)
Đây là một elip thực với các bán trục Jara, va Jai
Trang 9fog
3 Néu d’ = 0 thi (8.6.6) cho
AX) +4,xX? =0
Cả đường bậc hai thu về một điểm (X, = 0, X, = 0)
!l Trường hợp 2¡ và Aj khac 0 và khác dấu tức là khi ac- b? <0, Giả sử ¡ >0, 3, <0 Giống như ở I ta có (8.6.6) 1 Nếu 4” = Ö thì từ (8.6.6) ta suy ra (8.6.7) và (8.6.7) cho : ao} an ^2 Bây giờ dù đấu của đ thế nào ta cũng có một hypebôn 2 Nếu 4” = 0 thì (8.6.6) viết ÀJXỸ ~ CAX)) = 0, VAX, =X
Đây là hai đường thẳng cắt nhau
Ay? ay? oy, Đo đó có II Trường hợp có một trị riêng bằng 0 tức là khi ac~ bˆ =0 và a+cz0 Giả sử ¡ # 0, Ä; =0, phương trình (8.6.4) viết All? +26, +2h'ốy +4 = 0 (8.6.8) 1 Néu h’ = Ö ta có 1 2 , Š =T- (ấp +2gỗ + đ) 2h Đây là một parabôn có trục song song với trục Š
Trang 10oor 2 Nếu h` = 0 thì (8.6.8) viết ˆ 2 ge + H +—=0 (8.6.9) ln) trong đó »2 a.=a- 3, 4 a) Nếu 4” 0 và khác dấu của A, thi (8.6.9) cho ' ED f= £4 [2 14 W4
Đó là hai đường thẳng thực song song
b) Nếu 4“ = 0 và cừng đấu với À, thì (8.6.9) cho
Trang 11“og,
Tóm lại :
Khi ổ = ð— ac <0 thì đường bậc hai đã cho là một elip thực hoặc ảo ;
Khi 6 = b? — ác >0 thì đường bậc hai đã cho là một hypebôn hoặc hai đường thẳng cắt nhau
Người ta xem hai đường thẳng cắt nhau là một hypebôn suy biến,
Nếu ổ = bŸ — ae =0 và a+ c = 0 thì đường bậc hai đã cho là
một parabôn, hay hai dường thẳng thực song song hay hai đường thang Ảo song song hay hai đường thẳng thực trùng nhau
Người ta xem hai đường thẳng thực song song hay hai đường thẳng ảo song song hay hai đường thẳng thực trùng nhau là một parabôn suy biến
Đặc biệt khi ð2 ~ ac = 0 và 4+ =0 tức là khi a= b = e = O thì
đường bậc hai thu về đường bậc nhất tức là một đường thẳng
Dưới đây khi trình bày các thí dụ nói chung ta không sử dụng các công thức phiền phức ở trên mà chỉ áp dụng cách làm tương tự
vào những phương trình bậc hai cụ thể
Thí dụ 8.6.1 Hãy nhận dạng đường cong phẳng cho bởi phương trình
5x2 — 4xx, + 8x7 =36 (8.6.10)
Giải : Đó là phương trình
a,x? +24i2XjX; + aax? = 36
Trang 12ts 2 fe z=[1ef»J,J=l[ | M]| V5 Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang # là 2 ¬-~—- Lo eS Ma trận này sẽ làm chéo hoá trực-giao ma trận A Với mọi x € R? oh ` ly xy ta ki hiéu [x], = at Llp = vt 2 2 Vì có [xlg = Plxlg và [x];s = P'xip Tiên ta suy ra (lp ALd, = Leg (P'AP Ll, = (x1, Dig ` 0 D=PAP= * 0 4g] -[ 5 |0 9 4 0lJx' [IPL], = tag sl LÌsssjxs: X2 trong đó Do đó
Vậy phương trình (8.6.10) trong toạ độ cũ (x¡, x;) trở thành
phương trình trong toạ độ mới (x1, x2) :
2 2
Trang 15suy 40g, ta thu duge tir (8.6.15) 2 2 x x Ar #2 9° 4
Vậy đường cong phải tìm là một đường elíp, thu được bằng tịnh tiến đường elíp ở thí dụ trên theo công
thức (8.6.16) (hình 56)
8.6.2 Ap dung 2: Nhận dạng mặt
bậc hai
Cách giải tương tự cách làm đối
với đường bậc hai Xét phương trình bậc hai tổng Tình 56 quát đối với bộ ba toa độ để các (xị, X;, x;) của điểm x € RỶ: ax? + bộ + ex? + rx xy + 2sxpx, + 2Ix2x: + 2m + 28x; + 2hx, +d = 0, (8.6.17)
trong d6 a, b,c, r,s, t, e, g, h, dla nhing sé thuc cho trước
Vế trái của (8.6.17) là tổng của hai hàm : một hàm bậc hai ¿ và một hàm bác nhất p với
q:= ax + b2 + ext + 2x Xy + 2 + 20x4X3,
pis ex, + 28x; + 2hx; +đ= 0,
Ta nhận thấy ¿ là một dạng toàn phương trong cơ sở § = {¡ = (1,0,0),
Trang 16rẻ si
N6 co ba nghiém thuc A,, Ay va A, Đó là ba trị riêng thực của
A Ba vectơ riêng trực chuẩn tương ứng có dạng Sn fia fs fñf=|l¡ | f=)fo} $ =|l 5a Fry fy tạ Bằng phép đổi biến sang cơ sở mới S’ = {ƒ,, ƒ; §Ì 4 Fy fa fis a *;|=lfi 5; f3 |-lla 133] Fy fa Ss LS J x P š ta đưa đạng toàn phương ¿ về dạng chính tắc trong cơ sở mới : 4x AE + Ây + Ags Do đó (8.6.17) có dạng AEP + Ay? + AE? + 2e, + 28x; + 2lpg + đ =0 (8.6.18) hay
ALL + AEE + AGES + 2eCH ids + finds + fats) +
Trang 17ải I Trường hợp 4), az va ag khác 0 (khi det(A) = 0) va cùng dấu Ta viết lại (8.6.19) : Alors alors) ford gad Oh oY a? AA R1 Ap dung công thức tịnh tiến trục ; kả 8` „ g 4 Xi & | =X,, Š +—=*; (8.620) ay ta được 2 2 2m
AX? +AjX$ + A,X? =a (8.6.21)
1 Nếu 4'=0 và cùng dấu với các trị riêng thì (8.6.21) viết 2x 3g 2g sỉ d Đó là một mặt eligi thực Đặc biệt khí Ã, = A, một mặt cầu bán kính ,/2⁄ =A, thi mat elipxoit thực trở thành 1 2 Néu d' #0 va khác dấu của các trị riêng thì (8.6.21) viet a tx? + Ay # da xy 2,442.3 ad Đó là một mật elipxôit ảo 3 Néu d’ = 0 thì (8.6.21) viết 2 2 2 ÂJX[ +ÃgXj + A,Xỹ =
Vậy cả mặt bậc hai thu vẻ một điểm (X, =0, X, =0, X; = 0)
Trang 18II Trường hợp ba tri riêng khác 0 trong đó có hai trị
riêng cùng dấu và một trị riêng khác dấu
Giả sử A, >0, A, >0,A, <0 Giống như ở Ï ta có (8.6.21) 1 Nếu đ' > 0 thi (8.6.21) cho Ay ya , 22 y2 43) x2 anh +) xin Xã =1 Đó là một mặt hypebôlôit một tầng 2 Nếu đ' < 0 thi (8.6.21) cho A +42 ayia -d _Ð 2 #3 Đó là một mặt hypebôlôit hai tầng II Trường hợp có một trị riêng bằng 0, còn hai trị riêng kia cùng dấu Gia sit A, = 0, A; > 0, Â; > 0 Phương trình (8.6.19) viết ae + AE} + 2e'E, +22", + 2h'G, +d = 0 Áp dụng công thức tịnh tiến trục e gi _ g +S =X, &+ is X, & =X (8.6.22) ta duge AX? + A,X} +2n'X, =a’, (8.6.23) trong đó \ ey ey d'=-d+—— + AA
Trang 19“tog
2 Néu hk’ = 0 thi (8.6.23) viết
AYX? 4 A,X? =a’
Đây là một mật trụ có đường sinh song song với phương * IV Trường hợp có một trị riêng bằng 0, còn hai trị riêng kia khác dấu
Giả sử A, =0, 4 >0, Ay < 0 Gidng nhu 6 II ta cd (8.6.23) 1 Nếu jˆ z 0 thi (8.6.23) 14 mot mat paraboloit hypebôlôit (mặt
parabôlôit loại hypebôn)
2 Nếu =0 (8.6.23) cho
A XỶ + 2X) =d'
Đây là một mặt trụ có đường sinh song song với phương X, V Trường hợp có hai trị riêng bằng 0
Giả sử % = Ay =0, 4, z 0 Phương trình (8.6.19) viết AG? + 20°, + 2815 +2h'E, +d =0 Ap dung công thức tịnh tiến trục lị+ —=X), 6 =X;, 6 =X; — (8629 A ta duge AXP +2g'Xy +2h'X, = d' "2 ar=-a+(2ˆ
1 Néu g’ = 0, h’ = 0 Ta có một mặt trụ parabôn có đường sinh song song với phương ễ;
2 Nếu g’ = 0, h' = 0 Ta có một mặt trụ parabôn có đườc sinh
song song với phuong €,
Trang 203 Nếu g' = 0, h’ = 0 Ta có một mặt trụ parabôn có đường sinh song song với phương vuông góc với đường thẳng gỗy+ We, =0
VI Trường hợp cả ba trị riêng đều bằng 0
Trang 21Do đó Lg Alt] g = ŒPx]gŸ A(P[xig) = [xy (PAP Lr] = (lp Dialg a 100 trong đó D=P'AP = Ay =|0 2 Ol +j 100 4 Cho nên 1 xy (lp Pix], = [x xy 2°] 2 x'y ` 4} [xy
Vậy phương trình đã cho trong toạ độ cũ (XI, x¿, x3) trở thành phương trình trong toạ độ mới (x * X2, X3):
x1+2x2+ 4x2 = 16
2 2 2
x x x
ha; y ay 23 1, 1° 84
Đó là phương trình của mặt elipxôit có các bán trục là 4, X8 và 2 8.6.3 Áp dụng 3 : Một bài toán cực trị có điều kiện
V„ là một không gian có tích võ hướng S$ = tao Cres en} 1a mot
Trang 22Dé gidi ta dat A =[a,] thi A’ = A va (8.6.25) viet Q = tax
Vì A đối xứng nên nó có ø trị riêng Â,, ¿ = l, 2, 2 ting với
n vectơ riêng ƒ, ¡ = 1,2, n LạO thành một cơ sở trực chuẩn mới @—'= {fi foros f,}- Bằng phép đổi biến trực giao x = Pễ từ S sang Š' ta đưa @ về dạng chính tắc : Q=AỆ +ÃsŠ? + + Ayỗn- (8.6.27) Giả sử Ay Ss A, < <Š Âu: (8.6.28) Khi đó
AE =A S2 <0<A, Sổ HAE i=! ist G629) x= PE => xÍx = (PE) (PE) = PIPE = EE
nén (8.6.29) va (8.6.26) cho
A, SOKA, (8.6.30)
Căn cứ vào (8.6.30) va (8.6.27) ta suy ra két qua :
Q dat giá trị lớn nhất là A, tai EM = (1, 0, ., 0) tte a
tai xO = pAg@) — pig) va đạt giá trị bế nhất là A, tại
EO") = (0, , 0, 1) tức là tại xứ = PTIE™ = prem
Thi du 8.6.4 Xét dang toan phuong (8.5.4) trong R? ở thí dụ 8.5.1 Bằng phép đổi biến trực giao (8.5.6) ta đã đưa nó về dạng chính tắc (8.5.5) Vậy nó đạt giá trị lớn nhất là 9 tai £ = (1,0), tức là tại
x9 = (1/45) (2, 1) va gid trị bé nhất là 4 tại £Œ? = (0, 1), tức là
tai x = 1/45) (1.2)
Trang 23‘0
BAI TAP CHUONG VIII
8.1 Tìm dạng chính tắc của mỗi dang toàn phương sau : 1) a + 3 + 3x3 + 4x xy + 2xxy + 2x53
2) xf 2x3 $8 4 Oey + day + aye,
3) + _ 3x5 2xx; + 2xx; —613
8.2 Tìm phép biến đổi tuyến tính để đưa mỗi đạng toàn phương
Trang 2508 8.3 .8.4 a) Hypebol 2x2~ By? =8 b) Parabol 2V2x'2— 7x' + 9y' = 0 c) Elip 7x2+ 3y? = 9 d) Hypebol 4x2- y2 = 3 e) Elip Ð Elip 8) Hypebol h) Elip 4x?+ 9x2 = 36 a) Blipxoit x7+ 2x2+ 4x2 = l6 b) Hypeblôit 2 tầng x2+ y2~ 2z'2 = —10 ©) Elipxơit x2+ y2+z2 =4
đ) Parabôlôit hypebôlic x'2— y?+ z'=0
©) Parabơlơit eliptic 6x'2+ 3y'2- 8V2z' = 0
Trang 26oot
TAI LIEU THAM KHAO
1 Kim Cương - Toán cao cấp - Tập 1 - Đại số - NXB Đại học và
Giáo dục chuyên nghiệp, Hà Nội, 1990
2 L.Lesieur - CL Joulain - Toán cao cấp, II
3 Howard Anton - Elementary Linear Algebra - 1977
4 Carroll Wilde - Linear Algebra - 1987
Trang 27mee “2,
MỤC LỤC
Lời nói đâu
Chương 1 TAP HOP VA ANH XA 1.0 Mở đầu 1.1 Tập hợp và phần tử 1.2 Các phép toán vẻ tập hợp 1.3 Tích để các 1.4 Quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự 1.5 Ánh xạ 1.6 Tập hữu hạn - Tập đếm được - Tập không đếm được 1.7 Đại số tổ hợp Tóm tắt chương I Bài tập chương Ï Đáp số
Chương ïI CẤU TRÚC ĐẠI SỐ - SỐ PHÚC -
Trang 282.6 Đa thức 2.7 Phân thức hữu tỉ Tém tat chuong TT Bai tap chuong IT Đáp số Chương HI MA TRẬN - ĐỊNH THỨC - HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1 Ma trận 3.2 Định thức 3.3 Ma trận nghịch đảo 3.4 Hệ phương trình tuyến tính 3.5 Hạng của ma trận - Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 3.6 Phụ lục "Tóm tắt chương III Bài tập chương III Đáp số
Chương IV HÌNH HỌC GIẢI TÍCH
(Ơn tập : Đường bậc hai và mặt bậc hai) 4.1 Mé dau 4.2 Đường bậc hai trong mặt phẳng 4.3 Mặt bạc hai Bài tập chương IV Đáp số
Chương V KHÔNG GIAN VECTƠ - KHÔNG GIAN EUCLID 5,1 Không gian vectơ - Định nghĩa và thí dụ
5.2 Không gian con và hệ sinh
5.3 Họ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Trang 29oe 40g °
5.5 Số chiều và cơ sở của không gian con sinh bởi một họ vectơ 219 5.6 Tích vô hướng và không gian có tích vô hướng 222 5.7 Toa độ trong không gian n chiều 236
5.8 Bài toán đổi cơ sở 24t
Tóm tắt chương V 247
Bài tập chương V 253
Đáp số 269
Chương VI ANH XA TUYEN TÍNH 275
6.1 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 275 6.2 Các tinh chất của ánh xạ tuyển tính - Hạt nhân và ảnh 286 6.3 Ma trận của ánh xạ tuyến tính 292 6.4 Sự đông dạng 302 Tóm tắt chương VỊ 305 Bài tập chương VỊ 306 Đáp số 314
Chương VỊ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG CỦA TỐN TỬTUYẾN TÍNH 319
7.1 Trị riêng và veetơ riêng của ma trận 39
7.2 Trị riêng và vectơ riêng của toán tứ tuyến tính trong
không gian hữu hạn chiều 324 7.3 Vấn để chéo hoá ma trận 3⁄26 7-4 Vấn đề chéo hoá trực giao 333 7.5 Phụ lục 337 Tóm tắt chương VỊI 340 Bài tập chương VII 341 Đáp số 344
Chương VIHI DẠNG TOÀN PHƯƠNG 348
8.1 Dang tuyén tinh trén khong gian vecto V 348
8.2 Dang song tuyén trén khong gian vecto V 348
Trang 31“
Chịu trách nhiệm xuất bản -
Trang 32
TOÁN HỌC CAO CẤP - TẬP !
ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mã số : TK075T6 - ĐAI
In 5.000 bản khổ 14.3 x 20.3 em tại Công ty cổ phần in Sách giáo khoa
tại TP - Hà Nội Số xuất bản: 04-2006/CXB/111-1860/GÐ In xong và
nộp lưu chiểu thắng LÔ năm 2006
Trang 33lìn| CÔNG TY CỔ PHẦN SÁCH ĐẠI HỌC - DẠY NGHỀ HEVOBCO
[ly || Dịa chỉ : 25 Hàn Thuyên, Hà Nội
SÁCH THAM KHẢO ĐẠI HỌC BỘ MƠN TỐN
của Nhà xuất bản Giáo đục Giải tích hàm tập giải tích hàm 1, 2 3 4 Giải tích tap 1 5, Giải tích tập 2 6 Đại số đại cương 7 Số đại số , 8 Hinh hoc vi phan 9, Giải tích số
16 Phương trình đạo hàm riêng
11 Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ồn định 12 Mở đầu lí thuyết xác xuất và ứng dụng 13 Bài tấp xác suất 14 Lí thuyết xác suất 15: Xác suất thống kê
16 Phương pháp tính và các thuật toán
17 Từ điển tốn học thơng dụng 18 Tốn học cao cấp (tập 1, 2, 3)
19 Bài tập Toán học cao cấp (tập 1, 2, 3)
B:
'Tôpô đại cương - Độ đo và tích phân
Nguyễn Xuân Liêm Nguyễn Xuân Liêm
Nguyễn Xuân Liêm
Nguyễn Xuân Liêm Nguyễn Xuân Liêm Nguyên Hữu Việt Hưng Hoang Xuan Sinh Doan Quynh
Neuyén Minh Chuong (Chu bier Nguyén Minh Chuong
Nguyễn Thế Hoàn - Pham Phu
Dang Hung Thang
Dang Hung Thang
Nguyên Duy Tiến - Vũ Viết Yêt Nguyên Văn Hộ Phan Văn Hạp - Lê Định Thịnh Ngò Thúc Lanh (Chủ biên) Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Nguyễn Đình Trí (Chủ biên) Ban dos co thé tne ume tat cde Cong ti Séch ~ Thiet bi trường học 6 cde dia plutons Hoặc các Cua hàng sách của Nhà sát bán Giáo đục
Tại Hà Nội - 35 Hàn Thuyền, 81 Trần Hưng Đạo, 187B Giảng Võ, 23 Tràng Tiên Tại Đà Nung : 1Š Nguyên Chí Thanh
Tại Thành phố Hỏ Chỉ Minh : 104 Nai Thị Luu, Quận I
ee