LOI NOI Daa
Cuốn sách này được viết lại lừ các bài giảng mà tác giả
đã trình bay cho sinh viên hệ chính quy ngành Toán ở các trường ĐHSP Vịnh ,Đại học Huế, Đại học Cẩn Thơ và ĐHSP Thành phố Hồ Chí Minh từ năm 1976 đến nay
Để tiếp thu giáo trình nảy ,người đọc cần có những hiểu biết về không gian vectơ ,không gian vecto Oclit va một số
kiến thức cd bản của môn Đại số tuyến tính
Giáo trình này chủ yếu dành cho sinh viên khoa Toán các tường Đại học Sư phạm sau khi đã học xong nội dung Chương trình của phần Đại cương Ngoài ra giáo trình này có thể dừng cho sinh viên các hệ chuyên tu ,lại chức và hệ đại học hoá Sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm ngành Toán cũng có thể dùng giáo trình này làm tài liệu tham khảo, đặc biệt các giáo viên Toán các trường trung học phổ thông
có thể dùng giáo trình này để ôn lập và củng cố các kiển thức cần thiết cho việc giẳng dạy của mình
Giáo trình được viết với tinh thần tích cực góp phần tham
gia phong trào đổi mới cách đạy và đổi mói cách học hiện
nay của ngành giáo dục Sau các phần lí thuyết ,chúng tôi có nêu mội số thí dụ mình họa cần thiết , đồng thời nêu lên những điều chủ ý hoặc nhận xét bổ ích nhằm giúp người học
giảm bói được những khó khăn không đáng có trong việc tự
học , tự nghiên cứu để đi sâu nắm vững nội dung của môn
Trang 4Nội dung cuốn sách gồm có 3 chương :
- CHƯƠNG L_ : Không gian afin và hình học afin; ~ GHƯƠNG li: Không gian Oolit và hình học Ơclit;
~ CHƯƠNG li : Không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh
Sau tnỗi chương có phần bài tập nhưng chưa có lời giải
Sau giáo trình này chúng tôi hi vọng sẽ có cuốn sách bài tập
có phần lời giải hoặc hướng dẫn
Để cuốn sách này được ra mắt phục vụ đông đảo bạn đọc,
chúng lôi xin chân thành cám ơn các cán bộ biên lập mơn Tốn và các đồng chí lãnh đạo Nhà Xuất bân Giáo dục đã
động viên cổ vũ chúng tôi rất nhiều
Cuốn sách mới được xuất bản lần đầu ,chắc còn có những sai sót Chúng tôi rất mong nhận được ý kiến góp ý của bạn đọc
Thành phố Hồ Chỉ Minh tháng 6 năm 1999
Trang 5CHUONG |
KHONG GIAN AFIN VA HINH HOC AFIN
§1.KHƠNG GIAN AFIN
1.ĐỊNH NGHĨA
Cho tập hợp A khác rỗng mà các phân tử của nó gọi là điểm, cho V là một không gian vectơ trên trường K va cho ánh xạ
f: A xA — V được kí hiệu là f(M, N) = MN với các điểm M,N
thuộc A va vecto MN thude V
Bé ba (A, f, V) goi la khong gian afin nếu hai tiên để sau đây được thoả mãn :
ñ) Với mọi điểm M thuộc Á và mọi veckơ u thuộc ` có duy nhất
điểm N thuộc A sao cho MN = 0
ii) Với mọi ba điểm M,N,P thuộc A ta luôn có
MN +NE = ME
Khi đó ta nói rằng không gian aBn ( A, f, V ) điên kết uới không gian oectg V trên trường R_ và được gọi tắt là không gian afin A trên trường K Không gian vectơ liên kết V còn được kí biệu
“là Ã, được gọi là nên của không gian an A,
Trang 6chủ yếu ta nói về khéng gian afin thue
Không gian añn A goi là w chiêu nếu đìm V = n và được kí hiệu đâm Á =n hay Á" ( liên kết với không gian veetơ V"),
2 CAC THI DU
a) Không gian Oclit hai chiéu E” và ba chiều E" đã học ở
trường phổ thông trung học là những khơng gian n theo thứ tự liên kết với các không gian vectơ (tự do) hai chiều V° và ba
chiều VỶ với định nghĩa vectơ, phép cộng vecto, phép nhân vectơ với một số thực đã được trình bày trong sách giáo khoa phổ thông trung học.Khi đó rõ ràng ánh xạ f thoả mân hai tiên đề ¡) và ii) nói trên
B) Cho V là một không gian vectơ Ta dùng V làm tập hợp A.Khi đó các vectơ của V được gọi là các điểm của A Với hai vecto a, b thuộc V ta có ánh xa f: Vx V-» V cho bởi :
fia, b= b-a thude Vivecto b — 3 được hoàn toàn xác định) Rồ ràng ánh xạ f được xác định như trên thoả mãn hai tiên
để ¡) và ii) nên V trở thành khơng gian n liên kết với V ©) Cho tập hợp R” trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ số thực có thứ tự mà ta sẽ gọi là những điểm và không gian vectơ V° mà mỗi vectơ x của nó sẽ ứng với một bộ số thực
(Xi Xz.„Xụ) với x, ¢ R Anh xa f được xác định như sau : với hai diém A =(ai,az, a„) và B = (by by, ,b,) của R° ta cho đặt tương ứng với miột vectơ (bị - ai,bạ - aạ, , bạ — an) của V" thì ta đề đàng chứng minh được R" là một không gian añn n - chiều 3.MOT SO TINH CHAT DON GLAN CUA KHONG GIAN AFIN
a) Voi moi diém Mc A thi MM=0
Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có MM+MN =MN „ đo đó suy ra
MM =0
Trang 7«
b) Với mọi điểm MỊN e A mà MĐ =Ư thì M=N
Thật vậy, nếu MN =0 và theo tính chất a) ta có MM =Ö Theo tiên để ¡) ta suy ra N=M -
© ) Voi moi cAp diém M,N c A thi MN=-NM That vay, theo tién dé ii) tacé MN+NM=MM-0
Do đó ta suy ra MN =—NM
d) Với A,B,C,D e A ta có AB=CD khi và chỉ khi AC=BD
Thật vậy AB=CD <> AB+BC
©
e) Với ba điểm bất kì O,A,B e A ta có AB=OB-OA
Thật vậy, AB=AO+OB theo tiên dé ii)
AB = -0A+0B=OB-0A
4.HỆ ĐIỂM ĐỘC LẬP
a)Định nghĩa Hệ m+1 điểm A,,A¡, A„ (m > 1) của khơng gian n A gọi là độc iập nếu m vectơ AA, ApAg en ApAn của không gian vectơ Ä là hệ vectơ độc lập tuyến tính Hệ gồm một điểm A, bất kì (tức trường hợp m = 0) luôn được xem là
độc lập
b) Chú ý Trong định nghĩa trên điểm A, không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm A; khác Thật vậy người ta có thể chứng minh rằng nếu các veetơ B.A, AgAg Ag, độc lập tuyến tính thì đối với một ¡ nào đó hệ m vectơ A.A, tvv wo MA AAs ~o AJA, cũng độc lập tuyến tính Phần chứng
minh này dành cho bạn đọc
©) Định lí Trong khơng gian afin n chiêu A" luôn luôn có
những hệ m điểm độc lập với 0 < m < n+1, mọi hệ điểm nhiều
Trang 8Chứng mình
Giả sử V` là không gian vectơ liên kết với khơng gian n A’ vA fe} là một cơ sở nào đó của V" Vì V" không rỗng nên
trong A° ta có thể chọn một điểm A, nào đó Sau đó ta chọn các
điểm A; sao cho A,A,= ¡với ¡ = 1, 2, ., n, RO ràng hệ n+1
điểm A., Au, , Ay 1a độc lập Ngoài ra nếu ta lấy m bất kì của hệ đó thì ta được hệ m điểm độc lập với 0 « m < n+1
Nếu ta có một hệ gồm p điểm B¡,Bạ, B, với p > n+1 thì p-1 vecto BiB, B,B, wy BiB, của V° không độc lập tuyến tính vì p1 >n = dimV° Đo đó hệ p điểm đó không độc lập
§2 TỌA ĐỘ AFIN VÀ MỤC TIÊU AFIN
1.MỤC TIÊU AFIN
Cho khơng gian n n chiều A" liên kết với không gian vectơ V', Một tập hợp có thứ tự gồm n+1 điểm độc lập /E,„Eị, Eạ, Euj của A" được gọi la mét muc tiéu afin ctia A" Diém E,
gọi là gốc cửa mục tiéu, cdc dinh E; goi là các đính thứ ¡ của
mục tiêu
Ta kí hiệu mục tiêu añn nói trên là JEu;E¡} với ¡ = 1,2
CHỦ Ý Nếu trong không gian vectơ liên kết V" của A" ta
các veetd e¡= E,E, với ¡ = 1,2, .n thì (e,} là một cơ sở của V°
và cơ sở này được gọi là nề» của mục tiêu {Eạ¿; Bị} Rõ ràng là một
mục tiêu añn chỉ có một cơ sở nền duy nhất, nhưng ngược lại với một cơ sở { e, } của V" có thể là nên của nhiều mục tiêu khác nhau trong A" Néu ta chon diém O 1A gốc của mục tiêu afin ứng với cơ
sở nên {e,}, khi đó ta có thể kí hiệu mục tiêu añn tương ứng đó là
Trang 92 TOA ĐỘ AFIN CUA MOT DIEM
Trong khéng gian afin n chiéu A" cho muc tiéu afin 1O;e, I
Với mỗi điểm X thuộc A” ta có vectơ ÖX e A" và do đó có duy nhất n phần tử của trường K sao cho :
OX =x; + X20) + tXuÐn,
Bé n phan tit (x1, X, , Xs) 6 thif tu dé due goi Ìà tọa độ của điểm X déi vdi mye tiéu afin dé chon
Nhu vay toa dé afin cia mét diém X déi với mục tiêu afin
{EuEi} đã chọn là tọa độ của vectg EVX đối với cơ sở nên tô, }
Tacé E,X =x,B,E,+x,E,E, + +x,E,5,
Rõ ràng là ứng với mỗi điểm cho trước, đối với một mục
tiêu an xác định nào đó, ta có một tọa độ añn xác định va
ngược lại với mỗi bộ n phần tử có thứ tự của trường K là Œị,
Xs, ,xa) được chọn làm tọa độ añn của một điểm X thì điểm X hoàn toàn được xác định
Theo định nghĩa trên đối với mục tiêu añn/E„;E;‡ điểm E,
có tọa độ afñn là (0, 0, , 0) còn các điểm E¡ có tọa độ añn là (0, ., 0,1,0, ,0) trong đó số 1 nằm ở vị trí thứ i, còn các số khác
đều bằng 9
Nếu ( xị, xạ, ,xa) là tọa độ añn của một điểm X đối với mục
tiêu añn {O;e; } ta kí hiệu X ( xị, xe, , Xu) hay X = (Xi,Xa, ,X.J
hoặc X(x;) hay X = (x)
Chu ¥ rang néu X = (x1, x9 ) Xo) VAY = (Vy Youen Yn) thi :-
XY= OY- OX
= (yr — Xi) ey + (yz — 2) 0) Fu Hy — HWE,
Vậy vectơ XY đối với cơ sở ‡ e, } cua khéng gian vecta A" cé
Trang 103 ĐỐI MỤC TIÊU AFIN
Trong khơng gian n A" cho hai mục tiêu añn FEE va
{E4;E¡) lần lượt ứng với hai cơ sở nền là tet va ter { với ¡ =1,3, n Giả sử các điểm E; có tọa độ đối với mục tiêu
{E,;Ei} là :
Đi =(Aj,ajs,.ca) voii=0,1,2,.,n
Ta có ma trận chuyển C từ cơ sở ‡E of; } sang cơ sé { BE? } la:
địi Tổng 8z mâu Ay, Ang C= đại Tai 832 Câgg cà Bạn —Đện
i
VU sẻ
Ma tran C cing goi la ma trdn chuyén ti muc tiéu |E,:E;} sang mục tiêu ¡E,;E;} Rõ ràng C là ma trận không suy biến vì
det C #0
Ta chi ý rang nếu cho trước mục tiêu {E,;E¡; và mục tiêu 1E;Eï} thì ma trận € hoàn toàn được xác định Ngược lại nếu cho trước ma trận chuyển C va tọa độ một điểm E; nào đó của mục tiêu {W,;E,} đối với mục tiêu 1Bu„Eä! cho trước, thì tọa độ các điểm E; còn lại cúa mục tiêu {E,;E)} được hoàn toàn xác định
Bây giờ giả sử X là một điểm nào đó của khơng gian n
A° và lần lượt có tọa độ đối với mục tiêu {F¿;E;} và fE2;E',‡ là
(Xi, May, Xu) VA (x), %3, ,%,) Ta hay tim sự liên hệ giữa các tọa độ (x¡) và (xị) nói trên của cùng một điểm X đối với hai mục tiêu khác nhau
Ta có : E,X =E,¿ + E,X a)
Trang 11Nếu ta gọi (x1,Xz, ,X, ) 1A toa độ của vectơ R¿X đối với cơ sé {E,E, } thi ti (1) ta suy ra : Xi Ao x1 Xa aoa *; = + (2) Xn Aon Xp
Nếu gọi [ x), fag], [¥] ldn lượt là ma trận cột tọa độ của các
vectơ E,X,E,E,,E„X đối với cơ sở (ẽ,} = (EoE, } thì công thức (2)
có thể viết gọn là :
[x] = [as] +[X ] (3)
Vì (XI,X;„ X„) và OL, X,.,xụ) là hai tọa độ của cùng một vectơ B¿X đối với cơ sở {E,E,} và (EỊE, } nên theo công thức đổi eơ sở
từ (E,E,} sang {B¿E; } với Ơ = [ey] là ma trận chuyển ta có : [X]= C*[x] (4) trong đó C* là ma trận chuyển vị của ma trận C kết hợp (3) và (4) ta có : [x]= lao] +Œ'[x'] hay [x] =C"[x’]+[a,] (5)
Ta chú ý rằng nếu C là ma trận chuyển từ cơ sở {E,E,} sang
Trang 12§3 CAC PHANG TRONG KHONG GIAN AFIN
1.ĐỊNH NGHĨA
Cho khơng gian n A liên kết với không gian vectơ Ã
Gọi I là một điểm của A và a là một không gian con củaA
Khi đó tập hợp những điểm M thuộc A sao cho IMthuộc a
được gọi là cới phẳng giin œ đi qua điểm Ï uà có phương là ä
a= [Me Alfie a
Nếu œ có số chiểu bằng m thì œ gọi là cái phẳng m chiều
(được gọi tắt là phẳng m chiều) hay còn gọi là m- phẳng
Như vậy 0 - phẳng chính là điểm,L - phẳng gọi là đường thẳng, 2 - phẳng là mặt phẳng còn n - phẳng của không gian afin n chiều A” chính là A" Nấu dim A = n thì (n -1) -phẳng
còn được gọi là siêu phẳng của không gian đó
CHỦ Ý Trong định nghĩa của cái phẳng nói trên, điểm I
không đóng vai trò gì đặc biệt so với các điểm khác của phẳng Thật vậy giả sử œ là cái phẳng qua I và K là một điểm nào đó
của œ Điều đó có nghĩa là IK eœ Bây giờ điểm M coœ khi và
chỉ khi IMeähay khi và chỉ khi IM -ÏE eẽ tức là khi và chỉ
khi KMea
Điều đó chứng tỏ điểm K có thể đóng vai trò của điểm I 2 ĐỊNH LÍ
Nếu œ là m-phẳng của không gian afinA và có phương œ
thi a la một không gian aBn m chiều liên kết với không gian vectbd œ,
Trang 13Chứng mình
Giả sử œ là m- phẳng đi qua điểm ] và có phươngg Rõ
ràng œ không rỗng vì nó chứa điểm I.Với mọi cặp điểm M,N cia
œ ta lấy vectơ MN thuộc A /Fa có MN = f(M, N) «A Theo định
nghĩa của ơ thì TM e œ,IN e ø, từ đó suy ra MN cứ Vay là với mọi cặp điểm có thứ tự M,N ta có một veetơ tương ứng MN cơ
Ta có ánh xạ :
f :axg >a
Ánh xạ f này thỏa mãn hai tiên để 3) va ii) cda khơng gian
n Tiên để 1) đúng vì được suy ra từ định nghĩa cúa phẳng, con tién dé ii) đúng vì nó đúng trên tồn bộ khơng gian añn A
Vay (a,f', œ) là một khơng gian n m - chiều liên kết với
không gian vectơ ơ 3 ĐỊNH LÍ Qua m+1 điểm của khơng gian n Á đó một và chỉ một m-phẳng (m > 0) Chứng minh
Giả sử A„,Ai, ,„u là m+l điểm độc lập của không gian afin A liên kết với không gian vectơA Khi đó hệ
A.A Ag Ages AgAg la hé m vecto déc lap tuyén tinh Goia 1a
không gian veetơ con của A nhận m veeto dé là cơ sở Bây giờ
gọi œ là cái phẳng đi qua A, có phương là œ Vì A.A, ea nên
Ajeavdi i=l, 2, ,m Vay a 1a cdi phang di qua m+1 diém độc lập đã cho và ta đễ đàng chứng minh được cái phẳng đó là
duy nhất
Trang 14cHu Y Vi a 1a mét khéng gian afin m - chiéu liên kết với khéng gian vecto con ở có số chiều bằng m nên ta có thể kí
hiệu œ= A™ va a = V",
4 PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA m - PHẲNG
a)Lập phương trình Trong không gian añn n chiều A" liên
kết với không gian vectơ V° cho m - phẳng A" xác định bởi
m +1 điểm độc lập AAi, A„ cho trước Giả sử đối với một, mục tiêu đã chọn là {Eu;E,}, các điểm Âu At, Âm có tọa độ là :
Ai =(Ai,aiz,.,aip)— vớii= 0/12, ,m
Gọi V” là phương của A" nhận m vectơ A;Áp, A.A, trở
A,A„ làm cơ sở Do ú:
XeA"c A,XeVđ,
â A,X = t, A,A\+ LG “ +m ASA, q)
với tị, tạ, ,tm thuộc trường K
Nếu (x¡,x;, xu) là tọa dé afin cia điểm X thì phương trình (1) ở trên có thể viết đưới đạng ma trận như sau :
{x] - fas] = ta({a¡] — |as}) + tạ([as] — [as]) + +t„([am] — [as]) hay
[tx = ti(las) ~ Tao)) + tale) — fao)} +.+tm([aml — [ao]) + fao] (2)
Phương trình (2) được viết dưới dang toa độ như sau :
Xi = tila, ~a,;) + tolas, 7 Ag) +o Ht am; — 89, ) Fag,
vớii= 1,2 n (3)
Hé phuong trinh (3) gồm có n phương trình được gọi là
phương trùnh tham số của m - phẳng đã cho và các số tì,ta, , gọi là các tham số m
Với một bộ m số (t,t; E„) ta có một bộ n số (xị,x;, -zu) là tọa độ của một điểm X nào đó thuộc m-phang A™ đã cho
Trang 15Ta cần chú ý rằng vì hệ m vectơ ÁAI, Ác AA,, đọc lập tuyến tính nên từ các hệ số của phương trình (3) ta lập được
ma tran M cé n hàng, m cột và có hạng bằng m :
38a 82) 8ại Any Ay
M = | 2127802 822 — 3a; cà Ame ~ Aap Fin ~Aon Ban — Bog
b)Định li Néu cho hé phuong trinh m tham số có dang :
Xi = tyby + toby + + tebe: + Bei (4) vOii=1, 2, n trong đó ma trận B = [bạ] với j = 1, 2 ¿=1,2,.,n m
có hang m thì đối với một mục tiêu đã chọn (E„;B;} của A", hệ
phương trình (4) là phương trình của một m-phẳng hoàn toàn xác
định
Chứng minh
Ta hãy xét m+1 điểm Bụ, Bị, Bạ, ,Bụ có tọa độ như sau :
By = (bot, Bo ass Bon )
Br = (Bis + Bats ig + Bouse, Bin + Bun) Bm = (Dt + bors bre + bors -sBumn + Don)
Ta dễ dàng nhậu thấy rằng -khi đó hệ m veetơ
B.B,,B,By, B,B,, độc lập tuyến tính vì ma trận B = (bj) noi
trên có hạng bằng m
Từ đó ta suy ra hệ m+1 điểm B„Bị, B¿, B„ độc lập Nếu ta viết phương trình tham số của m - phẳng xác định bởi m+1 điểm
B,,Bị,B¿, ,Bạ đó thì rõ ràng ta được hệ phương trình (4) Vậy hệ
Trang 16e)Thí dụ Với trường hợp m = 1 ta có hệ phương trình tham số của đường thẳng trong khơng gian m n chiều là :
xị = tị - ay) + ay
Xz = tbe — ag) + ag Xn = t(Dy — an) + an
Đó là phương trình tham số của đường thẳng di qua hai điểm A = (ai, a, , an) và B = (bị, bạ, , bạ) Đường thẳng này đi
qua điểm A và có phương là không gian vectơ một chiểu sinh
bởi vectơ AB = (by — a),be ~ ay, ,bp — an)
5.PHUONG TRINH TONG QUAT CUA m - PHANG TRONG A" a)Lập phương trình tổng quát.Trong không gian afin A" cho một m - phẳng có phương trình tham số đạng (4): Xị = tyby + tạbi + + mài +hại (4) với ì = 1, 2, , n và ma trận B = [bị] có hạng m
Ta hãy xem hệ (4) là hệ phương trình với các ẩn là tị, tạ, , tạ Theo giả thiết ma trân hệ số của các ẩn là B có hạng m nên ta có thế chọn trong n phương trình của (4) m phương trình độc lập Không làm mất tính chất tổng quát, ta có thể giả thiết m
hàng đầu là độc lập Khi đó chúng lập thành một hệ phương
trình tuyến tính với m ẩn là ty, tạ, , t„ có định thức hệ số khác
0, do đó nó có nghiệm duy nhất 'Ta tìm được giá trị của các ẩn
tị, ts, tụ biểu thị bậc nhất đối với xị, xạ, , xe và thay thế các giá trị đó vào n-m phương trình còn lại của (4) ta được hệ phương trình.có dạng bậc nhất đối với các biến x¡,Xạ, ,Xm,
Xmai, ,X; Và có dạng :
Trang 17Ses, +e, =0, fein (5)
Hạng của ma trận le] bằng n — m vì trong hệ (5) các hệ số
oj ứng với biến Xụại ở hàng đầu bằng 1, với biến Xm.z Ở hàng thứ hai bằng 1 với biến Xu ở hàng thứ n - m cũng bằng 1 Ma
trận hệ số của phương trình (5) có hang bang n - m vì có dinh thức cen cấp n - m ứng với các biến XmasL,Xms2, ,Xp là :
Ho 0 0 0
0 1 0 0 0
=1z0 Ð 0 0 01
Tóm lại ta đã chứng minh rằng : Mỗi m - phẳng trong không gian an A" được biểu thị bằng một hệ phương trình tuyến tính nói các biến #iuXo vSu UG cO hang bang n - m
Phương trình đó gọi là phương trình tổng quát của ià + phẳng
Ngược lại người ta chung minh duge rang: Méi hệ phương trình tuyến tính oói các biến XiXo uxu Đà có hạng n- m đều biểu thị một m-phdng hoàn toàn xác định của A",
b)Nhận xét Mỗi siêu phẳng trong A* (ứng với m =n -1) có phương trình tổng quát đạng : 8ỊXi + 82X¿ + +tanxa + b= 0 (vìn - m=n~n +1 =1) trong đó hạng của ma trận (ai, 3z An) bằng 1 tức là có ít nhất mot a; #0, Mặt khác vì mỗi m - phẳng có phương trình tổng quát là một hệ gồm n ~ m phương trình tuyển tính có hạng bằng n - m nên ta suy ra :
Trong khơng gian n A" mỗi mì - phẳng đều có thể xem
như là giao của n ~ m siêu phẳng (ở đây "giao " hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp)
Trang 18€)Thí dụ Trong không gian n A® vai mot muc tiéu afin cho
trước cho mat phẳng œ đi qua diém M,(2,0,1,0,-1) cé phuonga nhan
fa, b } là hai vectơ co sé trong do
a= @) +e, +2e, +e, +e, , be @; +26, +e; —2e, + Be,
Hãy lập phương trình tham số và phương trình tống quát của mặt phẳng ơ Giải M(X1,xa,X„X4,Xg) 6 ứ © MM = that tạp x, -2 1 1 ¥| x) -0 1 2 = x;~1|=tj]2|+tạl 1 X¿ TÔ 1 -2 x; +1 1 3 xi=2+ tị+ te a) X2= tị + 2t¿ (2) = xa=l+2li+ te (3) X= ty - 2ty (4) xạ =— 1+ tị + 3a (B) Phương trình tham số của phẳng œ là hệ gồm 5 phương trình nói trên Từ (1) và (2) ta tính được tị = 2xị — XaT— 4, tạ = X¿ — Xị + 2
Thay các giá trị này vào ba phương trình cuối (3), (4), (5) và rút
Trang 19quát của œ là một hệ phương trình tuyến tinh có hạng bằng
5- 3=3
CHỦ THÍCH Do cách khử các tham số tịtạ từ những cặp phương trình khác nhau nên phương trình tổng quát của phẳng
œ được biểu thị bằng những hệ 3 phương trình không giống nhau Từ phương trình MỤM = tịa+ tạb ta Suy ra
xedø © x= tras tyb hay [x] = ty{al + te{b]
ta được phương trình của phương œ trong đó ã và b là hai
Vectơ cơ sở
6.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC PHẲNG TRONG A"
a)Định nghĩa Trong khơng gian afđin A* cho p-phẳng AP có
phương là V° và q -phẳng A* có phương là V%.Ta giả sử p < q Căn cứ vào phương chung VP ¬ V1 và điểm chung A? > A* ta có
vị trí tương đối của hai cái phẳng đó như sau : œ) Nếu V? ¬ V%= (Õ}: eva néu AP ^ A1 + Ø thì AP, A* có 1 điểm chung duy nhất + và nếu AP 4 Al = @ thi A®, Ad gọi là chéo nhau (hoàn tồn) ,
B) Nếu V? ¬ V* = W' với r > 0, khi đó ta nói rằng hai cái phẳng A?, A* có r phương chung (hay AP cùng phương uới A9)
» Nếu r < p và nếu ÁP ¬ A* z Ø ta có giao của chúng là
một r - phẳng có phương V” (là một định lí được xét sau)
» Nếu r < p và nếu AP A* = Ø ta nói ring AP, A?
không có điểm chung và có phương chung (có thé xem chúng
Trang 20s Nếu r = p tức là V° c V' ta nói rằng A? cùng phương với A" và nếu ÁP ¬ A" z Ø ta nói rằng ÁP bị chứa trong A2 (AP c A‘) còn néu A? a A1 = Ø ta nói ÁP song song vii A‘ va niếu p = q ta nói rằng ÁP và A2 song song uới nhau
Ta có bảng tóm tắt sau đây:
VP\aV9=V'r>0 Wavi= {0}
AP¬aA*zØ lr<p<q:APa A°là cái
phẳng có phương V" A"n A9= 1 điểm
r=pP<q:AP cA'
AP¬aA*%=@ |r=p<q:A"/với r=p=q:AP/ At A1 ÁP và A2 chéo r<p : ÁP, A2 chéo nhau (hoàn toàn) nhau khơng hồn tồn
y) Tổng A? + A* là giao của tất cả các phẳng chứa A" và A‘ Cần lưu ý rằng khái niệm tổng của hai cái phẳng khác với
khái niệm tổng hiểu theo nghĩa tập hợp
b) Định lí Giao của hai cái phẳng œ và B hoặc là tập rỗng hoặc là một cái phẳng có phương là anB
Chứng minh :
Nếu o ¬ B + Ø thì chúng có ít nhất một điểm chung I Một
điểm M e œ © B khi và chỉ khi M e ơ và M e § tức IMe œvà
IMeB Do dé Mea ap Ta biết rằng œ¬đ là một khơng gian
vectơ y nào đó Như vậy œ ñ là cái phẳng y có phương là
y =doB
Hệ quả : Tổng œ + ð của hai cái phẳng ø và là một cái
Trang 21€) Định lí Hai cái phẳng œ và B cắt nhau khi và chỉ khi với
mọi điểm A eœ và mọi điểm B e J ta có ABe d +Ö
Chứng minh
Nếu œ và B cắt nhau và M là một điểm chung của chứng thì
AMea và MB cj Do đó AB = AM + MB eø+j
Ngược lại nếu ABea+fthi AB=u+v trong đó ueav ep Trong ơ ta lấy M sao cho AM = u, trong ð ta lấy điểm N sao cho
BN =-v khi do AB = AM —BN tức AB+BN = AB-v = ũ= AM
Vậy AN = AM, ta suy ra hai điểm M và Ñ trùng nhau và là điểm chung của œ và B 7 ĐỊNH LÍ VỀ SỐ CHIỀU CỦA TONG VÀ GIAO CUA HAI CÁI PHẲNG Trong khơng gian n A” cho hai cái phẳng œ và § lần lượt có phương là a va B: a) Nếu œ và B cắt nhau thì :
dim(œ + B) = đimg + đimB - dim(a 7 B)
b) Nếu ơ và B không cắt nhau thì:
dim(a +f) = dima + dim - dim(a mp) + 1
Chung mink
Néu o va B cắt nhau thì giao œ 5 B là cái phẳng có phương anp Ta lấy điểm 1 thuộc a ^ B và gọi y là cái phẳng qua Ï và có
phương là y = œ+ñ Cẩn chứng minh ÿ = a + ÿ Giả sử có một
phẳng y chứa œ và ð thì nó phải chứa điểm I và phương của nó
phải chứa œ và ÿ tức chứa a + ñ Nói cách khác ÿ phải chứa y
Từ đó ta suy ra y là phẳng tổng œ + 8 Vậy :
dim(œ+B) = dim(œ + §) = dima +dimB - dim(a ap)
= dima + dimB - dim(a 7 f)
Trang 22Bây giờ giả sử œ và B khéng c&t nhau Theo dinh lf c 8 muc 6 trên đây có một điểm A eœ, có một điểm B e § sao cho
AB ¢a+ B Goi dla khơng gian vectơ một chiều sinh ra bởi
vectơ AB Ta lấy một điểm E nào đó của œ và gọi y là cái phẳng đi qua điểm E có phương là ÿ =(ứ + Đ) đ ó Tất nhiên phẳng +y chứa œ, chứa 8 và chứa đường thẳng qua A và B Giả sử y là
cái phẳng khác chứa œ và chứa § thì y đi qua điểm E và phương y'của nó phải chứa a, ñvà Š Từ đó suy ra ` chứa y và ta chứng minh được y = œ + Vậy :
dim(a + B) = đim[(œ + 8) ® 8] =dim(a + B)+dims
=dima + dim 6 - dim(ø S8) +1
= dimo + dimp ~ dim(a np) +1
Vậy định lí đã được chứng minh
8 ĐỊNH LÍ
Một siêu phẳng A”` và một m-phẳng A” (1 <m<n - 1)
thì hoặc A" cùng phương với A"! hoặc A" cắt A""' theo một (m-1) - phẳng
Chúng minh
Nếu A"'! và A" có điểm chung thì có thể xảy ra hai trường
hợp :
a) A™ c A"'!; khi đó A" cùng phương với A1,
Trang 23„
Nếu A"' và Á”' không có điểm chung thì áp dụng công thức b)
của định lí 7 ta có :
nem+n-141-dim(A™AA™)
Ta suy ra dim (A™ VA?) =m tite la A™ cA"?
Vậy A"” cùng phương với A"~ 1,
§4.TÂM TỈ CỰ CỦA MỘT HỆ ĐIỂM
1ĐỊNHLÍ `
Trang 242 ĐỊNH NGHĨA
Điểm G nói trong định lí trên đây được gọi la tam ti cự của
hệ điểm P¡ gắn uới họ hệ số Âu
Trường hợp đặc biệt nếu các À¡ bằng nhau, điểm G gọi là
trong tam cha hé diém Pj, Py, , Py CHỦ Ý:
k
a) Nếu thay các hệ số ^q,Àas À„ với SA, #Obdi kàu,
isl
kAg, kA, voi k € K - {0} thi tam ti cu G không thay đổi Vậy
trong trường hợp G là trọng tâm có thể lấy các A¡ = 1 và khi đó
trọng tâm G của hệ điểm P\,Pa, , P„ được xác định bởi hệ thức: —= lv
Q6 = OP:
k isl
b) Khi k = 2 trong tam G của hai điểm P¡ và P; còn gọi là trung điểm của cặp điểm (P\ạ, Pa)
3 ĐỊNH LÍ
Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của hệ điểm Pạ, PỊ, , P¿ với
các họ hệ số khác nhau là cái phẳng có số chiểu bé nhất chứa
các điểm P, ấy Chung minh
Goi a là cái phẳng có số chiều bé nhất chứa các điểm
Pạ,P\, ,P¿ Khi đó các vectơ P,P, P,P,, , P,P, thuộc phương ơ của phẳng a
Giả sử P,P, 1 với s < k là hệ vectơ con độc lập
tuyến tính tối đại của hệ vectơ trên.Ta có đìmơ = s,
Trang 25+ 6 = SAGE -B) i=l =0- Davee, + X5 GP, =6 isl Đẳng thức này chứng té G la tam ti cu cha hệ điểm P,, s P), ,Pk véi he các hệ số là Vay ,Ài,À2, ,À»„0, , 0 Các hệ i=l số này có tổng bằng 1 Ngược lại nếu G là tâm tỉ cự của họ P,,P\, ,P¿ gắn với họ hệ số 2¿, ^q, ,À„ thì:
Do đó P,đ ea va suy ra G ceœ.Định lí đã được chứng minh
Hệ quả: Cho m-phẳng ø đi qua m+l điểm độc lập Đạ,P\, ,Pm, Khi đó ơ chính là tập hợp các tâm tỉ cự của hệ
điểm đó gắn với các họ hệ số khác nhau
4 ĐỊNH LÍ
Cho m -phẳng œ đi qua m+1 điểm độc lập P,,P), Pm và
một điểm O tùy ý Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc a là :
OM = $2,608, trong đó Nà, el
i=0 i0
Trang 26Chứng minh
Điểm M e œ © M là tâm tỉ cự của hệ điểm P„Pr, P„ gắn với
họ các hệ số A„,Àu, Àè„ nào đó nghĩa là với một điểm O tùy ý ta có: mo, m _ <= (340M = 302, 0P; i=0 i=0 “h.- 4 ấn đất i.e uy ì Vi ` #0 nén néu dat A; = = thi i=0 Day 1=0 — mo _— OM=>SA,OP và 3A, =1 i=O i=0 §5.TAP LOI TRONG KHƠNG GIAN AFIN THỰC 1.DOAN THANG
Cho hai điểm P và Q phan biét cia khéng gian afin thuc A Điểm M thuộc đường thẳng d đi qua P và Q khi và chỉ khi với điểm O tùy ý thì :
OM =AOP + IOGQ với À+m=1
hay là OM =AOP +(1-À)OQ với À e R,
Định nghĩa Trong không gian afñn thực A cho hai điểm P
và Q phân biệt, tập hợp những điểm M sao cho với một điểm O tùy ý ta có :
OM =ÀOP +(1— À)Ö với 0 < À š 1 được gọi là đoạn thẳng PQ
Khi 2 = 1 ta có điểm P, khi A = 0 ta có điểm Q, còn những điểm khác của đoạn thẳng PQ ứng với 0<^< 1
Trang 27~
Hai diém P, Q goi 1a hai mut cia doan thing PQ Nhiing diém khác của đoạn thẳng PQ gọi là ở giữa P va Q
2.7Ti S6 DON CUA HE BA DIEM THANG HANG
Định nghĩa Cho hai điểm P và Q phân biệt của khơng gian
afđn thực A Điểm M thuộc đường thẳng d đi qua P và Q đồng thời
M # Q khi va chỉ khi có số k e R -~ {1} dé|M kMQ), khi đó k
gọi là £ï số đơn của hệ ba điểm M,P,Q thẳng hàng lấy theo thứ tự
đó và được kí hiệu k = (MPQ).Trung điểm M của đoạn thẳng PQ xác định bởi tỉ số đơn (MPQ) = - 1 Cần chú ý rằng (MPQ) = k
œ© MP =kMQ Nếu thay đổi thứ tự các điểm trong cách viết tỉ
số đơn thì giá trị của tỉ số đơn đó thay đổi Người ta chứng minh được các công thức sau đây:
1 (MPQ)
(MPQ) = , (PMQ) = —— —_ , (QPM) = 1 - (MPQ) s (MQP) s ({MPQ)-1 4 @ Đối với trường hợp có hai điểm trong ba điểm M,P,Q trùng
nhau, ta quy ước :
(MMQ) = 0, (MPM) = «, (MPP) = 1
3.TAP LOI
a) Định nghĩa Một tap X trong khơng gian n thực A gọi là
một đập lôi nếu với mọi điểm P, Q thuộc X thì đoạn thẳng PQ nằm
Trang 28b) Thi du Mỗi m - phẳng œ trong khơng gian n thực A là tập lỗi vì nếu P, Q là hai điểm phân biệt thuộc œ thì toàn bộ đường thẳng PQ thuộc œ `
Do đó đoạn thẳng PQ nằm hoàn toàn trong a Vay a la
một tập lôi
4 DON HINH m- CHIEU
Trong khéng gian afin n chiéu A" cho m+1 điểm độc lập
Áu Áu Âm (0 <m < n) Giả sử đối với một mục tiêu añn cho
trước các điểm A; có tọa độ là : `
À¡ =(a¡i, 8z, in) với ¡ = 0,1, 2, m
Ta có phương trình tham số của m - phẳng A” đi qua các điểm đó là : Xi = Api + ti(âgi — Aoi) + ta(đgi — đại) + + tmlami — doi) | (1) véi i =1, 2, , n Bay gid trong phuong trinh trén néu ta dat tạ =1 — tị — tạ — — Em
hay [to +t: + te+.4tm=1} (2) thì ta có phương trình :
Xi = ty Aoi + by aay + te ai t+ tmAmi (3)
với ¡ = 1,2, n
Phương trình (3) với điều kiện (2) tương đương với phương
trình (1) là phương trình của một m - phẳng xác định bởi một hệ gồm m+1 điểm độc lập Từ đó ta xây dựng được khái niệm
đơn hình bằng định nghĩa sau đây :
a) Định nghĩa Tập hợp các điểm X của A” ma toa dé (x,xạ, „5„%n) thỏa mãn phương trình (3) có dạng :
Xi =lo đại + Eị ai + + tnBmi
với điều kiện (2) là tạ + tạ + + t„ = 1 và điều kiện là các t; > 0
với 1=0,1,2, ,m được gọi là đơn hình m chiều hoặc m-đơn hình
28
Trang 29Các điểm A,,A), ,Am goi la ede dink cia đơn hình đó
Như vậy một đơn hình hoàn toàn được xác định bởi các đỉnh của nó, các đỉnh này là một hệ điểm độc lập gồm các diém A,,Aj, Am và được kí hiệu là đơn hình S(A,,A¡, Àm)
Đơn hình 0 chiều là 1 điểm Đơn hình 1 chiều, 2 chiều, 3
chiêu lần lượt có tên gọi là đoạn thẳng, tam giác, tứ diện
Các đỉnh A; của đơn hình S(A.,A¡,.Am) được xác định bởi
các tham số tị = 1 và các tị =0 với j # ¡
b) Định lí Đơn hình m chiêu là một tập lỗi
Chứng mính
Giả sử đơn hình S(P,,Py,.,P„ạ) xác định bởi m+1 điểm độc