Bài giảng môn toán cao cấp 1

Mục lục Lời nói đầu Chương 1: 1.1 1.2 1.3 Tập hợp, ánh xạ số phức Tập hợp 1.1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.3 Tích Đề 10 Ánh xạ 11 1.2.1 Định nghĩa ánh xạ 11 1.2.2 Đơn ánh 13 1.2.3 Toàn ánh 14 1.2.4 Song ánh 16 1.2.5 Ánh xạ ngược song ánh 16 1.2.6 Tích hai ánh xạ 17 Số phức 18 1.3.1 Định nghĩa 18 1.3.2 Dạng tắc số phức 19 1.3.3 Dạng lượng giác số phức 22 1.3.4 Các phép tính số phức biểu diễn dạng lượng giác i 24 Chương 2: Ma trận, định thức, hệ phương trình tuyến tính 2.1 2.2 2.3 33 Ma trận 33 2.1.1 Khái niệm ma trận, dạng ma trận 34 2.1.2 Các phép toán ma trận 38 2.1.3 Ma trận chuyển vị 43 Định thức 44 2.2.1 Định thức ma trận vuông 45 2.2.2 Các tính chất định thức 47 2.2.3 Cách tính định thức biến đổi sơ cấp 55 Ma trận nghịch đảo 58 2.3.1 2.4 Ma trận nghịch đảo tồn ma trận nghịch đảo 58 2.3.2 Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 59 2.3.3 Hạng ma trận 67 2.3.4 Phương pháp tính hạng ma trận 68 Hệ phương trình tuyến tính 72 2.4.1 Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính 2.4.2 Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 75 2.4.3 Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 76 Chương 3: 3.1 3.2 73 Không gian vectơ 99 Không gian vectơ 99 3.1.1 Khái niệm 99 3.1.2 Các ví dụ 100 3.1.3 Các tính chất không gian vectơ 106 Không gian 108 ii 3.3 3.2.1 Khái niệm 108 3.2.2 Các ví dụ 109 Cơ sở số chiều không gian vectơ 111 3.3.1 Tổ hợp tuyến tính họ vectơ 111 3.3.2 Hệ sinh không gian vectơ 112 3.3.3 Họ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 115 3.3.4 Cơ sở không gian vectơ 118 3.3.5 Số chiều không gian vectơ 119 3.3.6 Tính chất sở số chiều 121 3.3.7 Tọa độ vectơ 124 3.4 Không gian sinh họ vectơ 125 3.5 Bài toán đổi sở 129 3.5.1 Đặt toán 129 3.5.2 Ma trận chuyển sở 130 Chương 4: 4.1 4.2 4.3 Ánh xạ tuyến tính 135 Khái niệm ánh xạ tuyến tính 135 4.1.1 Định nghĩa ví dụ 135 4.1.2 Các phép toán ánh xạ tuyến tính 139 4.1.3 Các tính chất ánh xạ tuyến tính 140 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 141 4.2.1 Khái niệm 141 4.2.2 Tính chất 144 4.2.3 Hạng ánh xạ tuyến tính Định lý số chiều 145 Ma trận ánh xạ tuyến tính 148 4.3.1 Khái niệm ma trận ánh xạ tuyến tính 148 4.3.2 Các ví dụ 150 iii Tài liệu tham khảo 154 Tài liệu tham khảo 154 iv MỤC LỤC Lời nói đầu Để nâng cao chất lượng đào tạo cần phải đổi phương pháp giảng dạy, thiết kế giảng theo định hướng ứng dụng nghề nghiệp Trong thời gian qua giảng viên Khoa Khoa học có tập giảng phục vụ công tác giảng dạy Tuy nhiên, giảng mang tính cá nhân biên soạn theo lối hàn lâm, có tính ứng dụng nghề nghiệp Do đó, tất giảng viên Khoa sinh viên mong muốn có giảng dùng chung, tập dùng chung cho môn học sử dụng toàn Trường để tạo thống thuận lợi cho việc giảng dạy giảng viên việc học tập sinh viên Mặc dù nhóm tác giả giảng viên trẻ, nhiều bận rộn công việc, sống cố gắng ngồi lại để viết giảng toán cao cấp với mong muốn góp phần nhỏ bé mình, giúp em có thêm động lực việc học toán Mục tiêu xây dựng giảng dùng chung, tập dùng chung trình bày lý thuyết đơn giản, trọng tâm, cô đọng, sâu vào tập áp dụng theo chuyên ngành sinh viên, để làm sở khoa học giúp sinh viên học tốt môn chuyên ngành trường ĐHSPKT Hưng Yên Ngoài ra, làm tăng tính sáng tạo, tạo động lực, tạo hứng thú cho sinh viên học môn Toán, Vật lý Toán cao cấp giảng dạy năm học đầu khoá học với môn khoa học khác Bộ giảng toán cao cấp soạn thảo dựa tài liệu giảng số giảng viên môn trực tiếp giảng dạy môn Toán cao cấp cho sinh viên lớp hệ đại học, cao đẳng quy, lớp liên MỤC LỤC thông lớp vừa làm vừa học qua nhiều năm Bài giảng chia thành bốn chương: Chương I gồm kiến thức: Định nghĩa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, định nghĩa số số phức, dạng biểu diễn số phức phép toán Phần biên soạn nhóm tác giả Trịnh Xuân Yến, Nguyễn Thị Thu Hằng Chương II gồm kiến thức: Định nghĩa ma trận, định thức, hệ phương trình đại số tuyến tính phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính Đây chương quan trọng, cung cấp công cụ cần thiết để nghiên cứu chương III chương IV giảng Được biên soạn nhóm tác giả Trần Ngọc Tuấn, Phạm Tuấn Anh, Đặng Thị Hồi Chương III mở rộng lên từ tập hợp, cách trang bị cho tập hợp hai phép toán, từ mà tập hợp có nhiều tính chất Chương đề cập tới khái niệm, định nghĩa không gian vectơ, họ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính, sở số chiều không gian vectơ, tọa độ vectơ sở, không gian sinh họ vectơ, toán đổi sở Đặc biệt khuôn khổ giảng này, xét tới không gian vectơ hữu hạn chiều trường R, để thuận tiện sau ta gọi không gian vectơ R Chương III biên soạn nhóm tác giả Trần Hồng Thái, Trần Thị Hải Lý, Nguyễn Thị Mơ Nếu chương I độc giả xét khái niệm ánh xạ, chương III xét mở rộng tập hợp thành không gian vectơ, chương IV độc giả xét mở rộng ánh xạ tập đích tập nguồn không gian vectơ R Ở chương giảng đề cập tới khái niệm ánh xạ tuyến tính, ảnh ánh xạ tuyến tính, hạt nhân ánh xạ tuyến tính ma trận ánh xạ tuyến tính, MỤC LỤC Chương IV biên soạn nhóm tác giả Nguyễn Thị Loan, Nguyễn Quang Chung, Nguyễn Anh Đài Chúng ta biết Toán học xây dựng vô chặt chẽ, lôgic, Bài giảng toán cao cấp minh chứng cho điều Song, để thuận tiện cho bạn sinh viên trường, độc giả dùng toán công cụ để nghiên cứu lĩnh chuyên môn bạn, chấp nhận bỏ số chứng minh, lập luận, "đẹp" toán học Nhóm tác giả chân thành cảm ơn PGS.TS Trần Trung - Hiệu trưởng, ban giám hiệu, phòng ban chức năng, Ban chấp hành công đoàn trường Trường ĐHSPKT Hưng Yên có đóng góp quí báu nội dung cấu trúc giảng dùng chung Cảm ơn PGS Nguyễn Đức Đạt, Ths Nguyễn Văn Tứ, đặc biệt cảm ơn TS Nguyễn Hữu Tiến đóng góp, trao đổi ý kiến chuyên môn để giảng hoàn thiện Hy vọng giảng giúp sinh viên tiếp cận học phần Toán cao cấp dễ dàng hơn, góp phần nâng cao chất lượng đào tạo, thúc đẩy trình xây dựng trường ĐHSPKTHY trở thành trường Trọng điểm khu vực Đồng Sông Hồng đào tạo nghiên cứu chất lượng cao Mặc dù có nhiều cố gắng trình biên soạn song khiếm khuyết không tránh khỏi cần chỉnh sửa, hoàn chỉnh bổ sung Nhóm tác giả mong nhận ý kiến đóng góp giảng viên em sinh viên để giảng ngày chất lượng Mọi ý kiến xin gửi địa chỉ: Bộ môn Toán Khoa Khoa học Cơ - Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Xin trân trọng cảm ơn! Chương Tập hợp, ánh xạ số phức Trong chương tìm hiểu vấn đề ban đầu đại số tập hợp, ánh xạ số phức Ánh xạ hay số phức ứng dụng nhiều thực tiễn, lĩnh vực công nghệ thông tin hay kinh tế , kỹ thuật điện vv Ví dụ ánh xạ đồ GPS vào đồ số, ánh xạ wifi hay ánh xạ cho trình trích xuất chuyển đổi tải liệu dự án kho liệu Trọng tâm kiến thức chương xoay quanh việc xét tính đơn ánh, toàn ánh hay song ánh ánh xạ, phép biến đổi số phức dạng đại số dạng lượng giác, ứng dụng khai triển Moivre 1.1 1.1.1 Tập hợp Khái niệm tập hợp Trong giảng khái niệm tập hợp (hay tập) định nghĩa khái niệm biết Ta coi tập hợp khái niệm nguyên Chương Tập hợp, ánh xạ số phức thủy, không định nghĩa, hiểu cách trực giác Ta hình dung tập hợp bao gồm số cá thể hay đối tượng có số tính chất chung Các đối tượng gọi phần tử tập hợp xét Để ký hiệu tập hợp ta thường dùng chữ in hoa: A, B, C, Ví dụ 1.1 Tập A = sinh viên trường ĐHSPKT Hưng Yên • Khái niệm thuộc kí hiệu ∈ Nếu a phần tử tập hợp E ta nói a thuộc E viết a ∈ E Nếu a không phần tử tập hợp E ta nói a không thuộc E viết a ∈ E • Cách mô tả tập hợp Phương pháp liệt kê: Một tập hợp xác định cách liệt kê tất phần tử nó, hay liệt kê số phần tử đại diện đủ để có khả nhận biết đối tượng có thuộc tập hợp hay không Ví dụ 1.2 Tập số tự nhiên chẵn A = {2, 4, 6, 8, , 2n, } Phương pháp rõ dấu hiệu đặc trưng để phân biệt phần tử tập hợp với đối tượng phần tử Ví dụ 1.3 B = n ∈ N : n chia hết cho • Một số tập hợp thường gặp Tập số tự nhiên N = {0, 1, 2, } Tập số nguyên Z = {0, ±1, ±2, ±3, } p Tập số hữu tỉ Q = |q = 0, p ∈ Z, q ∈ Z q Chương Tập hợp, ánh xạ số phức Tập số thực R Tập rỗng tập hợp phần tử nào, ký hiệu Ø Ví dụ 1.4 Tập nghiệm thực phương trình x2 +1 = S = Ø Định nghĩa 1.1 Ta nói tập A tập B A B trùng nhau, nghĩa phần tử tập A phần tử tập B ngược lại phần tử B phần tử A Ký hiệu A = B Ví dụ 1.5 Cho hai tập A = {1, 2} ,B tập nghiệm phương trình x2 − 3x + = suy A = B • Sự bao hàm-Tập Định nghĩa 1.2 Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập B ,hay B bao hàm A Ký hiệu A ⊂ B Hình 1.1: Ví dụ 1.6 Gọi tập A = Sinh viên lớp 114143 trường ĐHSPKT Hưng Yên tập B = Sinh viên trường ĐHSPKT Hưng Yên Ta có A ⊂ B Chương Ánh xạ tuyến tính Vậy ϕ ánh xạ tuyến tính Chứng minh ψ ánh xa tuyến tính hoàn toàn tương tự Mệnh đề 4.2 Nếu f : V → W ; g : W → T hai ánh xạ tuyến tính ánh xạ tích h = go f ánh xạ tuyến tính Chứng minh Giả sử u, v ∈ V, λ, µ ∈ R, ta có: h(λu + µv) =g[f (λu + µv)] = g[λf (u) + µf (v)] =λg(f (u)) + µg(f (v)) = λh(u) + µh(v) Vậy h ánh xạ tuyến tính từ V vào T 4.1.3 Các tính chất ánh xạ tuyến tính Định lý 4.3 V W hai không gian vectơ Nếu f : V → W ánh xạ tuyến tính f (θ) = θ f (−v) = −f (v), ∀v ∈ V f (u − v) = f (u) − f (v), ∀v, w ∈ V Chứng minh 1.Giả sử v ∈ V Vì 0v = θ nên f (θ) = f (0v) = 0f (v) = θ 2.Vì −v = (−1)v nên f (−v) = f ((−1)v) = (−1)f (v) = −f (v) Vì v − w = v + (−w) nên v − w = v + (−1)w, f (v − w) = f (v + (−1)w) = f (v) + f ((−1)w) = f (v) − f (w) 140 Chương Ánh xạ tuyến tính 4.2 Hạt nhân ảnh ánh xạ tuyến tính 4.2.1 Khái niệm Định nghĩa 4.2 Giả sử V W hai không gian véc tơ, f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi • Tập tất phần tử V có ảnh θ ∈ W gọi hạt nhân f, ký hiệu Ker(f ), tức là: Ker(f ) := {u ∈ V |w = f (u) = θ } Hình 4.1: • Tập tất phần tử W ảnh phần tử V gọi ảnh f , ký hiệu Im(f ); tức là: Im(f ) := {w ∈ W |∃u ∈ V : f (u) = w} Như Im(f ) = f (V ) Ví dụ 4.6 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi: w = f (u) = (x − y + z, 2x − y + z) Tìm Ker(f ), Im(f )? 141 Chương Ánh xạ tuyến tính Hình 4.2: Lời giải: Ta có Ker(f ) = u = (x, y, z) ∈ R3 : f (u) = θ f (u) = θ ⇔ ⇔   x − y + z =  2x + y − z =   x =  z = y Vậy Ker(f ) = u = (0, y, y) ∈ R3 Im(f ) = w = (a, b) ∈ R2 |∃u = (x, y, z) ∈ R3 : f (u) = w        x − y + z = a  = w = (a, b) ∈ R : có nghiệm     2x + y − z = b  Hệ   x − y + z = a có nghiệm ⇔ ρ(A) = ρ(A)  2x + y − z = b Nhận thấy ma trận A ma trận A có hạng với a, b Vậy Im(f ) = {∀w = (a, b) ∈ R2 } = R2 142 Chương Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.7 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R3 xác đinh bởi: w = f (u) = (x − y, 2x + y, x + 3y) Tìm Ker(f ), Im(f )? Lời giải: Ta có Ker(f ) = u = (x, y) ∈ R2 |f (u) = θ     x−y =0    f (u) = θ ⇔ 2x + y =      x + 3y =     y=x    ⇔ y = −2x      x + 3y = ⇔ x = y = Vậy Ker(f ) = {u = (0, 0)} Im(f ) = w = (a, b, c) ∈ R3 |∃u = (x, y) ∈ R2 : f (u) = w             x − y = a          = w = (a, b, c) ∈ R | 2x + y = b có nghiệm                 x + 3y = c  Hệ     x−y =a    2x + y = b      x + 3y = c có nghiệm ⇔ ρ(A) = ρ(A) Ta có       −1 a −1 a −1 a             −2a + b  2 b  ⇔ 0 −2a + b ⇔ 0       a− b+c 0 c −a + c 3 143 Chương Ánh xạ tuyến tính Nhận thấy ρ(A) = nên để ρ(A) = ρ(A) ρ(A) = 2, tức Vậy Im(f ) = 4.2.2 5 a− b+c=0⇔c=− a+ b 3 3 w = (a, b, − a + b); ∀a, b ∈ R 3 Tính chất Định lý 4.4 Nếu f : V → W ánh xạ tuyến tính thì: Ker(f ) không gian véc tơ không gian V Im(f ) không gian véc tơ không gian W Chứng minh Vì f : V → W ánh xạ tuyến tính nên: f (θ) = θ Ker(f ) = φ ∀u, v ∈ Ker(f ) f (u) = f (v) = θ Khi ∀k, l ∈ R : f (ku + lv) = kf (u) + lf (v) = kθ + lθ = θ Suy ku + lv ∈ Ker(f ) Vậy Ker(f ) không gian không gian V Tương tự ta có f (θ) = θ nên θ ∈ Im(f ) Suy Im(f ) = φ Giả sử w, w ∈ Im(f ); ∃u, v ∈ V cho f (u) = w, f (v) = w ∀k, l ∈ R ta có: kw + lw = kf (u) + lf (v) = f (ku + lv) ∈ Im(f ) Vậy Im(f ) không gian W 144 Chương Ánh xạ tuyến tính Ví dụ 4.8 Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định w = f (x, y, z) = (x − y + z, 2x − y + z) Theo Ví dụ 4.6 ta có: Ker(f ) = {u = (0, y, y) ∈ R3 } không gian không gian R3 Im(f ) = R2 không gian không gian R2 Tương tự, Ví dụ 4.7 thỏa mãn định lý 4.4 4.2.3 Hạng ánh xạ tuyến tính Định lý số chiều Hạng ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 4.3 Nếu f : V → W ánh xạ tuyến tính số chiều không gian ảnh gọi hạng ánh xạ f , ký hiệu rank(f ) Như rank(f ) = dimIm(f ) Ví dụ 4.9 Theo ví dụ 4.6 : Im(f ) = R2 nên rank(f ) = 2 Định lý số chiều Theo ví dụ 4.6 có dimIm(f ) + Ker(f ) = + = = dimR3 Theo ví dụ 4.7 có dimIm(f ) + Ker(f ) = + = = dimR2 Như vậy, hai ví dụ có tính chất: dimIm(f ) + dimKer(f ) = số chiều không gian nguồn, điều có toán tổng quát không? Ta có định lý sau gọi định lý số chiều Định lý 4.5 Nếu f : V → W ánh xạ tuyến tính, dimV = n thì: dimIm(f ) + dimKer(f ) = n 145 (4.1) Chương Ánh xạ tuyến tính Chứng minh Giả sử dimKer(f ) = k > B = {u1 , u2 , , uk } sở không gian Ker(f) Đặt s = n − k(s > 0), ta bổ xung thêm s véc tơ {v1 , v2 , , vs } cho hệ B1 = {u1 , u2 , , uk , v1 , v2 , , vs } (4.2) sở không gian véc tơ V Ta chứng minh hệ véc tơ B2 = {f (v1 ), f (v2 ), , f (vs )} (4.3) sở không gian véc tơ Im(f ) Thật với véc tơ w ∈ Im(f ) tồn véc tơ u ∈ V cho f (u) = w Vì (4.2) sở V nên u có biểu diễn nhất: u = h1 u1 + h2 u2 + · · · + hk uk + l1 v1 + · · · + ls vs Suy w = f (u) = h1 f (u1 ) + h2 f (u2 ) + · · · + hk f (uk ) + l1 f (v1 ) + · · · + ls f (vs ) Vì {u1 , u2 , , uk } ∈ Ker(f ) nên f (u1 ) = f (u2 ) = · · · = f (uk ) = Do w = f (u) = l1 f (v1 ) + · · · + ls f (vs ), với {l1 , l2 , , ls } Như hệ véc tơ {f (v1 ), f (v2 ), , f (vs )} hệ sở Im(f ) Suy dim(f ) = s Hay s = dimIm(f ) = n − k = n − dimker(f ) 146 Chương Ánh xạ tuyến tính Vậy dimIm(f ) + dimKer(f ) = n Ví dụ 4.10 Tìm số chiều không gian Ker(f ), Im(f ) ánh xạ ví dụ 4.6 Lời giải: Tìm dimKer(f ) Theo ví dụ 4.6 ta tìm Ker(f ) = {u = (0, y, y) ∈ R3 } = {u = y(0, 1, 1) ∈ R3 } Suy dimKer(f ) = Tìm dimIm(f ) Có hai cách: Cách 1: Theo ví dụ 4.6 ta tìm dimIm(f ) = {∀w = (a, b) ∈ R2 } Suy dimIm(f ) = Cách 2: Theo ta biết dimKer(f ) = 1, dimV = 3, suy theo định lý số chiều ta có: dimIm(f ) = dimV − dimKer(f ) = − = Như kết hai cách nhau, nhiên biết dimKer(f ) làm cách hai hay 147 Chương Ánh xạ tuyến tính 4.3 4.3.1 Ma trận ánh xạ tuyến tính Khái niệm ma trận ánh xạ tuyến tính Giả sử V W không gian vectơ, với sở tương ứng B = {u1 , u2 , , un } B = {w1 , w2 , , wm } Xét ánh xạ tuyến tính f : V −→ W (x)B = (x1 , x2 , , xn ) ; xi ∈ R; (f (x))B = (y1 , y2 , , ym ) ; yi ∈ R tọa độ  sở B, B tương ứng  các vectơ x, f (x)  y x  1  1     y   x2   [f (x)] =   ma trận tọa độ vectơ [x]B =  B             ym xn x, f (x) sở B, B tương ứng Định nghĩa 4.4 Ma trận A cỡ m × n cho [f (x)]B = A [x]B gọi ma trận ánh xạ tuyến tính f : V −→ W sở B V B W • Ánh xạ tuyến tính f : V −→ W xác định f (uj ) j = 1, n m aij wi với (j = 1, 2, , n) , aij ∈ R f (uj ) = i=1 148 Chương Ánh xạ tuyến tính  a a12  11   a21 a22 A=    am1 am2 a1n    a2n      amn = [f (u1 )]B [f (u2 )]B [f (un )]B A ma trận ánh xạ tuyến tính f Thật n n f (x) = f xj uj = j=1 xj f (uj ) = j=1 m xj j=1 aij wi i=1 n m xj aij = i=1 n wi j=1 n hay yi = aij xj ; i = 1, m j=1  [f (x)]B n   a x  j=1 1j j   n   a11 a12      a a x 2j j  j=1   21 a22 = =      n     am1 am2 amj xj    x   i    a2n   x2  .           xn amn a1n j=1 =A [x]B • Nếu V ≡ W B = B Ma trận A tương ứng gọi ma trận ánh xạ f B Lúc ta viết A [x]B = [f (x)]B • Khi B B sở tắc V W , ma trận A ánh xạ tuyến tính sở B, B gọi ma trận tắc f 149 Chương Ánh xạ tuyến tính Định lý 4.6 Giả sử ánh xạ tuyến tính f : V −→ W có ma trận A cặp sở V W Khi rank (f ) = rank (A) 4.3.2 Các ví dụ Ví dụ 4.11 Cho ánh xạ tuyến tính f : R2 −→ R3 xác định bởi: f (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , −x1 , 0) Tìm ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B = {u1 , u2 } , B = {v1 , v2 , v3 } tương ứng không gian vectơ R2 , R3 Trong đó: u1 = (1, 3) ; u2 = (−2, 4) v1 = (1, 1, 1) ; v2 = (2, 2, 0) ; v3 = (3, 0, 0) Lời giải  f ((u1 )) = f (1, 3) = (7, −1, 0) ⇒ [f (u1 )]B      = − 21    3  f ((u2 )) = f (−2, 4) = (6, 2, 0) ⇒ [f (u1 )]B     = 1   Vậy ma trận ánh xạ tuyến tính f cặp sở B, B là:   0     A = −    Ví dụ 4.12 Cho ánh xạ tuyến tính ∂ : P3 (x) −→ P2 (x), xác định 150 Chương Ánh xạ tuyến tính ∂ (p (x)) = p (x) Với cặp sở (B) = 1, (x − 2) , (x − 2)2 , (x − 2)3 (B ) = 1, x, x2 tương ứng sở P3 (x) , P2 (x) a) Tìm ma trận ánh xạ tuyến cặp sở B, B ; b) Tìm rank (∂) Lời giải a) Ta có: ∂ (1) = ∂ (x − 2) = ∂ (x − 2)2 = (x − 2) = −4 + 2x ∂ (x − 2)3 = (x − 2)2 = 12 − 12x + 3x2 Vậy ma trận ∂ cặp sở B, B   −4 12     A = 0 −12   0 b) Dễ thấy rank(A) = 3; rank (∂) = Ví dụ 4.13 Tìm ma trận ánh xạ f : R2 −→ R2 sở tắc xác định bởi: f (x1 , x2 ) = (x1 + 2x2 , x1 − x2 ) Lời giải Cơ sở tắc R2 B = {e1 = (1, 0), e2 = (0,  1)}  f (e1 ) = f (1, 0) = (1, 1) = 1e1 + 1.e2 ⇒ [f (e1 )]B =   151 Chương Ánh xạ tuyến tính  f (e2 ) = f (0, 1) = (2, −1) = 2e1 − 1.e2 ⇒ [f (e2 )]B =    −1 ma trận ánh xạ tuyến tính f sở B là:    A = [f (e1 )]B [f (e2 )]B =  −1 Ví dụ 4.14 Cho f : P2 (x) −→ P4 (x) ánh xạ tuyến tính p (x) −→ f (p (x)) = x2 p (x) a) Tìm ma trận f sở B = {p1 , p2 , p3 } P2 (x) sở B = {q1 , q2 , q3 , q4 , q5 } P4 (x) : p1 = + x2 , p2 = + 2x + 3x2 , p3 = + 5x q1 = 1, q2 = 2x, q3 = x2 , q4 = 4x3 , q5 = x4 b) Tính f −3 + 5x − 2x2 trực tiếp gián tiếp Lời giải a) f (p1 ) = x2 + x4 = 0.q1 + 0.q2 + 1.q3 + 0.q4 + 1.q5 ⇒ [f (p1 )]B 0    0      = 1      0    1 f (p2 ) = x2 + 2x + 3x = 0.q1 + 0.q2 + 1.q3 + q4 + 3.q5 ⇒ [f (p2 )]B 0   0     = 1   1 2   152 Chương Ánh xạ tuyến tính f (p3 ) = 4x2 +  5x3 = 0.q1 + 0.q2 + 4.q3 + 45 5.q4 + 0.q5 ⇒ [f (p3 )]B 0   0     = 4   5 4   Vậy ma trận ánh xạ tuyến tính  0  0   A = 1   0  f cặp sở B, B  0  0   4  5  4 b) Cách (trực tiếp) p (x) = −3 + 5x − 2x2 ⇒ f (p (x)) = −3x2 + 5x3 − 2x4 Cách (gián tiếp) (p (x))B = −111 25 , , 18 18 ⇒ [f (p (x))]B = A [p (x)]B     0 0  −111        0 0  18            25   54   = 1   = − 18     18      5  45  0   36      36 − 18 ⇒ f (p (x)) = 0.q1 + 0.q2 − 54 45 36 q3 + q4 − q5 = −3x2 + 5x3 − 2x4 18 36 18 153 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán Cao CấpTập Nxb Giáo dục- 2000 [2] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập Toán Cao Cấp- Tập Nxb Giáo dục- 2000 [3] Nguyễn Đình Trí, Dương Thuỷ Vỹ, Lê Trọng Vinh, Toán Cao CấpTập (Dành cho sinh viên trường Cao đẳng kỹ thuật) Nxb Giáo dục- 2007 [4] Trần Trọng Huệ, Đại số tuyến tính hình học giải tích- Tập 1, Nxb ĐHQG HN- 2001 [5] Bộ môn Toán, Đại số tuyến tính Nxb Giao thông Hà Nội- 2003 [6] Tống Đình Quỳ, Giúp ôn tập tốt Toán cao cấp- Tập Nxb ĐHQG HN- 2003 [7] Lê Đình Thuý, Toán Cao Cấp cho nhà kinh tế (Phần 1: Đại số tuyến tính) Nxb ĐHKTQD-2005 [8] 154 ... học với môn khoa học khác Bộ giảng toán cao cấp soạn thảo dựa tài liệu giảng số giảng viên môn trực tiếp giảng dạy môn Toán cao cấp cho sinh viên lớp hệ đại học, cao đẳng quy, lớp liên MỤC LỤC... 11 9 3.3.6 Tính chất sở số chiều 12 1 3.3.7 Tọa độ vectơ 12 4 3.4 Không gian sinh họ vectơ 12 5 3.5 Bài toán đổi sở 12 9 3.5 .1 Đặt toán. .. nghịch ảnh) y Hình 1. 6: Trên hình ta thấy hình (a) biểu diễn ánh xạ, hình (b) không ánh xạ Ví dụ 1. 15 Cho tập E = SV lớp 11 414 3 tập F = số chiều cao , ánh xạ f (đo chiều cao SV) 11 Chương Tập hợp,