Bài tập toán cao cấp

1.2 Giîi h¤n, Li¶n töc cõa h m sè9. Cho h m sè y = f(x) = x2 + 2.a) T½nh: f(3) v  f(x + h)b) T½nh: f(x + h)

BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP

Năm học 2017–2018

Mục lục

1.1 Cơ bản về hàm số 2

1.2 Giới hạn, Liên tục của hàm số 3

1.3 Đạo hàm của hàm số 4

1.4 Sử dụng các công thức cơ bản để tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3 5

1.5 Đạo hàm ứng dụng để tìm tiếp tuyến tại 1 điểm 6

1.6 Đạo hàm của hàm ẩn 7

1.7 Qui tắc L’hopital để tìm giới hạn ở dạng vô định 9

1.8 Khảo sát hàm số, tìm cực trị địa phương, tìm GTLN và GTNN trên khoảng đóng [a, b] 10

2 Hàm nhiều biến 14 2.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến 14

2.2 Vi phân của hàm nhiều biến 15

2.3 Cực trị không điều kiện - Phương pháp đạo hàm cấp 2 15

2.4 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange 16

b) Dựa vào đồ thị hãy cho biết MXD và MGT của hàm số trên.

2 Cho biết MXD và MGT của hàm số sau:

3 nếu x ≥ 4

3 Cho f (x) = 1

1 + 1

1 +1x

5 Tìm miền xác định và miền giá trị của f (x) = 2√4 − x2− 3

7 Cho g(x) = 5 − x2, h(x) =√x + 13, và j(x) = 1

x.Khi đó hàm hợp (j ◦ h ◦ g)(3) =

1.2 Giới hạn, Liên tục của hàm số

x→1

x2− 2x + 1

x − 1e) lim

x→1

x2− 1

1 − xf) lim

x→3

x4− 81

x − 3g) lim

x→5

x2+ 5x

x2− 25h) lim

x→∞

x2

√xc) lim

x→∞

1

√xd) lim

4+ 6x2+ 1

(sin x nếu x < π4;cos x nếu x ≥ π4

14 Tìm c để hàm số sau liên tục tại x = 2:

y = f (x) =

(

cx2+ 2x nếu x < 2;

x3− cx nếu x ≥ 2

Với giá trị trị c vừa tìm được, hàm số có liên tục trên R hay không?

15 Tìm k để hàm số sau liên tục tại x = 1:

(sin x nếu x < 0;

cos x − c nếu x ≥ 0 tại x = 1Với giá trị c tìm được, hãy cho biết hàm số có khả vi tại điểm đó hay không?

b) Sử dụng kết quả của câu a để tính f0(2)

c) Hàm số trên có khả vi tại điểm x = 0? Tại sao?

20 Cho hàm số f (x) = |x|

a) Hàm số có liên tục tại x = 0 hay không?

b) Hàm số có khả vi tại x = 0 hay không?

c) Nhận xét gì về mối liên hệ giữa tính liên tục và tính khả vi của hàm số tại 1điểm?

21 Khảo sát tính khả vi của các hàm số sau tại điểm tương ứng:

a) f (x) =

(

x3− 1 nếu x < 1;

x2− 2x + 1 nếu x ≥ 1 tại x = 1b) f (x) =

e) y =

q

1

x − xf) y = ln(ln x)

c) y = sin 3x

1 + sin 3xd) y = e4xsin 2x

a where a = .

33 Let y = log3(x2+ 1)1/3 Then dy

dx =

2xa(x2+ 1) where a = .

34 Let f (x) = ln(6 + sin

2x)10(7 + sin x)3 Then Df (π/6) = a

5 where a = .

35 Let f (x) = ln(ln x) What is the domain of f ?

Answer: ( , )

1.5 Đạo hàm ứng dụng để tìm tiếp tuyến tại 1 điểm

36 Hãy tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm tương ứng

a) y = f (x) = x3+ ex+ sin(x) tại điểm x = 1

b) y = ln(x − 1) + x2 tại điểm x = 2

37 Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến tại điểm tương ứng.

a) y = f (x) = 2x2+ 4x tại điểm (−2, 0)

b) y = f (x) = 4 − x2 tại điểm (1, 2)

c) y = f (x) = 1

x tại điểm (1, 1)d) y = f (x) = 1 − sin x

44 Xét đường cong được cho bởi phương trình: (x − 2)2+ (y − 1)2= 25

Tìm các điểm thuộc đường cong sao cho tại điểm đó ta có tiếp tuyến nằm ngang

45 Xét đường cong được cho bởi phương trình: x2.y2= x3+ y3

tuyến với đường cong tại điểm (2, 2)

1.7 Qui tắc L’hopital để tìm giới hạn ở dạng vô định

46 Sử dụng quy tắc L’hopital để tính các giới hạn sau:

a)

lim

x→0

cos x − 1sin xb)

lim

x→0

cos x − 1sin xc)

lim

x→∞

ln x

√xf)

!

= 1 −

√a

b where a = and b = .

1.8 Khảo sát hàm số, tìm cực trị địa phương, tìm GTLN và GTNN trênkhoảng đóng [a, b]

50 Tính đạo hàm của hàm số

y = 2x

2

1 − xBiết rằng

• Điểm dừng là điểm thuộc miền xác định của hàm số mà đạo hàm tại đó bằng 0;

• Điểm tới hạn là điểm thuộc miền xác định của hàm số mà đạo hàm tại đó bằng

0 hoặc đạo hàm không tồn tại

a) Các điểm dừng của hàm số là:

b) Các điểm tới hạn của hàm số là:

c) Vẽ bảng biến thiên và tìm các khoảng tăng/giảm của hàm số

d) Tìm GTLN và GTNN của hàm số trên R

51 Cho hàm số : f (x) = x4+ 2x3− 3x2− 4x + 4

a) Vẽ bảng biến thiên , tìm cực trị địa phương của hàm số trên R

b) Xét tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số trên R

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [−3, 2]

52 Cho hàm số sau: f (x) = 4 + 12x − 2x2− 4x3+ x4

a) Tìm tất cả các điểm dừng của hàm số f (x)

b) Xác định điểm cực tiểu địa phương,cực đại địa phương

c) Tìm GTLN , GTNN của hàm số f (x) trên đoạn [−2, 4]

Hint: Với các đa thức bậc từ 3 trở lên thường cho các bạn nghiệm trong nhóm:

±1, ±2 Chú ý thủ thuật đoán nghiệm: tổng các hệ số bằng 0 thì có nghiệm là x =

1, tổng các hệ số của x mũ chẵn bằng tổng các hệ sổ của x mũ lẻ thì có nghiệm

e) Tìm GTLN, GTNN của hàm số f (x) trên đoạn [−2, 3]

Hint: Hàm từng phần nhưng khảo sát trên cùng 1 bảng biến thiên từ −∞ đến+∞ Chú ý tính liên tục, khả vi tại điểm nối x = −1

54 Tìm khoảng tăng giảm và cực trị địa phương của hàm số:

55 Tìm khoảng tăng giảm và cực trị địa phương của hàm số: y = x3.p(2 − 3x)3 2

a) Tìm miền xác định của hàm số trên.

b) Tìm các điểm cực trị địa phương của hàm số:

c) Từ đó cho biết GTLN và GTNN của hàm số trên

57 Khảo sát hàm số: y = x

e2x trên Ra) Tìm cực đại và cực tiểu địa phương của hàm số trên R

b) Xét tính lồi lõm và điểm uốn của hàm số

58 Một công ty sản xuất thấy rằng khi x sản phẩm được bán ra thì lợi nhuận sẽ là

P (x) = −x3+ 150x2+ 7200x − 1200 (đơn vị: đô la)a) Tính lợi nhuân của công ty ở mức 0 và 150 sản phẩm

b) Tìm số sản phẩm bán ra để công ty đạt lợi nhuận cực đại Tính lợi nhuận cựcđại khi đó

59 Một công ty sản xuất thấy rằng khi x ngàn sản phẩm (đv: ngàn sản phẩm) được bán

ra thì giá của một sản phẩm trên thị trường sẽ là

2 Hàm nhiều biến

2.1 Đạo hàm riêng của hàm nhiều biến

62 Cho f (x, y) = ex+y+ xy Khi đó fx = và fy =

63 Cho f (x, y) = e2x+ y + ln y Khi đó fx(1, 1) = và fy(1, 1) =

64 Cho f (x, y) = sin(x+y)+cos(x2+y2) Khi đó fx(0, 1) = và fy(0, 1) =

65 Cho φ(x, y) = x2y − xy Khi đó φx(0, 1) = và φy(0, 1) =

69 Let f (x, y) = e−xsin(x + 2y) Then

71 Let f (x, y) = 5xe2y+ 2x2(y + 3) sin 1

xcos y for x 6= 0 and f (0, y) = 0 Then

2.2 Vi phân của hàm nhiều biến

77 Tìm vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số:

a) z(x, y) =px3+ y3

b) z(x, y) = ey+ ex+ 1

c) f (x, y) = sin(x.y)

d) f (x, y) = ex+y

78 Cho f (x, y) = xy ln x Tìm biểu thức của vi phân d2f (1, 2)

79 Cho f (x, y) = x2e2y Tìm biểu thức của vi phân d2f (1, 0)

82 Cho hàm số: z = f (x, y) = 4x − x2− 2y2

a) Tìm D(x, y) = fxx.fyy− f2

xy =b) Tìm các điểm cực trị địa phương của hàm số trên

2.4 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange

84 Tìm GTLN & GTNN của các hàm số f (x, y) với điều kiện tương ứng:

a) f (x, y) = x2+ y2 với điều kiện xy = 1;

b) f (x, y) = 4x + 6y với điều kiện x2+ y2 = 13;

c) f (x, y) = x + y với điều kiện x2+ y2= 32;

d) f (x, y, z) = 2x + 6y + 10z với điều kiện x2+ y2+ z2= 35

e) f (x, y) = x2y + y với điều kiện x2+ y2 = 5;

x → −√3, y → −√2, λ → −√2 ,

x → −√3, y →√2, λ →√2 ,

x →√3, y → −√2, λ → −√2 ,

x →√3, y →√2, λ →√2

A + B; A + C ; A + B − CT ; AT + αC ; (βC)T − B ; 4A + 2B − 5CT

86 Tìm ma trận X, biết rằng:

87 Cho 3 ma trận A,B,C như sau:

Hãy tính ma trận M = ABC bằng 2 cách sau:

2 2

 C =1 2

3 4



a) Tìm ma trận X, biết rằng A.B = A.C.X

91 Cho ma trận hệ số mở rộng như sau

4 1 0 01

3

1

3 1 01

2

12

Đi tìm A−1 bằng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận

h

A I

4

ivề

ma trận dạng hI4 A−1

i

4 Hệ phương trình tuyến tính

97 Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng PP Gauss:

x1+ 2x2+ 2x3 = 4

x1+ 3x2+ 3x3 = 52x1+ 6x2+ 5x3 = 6

Hint:Một nghiệm duy nhất (x1, x2, x3) = (2, −3, 4)

98 Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng PP Gauss:

x1+ 2x2+ 0x3+ x4 = 7

x1+ x2+ x3− x4 = 33x1+ x2+ 5x3− 7x4 = 1

Hint: S = (−1 − 2a + 3b, 4 + a − 2b, a, b)

Hint: Solution herehttp://linear.pugetsound.edu/html/section-SSLE.html

99 Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng PP Gauss:

4x − y + 5z = 2

−x + 2y − 3z = 32x + y + z = 1

Hint: Vô số nghiệm Tập nghiệm là:

100 Cho hệ phương trình sau:

x1+ 4x2+ 3x3− x4 = 5

x1− x2+ x3+ 2x4 = 64x1+ x2+ 6x3+ 5x4 = 9a) Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa và dạng chính tắc như sau:

b) Giải và biện luận số nghiệm của hệ phương trình trên

Hint: Rất nhiều bài tập tương tự ở đây:http://linear.pugetsound.edu/html/

section-TSS.html

101 Cho hệ phương trình sau:

102 Cho hệ phương trình sau:







2y+3z = 7x+ y− z = −2

103 Cho hệ phương trình sau:

(

x + ky = 1

kx + y = 1(a) Tìm k để hệ vô nghiệm

(b) Tìm nghiệm của hệ trong câu a

105 Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

(2)

5 Định thức

106 Biết ma trận A và B, hãy tính các định thức:

107 Cho A là ma trận vuông cấp 2 có det(A) = 2 Tìm định thức của ma trận 2A

108 Tìm định thức của ma trận A như sau:

2



112 Sử dụng qui tắc Sarus chứng minh đẳng thức sau:

113 Cho ma trận A như sau:

• Tìm det(A−1) ; det(AT) ; det(A3) ; det(3A)

114 Cho A và B là 2 ma trận vuông cấp 4 sao cho: |A| = −2 và |B| = 3 Hãy tìm:det(A−1) ; det(AB) ; det((AB)T) ; det(A3) ; det(3B)

115 Cho ma trận A vuông cấp 4 và |A| = 7 Hãy tìm:

116 Cho ma trận A,B như sau:

A =−1 1

2 0

 B = 1 −1

−2 0

.Tìm |A|, |B| và |A + B| Từ đó kết luận: |A| + |B| 6= |A + B|

117 Hãy tìm 1 ví dụ ma trận A2×2 và B2×2 sao cho : |A| + |B| = |A + B|

118 Cho 2 ma trận A và B như sau:

Hãy tìm |A|, |B|, |A.B| từ đó kết luận: |A|.|B| = |AB|

119 Chứng minh rằng với: mọi ma trận đơn vị In ta luôn có: det(I) = 1

120 Chứng minh rằng: nếu ma trận A khả đảo thì ta có: det(A−1) = 1

det(A)

121 Chứng minh rằng: với ma trận An×nvà hằng số c bất kì thì ta có: det(cA) = cn det(A)

6 Qui tắc Cramer

122 Cho hệ phương trình sau:

x + 2y − z = −4

x + 4y − 2z = −62x + m.y + z = 3a) Dùng định thức để giải hệ phương trình khi m = 3

b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo tham số m

123 Cho hệ phương trình sau:

mx + my + 2z = 1

−2x + my + mz = 1

x + y + (m + 1)z = 1Giải và biện luận hệ theo tham số m

124 Cho hệ phương trình sau:

(m − 1)x − 2y − z = 2

x + y − z = −1

−x + my + 2z = 1Giải và biện luận hệ theo tham số m

—–Hết—–