1.2 Giîi h¤n, Li¶n töc cõa h m sè9. Cho h m sè y = f(x) = x2 + 2.a) T½nh: f(3) v f(x + h)b) T½nh: f(x + h)
Bộ mơn Tốn Trường Đại học Kinh tế - Tài Tp.HCM BÀI TẬP TỐN CAO CẤP Năm học 2017–2018 Mục lục Hàm biến 1.1 Cơ hàm số 1.2 Giới hạn, Liên tục hàm số 1.3 Đạo hàm hàm số 1.4 Sử dụng công thức để tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 1.5 Đạo hàm ứng dụng để tìm tiếp tuyến điểm 1.6 Đạo hàm hàm ẩn 1.7 Qui tắc L’hopital để tìm giới hạn dạng vô định 1.8 Khảo sát hàm số, tìm cực trị địa phương, tìm GTLN GTNN khoảng đóng [a, b] 10 Hàm nhiều biến 2.1 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến 2.2 Vi phân hàm nhiều biến 2.3 Cực trị không điều kiện - Phương pháp đạo hàm cấp 2.4 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange 14 14 15 15 16 2 Ma trận phép toán ma trận 17 Hệ phương trình tuyến tính 20 Định thức 23 Qui tắc Cramer 25 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Hàm biến 1.1 Cơ hàm số 2x + x < Cho hàm số y = f (x) = 0≤x≤2 4−x x>2 a) Vẽ đồ thi hàm số f(x) b) Dựa vào đồ thị cho biết MXD MGT hàm số Cho biết MXD MGT hàm số sau: √ a) y = − x2 √ b) y = x2 − 16 2x ≤ x < c) y = f (x) = 2/x ≤ x < x ≥ Cho f (x) = 1+ 1+ x Khi đó: (a) f ( ) = (b) Miền xác định hàm số f (x) tất giá trị thực trừ điểm điểm √ − x2 − Cho hàm số f (x) = √ 25 − x2 Khi đó: Df = ( , ]∪[ , ) √ Tìm miền xác định miền giá trị f (x) = − x2 − Khi đó: Df = [ , ] Rf = [ √ x2 − √ Let f (x) = − 36 − x2 Tìm Miền xác định f (x) ? Cho g(x) = − x2 , h(x) = √ x + 13, j(x) = Khi hàm hợp (j ◦ h ◦ g)(3) = Cho h(x) = √ x 1 , j(x) = , g(x) = − x2 x x+6 Khi hàm hợp (g ◦ j ◦ h)(3) = Bài tập Toán Cao Cấp , ] , , Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 1.2 Giới hạn, Liên tục hàm số Cho hàm số y = f (x) = x2 + a) Tính: f (3) f (x + h) b) Tính: f (x + h) − f (x) f (x + h) − f (x) c) Tính: lim h→0 h 10 Tính giới hạn sau: x2 − x→0 − x x2 − x − lim x→1 ex x − 2x + lim x→1 x2 − x2 − 2x + lim x→1 x−1 x2 − lim x→1 − x x4 − 81 lim x→3 x − x2 + 5x lim x→5 x − 25 x2 − lim x→1 |x − 1| a) lim b) c) d) e) f) g) h) x2 − 16 x→4− x − x2 − 16 j) lim x→4+ x − i) lim 11 Tính giới hạn vơ cùng: x2 − x→∞ − x x2 b) lim √ x→∞ x c) lim √ x→∞ x a) lim x3 − x2 e) lim x→−∞ x − 7x4 + 6x2 + f) lim x→−∞ −3x3 − 7x d) lim x→−∞ x3 12 Khảo sát tính liên tục hàm số sau điểm tương ứng: a) f (x) = Bài tập Toán Cao Cấp ex x2 x < 0; x ≥ x = Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính cos x b) f (x) = − x2 c) f (x) = x < 0; x = 0; x > + x2 x ≤ 1; √ x − x > x = x = 13 Chứng minh hàm số sau liên tục R a) f (x) = x2 x < 1; √ x x ≥ b) f (x) = sin x x < π4 ; cos x x ≥ π4 14 Tìm c để hàm số sau liên tục x = 2: y = f (x) = cx2 + 2x x < 2; x3 − cx x ≥ Với giá trị trị c vừa tìm được, hàm số có liên tục R hay khơng? 15 Tìm k để hàm số sau liên tục x = 1: y = f (x) = ln(x) x ≥ 1; x2 + k x < Với giá trị trị k vừa tìm được, hàm số có liên tục R hay khơng? Kết là: k = −1 16 Tìm giá trị c để hàm số liên tục điểm tương ứng: a) f (x) = x3 − x < 1; c.x − x ≥ x = b) f (x) = sin x x < 0; cos x − c x ≥ x = Với giá trị c tìm được, cho biết hàm số có khả vi điểm hay không? 1.3 Đạo hàm hàm số 17 Cho hàm số f (x) = x2 − x Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm f (x) Dùng cơng thức: f (x + h) − f (x) = h→0 h √ 18 Cho hàm số f (x) = 5x − Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm f (x) Dùng công thức: f (x) = lim f (x + h) − f (x) = h→0 h f (x) = lim Bài tập Toán Cao Cấp Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính a − x a) Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm f (x) 19 Cho hàm số: f (x) = Hướng dẫn: f (x) = lim h→0 f (x + h) − f (x) = lim h→0 h a a −1 − −1 x+h x h = b) Sử dụng kết câu a để tính f (2) c) Hàm số có khả vi điểm x = 0? Tại sao? 20 Cho hàm số f (x) = |x| a) Hàm số có liên tục x = hay khơng? b) Hàm số có khả vi x = hay không? c) Nhận xét mối liên hệ tính liên tục tính khả vi hàm số điểm? 21 Khảo sát tính khả vi hàm số sau điểm tương ứng: a) f (x) = x3 − x < 1; x − 2x + x ≥ b) f (x) = x2 + x x > 0; sin x x ≤ x , 22 Let f (x) = 1, − 2x, a) Tính f (0) = x = x = for x ≤ for < x ≤ for x > , f (2) = , f (6) = b) Tính f (1) 1.4 Sử dụng công thức để tính đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 23 Tính đạo hàm cấp 1: y (x) = dy hàm số sau: dx a) y = (2x + 1)3 (x2 + 1) b) y = ((2x + 1)−1 + 3)−1 (x − 1)(x − 2) c) y = x−3 d) y = x3 − x2 − (1/x) e) y = x −x f) y = ln(ln x) 24 Tính đạo hàm cấp 1: y (x) = dy hàm số sau: dx a) y = sin 3x 3x b) y = tan Bài tập Tốn Cao Cấp Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính sin 3x + sin 3x d) y = e4x sin 2x ln x e) y = x c) y = 25 Tính đạo hàm cấp cấp hàm số y = f (x) sau: a) y = ln x b) y = 1/x √ c) y = x d) y = 1/x + e2x + ln(x2 ) e) y = 3(x2 + 1)(2x + 3) f) y = sin 3x 26 If f (x) = 5x−1/2 + 6x3/2 , then f (x) = axp + bxq where a = b= , and q = √ 12 27 If f (x) = 10 x3 + √ , then f (x) = axp + bxq where a = x b= , and q = 28 If f (x) = 9x4/3 + 25x2/5 , then f (x) = axp + bxq where a = , and q = b= ,p= , ,p= , ,p= √ 29 If f (x) = 18 x+ √ , then f (x) = axp +bxq where a = x3 b= , and q = , ,p= , 30 Let f (x) = ax2 + bx + c for all x We know that f (2) = 26, f (2) = 23, and f (2) = 14 Then f (1) = 31 Let f (x) = (x4 − x3 + x2 − x + 1)(3x3 − 2x2 + x − 1) Hãy tìm: f (1) Answer: 32 Let f (x) = x3/2 − x Then f (4) = where a = a 3x − x1/2 33 Let y = log3 (x2 + 1)1/3 Then 34 Let f (x) = ln dy 2x = where a = dx a(x2 + 1) (6 + sin2 x)10 a Then Df (π/6) = where a = (7 + sin x) 35 Let f (x) = ln(ln x) What is the domain of f ? , ) Answer: ( 1.5 Đạo hàm ứng dụng để tìm tiếp tuyến điểm 36 Hãy tìm hệ số góc tiếp tuyến điểm tương ứng a) y = f (x) = x3 + ex + sin(x) điểm x = b) y = ln(x − 1) + x2 điểm x = Bài tập Tốn Cao Cấp Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 37 Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến điểm tương ứng a) y = f (x) = 2x2 + 4x điểm (−2, 0) b) y = f (x) = − x2 điểm (1, 2) c) y = f (x) = điểm (1, 1) x − sin x d) y = f (x) = điểm (0, 1) x+1 38 Hãy tìm giá trị a cho tiếp tuyến đường cong y = điểm có y = Answer: a = √ x x = a cắt trục tung 39 Tìm giá trị k cho đường thẳng y = 6x + tiếp xúc với parabola y = x2 + k Answer: k = 40 Phương trình đường thẳng tiếp xúc với y = x3 qua điểm (0, 2) y = mx + b Khi đó: m = b = 1 41 Cho f (x) = x4 + x3 − 3x2 + Tìm tất giá trị x0 cho tiếp tuyến đường 4 cong y = f (x) điểm (x0 , f (x0 )) nằm ngang Answer: x0 = , , 42 What is the equation of the tangent line to the curve y = f (x) at the point on the curve whose x-coordinate is e2 ? Answer: y − a = (x − e2 ) where a = and b = b 1.6 Đạo hàm hàm ẩn 43 Tìm dy đường cong sau: dx a) x2 y = √ √ b) x + y = 25 c) xy = 3x2 y + 5y 1 + =9 d) x y 44 Xét đường cong cho phương trình: (x − 2)2 + (y − 1)2 = 25 Tìm điểm thuộc đường cong cho điểm ta có tiếp tuyến nằm ngang 45 Xét đường cong cho phương trình: x2 y = x3 + y Bài tập Toán Cao Cấp Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính a) Chứng minh rằng: dy 3x2 − 2xy = dx 2x y − 3y b) Tính dy điểm (2, 2) dx c) Viết phương trình đường thẳng tiếp tuyến với đường cong điểm (2, 2) Bài tập Toán Cao Cấp Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 1.7 Qui tắc L’hopital để tìm giới hạn dạng vơ định 46 Sử dụng quy tắc L’hopital để tính giới hạn sau: a) lim x→0 cos x − sin x b) cos x − x→0 sin x lim c) ex x→∞ x3 lim d) lim x→∞ ln x x e) ln x lim √ x→∞ x f) ex + e−x x→∞ ex − e−x lim g) lim x→∞ x2 + x − x2 − x 47 Suppose you know that the derivative of cos x is − sin x for every x Then √ π cos( + t) − = − where a = lim t→0 t a 48 Suppose you know that the derivative of sin x is cos x for every x Then √ lim x→−π/4 sin x + 4x + π = where a = a 49 Suppose you know that the derivative of sin x is cos x for every x Then lim 7π x→ 12 Bài tập Toán Cao Cấp √ √ 2 sin x − − 12x − 7π √ 1− a = where a = b and b = Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 1.8 Khảo sát hàm số, tìm cực trị địa phương, tìm GTLN GTNN khoảng đóng [a, b] 50 Tính đạo hàm hàm số y= 2x2 1−x Biết • Điểm dừng điểm thuộc miền xác định hàm số mà đạo hàm 0; • Điểm tới hạn điểm thuộc miền xác định hàm số mà đạo hàm đạo hàm không tồn a) Các điểm dừng hàm số là: b) Các điểm tới hạn hàm số là: c) Vẽ bảng biến thiên tìm khoảng tăng/giảm hàm số d) Tìm GTLN GTNN hàm số R 51 Cho hàm số : f (x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x + a) Vẽ bảng biến thiên , tìm cực trị địa phương hàm số R b) Xét tính lồi, lõm điểm uốn hàm số R c) Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn [−3, 2] 52 Cho hàm số sau: f (x) = + 12x − 2x2 − 4x3 + x4 a) Tìm tất điểm dừng hàm số f (x) b) Xác định điểm cực tiểu địa phương,cực đại địa phương c) Tìm GTLN , GTNN hàm số f (x) đoạn [−2, 4] Bài tập Tốn Cao Cấp 10 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Hint: Với đa thức bậc từ trở lên thường cho bạn nghiệm nhóm: ±1, ±2 Chú ý thủ thuật đốn nghiệm: tổng hệ số có nghiệm x = 1, tổng hệ số x mũ chẵn tổng hệ sổ x mũ lẻ có nghiệm x = −1 53 Cho hàm số: f (x) = − 2(x + 2)2 √ x+1−1 x < −1; x ≥ −1 a) Xét tính liên tục hàm số x = −1 b) Xét tính khả vi hàm số x = −1 c) Vẽ bảng biến thiên, tìm cực trị địa phương hàm số R d) Vẽ đồ thị hàm số f (x) e) Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) đoạn [−2, 3] Hint: Hàm phần khảo sát bảng biến thiên từ −∞ đến +∞ Chú ý tính liên tục, khả vi điểm nối x = −1 54 Tìm khoảng tăng giảm cực trị địa phương hàm số: x − x < f (x) = x3 3≤x≤5 1/x x>5 55 Tìm khoảng tăng giảm cực trị địa phương hàm số: y = x3 (2 − 3x)2 56 Cho hàm số: y = Bài tập Toán Cao Cấp √ −2x4 + x2 + 11 Bộ môn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính a) Tìm miền xác định hàm số b) Tìm điểm cực trị địa phương hàm số: c) Từ cho biết GTLN GTNN hàm số x R e2x a) Tìm cực đại cực tiểu địa phương hàm số R 57 Khảo sát hàm số: y = b) Xét tính lồi lõm điểm uốn hàm số 58 Một công ty sản xuất thấy x sản phẩm bán lợi nhuận P (x) = −x3 + 150x2 + 7200x − 1200 (đơn vị: đô la) a) Tính lợi nhn cơng ty mức 150 sản phẩm b) Tìm số sản phẩm bán để cơng ty đạt lợi nhuận cực đại Tính lợi nhuận cực đại Bài tập Tốn Cao Cấp 12 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 59 Một cơng ty sản xuất thấy x ngàn sản phẩm (đv: ngàn sản phẩm) bán giá sản phẩm thị trường p(x) = 1200 + 16 x2 (Đơn vị: đô la) a) Viết hàm doanh thu R(x) (cho biết rõ đơn vị) b) Tìm số sản phẩm bán để cơng ty đạt doanh thu cực đại Tính doanh thu cực đại 60 Tìm GTLN GTNN hàm số sau miền tương ứng: a) f (x) = x3 − 3x + [0, 2] b) f (x) = x3 − 3x2 + 3x − [0, 2] c) f (x) = e−x − e−2x [0, 1] d) f (x) = + ln x [0, 2] x 61 Cho hàm số: f (x) = x2 − 6x + x ≥ x+2 x < a) Xét tính liên tục hàm số x = b) Xét tính khả vi hàm số x = c) Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) đoạn [−2, 4] d) Vẽ đồ thi hàm số f (x) Bài tập Toán Cao Cấp 13 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Hàm nhiều biến 2.1 Đạo hàm riêng hàm nhiều biến 62 Cho f (x, y) = ex+y + xy Khi fx = fy = 63 Cho f (x, y) = e2x + y + ln y Khi fx (1, 1) = fy (1, 1) = 64 Cho f (x, y) = sin(x+y)+cos(x2 +y ) Khi fx (0, 1) = 65 Cho φ(x, y) = x2 y − xy Khi φx (0, 1) = fy (0, 1) = φy (0, 1) = 66 Cho φ(x, y) = ex ln y Khi φx (0, e) = φy (0, e) = 67 Cho f (x, y, z) = 3xy + z ex and a = (ln 2, 1, −2) Khi ∂f ∂f ∂f , , and (a) = (a) = (a) = ∂x ∂y ∂z u u+v Then φu (1, 2) = 68 Let φ(u, v) = and φv (1, 2) = 69 Let f (x, y) = e−x sin(x + 2y) Then π π ∂f ∂f (0, ) = (0, ) = and ∂x ∂y 70 Let f (x, y) = xy(x2 − y )(x2 + y )−1 if (x, y) = (0, 0) and f (0, 0) = Then fxy (0, 0) = and fyx (0, 0) = 71 Let f (x, y) = 5xe2y + 2x2 (y + 3) sin cos y for x = and f (0, y) = Then x ∂f (0, 0) = ∂x 72 Tính đạo hàm sau: ∂ 2x−y a) (e ) ∂x ∂ 2x−y b) (e ) ∂y ∂ c) (2x2 − xy + exy ) ∂x ∂ (2x2 − xy + exy ) d) ∂y ∂ e) (2x2 exy − xy + 2x + 1) ∂y ∂ cos(x + y) f) ( ) ∂x x2 + y ∂ xyz √ g) (e − xy + yz + zx) ∂x ∂2 h) (exyz + xy + yz + zx) ∂x∂y Bài tập Toán Cao Cấp 14 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 73 Cho f (x, y) = exy ∂f Tính (1, 1) y x +y ∂y 74 Cho f (x, y, z) = x2 y + y x + z x + 2z Tính 75 Cho z = x2 + 2y , 76 Cho z = x2 y, x = sin t, x = s − t, √ ∂f 1, 2, −1 ∂z y = sin t y = 2s + 4t; Tìm Tìm ∂z ∂t ∂z điểm s = 1, t = ∂s 2.2 Vi phân hàm nhiều biến 77 Tìm vi phân toàn phần cấp hàm số: a) z(x, y) = x3 + y b) z(x, y) = ey + ex + c) f (x, y) = sin(x.y) d) f (x, y) = ex+y 78 Cho f (x, y) = xy ln x Tìm biểu thức vi phân d2 f (1, 2) 79 Cho f (x, y) = x2 e2y Tìm biểu thức vi phân d2 f (1, 0) 80 Tìm vi phần toàn phần cấp của: a) f (x, y) = xey b) f (x, y) = ex.y c) f (x, y) = x.y d) z = yex + xey 2.3 Cực trị không điều kiện - Phương pháp đạo hàm cấp 81 Cho hàm số: z = f (x, y) = 4y + x2 + 2y a) Tìm giá trị sau: ∂f = ∂x ∂f = ∂y = D(x, y) = fxx fyy − fxy b) Tìm điểm cực trị địa phương hàm số 82 Cho hàm số: z = f (x, y) = 4x − x2 − 2y 2 = a) Tìm D(x, y) = fxx fyy − fxy b) Tìm điểm cực trị địa phương hàm số 83 Khảo sát cực trị địa phương hàm số: a) f (x, y) = 3x − x3 − 2y + y Bài tập Toán Cao Cấp 15 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính b) g(x, y) = x4 + y − 4xy + c) f (x, y) = x + ln x − y d) f (x, y) = xey + yex + e) f (x, y) = x2 − y − ln(y) − f) f (x, y) = x ln y2 x + 3x − xy 2.4 Cực trị có điều kiện - Phương pháp nhân tử Lagrange 84 Tìm GTLN & GTNN hàm số f (x, y) với điều kiện tương ứng: a) f (x, y) = x2 + y với điều kiện xy = 1; Hướng dẫn: Đặt hàm phụ Lagrange: L(x, y, λ) = f (x, y) − λg(x, y) = Giải hệ phương trình đạo hàm riêng để tìm điểm dừng: Lx = Ly = ⇔ Lλ = Cho ta điểm dừng (x, y, λ) = b) f (x, y) = 4x + 6y với điều kiện x2 + y = 13; c) f (x, y) = x + y với điều kiện x2 + y = 32; d) f (x, y, z) = 2x + 6y + 10z với điều kiện x2 + y + z = 35 e) f (x, y) = x2 y + y với điều kiện x2 + y = 5; Hint: điểm dừng: √ x → 0, y → − 5, λ → − 2√ √ x → 0, y → 5, λ → 2√ , √ √ √ x → − 3, y → − 2, λ → − , √ √ √ x → − 3, y → 2, λ → , √ √ √ x → 3, y → − 2, λ → − , √ √ √ x → 3, y → 2, λ → Bài tập Toán Cao Cấp 16 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Ma trận phép tốn ma trận 85 Cho biết: 4 −3 A= ;B= ; C = 0; α = β = 1/2 −2 −6 −2 Hãy tính: A + B; A + C ; A + B − C T ; AT + αC ; (βC)T − B ; 4A + 2B − 5C T 86 Tìm ma trận X, biết rằng: 87 Cho ma trận A,B,C sau: Hãy tính ma trận M = ABC cách sau: a) Tính A(BC) b) Tính (AB)C 88 Cho ma trận A,B,C sau: A= 1 1 B= 2 2 C= a) Tìm ma trận X, biết A.B = A.C.X b) Tìm ma trận X, biết A + 2CX = B 89 Cho ma trận A sau: −2 A= a) Tìm ma trận (A2 )T b) Tìm ma trận A3 90 Tìm x y cho 2A − B = I nếu: Bài tập Toán Cao Cấp 17 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 91 Cho ma trận hệ số mở rộng sau 0 | a A = 2 | b 1 | c Hãy biến đổi ma trận dạng bậc thang Từ cho biết với điều kiện a, b, c để hạng ma trận r(A) = ? 92 Tìm m để ma trận sau có hạng 2: −1 A = 1 −1 3 −2 m 93 Tìm hạng ma trận sau: 1 2 −1 A= 1 2 4 2 −1 B= 2 4 94 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: 1 4 A= 1 3 1 0 1 95 Tìm ma trận nghịch đảo ma trận sau: −1 A= 2 Bài tập Toán Cao Cấp 18 1 2 0 0 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính − 12 0 96 Cho ma trận A = 2 − 21 1 1 2 0 Đi tìm A−1 phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa ma trận ma trận dạng I4 A−1 X2 0 −−→ 0 − 12 0 1 2 − 21 1 2 2 − 43 − 14 0 − 12 12 X4 0 −−→ 0 − 2 2 0 0 X1 −−→ 1 0 0 2 − 12 − 21 X3 0 − 21 −−→ 0 0 −1 − 14 19 2 2 − 43 − 14 1 0 2 12 21 X5 0 −1 −−→ 0 1 0 21 12 21 X7 0 −1 −−→ 0 0 13 12 21 X9 0 0 −−→ 0 0 0 X11 0 0 −−→ 0 0 0 12 1 12 X6 0 −1 −−→ 0 1 0 31 21 12 X8 0 −1 −−→ 0 0 12 X10 0 0 −−→ 0 0 Bài tập Toán Cao Cấp 2 A I4 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Hệ phương trình tuyến tính 97 Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau PP Gauss: x1 + 2x2 + 2x3 = x1 + 3x2 + 3x3 = 2x1 + 6x2 + 5x3 = Hint:Một nghiệm (x1, x2, x3) = (2, −3, 4) 98 Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau PP Gauss: x1 + 2x2 + 0x3 + x4 = x1 + x2 + x3 − x4 = 3x1 + x2 + 5x3 − 7x4 = Hint: S = (−1 − 2a + 3b, + a − 2b, a, b) Hint: Solution here http://linear.pugetsound.edu/html/section-SSLE.html 99 Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình sau PP Gauss: 4x − y + 5z = −x + 2y − 3z = 2x + y + z = Hint: Vô số nghiệm Tập nghiệm là: 100 Cho hệ phương trình sau: x1 + 4x2 + 3x3 − x4 = x1 − x2 + x3 + 2x4 = 4x1 + x2 + 6x3 + 5x4 = a) Sử dụng phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa dạng tắc sau: 1 −1 1 −1 6 − → 0 7/5 7/5 2/5 −3/5 0 0 b) Giải biện luận số nghiệm hệ phương trình Hint: Rất nhiều tập tương tự đây: http://linear.pugetsound.edu/html/ section-TSS.html Bài tập Toán Cao Cấp 20 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 101 Cho hệ phương trình sau: x + y + z = x + 3y + 3z = x+ 3y+ 6z = (∗) (a) Sử dụng phương pháp Gauss để đưa ma trận hệ số mở rộng dạng bậc thang 1 a 0 1 b Trong a = ,b= , c = 0 c (b) Sử dụng pháp Gauss-Jordan để đưa ma trận hệ số mở rộng dạng phương 0 d ,e= , f = tắc 0 e Trong d = 0 f (c) Nghiệm hệ (∗) x = ,y= , z = 102 Cho hệ phương trình sau: 2y+3z = x+ y− z = −2 −x+ y−5z = Ta tìm nghiệm hệ cách áp dụng PP Gauss-Jordan cho ma trận hệ số mở rộng A = 1 −1 −2 −1 −5 Hãy cho biết các phép biến đổi X1 , , X8 gì? 1 −1 −2 1 −1 −2 1 −1 −2 X3 X2 X1 0 0 0 7 −−→ −−→ A −−→ 0 −9 −9 −6 −2 −1 −5 1 −1 −2 1 −1 −2 1 −1 −2 X4 X5 X6 0 0 0 −−→ −−→ 2 −−→ 0 1 0 1 0 1 1 −1 0 −3 X7 X8 0 − −−→ −→ 0 0 1 0 1 Answer: X1 = X5 = Bài tập Toán Cao Cấp , X2 = , X6 = , X3 = , X7 = 21 , X4 = , X8 = , Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 103 Cho hệ phương trình sau: x + ky = kx + y = (a) Tìm k để hệ vơ nghiệm Answer: (b) Tìm k để hệ có nghiệm Answer: Nghiệm : x= y = (c) Tìm k để hệ có vơ số nghiệm Answer: 104 Cho hệ phương trình sau: x − y − 3z = 2x + z=0 2y + 7z = c (a) Tìm giá trị c để hệ có nghiệm Answer: c = (b) Tìm nghiệm hệ câu a 105 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss x+ y+ z =6 x + 2y + 2z = 11 2x + 3y − 4z = Bài tập Toán Cao Cấp x+ y+ z =7 x + 2y + 2z = 10 2x + 3y − 4z = 22 (1) (2) Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Định thức 106 Biết ma trận A B, tính định thức: 107 Cho A ma trận vuông cấp có det(A) = Tìm định thức ma trận 2A 108 Tìm định thức ma trận A sau: 0 a) A = 0 0 0 −2 b) A = 3 −1 m c) A = −1 2 m 109 Tìm định thức ma trận A sau: 39 49 5 32 37 (a) det 3 4 = 1 1 1 1 −1 (b) det 2 −1 = 17 −5 13 −8 0 −4 (c) det −2 = 110 Tìm m để định thức ma trận sau 2 a) A = m m 2m b) B = m2 −1 111 Cho ma trận A sau: A = Bài tập Tốn Cao Cấp 1 Tìm Det(2A−1 )T 23 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 112 Sử dụng qui tắc Sarus chứng minh đẳng thức sau: 113 Cho ma trận A sau: A= 1 2 • Tìm A−1 • Tìm det(A) • Tìm det(A−1 ) ; det(AT ) ; det(A3 ) ; det(3A) 114 Cho A B ma trận vuông cấp cho: |A| = −2 |B| = Hãy tìm: det(A−1 ) ; det(AB) ; det((AB)T ) ; det(A3 ) ; det(3B) 115 Cho ma trận A vng cấp |A| = Hãy tìm: 116 Cho ma trận A,B sau: A= −1 B= −1 −2 Tìm |A|, |B| |A + B| Từ kết luận: |A| + |B| = |A + B| 117 Hãy tìm ví dụ ma trận A2×2 B2×2 cho : |A| + |B| = |A + B| 118 Cho ma trận A B sau: Hãy tìm |A|, |B|, |A.B| từ kết luận: |A|.|B| = |AB| 119 Chứng minh với: ma trận đơn vị In ta ln có: det(I) = 120 Chứng minh rằng: ma trận A khả đảo ta có: det(A−1 ) = det(A) 121 Chứng minh rằng: với ma trận An×n số c ta có: det(cA) = cn det(A) Bài tập Tốn Cao Cấp 24 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính Qui tắc Cramer 122 Cho hệ phương trình sau: x + 2y − z = −4 x + 4y − 2z = −6 2x + m.y + z = a) Dùng định thức để giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m 123 Cho hệ phương trình sau: mx + my + 2z = −2x + my + mz = x + y + (m + 1)z = Giải biện luận hệ theo tham số m 124 Cho hệ phương trình sau: (m − 1)x − 2y − z = x + y − z = −1 −x + my + 2z = Giải biện luận hệ theo tham số m —–Hết—– Bài tập Toán Cao Cấp 25 ... − x2 − (1/x) e) y = x −x f) y = ln(ln x) 24 Tính đạo hàm cấp 1: y (x) = dy hàm số sau: dx a) y = sin 3x 3x b) y = tan Bài tập Toán Cao Cấp Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính sin 3x + sin 3x... A= 2 Bài tập Toán Cao Cấp 18 1 2 0 0 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính − 12 0 96 Cho ma trận A = 2 − 21 1 1 2 0 Đi tìm A−1 phép biến đổi sơ cấp dòng... biện luận số nghiệm hệ phương trình Hint: Rất nhiều tập tương tự đây: http://linear.pugetsound.edu/html/ section-TSS.html Bài tập Toán Cao Cấp 20 Bộ mơn Tốn – Đại học Kinh tế Tài Chính 101 Cho