Bài tập toán cao cấp part 2 pdf

7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 15 Tu . o . ng tu . . lim b n =1. D ˆe ’ t`ım gi´o . iha . ncu ’ a c n ta s˜e ´ap du . ng Nguyˆen l´ybi . ch˘a . n hai ph´ıa. Mˆo . tm˘a . t ta c´o: c n < 1 √ n 2 +1 + 1 √ n 2 +1 + ···+ 1 √ n 2 +1 = n √ n 2 +1 = b n nhu . ng m˘a . t kh´ac: c n > 1 √ n 2 + n + 1 √ n 2 + n + ···+ 1 √ n 2 + n = a n . Nhu . vˆa . y a n <c n <b n v`a lim n→∞ a n = lim n→∞ b n =1. T`u . d´o suy ra lim n→∞ c n =1.  V´ı du . 5. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay (q n ) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o . nnˆe ´ u |q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1. Gia ’ i. 1) Gia ’ su . ’ |q| > 1. Ta lˆa ´ ysˆo ´ A>0bˆa ´ tk`y. T`u . d˘a ’ ng th´u . c |q| n >Ata thu du . o . . c n>log |q| A.Nˆe ´ u ta lˆa ´ y N = [log |q| A]th`ı∀n>N ta c´o |q| n >A.Dod´o d˜ay (q n ) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o . n. 2) Gia ’ su . ’ |q| < 1, q = 0. Khi d´o q n =  1 q  n  −1 .V`ı    1 q    > 1nˆen d˜ay   1 q  n  l`a d˜ay vˆo c`ung l´o . n v`a do d´o d˜ay   1 q  n  −1  l`a vˆo c`ung b´e, t´u . c l`a d˜ay (q n ) l`a d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1. 3) Nˆe ´ u q =0th`ıq n =0,|q| n <ε∀n v`a do d´o(q n ) l`a vˆo c`ung b´e.  B ` AI T ˆ A . P T`ım gi´o . iha . n lim n→∞ a n nˆe ´ u 1. a n = n 2 −n n − √ n .(DS. ∞) 2. a n = n 2 (n − √ n 2 + 1). (DS. −∞) 16 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ 3. a n = 1+2+3+···+ n √ 9n 4 +1 .(D S. 1/6) 4. a n = √ n cos n n +1 .(DS. 0) 5. a n = 5n n +1 + sin n n .(DS. 5) 6. a n = n 3 n 2 +1 − 3n 2 3n +1 .(DS. 1/3) 7. a n = n n +11 − cos n 10n .(DS. 1) 8. a n = n 3 +1 n 2 − 1 (DS. ∞) 9. a n = cos n 3 n − 3n 6n +1 .(DS. − 1 2 ) 10. a n = (−1) n 5 √ n +1 .(D S. 0) 11. a n = √ n 2 +1+ √ n 3 √ n 3 + n − √ n .(DS. +∞) 12. a n = 3 √ 1 − n 3 + n.(DS. 0) 13. a n = √ n 2 +4n 3 √ n 3 − 3n 2 .(DS. 1) 14. a n = (n + 3)! 2(n + 1)! − (n + 2)! .(DS. −∞) 15. a n = 2+4+···+2n n +2 − 2. (DS. −1) 16. a n = n − 3 √ n 3 − n 2 .(DS. 1 3 ) 17. a n = 1 − 2+3− 4+5−···−2n √ n 2 +1+ √ 4n 2 +1 .(D S. − 1 3 ) 18. a n = 1 1 · 2 + 1 2 · 3 + ···+ 1 n(n +1) . Chı ’ dˆa ˜ n. ´ Ap du . ng 1 n(n +1) = 1 n − 1 n +1 (DS. 1) 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 17 19. a n =1− 1 3 + 1 9 − 1 27 + ···+ (−1) n−1 3 n−1 .(DS. 3 4 ) 20. a n = 2 n+1 +3 n+1 2 n +3 n .(DS. 3) 21. a n = n +(−1) n n − (−1) n .(DS. 1) 22. a n =  1 √ n  1 √ 1+ √ 3 + 1 √ 3+ √ 5 + ···+ 1 √ 2n − 1+ √ 2n +1 Chı ’ dˆa ˜ n. Tru . c c˘an th´u . co . ’ mˆa ˜ usˆo ´ c´ac biˆe ’ uth´u . c trong dˆa ´ u ngo˘a . c. (D S. 1 √ 2 ) 23. a n = 1 1 · 2 · 3 + 1 2 · 3 · 4 + ···+ 1 n(n + 1)(n +2) Chı ’ dˆa ˜ n. Tru . ´o . chˆe ´ ttach´u . ng minh r˘a ` ng 1 n(n + 1)(n +2) = 1 2  1 n(n +1) − 1 (n + 1)(n +2)  (D S. 1 4 ) 24. a n = 1 a 1 a 2 + 1 a 2 a 3 + ···+ 1 a n a n+1 .(DS. 1 a 1 d ) trong d´o {a n } l`a cˆa ´ psˆo ´ cˆo . ng v´o . i cˆong sai d =0,a n =0. 25. a n =(1− 1/4)(1 − 1/9) ···(1 − 1/(n +1) 2 ). (DS. 1 2 ) Chı ’ dˆa ˜ n. B˘a ` ng quy na . p to´an ho . cch´u . ng to ’ r˘a ` ng a n = n +2 2n +2 . 7.1.3 Ch´u . ng minh su . . hˆo . itu . cu ’ a d˜ay sˆo ´ du . . a trˆen d iˆe ` ukiˆe . ndu ’ dˆe ’ d˜ay hˆo . itu . (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) D˜ay sˆo ´ a n du . o . . cgo . i l`a: i) D˜ay t˘ang nˆe ´ u a n+1 >a n ∀n ii) D˜ay gia ’ mnˆe ´ u a n+1 <a n ∀n C´ac d˜ay t˘ang ho˘a . c gia ’ mc`ond u . o . . cgo . i l`a d˜ay d o . nd iˆe . u. Ta lu . u´y r˘a ` ng d˜ay d o . ndiˆe . u bao gi`o . c˜ung bi . ch˘a . n ´ıt nhˆa ´ t l`a mˆo . tph´ıa. Nˆe ´ u d˜ay 18 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ do . nd iˆe . u t˘ang th`ı n´o bi . ch˘a . ndu . ´o . ibo . ’ isˆo ´ ha . ng d ˆa ` u tiˆen cu ’ a n´o, d˜ay do . nd iˆe . u gia ’ mth`ıbi . ch˘a . n trˆen bo . ’ isˆo ´ ha . ng d ˆa ` u. Ta c´o di . nh l´y sau dˆay thu . `o . ng du . o . . csu . ’ du . ng dˆe ’ t´ınh gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay do . ndiˆe . u. D - i . nh l´y Bolzano-Weierstrass. D˜ay do . nd iˆe . u v`a bi . ch˘a . n th`ı hˆo . itu . . Di . nh l´y n`ay kh˘a ’ ng di . nh vˆe ` su . . tˆo ` nta . icu ’ a gi´o . iha . n m`a khˆong chı ’ ra d u . o . . cphu . o . ng ph´ap t`ım gi´o . iha . nd´o. Tuy vˆa . y, trong nhiˆe ` u tru . `o . ng ho . . p khi biˆe ´ t gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay tˆo ` nta . i, c´o thˆe ’ chı ’ ra phu . o . ng ph´ap t´ınh n´o. Viˆe . c t´ınh to´an thu . `o . ng du . . a trˆen d˘a ’ ng th´u . cd´ung v´o . imo . i d˜ay hˆo . i tu . : lim n→∞ a n+1 = lim n→∞ a n . Khi t´ınh gi´o . iha . ndu . . atrˆend˘a ’ ng th´u . cv`u . a n ˆe u t i ˆe . nlo . . iho . nca ’ l`a su . ’ du . ng c´ach cho d˜ay b˘a ` ng cˆong th´u . c truy hˆo ` i. C ´ AC V ´ IDU . V´ı du . 1. Ch´u . nh minh r˘a ` ng d˜ay: a n = 1 5+1 + 1 5 2 +1 + ···+ 1 5 n +1 hˆo . itu . . Gia ’ i. D˜ay d ˜achodo . ndiˆe . u t˘ang. Thˆa . tvˆa . yv`ı: a n+1 = a n + 1 5 n+1 +1 nˆen a n+1 >a n . D˜ay d ˜a cho bi . ch˘a . n trˆen. Thˆa . tvˆa . y: a n = 1 5+1 + 1 5 2 +1 + 1 5 3 +1 + ···+ 1 5 n +1 < 1 5 + 1 5 2 + ···+ 1 5 n = 1 5 − 1 5 n+1 1 − 1 5 = 1 4  1 − 1 5 n  < 1 4 · Nhu . vˆa . y d˜ay a n d˜achodo . nd iˆe . u t˘ang v`a bi . ch˘a . n trˆen nˆen n´o hˆo . i tu . .  7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 19 V´ı du . 2. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay a n = 2 n n! hˆo . itu . v`a t`ım gi´o . iha . ncu ’ a n´o. Gia ’ i. D˜ay d ˜a cho c´o da . ng 2 1 , 2 2 2 , , 2 n n! , D˜ay a n do . nd iˆe . u gia ’ m. Thˆa . tvˆa . y a n+1 a n = 2 n+1 (n + 1)! : 2 n n! = 2 n +1 < 1 ∀n>1. Do d´o a n+1 <a n v`a d˜ay bi . ch˘a . n trˆen bo . ’ i phˆa ` ntu . ’ a 1 . Ngo`ai ra a n > 0, ∀n nˆen d˜ay bi . ch˘a . ndu . ´o . i. Do d´o d˜ay do . ndiˆe . u gia ’ m v`a bi . ch˘a . n. N´o hˆo . itu . theo d i . nh l´y Weierstrass. Gia ’ su . ’ a l`a gi´o . iha . ncu ’ a n´o. Ta c´o: a n+1 a n = 2 n +1 ⇒ a n+1 = 2 n +1 a n . T`u . d´o lim a n+1 = lim 2a n n +1 = lim 2 n +1 lim a n v`a nhu . vˆa . y: a =0· a → a = 0. Vˆa . y: lim 2 n n! =0.  V´ı d u . 3. Cho d˜ay a n = √ 2, a n+1 = √ 2a n .Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay hˆo . i tu . v`a t`ım gi´o . iha . ncu ’ a n´o. Gia ’ i. Hiˆe ’ n nhiˆen r˘a ` ng: a 1 <a 2 <a 3 < ···<.D´o l`a d˜ay do . ndiˆe . u t˘ang v`a bi . ch˘a . ndu . ´o . ibo . ’ isˆo ´ √ 2. Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng n´o bi . ch˘a . n trˆen bo . ’ isˆo ´ 2. Thˆa . tvˆa . y a 1 = √ 2; a 2 = √ 2a 1 < √ 2 · 2=2. Gia ’ su . ’ d˜ach´u . ng minh du . o . . cr˘a ` ng a n  2. Khi d´o: a n+1 = √ 2a n  √ 2 · 2=2. 20 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ Vˆa . y theo tiˆen dˆe ` quy na . p ta c´o a n  2 ∀n. Nhu . thˆe ´ d˜ay a n do . nd iˆe . u t˘ang v`a bi . ch˘a . n nˆen n´o c´o gi´o . iha . nd ´o l`a a. Ta c´o: a n+1 = √ 2a n ⇒ a 2 n+1 =2a n . Do d ´o: lim a 2 n+1 = 2 lima n hay a 2 − 2a = 0 v`a thu du . o . . c a 1 =0,a 2 =2. V`ı d˜ay d o . ndiˆe . u t˘ang ∀n nˆen gi´o . iha . n a =2.  V´ı du . 4. Ch´u . ng minh t´ınh hˆo . itu . v`a t`ım gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay x 1 = √ a; x 2 =  a + √ a, , x n =  a +  a + ···+ √ a, a > 0,n dˆa ´ u c˘an. Gia ’ i. i) R˜o r`ang: x 1 <x 2 <x 3 < ···<x n <x n+1 < ngh˜ıa l`a d˜ay d ˜a cho l`a d˜ay t˘ang. ii) Ta ch´u . ng minh d˜ay x n l`a d˜ay bi . ch˘a . n. Thˆa . tvˆa . y, ta c´o: x 1 = √ a< √ a +1 x 2 =  a + √ a<  a + √ a +1<  a +2 √ a +1= √ a +1. Gia ’ su . ’ d ˜ach´u . ng minh d u . o . . cr˘a ` ng: x n < √ a +1. Ta cˆa ` nch´u . ng minh x n+1 < √ a + 1. Thˆa . tvˆa . y, ta c´o: x n+1 = √ a + x n <  a + √ a +1<  a +2 √ a +1= √ a +1. Do d´o nh`o . ph´ep quy na . p to´an ho . ctad ˜ach´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay d ˜a cho bi . ch˘a . n trˆen bo . ’ i √ a +1. 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 21 iii) Dˆe ’ t`ım gi´o . iha . ntax´et hˆe . th ´u . c x n = √ a + x n−1 hay x 2 n = a + x n−1 . T`u . d´o : lim x 2 n = lim(a + x n−1 )=a + lim x n−1 hay nˆe ´ u gia ’ thiˆe ´ t lim x n = A th`ı: A 2 = a + A → A 2 − A − a =0v`a A 1 = 1+ √ 1+4a 2 ,A 2 = 1 − √ 1+4a 2 · V`ı A 2 < 0 nˆen gi´a tri . A 2 bi . loa . iv`ıx n > 0. Do d´o; lim x n = 1+ √ 1+4a 2 ·  V´ı du . 5. T`ım gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay a n du . o . . c x´ac di . nh nhu . sau: a 1 l`a sˆo ´ t`uy ´y m`a 0 <a 1 < 1,a n+1 = a n (2 − a n ) ∀n  1. (7.10) Gia ’ i. i) D ˆa ` u tiˆen ch ´u . ng minh r˘a ` ng a n bi . ch˘a . n, m`a cu . thˆe ’ l`a b˘a ` ng ph´ep quy na . p to´an ho . ctach´u . ng minh r˘a ` ng 0 <a n < 1. (7.11) Tac´o0<a 1 < 1. Gia ’ su . ’ (7.11) d ˜adu . o . . cch´u . ng minh v´o . i n v`a ta s˜e ch´u . ng minh (7.11) d´ung v´o . i n +1. T`u . (7.10) ta c´o; a n+1 =1− (1 − a n ) 2 . T`u . hˆe . th ´u . c n`ay suy ra 0 < (1 − a n ) 2 < 1, v`ı 0 <a n < 1. T`u . d ´o suy ra: 0 <a n+1 < 1 ∀n. ii) Bˆay gi`o . ta ch´u . ng minh r˘a ` ng a n l`a d˜ay t˘ang. Thˆa . tvˆa . y, v`ı a n < 1nˆen2− a n > 1. Chia (7.10) cho a n ta thu du . o . . c: a n+1 a n =2− a n > 1. 22 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ T`u . d ´o a n+1 >a n ∀n.Nhu . vˆa . y d˜ay a n do . nd iˆe . u t˘ang v`a bi . ch˘a . n. Do d´o theo di . nh l´y Weierstrass, lim A n tˆo ` nta . i v`a ta k ´yhiˆe . u n´o l`a a. iii) T`u . (7.10) ta c´o: lim a n+1 = lim a n · lim(2 −a n ) hay a = a(2 − a). T`u . d´o a =0v`aa =1. V`ıx 1 > 0 v`a d˜ay a n t˘ang nˆen a =1=lima n .  V´ı du . 6. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay a n = n! n n hˆo . itu . v`a t`ım gi´o . iha . ncu ’ a n´o. Gia ’ i. i) Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay a n do . nd iˆe . u gia ’ m, thˆa . tvˆa . y: a n+1 = (n + 1)! (n +1) n+1 = n! (n +1) n = n! n n · n n (n +1) n = n n (n +1) n a n v`ı n n (n +1) n < 1nˆena n+1 <a n . V`ı a n > 0nˆenn´obi . ch˘a . ndu . ´o . iv`adod´o lim a n tˆo ` nta . i, k´yhiˆe . u lim a n = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a n  0. ii) Ta ch´u . ng minh a = 0. Thˆa . tvˆa . y ta c´o: (n +1) n n n =  n +1 n  n =  1+ 1 n  n  1+ n n =2. Do d´o: n n (n +1) n < 1 2 v`a a n+1 < 1 2 a n . Chuyˆe ’ n qua gi´o . iha . ntad u . o . . c a  a 2 ⇒ a =0.  B ` AI T ˆ A . P 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 23 1. Cho c´ac d˜ay sˆo ´ : 1) a n = 5n 2 n 2 +3 · 2) b n =(−1) n 2n n +1 sin n. 3) c n = n cos πn. H˜ay chı ’ ra d˜ay n`ao bi . ch˘a . n v`a d˜ay n`ao khˆong bi . ch˘a . n. (D S. 1) v`a 2) bi . ch˘a . n; 3) khˆong bi . ch˘a . n) 2. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay: a 1 = a 0 a + a 0 ,a 2 = a 1 a + a 1 ,a 3 = a 2 a + a 2 , , a n = a n−1 a + a n−1 , (a>1,a 0 > 0) hˆo . itu . . 3. Ch´u . ng minh c´ac d˜ay sau d ˆay hˆo . itu . 1) a n = n 2 − 1 n 2 2) a n =2+ 1 2! + 1 3! + ···+ 1 n! Chı ’ dˆa ˜ n. T´ınh bi . ch˘a . ndu . o . . csuyt`u . n!  2 n−1 v`a do d´o a n  2+ 1 2 + 1 2 2 + ···+ 1 2 n−1 =3− 1 2 n−1 < 3. 4. Ch´u . ng minh c´ac d˜ay sau d ˆay hˆo . itu . v`a t`ım gi´o . iha . n a cu ’ ach´ung 1) a 1 = k √ 5, a n+1 = k √ 5a n , k ∈ N.(DS. k−1 √ 5) 2) a n = 2 n (n + 2)! Chı ’ dˆa ˜ n. a n+1 a n = 2 n +3 < 1. (DS. a =0) 3) a n = E(nx) n trong d´o E(nx) l`a phˆa ` n nguyˆen cu ’ a nx. Chı ’ dˆa ˜ n. Su . ’ du . ng hˆe . th ´u . c: nx −1 <E(nx)  nx.(D S. a = x) 5. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay: a n = a 1/2 n hˆo . itu . v`a t`ım gi´o . iha . ncu ’ an´o (a>1). 24 Chu . o . ng 7. Gi´o . iha . n v`a liˆen tu . ccu ’ a h`am sˆo ´ (DS. a =1. Chı ’ dˆa ˜ n. Ch´u . ng minh r˘a ` ng a n l`a d˜ay do . nd iˆe . u gia ’ m v`ı a n+1 = a 1/2 n+1 = a 1/(2 n ·2) = √ a n ,a n > 1) 6. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay a n =1+ 1 2 2 + 1 3 2 + ···+ 1 n 2 hˆo . itu . . Chı ’ dˆa ˜ n. Ch´u . ng to ’ r˘a ` ng d˜ay do . ndiˆe . u t˘ang, t´ınh bi . ch˘a . ncu ’ an´o d u . o . . c x´ac lˆa . pb˘a ` ng c´ach su . ’ du . ng c´ac bˆa ´ td ˘a ’ ng th´u . c: 1 n 2 < 1 n(n − 1) = 1 n − 1 − 1 n ,n 2. 7. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay a n = 1 3+1 + 1 3 2 +2 + ···+ 1 3 n + n c´o gi´o . iha . nh˜u . uha . n. Chı ’ dˆa ˜ n. T´ınh bi . ch˘a . ncu ’ a a n du . o . . c x´ac lˆa . pb˘a ` ng c´ach so s´anh a n v´o . itˆo ’ ng mˆo . tcˆa ´ psˆo ´ nhˆan n`ao d ´o . 8. Ch´u . ng minh r˘a ` ng d˜ay   1+ 1 n  n+1  d o . ndiˆe . u gia ’ mv`a lim n→∞  1+ 1 n  n+1 = e. 9. T´ınh lim n→∞ a n ,nˆe ´ u 1) a n =  1+ 1 n + k  n , k ∈ N.(DS. e) 2) a n =  n n +1  n .(DS. 1 e ) 3) a n =  1+ 1 2n  n .(DS. √ e) 4) a n =  2 n +1 2 n  2 n .(DS. e) [...]... Dinh l´ 7 .2. 1 Nˆu c´c gi´.i han lim f1(x), lim f2(x) tˆn tai h˜.u han y e a o x→a x→a th` ı 1) lim[f1 (x) + f2 (x)] = lim f1 (x) + lim f2 (x) x→a x→a x→a 2) lim[f1 (x) · f2 (x)] = lim f1 (x) · lim f2(x) x→a x→a x→a lim f1 (x) f1 (x) x→a = x→a f2 (x) lim f2 (x) ´ ı 3) Nˆu lim f2 (x) = 0 th` lim e x→a x→a ´ 4) Nˆu trong lˆn cˆn U (a; δ) = {x : 0 < |x − a| < δ} ta c´ e a a o f1(x) f (x) f2 (x) v` lim... hˆi tu d˜y d˜ cho hˆi tu ` a a V´ du 2 Ch´.ng minh r˘ng d˜y ı u 1 1 1 an = √ + √ + · · · + √ n 1 2 phˆn k` a y ’ o e Giai Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu 1 1 1 |an − an+p | = √ +√ + ··· + √ n+p n+1 n +2 p √ ∀ n, p ∈ N n+p D˘c biˆt v´.i p = n ta c´ a e o o |an − a2n | √ n √ 2 1 √ 2 ∀ n (*) 1 ` ´ o o u a a Ta lˆy ε = √ Khi d´ ∀ N ∈ N tˆn tai nh˜.ng gi´ tri n > N v` a 2 ´ ’ a a a a u ∃ p ∈ N sao cho |an −... k, M > 0 2 an = k=1 3 an = (−1)k−1 · k=1 k(k + 1) 4 an = (−1)k · k! k=1 n n 5 an = 0, 77 7 ´ nch˜ sˆ u o n 6 an = k=1 2k 1 · +k ` Ch´.ng minh r˘ng c´c d˜y sau dˆy phˆn k`: u a a y a a a 1 1 + · · · + , n ∈ N 2 n 1 1 1 8 an = + + ··· + , n = 2, ln2 ln3 lnn 7 an = 1 + 7 .2 7 .2. 1 ´ a o e Gi´.i han h`m mˆt biˆn o ` o ’ e C´c kh´i niˆm v` dinh l´ co ban vˆ gi´.i han a a e a y ´ ’ a a o Dinh ngh˜... ´ CAC V´ DU I ` V´ du 1 Ch´.ng minh r˘ng d˜y ı u a a an = hˆi tu o cos 1 cos 2 cos n + 2 + ··· + n , 3 3 3 n∈N ε ´ ’ a Chu.o.ng 7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o a e o 26 ’ o e Giai Ta u.´.c lu.o.ng hiˆu cos(n + 1) cos(n + p) + ··· + n+1 3 3n+p 1 1 + · · · + n+p n+1 3 3 1 1 1 − 3p 1 1 1 = n+1 < · n < n· 1 3 2 3 3 1− 3 |an+p − an | = 1 ´ ´ ’ ’ u ´ ı Gia su ε l` sˆ du.o.ng t`y y V` lim n =... ta ´ 7 .2 Gi´.i han h`m mˆt biˆn o a o e 27 ` ´ ’ ` a o ’ chı cˆn lˆy sˆ n > N bˆt k` v` p = n T` d´ theo mˆnh dˆ phu dinh a ´ ´ a y a u o e e a y nguyˆn l´ hˆi tu ta c´ d˜y d˜ cho phˆn k` e y o o a a ` ˆ BAI TAP ’ ’ ’ Su dung tiˆu chuˆn hˆi tu dˆ ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y (an ) e a o e u o ’ a ´ nˆu e n sin nα 1 an = , α ∈ R 2n k=1 n ak q k , |q| < 1, |ak | < M ∀ k, M > 0 2 an = k=1... lˆn cˆn U (a; δ) = {x : 0 < |x − a| < δ} ta c´ e a a o f1(x) f (x) f2 (x) v` lim f1(x) = lim f2 (x) = A th` lim f (x) = A a ı x→a x→a x→a (nguyˆn l´ bi ch˘n hai phi´) e y a a i han h`m sˆ c´ thˆ ph´t biˆu du.´.i dang ngˆn ng˜ ’ ’ ´ ıa o a o o e a e o o u Dinh ngh˜ gi´ sau d˜y nhu a -i ’ ’ ’ D.nh l´ 7 .2. 2 Gia su D ⊂ R, a ∈ R l` diˆm tu cua n´; A ∈ R, y a e o ’ o f : D → R Khi d´ lim f (x) = A x→a... Chu.o.ng 7 Gi´.i han v` liˆn tuc cua h`m sˆ o a e o 28 ’ ´ ’ a 1) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han cua h`m f (x) tai diˆm a (khi x → a) o a o e o.c sˆ δ = δ(ε) > 0 (∃δ = δ(ε) > ´ ´ nˆu ∀ ε > 0 b´ bao nhiˆu t`y y t` du o e e e u ´ ım 0) sao cho ∀ x m` a x ∈ Df ∩ {x; 0 < |x − a| < δ(ε)} th` ı |f (x) − A| < ε K´ hiˆu: lim f (x) = A y e x→a ´ ’ ’ a e e a 2) Sˆ A du.o.c goi l` gi´.i han bˆn phai (bˆn tr´i)... (x) − A| < ε ’ Dinh ngh˜ gi´.i han khi x → −∞ du.o.c ph´t biˆu tu.o.ng tu ıa o a e `.i ta viˆt ´ ´ ı e 4) Nˆu lim f (x) = lim f (x) = A th` ngu o e x→+∞ x→−∞ lim f (x) = A x→∞ ´ 7 .2 Gi´.i han h`m mˆt biˆn o a o e 29 o o Tru.`.ng ho.p d˘c biˆt nˆu A = 0 th` h`m f (x) du.o.c goi l` h`m vˆ a e e ı a a a ´ c`ng b´ khi x → a (x → a ± 0, x → ±∞) u e ’ ’ ´ Kh´i niˆm h`m vˆ c`ng l´.n tai diˆm a c˜ng...´ ’ a o 7.1 Gi´.i han cua d˜y sˆ o 7.1.4 25 ´ a o e Ch´.ng minh su hˆi tu cua d˜y sˆ du.a trˆn u o ’ ’ ` e a a ’ e a o e e ` diˆu kiˆn cˆn v` du dˆ d˜y hˆi tu (nguyˆn l´ hˆi tu Bolzano-Cauchy) y o Trˆn dˆy ta d˜ nˆu hai phu.o.ng ph´p... (vˆ dinh dang “∞±∞”) a a o u o o x→a f (x) ; f , g ho˘c dˆng th`.i l` hai vˆ c`ng b´, ho˘c dˆng th`.i a ` o a o o u e a ` o o g(x) a o l` hai vˆ c`ng l´.n (vˆ dinh dang “0/0” ho˘c “∞/∞”) a o u o 2) lim x→a a a o u e o a o u o 3) lim f (x) · g(x); f l` vˆ c`ng b´, c`n g l` vˆ c`ng l´.n ho˘c ngu.o.c x→a lai (vˆ dinh dang “0 · ∞”) o 4) lim f (x) x→a g(x) : a) khi f (x) → 1, g(x) → ∞ (vˆ dinh . c´o: a n+1 = √ 2a n ⇒ a 2 n+1 =2a n . Do d ´o: lim a 2 n+1 = 2 lima n hay a 2 − 2a = 0 v`a thu du . o . . c a 1 =0,a 2 =2. V`ı d˜ay d o . ndiˆe . u t˘ang ∀n nˆen gi´o . iha . n a =2.  V´ı du . 4 a n =1− 1 3 + 1 9 − 1 27 + ···+ (−1) n−1 3 n−1 .(DS. 3 4 ) 20 . a n = 2 n+1 +3 n+1 2 n +3 n .(DS. 3) 21 . a n = n +(−1) n n − (−1) n .(DS. 1) 22 . a n =  1 √ n  1 √ 1+ √ 3 + 1 √ 3+ √ 5 + ···+ 1 √ 2n − 1+ √ 2n +1 Chı ’ dˆa ˜ n bi . ch˘a . ndu . ´o . ibo . ’ isˆo ´ √ 2. Ta ch´u . ng minh r˘a ` ng n´o bi . ch˘a . n trˆen bo . ’ isˆo ´ 2. Thˆa . tvˆa . y a 1 = √ 2; a 2 = √ 2a 1 < √ 2 · 2= 2. Gia ’ su . ’ d˜ach´u . ng minh du . o . . cr˘a ` ng a n  2. Khi