MƠN THI: TỐN CAO CẤP C2 MẪU :… TRƯỜNG ĐH KINH TẾ - LUẬT BỘ MƠN TỐN - TKKT Thời gian : 75 phút………Thi lần : 1 Họ và tên : ………………………………… Lớp:…………. MSSV: ……………. ……………………………………………………………………………………………………………………… Điểm (số) Điểm (chữ) Giám khảo 1 Giám khảo 2 Số phách Lưu ý : * Đánh dấu chéo (X) trên mẫu tự được chọn. Chọn b 0 A B C D Bỏ b, chọn d 0 A B C D Bỏ d, chọn lại b 0 A B C D Giám thị 1 Giám thị 2 Số phách 1 a b c d 2 a b c d 3 a b c d 4 a b c d 5 a b c d 6 a b c d 7 a b c d 8 a b c d 9 a b c d 10 a b c d 11 a b c d 12 a b c d 13 a b c d 14 a b c d 15 a b c d 16 a b c d 17 a b c d 18 a b c d 19 a b c d 20 a b c d 21 a b c d 22 a b c d 22 a b c d 24 a b c d 25 a b c d ĐỀ BÀI Câu 1 Cho hai ma trận A = , B = . Chọn khẳng định 10 00 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ 01 02 03 ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎟ ⎟ đúng. a)AB = BA; b)AB xác định nhưng BA khơng xác định; c) BA = ; d) AB = . 00 00 00 ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎟ ⎟ 00 00 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ Câu 2 Cho ma trận A = . Đặt B = A 4 : = A.A.A.A . Chọn khẳng định − ⎛⎞ ⎜ − ⎝⎠ 11 01 ⎟ đúng. a) B = ⎛ ⎜ ; b) B = ⎛ ⎜ ; c) B = ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ ⎝⎠ 10 01 ⎝⎠ 14 01 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 14 01 ; d) B = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 14 01 . Câu 3 Hạng của ma trận A = là: ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 12 3 4 5 510152035 37 91214 4 8 13 16 20 a) 1; b) 2; c) 3; d) 4. Câu 4 Tìm giá trị thực của m để ma trận A = có hạng bằng 2: ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎜ + ⎜⎟ + ⎝⎠ 132 3 254 5 386 9 254 6 m m ⎟ ⎟ a) m = 1; b) m = 2; c) m = 3; d) m = – 1. Câu 5 Giá trị của định thức 1212 2545 49710 511813 là a) – 1; b) 1; c) 2; d) – 2. Câu 6 Số nghiệm thực của phương trình (ẩn x) : − − + 23 2010 2011 2 2009 2008 2 00 10 01 10 xx xx xx xxx x = 0 là a) 1; b) 2; c) 3; d) 4. Câu 7 Cho ma trận A = (m là tham số thực). Cần và đủ để A 113 22 21 m m m + + ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎝⎠ 0 3 ⎟ không khả nghịch là a) m = 1; b) m = – 2; c) m ∈ {1, – 2}; d) m = – 1. Câu 8 Xét bài toán: Cho hai ma trận A = và B = (m là tham số thực). Tìm điều kiện của m để AB khả nghịch. 12 3 3710 49m ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 11 2 235 34m ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎟ ⎟ Một sinh viên giải bài toán này theo các bước dưới đây. Bước 1: Tính detA = m – 13 và detB = m – 7. Bước 2: Suy ra det(AB) = (m – 13)(m – 7). Bước 3: Kết luận AB khả nghịch khi và chỉ khi 13 7m ≠ ≠ . Sinh viên đó giải như thế là đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào? a) Lời giải đúng; b) Lời giải sai từ bước 1; c) Lời giải sai từ bước 2; d) Lời giải sai ở bước 3. Câu 9 Cho hai ma trận A = 23 11 − − ⎛ ⎜ ⎝⎠ ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ ⎞ ⎟ và B = . Tìm ma trận X thỏa mãn hệ thức XA = B. 26 20 ⎛ ⎜ ⎝⎠ a) X = ; b) X = ; c) X = ; d) Không tồn tại X. 46 26−− ⎛ ⎜ ⎝⎠ 46 26− ⎛ ⎜ ⎝⎠ 46 26 − − ⎛ ⎜ ⎝⎠ Câu 10 Ma trận nghịch đảo của ma trận 11 4 3 01 3 2 A − ⎛⎞⎛ = ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ⎞ ⎟ ⎠ là a) 1 21 17 17 37 17 17 A − ⎛⎞ − ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ; b) 1 21 17 17 37 17 17 A − ⎛⎞ − ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ −− ⎜⎟ ⎝⎠ ; c) 1 21 17 17 37 17 17 A − ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ ; d) 1 22 17 17 314 17 17 A − ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ − ⎜⎟ ⎝⎠ . Câu 11 Cho ma trận A = (m là tham số thực). Chọn khẳng định đúng 2 1 330 10 mm mm+ ⎛⎞ ⎜ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎟ . a) A luôn luôn khả nghịch với mọi m. b) A khả nghịch khi và chỉ khi . 0m ≠ c) A luôn luôn có hạng bằng 2. d) A có hạng bằng 2 khi và chỉ khi . 0m = Câu 12 Xét bài toán: Cho hệ phương trình tuyến tính phụ thuộc tham số thực m 22; 25 32 4 5; 43262 xyz tu xyz tu xyztu 6; . x yztum − ++ −= ⎧ ⎪ −−+ += ⎪ ⎨ −++−= ⎪ ⎪ − ++−= ⎩ Tìm m để hệ có nghiệm. Với m tìm được, hệ có duy nhất nghiệm hay vô số nghiệm? Một sinh viên giải bài toán theo các bước dưới đây. Bước 1: Lập ma trận hệ A số và ma trận mở rộng [A|B] của hệ. Biến đổi sơ cấp ta tính được Hạng(A) = 3 với mọi m, còn Hạng ([A|B]) = 3 khi và chỉ khi m = 7. Bước 2: Từ đó suy ra hệ có nghiệm khi và chỉ khi m = 7. Bước 3: Khi m = 7, vì hệ có 4 phương trình, mà Hạng(A) = Hạng ([A|B]) = 3 nên hệ có vô số nghiệm. Lời giải đó hoàn toàn đúng hay có sai lầm? Nếu có sai lầm thì ở bước nào? a) Lời giải hoàn toàn đúng; b) Lời giải phạm sai lầm ở bước 1; c) Lời giải phạm sai lầm ở bước 2; d) Lời giải phạm sai lầm ở bước 3. Câu 13 Giải hệ phương trình tuyến tính 231 25 2 37 2 xyz xyz xyz3 + += + −= + += ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ a) Hệ có nghiệm duy nhất {(1, 0, 0)}; b) Hệ vô nghiệm; c) {(x, y, z) = ( 1 – 7α, – 5α, α) / α ∈ }; d) {(x, y, z) = ( 1 – 17α, 7α, α) / α ∈ }. \ \ Câu 14 Xét các tập hợp dưới đây. 1. Tập hợp các đa thức một biến x với hệ số thực bậc không quá 2010 trang bị phép cộng hai đa thức và phép nhân một số thực với đa thức. 2. Tập hợp các số thực dương với phép cộng thông thường hai số thực dương và phép nhân thông thường một số thực với một số thực dương. 3. Tập hợp các vectơ tự do trên mặt phẳng với phép cộng thông thường hai vectơ và phép nhân thông thường một số thực với một vectơ. 4. Tập hợp các ma trận thực cấp m × n trang bị phép cộng hai ma trận và phép nhân một số thực với ma trận. Trong số các tập kể trên, có mấy tập (cùng với các phép toán đã chỉ ra) tạo thành không gian vectơ thực? a) 1; b) 2; c) 3; d) 4. Câu 15 Xác định giá trị thực của m để hệ ba vectơ dòng dưới đây phụ thuộc tuyến tính trong . 4 \ ( ) ( ) ( ) { } ,1,1, 1,1,1 1,2,22,ummm v wmm m=++= =++− a) m = 3; b) m = 4; c) m = 2 d) một giá trị khác. Câu 16 Xác định giá trị thực của m để hệ ba vector dòng dưới đây độc lập tuyến tính trong . 4 \ ( ) ( ) ( ) { } ==−=−2, 1, 1, , 2, 1, 1, , 10, 5, 1, 5 umv mw m a) ; b) c) tùy ý d) Không có giá trị m nào. 0 m ≠ ≠≠01 m m Câu 17 Xác định điều kiện của tham số thực của m để hệ ba vector dòng dưới đây là cơ sở của . 3 \ ( ) ( ) ( ) ( ) == =1, 3, 1 , 2, 7, 5 , 5, 16, uv wm a) Không có giá trị m nào; b) m = 8; c) m tùy ý; d) m ≠ 8. Câu 18 Xét không gian các vectơ dòng với cơ sở (u 1 = (1, 0, 0), u 2 = (1, 1, 0), u 3 = (0, – 1, 1)). Tọa độ (x, y, z) của véctơ dòng v = (m, 0, 1) trong đối với cơ sở này là 3 \ 3 \ a) (x, y, z) = (m – 1, 1, 1); b) (x, y, z) = (m, 0, 0); c) (x, y, z) = (m – 2, 2, 2); d) (x, y, z) = (m, 0, 1). Câu 19 Xét không gian con W của sinh bởi hệ {u = (2, 3, 4), v = (2, 6, 0), w = (4, 6, 8)}. Hệ vectơ nào dưới đây tạo thành cơ sở của W? 3 \ a) (u, v); b) (u, w); c) (u); d) (u, v, w). Câu 20 Xét các khẳng định dưới đây 1. Tập các đa thức một biến x hệ số thực bậc không quá 2010 là không gian con của không gian các đa thức hệ số thực một biến x. 2. Tập các số thực không âm là không gian con của không gian \ các số thực. 3. Tập các vectơ tự do trên mặt phẳng của hình học sơ cấp là không gian con của không gian các vectơ tự do trong không gian của hình học sơ cấp. Trong các khẳng định trên, có mấy khẳng định đúng? a) 0; b) 1; c) 2; d) 3. Câu 21 Cho các ánh xạ dưới đây: 1. f: 33 → xác định bởi f(x, y, z): = (x – y, y – z; – x + z), ∀(x, y, z) ∈ 3 \ . \\ 2. f: 33 → xác định bởi f(x, y, z): = (x – y, y – z; – x + z + 1), ∀(x, y, z) ∈ 3 \ . \\ 3. f: 33 → xác định bởi f(x, y, z): = (x + y, y + z; x + z – 2), ∀(x, y, z) ∈ 3 \ . \\ 4. f: 33 → xác định bởi f(x, y, z): = (x 2 – y, y 2 – z; – x + z 2 ), ∀(x, y, z) ∈ 3 \ . \\ Trong số các ánh xạ đó, có mấy ánh xạ là toán tử tuyển tính của ? 3 \ a) 1; b) 2 ; c) 3; d) 4. Câu 22 Cho ánh xạ tuyến tính f: xác định bởi 4 →\\ 3 f(x, y. z, t): = (x – y + 2z – t, 2x – y + 3z + t, 3x – 2y + 5z), ∀(x, y, z, t) ∈ . 4 \ Gọi A là ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc. Đặt r = Hạng(A). Chọn khẳng định đúng. a) A cấp 4 × 3 và r = 2; b) A cấp 3 × 4 và r = 2; c) A cấp 4 × 3 và r = 1; d) A cấp 3 × 4 và r = 1. Câu 23 Cho toán tử tuyến tính f: xác định bởi 3 →\\ 3 f(x, y. z): = (x – y + z, 2x – y + 3z, 3x – 2y + 4z), ∀(x, y, z) ∈ . 3 \ Hạt nhân Kerf và ảnh Imf có số chiều lần lượt là a) dimKerf = 1, dimImf = 2; b) dimKerf = 2, dimImf = 1 ; c) dimKerf = 1, dimImf = 1 ; d) dimKerf = 2, dimImf = 2. Câu 24 Với giá trị nào của tham số thực m thì véctơ cột u = là một véctơ riêng của ma trận A = ? 1 0 m ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ 111 111 111 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ a) m = 0; b) m = – 1; c) m tùy ý; d) Không có giá trị m nào. Câu 25 Cho ma trận với m là tham số thực. Chọn khẳng định sai ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜ ⎜⎟ ⎝⎠ 2 3 1 02 00 3 mm m ⎟ ? a) A chéo hóa được khi và chỉ khi m = 0. b) A chéo hóa được với mọi giá trị của m. c) Với mọi giá trị của m, tập các giá trị riêng của A là {1, 2, 3}. d) Với mọi giá trị của m, đa thức đặc trưng của A là 32 ( ) : 6 11 6 χλ λ λ λ = −+ − +. . MƠN THI: TỐN CAO CẤP C2 MẪU : TRƯỜNG ĐH KINH TẾ - LUẬT BỘ MƠN TỐN - TKKT Thời gian : 75 phút………Thi lần : 1 Họ và tên : ………………………………… Lớp:…………. MSSV: ……………. ………………………………………………………………………………………………………………………. định đúng. a) A cấp 4 × 3 và r = 2; b) A cấp 3 × 4 và r = 2; c) A cấp 4 × 3 và r = 1; d) A cấp 3 × 4 và r = 1. Câu 23 Cho toán tử tuyến tính f: xác định bởi 3 →\ 3 f(x, y. z ): = (x – y + z,. đây: 1. f: 33 → xác định bởi f(x, y, z ): = (x – y, y – z; – x + z), ∀(x, y, z) ∈ 3 . \ 2. f: 33 → xác định bởi f(x, y, z ): = (x – y, y – z; – x + z + 1), ∀(x, y, z) ∈ 3 . \ 3. f: 33 →