Dai so chuong 2 toán cao cấp

Chƣơng HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH NỘI DUNG CHÍNH 2.1 – Hệ phƣơng trình tuyến tính 2.1.1 Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát 2.1.2 Nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính 2.2 – Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính 2.2.1 Phƣơng pháp Cramer 2.2.2 Phƣơng pháp Gauss  Chương Hệ phương trình tuyến tính 2.1 Hệ phƣơng trình tuyến tính 2.1.1 Hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát Định nghĩa 2.1.1 Hệ phương trình gồm m phương trình đại số bậc với n ẩn số, có dạng a11x1 a12x a1n x n b1 a21x1 a22x a2n x n b2 am 2x amn xn bm am1x1 (2.1) gọi hệ phương trình tuyến tính với x1, x 2, , xn ẩn số, aij hệ số phương trình thứ i ẩn x j bi hệ số vế phải phương trình thứ i  Chương Hệ phương trình tuyến tính Ta kí hiệu A a11 a12 a1n b1 x1 a21 a22 a2n b2 x2 am1 am amn , B bm , X xn A gọi ma trận hệ số, B gọi ma trận cột hệ số tự X gọi ma trận cột ẩn số hệ phương trình tuyến tính (2.1).Kí hiệu (A | B ) a11 a21 a12 a22 a1n b1 a2n b2 am1 am amn bm gọi ma trận bổ sung (mở rộng) hệ phương trình tuyến tính (2.1)  Chương Hệ phương trình tuyến tính Với kí hiệu trên, hệ phương trình tuyến tính (2.1) viết lại dạng ma trận sau AX Khi B B 0, hệ (2.1) gọi hệ phương trình tuyến tính Ngược lại, ta gọi hệ phương trình tuyến tính không 2.1.2 Nghiệm hệ phƣơng trình tuyến tính Định nghĩa 2.1.2 Bộ số (c1, c2, , cn ) gọi nghiệm hệ phương trình tuyến tính (2.1) x1 (2.1) c1, x c2, , xn cn thỏa  Chương Hệ phương trình tuyến tính Dễ dàng thấy rằng, hệ phương trình tuyến tính có nghiệm (0, 0, , 0) nghiệm gọi nghiệm tầm thường Quá trình tìm tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính gọi giải hệ phương trình tuyến tính Định lí 2.1.1 Với hệ phương trình tuyến tính cho trước Khi đó, có có ba khả sau xảy ra: 1) hệ có nghiệm nhất; 2) hệ có vô số nghiệm; 3) hệ vô nghiệm  Chương Hệ phương trình tuyến tính Từ Định lí 2.1.1, suy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường có vô số nghiệm (trong có nghiệm tầm thường) Giả sử c1 X c2 cn (ma trận cột) nghiệm không tầm thường hệ phương trình tuyến tính AX (2.2)  Chương Hệ phương trình tuyến tính Khi đó, cách thay trực tiếp vào hệ (2.2) ta thấy c1 c2 X , cn nghiệm (2.2) Giả sử d1 Y d2 dn  Chương Hệ phương trình tuyến tính nghiệm khác X (2.2) Lập luận tương tự nghiệm (2.2) Do đó, Y, X Y c1 d1 c2 d2 cn dn nghiệm (2.2) Nghiệm X nghiệm X ,Y Y gọi tổ hợp tuyến tính hai  Chương Hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa 2.1.3 Hai hệ phương trình tuyến tính có số ẩn (số phương trình khác nhau) gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Định lí 2.1.2 Cho hai hệ phương trình tuyến tính có m phương trình (m 2) n ẩn số với ma trận mở rộng (A | B) (A | B ) Khi đó, (A | B ) nhận từ (A | B) số hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng hai hệ phương trình tuyến tính cho tương đương  Chương Hệ phương trình tuyến tính 2.2 Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính 2.2.1 Phƣơng pháp Cramer giải hệ phƣơng trình tuyến tính Định nghĩa 2.2.1 Hệ phương trình tuyến tính (2.1) gọi hệ Cramer m n det A Như vậy, hệ Cramer hệ phương trình tuyến tính có dạng a11x1 a12x a1nxn b1 a21x1 a22x a2nxn b2 an 2x annxn bn an1x1 với det A (2.3)  Chương Hệ phương trình tuyến tính Định lí 2.2.1 Mỗi hệ Cramer dạng (2.3) có nghiệm Đặt det(A), j (j 1, n ) định thức có cách thay cột j A cột hệ số tự Khi đó, hệ phương trình Cramer (2.3) có nghiệm xác định theo công thức x1 x2 X A 1B, xn hay x1 1, x2 2, ., xn n  Chương Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.1 Giải hệ phương trình tuyến tính x1 x1 3x 4x 2x 2x x1 3x 3x 3 Giải Ma trận hệ số hệ phương trình tuyến tính A 3 Ma trận nghịch đảo A (xem 1.3.2) A 1  Chương Hệ phương trình tuyến tính Hệ cho viết lại AX X A 1B B Suy 2 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm x1 6, x2 1, x3  Chương Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính x1 3x1 x2 4x x3 3x 3 2x1 2x 3x m 1 Giải Ma trận hệ số hệ phương trình AT 2 Hệ phương trình cho viết lại AT X X T A C A T C C , suy 1 1 m m m  Chương Hệ phương trình tuyến tính x1 x2 Ví dụ 2.2.3 Giải hệ phương trình 2x1 6x 3x1 4x x3 x3 2x Giải Ta có ma trận hệ số A 1 0 1 , 1 det(A) 1 8, 2 3 2 1 26 11 1 7,  Chương Hệ phương trình tuyến tính Vậy hệ có nghiệm x1 , x2 11 , x3 11 Ví dụ 2.2.4 Giải hệ phương trình mx1 x2 x3 x1 mx x3 m x1 x2 m2 mx Giải Ta có ma trận hệ số A m 1 m 1 , m 26 11  Chương Hệ phương trình tuyến tính A i) Nếu A m m 1 1 m m m 1  Với m 1, x1 (m 1)2(m 2) (m 1)2(m 2) m m hệ trở thành x1 x2 x 1, suy x2 x Điều có nghĩa x1 phụ thuộc vào hai tham số x 2, x Do đó, cho x 2, x tùy ý ta có x1 Vậy hệ có vô số nghiệm, có dạng (x1, x2, x ) (1 a b, a, b), a, b  Chương Hệ phương trình tuyến tính  Với m 2, hệ cho trở thành 2x1 Lấy (2) x2 x1 2x x3 x1 x2 2x 1, (1) 2, (2) (3) (1), ta 0x1 Lấy (3) x3 3x 3x 3 (4) 3x (5) (1), ta 0x1 3x Lấy (4) (5), ta 0x1 0x Điều vô lí Vậy hệ vô nghiệm 0x  Chương Hệ phương trình tuyến tính ii) Nếu A m m Theo Định lí 2.2.1, hệ cho có nghiệm Ta có 1 1 m m 1; m2 m m 1 m 1; m 1 m m m2 m 1 m2 Vậy, nghiệm hệ phương trình cho x1 A m ; x2 m 2 A m ; x3 A m2 2m m  Chương Hệ phương trình tuyến tính 2.2.2 Phƣơng pháp Gauss để giải hệ phƣơng trình tuyến tính Định lí 2.2.2 (Kronecker – Capelli) Cho hệ phương trình tuyến tính (2.1) Khi đó, hệ (2.1) có nghiệm r(A) r(A | B) Hơn nữa, 1) Nếu r(A) r(A | B) n hệ (2.1) có nghiệm 2) Nếu r(A) r(A | B) r n hệ (2.1) có vô số nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số Từ hai Định lí 2.1.2 2.2.2 ta đến phương pháp giải hệ (2.1) sau:  Chương Hệ phương trình tuyến tính Bƣớc 1: Lập ma trận mở rộng A (A | B ) a11 a21 a12 a1n b1 a22 a2n b2 am1 am amn bm Bƣớc 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận (A | B) ma trận (A | B ), A ma trận bậc thang (rút gọn) Bƣớc 3: Nếu r(A) r(A | B) n hệ có nghiệm Nếu r(A) r(A | B) r n hệ (2.1) có vô số nghiệm Khi đó, ta chọn (n r ) ẩn tùy ý, sau giải ẩn lại theo ẩn chọn Nếu r(A) r(A | B) hệ vô nghiệm  Chương Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.5 Giải hệ phương trình x1 2x x3 2x1 5x x3 x1 4x 2x Giải Thực phép biến đổi sơ cấp dòng 11 16 d1 d3 d2 d3 d2 2d1 d3 d1 22 d1 2d2 d3 2d2 1 14 0 0 d1 d2 3 d1 3d3 d2 d3 11 0 0 15 11 Từ ma trận cuối cùng, suy hệ có nghiệm x1 40, x 15, x 11 40  Chương Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.6 Giải hệ phương trình x1 2x 3x x4 3x1 x2 5x 3x 4x1 3x 8x 4x Giải Ta có (A | B ) 3 11 31 40 Suy r(A | B) Mà r(A) r(A | B) Vậy hệ vô nghiệm d2 d3 d2 3d1 d3 d2 d1 1 0 0  Chương Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2.2.7 Giải hệ phương trình Giải (A | B ) x1 x2 x3 2x1 x2 3x 1 11 d2 Như r(A) r(A | B) phương trình viết lại x1 x2 x2 Chọn x x3 5x d2 2d1 n 1 11 nên hệ có vô số nghiệm Hệ hay x1 4x 3, x2 5x t tùy ý Khi đó, tập nghiệm hệ có dạng x1 x2 5t, x3 t, 4t, t [...]...  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2. 2.5 Giải hệ phương trình x1 2x 2 x3 1 2x1 5x 2 x3 6 x1 4x 2 2x 3 2 Giải Thực hiện phép biến đổi sơ cấp dòng 1 2 11 2 5 16 1 d1 d3 d2 d3 d2 2d1 d3 d1 4 22 d1 2d2 d3 2d2 1 2 1 1 0 1 14 0 1 0 0 1 0 0 3 7 1 4 2 d1 d2 3 3 d1 3d3 d2 d3 1 11 1 0 0 1 0 0 0 15 0 1 11 Từ ma trận cuối cùng, suy ra hệ có nghiệm duy nhất là x1 40, x 2 15, x 3 11 40  Chương 2 Hệ phương... Ví dụ 2. 2.6 Giải hệ phương trình x1 2x 2 3x 3 x4 1 3x1 x2 5x 3 3x 4 1 4x1 3x 2 8x 3 4x 4 0 Giải Ta có (A | B ) 1 3 2 3 1 5 11 31 4 3 8 40 Suy ra r(A | B) Mà r(A) 2 3 r(A | B) Vậy hệ vô nghiệm d2 d3 d2 3d1 d3 d2 d1 1 0 2 5 3 4 1 1 0 2 0 0 0 0 2  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2. 2.7 Giải hệ phương trình Giải (A | B ) x1 x2 x3 1 2x1 x2 3x 3 2 1 1 2 1 11 3 2 d2 Như vậy r(A) r(A | B) 2 phương... x2 4x 2 x3 3x 3 1 3 2x1 2x 2 3x 3 m 1 1 1 Giải Ma trận hệ số của hệ phương trình là 3 4 3 AT 2 2 3 Hệ phương trình đã cho được viết lại AT X X T A 1 C A 1 T C C , suy ra 6 3 1 1 1 1 0 3 2 0 1 m 3 m 0 2 m  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính x1 x2 Ví dụ 2. 2.3 Giải hệ phương trình 2x1 6x 2 3x1 4x 2 x3 1 x3 0 2x 3 0 Giải Ta có ma trận hệ số A 1 1 0 0 1 2 1 6 1 1 , 3 4 2 1 1 6 4 det(A) 1 1 1 8, 2 2... (5), ta được 0x1 0x 2 Điều trên vô lí Vậy hệ vô nghiệm 0x 3 6  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính ii) Nếu A 0 m 1 hoặc m 2 Theo Định lí 2. 2.1, hệ đã cho có nghiệm duy nhất Ta có 1 1 1 1 m m 1; 2 m2 1 m m 1 1 1 m 1; m 1 1 1 m m 3 1 m2 m 1 1 m2 Vậy, nghiệm của hệ phương trình đã cho là x1 1 A m 1 ; x2 m 2 2 A 1 m 2 ; x3 3 A m2 2m 1 m 2  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính 2. 2 .2 Phƣơng pháp Gauss... x1 x1 3x 2 4x 2 2x 3 2x 3 1 2 x1 3x 2 3x 3 3 Giải Ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính là 1 3 2 A 1 4 2 1 3 3 Ma trận nghịch đảo của A là (xem 1.3 .2) A 1 6 1 3 1 2 0 1 0 1  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Hệ đã cho được viết lại AX X A 1B B Suy ra 6 1 3 1 2 1 0 2 6 1 1 0 1 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x1 6, x2 1, x3 2 3  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2. 2 .2 Giải hệ... 1 3 2 0 2 3 1 1 6 0 4 0 26 11 0 1 1 2 7,  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x1 8 , x2 11 7 , x3 11 Ví dụ 2. 2.4 Giải hệ phương trình mx1 x2 x3 1 x1 mx 2 x3 m x1 x2 m2 mx 3 Giải Ta có ma trận hệ số A m 1 1 m 1 1 1 , 1 m 26 11  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính A i) Nếu A m m 1 1 1 1 m 1 m 1 m 1 1 0  Với m 1, x1 (m 1 )2( m 2) 0 (m 1 )2( m 2) m 1 m 2 hệ trở thành x1 x2 x... ra 1 x2 x 3 Điều này có nghĩa là x1 phụ thuộc vào hai tham số x 2, x 3 Do đó, nếu cho x 2, x 3 tùy ý thì ta sẽ có được x1 Vậy hệ có vô số nghiệm, có dạng (x1, x2, x 3 ) (1 a b, a, b), a, b  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính  Với m 2, hệ đã cho trở thành 2x1 Lấy (2) 2 x2 x1 2x 2 x3 x1 x2 2x 3 1, (1) 2, (2) 4 (3) (1), ta được 0x1 Lấy (3) 2 x3 3x 2 3x 3 3 (4) 3x 3 9 (5) (1), ta được 0x1 3x 2 Lấy... trình tuyến tính Định lí 2. 2 .2 (Kronecker – Capelli) Cho hệ phương trình tuyến tính (2. 1) Khi đó, hệ (2. 1) có nghiệm khi và chỉ khi r(A) r(A | B) Hơn nữa, 1) Nếu r(A) r(A | B) n thì hệ (2. 1) có nghiệm duy nhất 2) Nếu r(A) r(A | B) r n thì hệ (2. 1) có vô số nghiệm phụ thuộc (n r ) tham số Từ hai Định lí 2. 1 .2 và 2. 2 .2 ở trên ta đi đến phương pháp giải hệ (2. 1) như sau:  Chương 2 Hệ phương trình tuyến... Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Định lí 2. 2.1 Mỗi hệ Cramer dạng (2. 3) đều có một nghiệm duy nhất Đặt det(A), j (j 1, n ) là định thức có được bằng cách thay cột j của A bởi cột hệ số tự do Khi đó, hệ phương trình Cramer (2. 3) có nghiệm duy nhất được xác định theo công thức x1 x2 X A 1B, xn hay x1 1, x2 2, ., xn n  Chương 2 Hệ phương trình tuyến tính Ví dụ 2. 2.1 Giải hệ phương trình... Hệ phương trình tuyến tính Bƣớc 1: Lập ma trận mở rộng của A (A | B ) a11 a21 a 12 a1n b1 a 22 a2n b2 am1 am 2 amn bm Bƣớc 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận (A | B) về ma trận (A | B ), trong đó A là ma trận bậc thang (rút gọn) Bƣớc 3: Nếu r(A) r(A | B) n thì hệ có nghiệm duy nhất Nếu r(A) r(A | B) r n thì hệ (2. 1) có vô số nghiệm Khi đó, ta chọn (n r ) ẩn là tùy ý, sau đó giải các ẩn