Dai so chuong 3 toán cao cấp

Chương KHÔNG GIAN VECTƠ NỘI DUNG CHÍNH 3.1 – Định nghĩa ví dụ 3.2 – Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.3 – Không gian vectơ 3.4 – Không gian Euclide  Chương Không gian vectơ 3.1 Định nghĩa ví dụ 3.1.1 Không gian vectơ Định nghĩa 3.1.1 Cho tập hợp V V gọi không gian vectơ thực (hoặc ) V có hai phép toán gọi cộng (+) nhân vô hướng (.): Phép cộng (+): V V (x, y ) Phép nhân vô hướng (.): V ( , x) V x y V x thỏa mãn tiên đề sau đây: u, v, w V ; , , ta có  Chương Không gian vectơ i) u v v u; ii) (u v) w u (v iii) V , u 0 w) ; u iv) u V , ( u) : u ( u) v) ( u) ( )u u u; vii) (u v) u v; viii) 1u 0; ( u) ; )u vi) ( u; u Khi đó, phần tử V gọi vectơ số lượng vô hướng gọi đại  Chương Không gian vectơ 3.1.2 Một số ví dụ không gian vectơ 1) với phép cộng vectơ phép nhân số với vectơ theo nghĩa thông thường, tức u (u1, u2, u3 ), v (v1, v2, v3 ) ; : u v (u1 v1, u2 v2, u3 v3 ) u ( u1, u2, u3 ), không gian vectơ 2) Tập hợp Mm n ( ) gồm tất ma trận cấp m n với phép cộng ma trận phép nhân số với ma trận tạo thành không gian vectơ 3) Tập hợp P2[x ] gồm đa thức bậc không với phép cộng hai đa thức phép nhân số với đa thức theo nghĩa thông thường không gian vectơ  Chương Không gian vectơ 3.1.3 Một số tính chất không gian vectơ Từ tiên đề ta suy số tính chất không gian vectơ sau Định lí 3.1.1 Trong không gian vectơ V , ta có 1) Vectơ 0V tồn 2) Vectơ đối u u tồn 3) u, v, w V : u w v w 4) , u V: u 5) , u V : ( u) ( u v (luật giản ước) u )u 0V ( u)  Chương Không gian vectơ V cho Chứng minh 1) Giả sử tồn u u u, u V Khi đó, ta có 0V 0V 2) Nếu u vectơ đối khác u u u u 3) Từ đẳng thức u (u (u w w) u) v ( u u) u w, suy ( w) (v w) ( w) , hay u Do u [w (-w)] v [w ( w)] (tiên đề ii) v Chứng minh 4), 5) dành cho bạn đọc u u  Chương Không gian vectơ 3.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 3.2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.2.1 Cho V không gian vectơ vectơ u, u1, , uk V Ta nói u tổ hợp tuyến tính hệ vectơ {u1, , uk } tồn hệ số u , , 1u1 cho k kuk Khi đó, ta nói u biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {u1, , uk } Tổ hợp tuyến tính u 1 u k k hệ vectơ {u1, , uk } gọi tầm thường k  Chương Không gian vectơ Ngược lại, tồn k i i 0(1 i k ) tổ hợp tuyến tính u gọi không tầm thường i i Ví dụ 3.2.1 1) Trong không gian vectơ , cho vectơ u (2,3,1), u1 (2,1,3), u2 ( 2,0,0), u3 (1,1, 1) Khi đó, ta có u u1 u2 2u3 nên u tổ hợp tuyến tính vectơ u1, u2, u3  Chương Không gian vectơ 2) Trong không gian vectơ , cho vectơ u1 ( 1,0), u2 (0, 1), u3 (1,1) Khi đó, vectơ (0,0) có hai cách biểu thị tuyến tính qua hệ vectơ {u1, u2, u3} 0u1 0u2 0u3; 1u1 1u2 1u3  Chương Không gian vectơ Định nghĩa 3.2.1 Cho V không gian vectơ Hệ vectơ {u1, , uk } V gọi phụ thuộc tuyến tính tồn { i }i k i i 1,k , với cho u 1 u k k Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.3 Hệ vectơ S V gọi phụ thuộc tuyến tính tồn hệ hữu hạn vectơ {u1, , uk } S cho hệ vectơ {u1, , uk } phụ thuộc tuyến tính  Chương Không gian vectơ Định lí 3.4.2 Cho A, B, C sở không gian vectơ V có số chiều n Khi đó, ta có 1) Ma trận chuyển sở từ A sang B nhất; 2) P(A A) In ; 3) P(A B) 4) P(A B)P(B P(B A); C) Định lí 3.4.3 Cho B P(A {u1, u2, , un } B sở không gian vectơ V P(B B sang B , u C ) B ) ma trận chuyển sở từ V Khi đó, ta có [u ]B P(B [u ]B P(B {u1, u2, , un } B )[u ]B B)[u ]B  Chương Không gian vectơ Ví dụ 3.4.5 Cho B {e1 B {u1 hai sở (1, 0, 0), e2 (1,1, 0), u2 (0,1, 0), e3 (0,1,1), u3 (0, 0,1)}; (1, 0,1)} Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B Giải Ta có [u1 ]B 1 ; [u2 ]B ; [u3 ]B 0 1 Do P(B B) 1 1 1  Chương Không gian vectơ Ví dụ 3.4.6 Trong (u )B cho hai sở B {u1 (1,1,1), u2 (1,1, 2), u3 B {u1 (2,1, 1), u2 (1, 2, 3)}, (3, 2, 5), u3 (1, 1,1)} (0,1, 1) Tìm [u ]B ; [u2 ]B [u1 ]B Giải Ta có ; [u3 ]B P(B Vậy B) 1 4 Áp dụng công thức ta [u ]B P(B B )[u ]B 1 1 1  Chương Không gian vectơ 3.5 Không gian Euclide 3.5.1 Tích vô hướng Định nghĩa 3.5.1 Cho V không gian vectơ ánh xạ , : V Một V (u, v ) u, v thỏa mãn tính chất sau gọi tích vô hướng không gian vectơ V : u, v, u1, u2 V , , ta có i) u, u 0, u, u ii) u, v v, u ; iii) u1 iv) u, v u2, v u1, v u, v u 0; u2, v ;  Chương Không gian vectơ Từ định nghĩa tích vô hướng ta dễ dàng suy tính chất sau đây: v) u, u1 u2 vi) u, v vii) 0, v u, u1 u, v v,0 u, u2 , u, u1, u2 V u, v , u, v V , 0, v V  Chương Không gian vectơ Ví dụ Error! No text of specified style in document 1) Trong không gian vectơ n ta định nghĩa n u, v i xiyi , u (x1, x 2, , xn ), v n Dễ dàng kiểm tra thấy u, v i tích vô hướng n (y1, y2, , yn ) n xiyi thỏa mãn điều kiện Ta quy ước nói đến tích vô hướng thêm hiểu tích vô hướng nói n mà không nói  Chương Không gian vectơ 2) Cho u (x1, x 2, x ), v (y1, y2, y3 ) u, v i định nghĩa xi2yi2 Khi đó, u, v tích vô hướng không thỏa tiên đề (iv) Thật vậy, với u, v ( i xi )2 yi2 xi i xi2yi2 yi 1, i 12 i 1, xi2yi2 u, v Định lý 3.5.2 Không gian Euclide không gian vectơ mà có tích vô hướng  Chương Không gian vectơ 3.5.2 Độ dài vectơ Định nghĩa 3.5.3 Cho V không gian Euclide, u V Độ dài (còn gọi chuẩn) vectơ u kí hiệu xác định sau u u, u Từ định nghĩa độ dài vectơ tính chất tích vô hướng, ta suy số tính chất sau đây: 1) u 2) 0, u u u , u 3) u, v 4) u u V, u v , u, v v u V v , u, v V  Chương Không gian vectơ 3.5.3 Cơ sở trực giao, sở trực chuẩn Định nghĩa 3.5.4 Cho V không gian Euclide, u, v A, B V 1) Ta nói vectơ u trực giao với vectơ v u, v u V 0, ký hiệu v 2) Hệ vectơ A gọi hệ trực giao u, u 0, u, u A, u u 3) Hệ vectơ A gọi hệ trực chuẩn A hệ trực giao u 1, u A 4) Hệ vectơ A B gọi trực giao với vectơ a A vectơ b B a b, ký hiệu A Từ định nghĩa ta có định lí sau B  Chương Không gian vectơ Định lí 3.5.1 Cho V không gian Euclide, A V Khi đó, A A hệ độc lập tuyến tính A hệ trực giao Định nghĩa 3.5.5 Cho V không gian Euclide n chiều Cơ sở B {u1, u2, , un } V gọi sở trực giao (trực chuẩn) B hệ trực giao (trực chuẩn) Ví dụ 3.5.2 Trong B với tích vô thông thường {( 1, 0, 2); (0, 3, 0); (2, 0,1)} sở trực giao không sở trực chuẩn B ( sở trực chuẩn , 0, ); ( , , ); ( , , )  Chương Không gian vectơ 3.5.4 Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt Không gian Euclide không vectơ có tích vô hướng Do đó, không gian người ta thường sử dụng sở trực chuẩn Trong phần xây dựng sở trực chuẩn từ hệ vectơ độc lập tuyến tính không gian Euclide V cho trước  Chương Không gian vectơ Định lí 3.5.2 Cho B {u1, u2, , uk } hệ vectơ độc lập tuyến tính không gian Euclide V Đặt v1 v2 v3 u1; u2, v1 u2 v1, v1 u3, v2 u3 v2, v2 k vk Khi đó, B uk i v1; u3, v1 v2 uk , vi vi , vi v1, v1 v1; vi {v1, v2, , vk } hệ trực giao Hơn nữa, v1, v2, , vk u1, u2, , uk Quá trình tìm vectơ vi gọi trình trực giao hóa Gram–Schmidt hệ vectơ {u1, u2, , uk }  Chương Không gian vectơ Định lí 3.5.3 Cho B Euclide V Khi đó, B {u1, u2, , un } sở không gian {v1, v2, , } thu từ trình trực giao hóa Gram–Schmidt hệ vectơ B {u1, u2, , un } sở trực giao Hơn nữa, w1 v1 v1 , w2 v2 v2 , , wn vn sở trực chuẩn không gian Euclide V Quá trình từ hệ {u1, u2, , un } đến hệ {w1, w2, , wn } gọi trình trực chuẩn hóa Gram–Schmidt  Chương Không gian vectơ Ví dụ 3.5.3 Trong không gian vectơ V u1 (1, 0, 1), u2 (0,1, 1), u3 , cho (1,1,1) Hãy trực chuẩn hóa hệ {u1, u2, u3} trình trực chuẩn hóa Gram–Schmidt Giải Đặt v1 v2 v3 u1 u2 u3 (1, 0, 1), u2, v1 v1, v1 u , v2 v2, v2 v1 v2 (0,1, 1) (1, 0, 1) u3, v1 v1, v1 v1 1 ( , 1, ), 2 (1, 1, 1) 0 (1, 1, 1)  Chương Không gian vectơ Ta lại đặt w1 w2 w3 v1 v1 v2 (1, 0, 1) v2 1 ,1, v3 v3 2 (1,1,1) , 0, ), , , , 6 , , Khi đó, {w1, w2, w3} sở trực chuẩn V [...]... 1, u3 x3 2x 1} Ta có 1u1 3 ( x 1 ( 1 1 2u2 3u3 2 x) (x 2 3 ) x 3 2 2 x 2 3 0 Vậy S 2 độc lập tuyến tính 0 1) ( 1 3 ( x 3 2x )x 2 2 3 1) 3 0, x 0, x  Chương 3 Không gian vectơ Giả sử u u 1 1 u 2 2 u 3 3 0 4 4 Điều trên tương đương với 3 ( x 1 x) 2 ( x 2 3 ( x 3 1) 2x 3 ( x 4 ( 1 3 3 ) x 4 ( 2 2 1) 2x 2 2 ) x 4 ( 1 2 3 0, 4 2 2 4 0, 1 2 3 4 0, 4 0 2 3 2 2 3 Từ đó ta có hệ phương trình 1 x 0, x 2) 3 2... Chương 3 Không gian vectơ Ví dụ 3. 2.2 Trong không gian vectơ u1 (1,1, 2), u2 3 , cho các vectơ ( 2, 0,1), u3 (1, 1, 3) Ta có u1 u2 u3 0 nên hệ các vectơ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 3. 2 .3 Trong không gian vectơ S {u1 (1,1, 2), u2 ( 2, 0,1), u3 3 , hệ vectơ (1, 1, 3) , u4 là phụ thuộc tuyến tính vì hệ vectơ {u1, u2, u3} phụ thuộc tuyến tính (1, 5, 3) } S và {u1, u2, u3}  Chương 3 Không... u3 ( 1,0, 2) Ta có u1 u2 u3 nên hệ các vectơ {u1, u2, u3} phụ thuộc tuyến tính Ví dụ 3. 2.6 Trong không gian vectơ P3[x ] cho hệ vectơ S {u1, u2, u3, u4}, với u1 x 3 x, u2 x 2 1, u3 x 3 2x 1, u4 x 3 2x 2 x 2 Tìm một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của hệ S  Chương 3 Không gian vectơ Giải Ta lần lượt xét các hệ con của S Đặt S1 {u1 x3 x, u2 x2 1} Dễ thấy tập S1 độc lập tuyến tính Xét tập S2 x3... gian Định lí 3. 3.1 Cho V là không gian vectơ trên và W V W là không gian con của V khi và chỉ khi W thoả mãn một trong hai điều kiện sau đây: 1) u v W và u W , u, v W , 2) u v W, u, v W , ,  Chương 3 Không gian vectơ Ví dụ 3. 3.1 Chứng minh rằng W Giải Ta thấy W 3 {(x1, x 2, x 3 ) và u : x1 (x1, x 2, x 3 ), v x1 y1 3 0} (y1, y2, y3 ) W thì 0 Ta có u v u (x1 y1, x 2 (x1, x 2, x 3 ) y2, x 3 y3 ) W vì... vectơ là phủ định với nhau  Chương 3 Không gian vectơ Ví dụ 3. 2.1 Xét tính chất độc lập tuyến tính của hệ vectơ u1 (1,1, 2), u2 (1, 1, 1), u3 (2,1,1) Giải Giả sử u u 1 1 u 2 2 0 3 3 Từ đó suy ra 2 2 1 2 1 2 1 2 Hệ này có nghiệm duy nhất là 1 3 0 3 0 3 0 2 3 0 (vì ma trận các hệ số có định thức khác không) Vậy {u1, u2, u3} độc lập tuyến tính  Chương 3 Không gian vectơ 3. 2.2 Tính chất của hệ vectơ độc... A Ta có det A (1,1, 1); u3 2 1 1 1 1 1 3 2 2 (3, 2, 2)} 0 nên hệ {u1, u2, u3} là phụ thuộc tuyến tính  Chương 3 Không gian vectơ 3. 3 Không gian vectơ con 3. 3.1 Không gian vectơ con Định nghĩa 3. 3.1 Cho V là không gian vectơ trên và W V Tập W được gọi là không gian vectơ con (gọi tắt là không gian con) của V nếu W cũng là không gian vectơ trên với các phép toán cộng và nhân như trên V thu hẹp trên... ba vectơ trên A 1 1 1 2 3 4 4 5 6 Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng đưa A về ma trận bậc thang 1 1 1 A 2 3 4 4 5 6 1 1 1 d2 d3 d2 2d1 d3 4d1 0 1 2 1 1 1 d3 d3 d2 0 1 2 Vậy (1,1,1);(2, 3, 4);(4, 5, 6) (1,1,1);(0,1,2) 0 1 2 0 0 0  Chương 3 Không gian vectơ Nói cách khác, W là một không gian con của của nó có dạng là (1,1,1) (0,1, 2) ( , ( , , , 2 ), 3 mà mỗi vectơ , hay W {x 3 :x 2 )}, với mọi , Nếu... một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp Khi đó W W Phép biến đổi sơ cấp đề cập trong Định lí 3. 3.2 được hiểu tương tự như là phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) của ma trận Cụ thể là: đổi chỗ hai vectơ trong hệ, nhân một vectơ với một số khác 0 , cộng vào một vectơ tổ hợp tuyến tính của các vectơ khác của hệ  Chương 3 Không gian vectơ Ví dụ 3. 3 .3 Tìm W (1,1,1), (2, 3, 4), (4, 5, 6) Giải Ta lập ma trận... Từ đó ta có hệ phương trình 1 x 0, x 2) 3 2 4 4 )x 0, x  Chương 3 Không gian vectơ Lập ma trận hệ số của hệ phương trình thuần nhất cuối cùng và biến đổi sơ cấp dòng A d4 1 0 0 1 0 2 1 0 2 0 1 1 d 4 d2 Ta có r(A) 3 1 1 1 0 0 1 0 2 1 0 0 3 0 2 0 1 1 2 d3 1 0 0 1 0 2 0 0 3 0 0 1 d3 d1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 d4 3d4 d3 1 1 4 nên hệ có vô số nghiệm hay S phụ thuộc tuyến tính Vậy S 2... thì 0 Ta có u v u (x1 y1, x 2 (x1, x 2, x 3 ) y2, x 3 y3 ) W vì x1 ( x1, x 2, x 3 ) W vì y1 x1 0; 0 Vậy W 3 Ví dụ 3. 3.2 1) Theo Mục 2.1.2, tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất n ẩn (2.2) là một không gian con của n 2) V và {0V } là các không gian con của V  Chương 3 Không gian vectơ 3. 3.2 Tập sinh, không gian vectơ sinh bởi một hệ vectơ Cho V là không gian vectơ