Dai so chuong 4 toán cao cấp

Cho U và V là hai không gian vectơ trên... Hai điều kiện trong Định nghĩa 4.1.1 tương đương với điều kiện sau đây: Như vậy, ta có thể sử dụng * để kiểm tra một ánh xạ có phải là ánh x

4.1 Ánh xạ tuyến tính

4.1.1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa 4.1.1 Cho U và V là hai không gian vectơ trên

Ánh xạ f U : V được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa mãn các

điều kiện sau đây:

i) f x y ( ) f x ( ) f y ( ), x y U , ;

ii) f x ( ) f x ( ), x U ,

Một ánh xạ tuyến tính f V : V được gọi là phép biến đổi tuyến

tính của V hay còn gọi là toán tử tuyến tính trên V

Nhận xét 4.1.1 Hai điều kiện trong Định nghĩa 4.1.1 tương đương

với điều kiện sau đây:

Như vậy, ta có thể sử dụng (*) để kiểm tra một ánh xạ có phải là

ánh xạ tuyến tính hay không mà không phải kiểm tra lần lượt i) và ii

không phải là ánh xạ tuyến tính

Sinh viên tự chứng minh các kết luận trên như bài tập

4.1.2 Các tính chất cơ bản của ánh xạ tuyến tính

Định lí 4.1.1 Cho U V , là các không gian vectơ trên và

Định lí 4.1.2 1) Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vectơ phụ

thuộc tuyến tính được biến thành một hệ phụ thuộc tuyến tính

2) Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một hệ vectơ, nghĩa

Mặt khác, vì 1, 2, , n không đồng thời bằng không nên hệ vectơ

Định lí 4.1.3 (xác định ánh xạ tuyến tính) Cho U là không gian

vectơ n chiều trên và { , , , } x x1 2 xn là cơ sở tùy ý của nó, V là

không gian vectơ bất kì nào đó và y y1 2, , , yn là hệ vectơ tùy ý của V

Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f U : V thỏa mãn

( )i i, 1,

Khi đó, dễ kiểm tra rằng f là ánh xạ tuyến tính và thỏa mãn

( )i i, 1,

Tính duy nhất: Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f g , thỏa mãn điều

kiện của định lí, nghĩa là f x ( )i y g xi, ( )i yi, i 1, n Khi đó, với mọi

1 1 2 2 n n

ta có

Chứng minh Sự tồn tại: Với mỗi x U, vì { , , ,x x1 2 x n} là cơ sở của U nên tồn tại duy nhất bộ số ( , , ,1 2 n) sao cho

Tính duy nhất: Giả sử có hai ánh xạ tuyến tính f g, thỏa mãn điều

kiện của định lí, nghĩa là f x( )i y g x i, ( )i y i, i 1, n Khi đó, với mọi

1 1 2 2 n n

Điều này trái với giả thiết f x( )4 y4 (1, 3).

Vậy không tồn tại ánh xạ tuyến tính thỏa yêu cầu bài toán

f U V là ánh xạ tuyến tính Giả sử f u ( )i biểu thị tuyến tính được

qua cơ sở { , , } v1 vm như sau:

Đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V thì ma trận của

f trong cặp cơ sở B B , được gọi là ma trận của f trong cơ sở B Lúc này [ ] f B B, được viết gọn là [ ] f B

Với cách xây dựng ma trận [ ] f B B, như trên, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa tọa độ [ ] x B và tọa độ [ ( )] f x B như sau

,

[ ( )] f x B [ ] f B B [ ] x B

Ví dụ 4.1.4 Cho ánh xạ tuyến tính f : xác định bởi

1) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở B B,

2) Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc của 2 và 3.

Theo giả thiết bài toán, ta có hai hệ phương trình sau

Từ ma trận bậc thang sau cùng, ta được

2) Kí hiệu E2 {(1, 0), (0,1)}, E3 {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} lần lượt là cơ sở chính tắc của 2 và 3 Thực hiện tương tự ở câu 1) ta được kết quả là

4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f và kí hiệu là ker f

Định nghĩa 4.2.2 Cho U V, là các không gian vectơ trên và

Định lí 4.2.1 Cho U V, là các không gian vectơ và f U: V là ánh xạ tuyến tính Khi đó

1) ker , Imf f lần lượt là các không gian vectơ con của U và V

2) Nếu { , , , }x x1 2 x n là một cơ sở của U thì

2) Giả sử { , , ,x x1 2 x n} là một cơ sở của U, x f x( ), x U là một vectơ bất kì của Im f Vì x U và cơ sở { , , ,x x1 2 x n} là một cơ

Ngược lại, x f x( ), ( ), , ( ) ,1 f x2 f x n ta có sự biểu diễn

4.2.2 Tìm cơ sở của Imf và kerf

 Tìm cơ sở của Im f : Trước hết ta tìm cơ sở { , , , } x x1 2 xn của

Ví dụ 4.2.1 Cho ánh xạ tuyến tính f : 4 4 với

1) Tìm cơ sở và số chiều của Im f

2) Tìm cơ sở và số chiều của ker f

Giải 1) Chọn một cơ sở tùy ý của 4, chẳng hạn cơ sở chính tắc

{(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}.

Khi đó, ta có

Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đưa ma trận về dạng bậc thang

3 2 2

Từ ma trận cuối cùng ta được nghiệm của hệ là

z t x 2z t y, 4t 3 z

Như vậy, các vectơ của ker f có dạng (2z t t, 4 3 , , )z z t 4,

trong đó z t, tùy ý Ta biểu diễn

(2z t t, 4 3 , , )z z t z(2, 3,1, 0) t( 1, 4, 0,1),

điều này có nghĩa là ker f (2, 3,1, 0); ( 1, 4, 0,1)

Hơn nữa, hệ vectơ

{(2, 3,1, 0); ( 1, 4, 0,1)}

độc lập tuyến tính nên nó cũng là một cơ sở của ker f và

dim ker f 2.

2) Tìm một cơ sở và số chiều của ker f

Giải 1) Sinh viên tự kiểm tra

2) Theo định nghĩa của ker ,f ta cần tìm ma trận x y

Vậy ma trận M cần tìm có dạng

0