Dai so chuong 1 toán cao cấp

Chương MA TRẬN – ĐỊNH THỨC NỘI DUNG CHÍNH – Ma trận – Định thức – Ma trận nghịch đảo  Chương Ma Trận – Định Thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Ma trận A cấp m n tập số thực (hoặc tập số phức ) bảng số hình chữ nhật gồm m hàng n cột biểu diễn sau A a11 a12 a1n a21 a22 a2n am am aij (aij )m n , i 1, m; j amn (hoặc aij ) phần tử ma trận A nằm giao điểm dòng i cột j  Chương Ma trận – Định thức Khi m n, ta nói A ma trận vuông cấp n Vậy ma trận vuông cấp n có dạng a11 A a12 a1n a21 a22 a2n an an ann (aij )n  Chương Ma trận – Định thức Ma trận có dòng n cột gọi ma trận dòng Ma trận có m dòng cột gọi ma trận cột Ma trận không cấp m n ma trận có tất phần tử 0, ký hiệu O, cần rõ cấp ma trận ta kí hiệu Om n Tập hợp ma trận cấp m hiệu Mm n ( ) n Tập hợp ma trận vuông cấp n kí hiệu Mn ( ) kí  Chương Ma trận – Định thức Trong giáo trình xét ma trận tập số thực Ví dụ 1.1.1 Ma trận B Ví dụ 1.1.2 O3 2 0 0 ; O2 0 có cấp 0 ma trận 0 không cấp ma trận không vuông cấp  Chương Ma trận – Định thức Định nghĩa 1.1.2 Cho ma trận vuông (aij )n Đường thẳng qua phần tử a11, a22, a33, , ann gọi đường chéo ma trận A Đường thẳng qua phần tử a1n , a2(n 1), a3(n 2), , an1 gọi đường chéo phụ ma trận A  Chương Ma trận – Định thức Ví dụ 1.1.3 Ma trận A ma trận vuông cấp Đường thẳng qua phần tử 1, 2, đường chéo Đường thẳng qua phần tử đường chéo phụ A 7, 2,  Chương Ma trận – Định thức Định nghĩa 1.1.3 Ma trận tam giác (dưới) ma trận vuông có phần tử nằm phía (trên) đường chéo Ma trận tam giác ma trận tam giác gọi chung ma trận tam giác Một ma trận vuông vừa tam giác vừa tam giác gọi ma trận chéo Nói cách khác, ma trận chéo ma trận vuông có phần tử không nằm đường chéo Ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo gọi ma trận đơn vị Ma trận đơn vị cấp n ký hiệu I n  Chương Ma trận – Định thức Ví dụ 1.1.4 A 2 0 B ma trận tam giác 0 ma trận tam giác Ví dụ 1.1.5 A 0 0 0 Là ma trận chéo  Chương Ma trận – Định thức Ví dụ 1.1.6 Các ma trận I2 0 , I3 0 , I4 0 ma trận đơn vị cấp 2, 3, 0 0 0 0 0 0  Chương Ma trận – Định thức Thực phép biến đổi sơ cấp A sau A d2 d2 4d1 d3 d3 3d1 3 d3 d3 3d2 3 18 3 0 Ma trận cuối phép biến đổi có dạng bậc thang có hai dòng khác không Vậy rank(A) Nếu m rank(A)  Chương Ma trận – Định thức 1.3 Ma trận nghịch đảo 1.3.1 Ma trận khả nghịch Định nghĩa 1.3.1 Cho ma trận A Mn ( ) Ta nói ma trận A khả nghịch tồn B Mn ( ) cho BA AB In Khi đó, ma trận B gọi ma trận nghịch đảo A Định lí 1.3.1 Cho A ma trận vuông cấp n Ma trận nghịch đảo A có Ma trận nghịch đảo ma trận A kí hiệu A  Chương Ma trận – Định thức 1.3.2 Một số tính chất ma trận khả nghịch Định lí 1.3.2 Nếu A, B Mn ( ) hai ma trận khả nghịch 1) (A 1) A; 2) (AB) B 1A 1; t 3) (A ) 4) (cA) 1t (A ) ; 1 A , với c c  Chương Ma trận – Định thức 1.3.3 Tìm ma trận nghịch đảo phép biến đổi sơ cấp Định lí 1.3.3 Cho A Mn ( ) ma trận khả nghịch Khi đó, phép biến đổi sơ cấp dòng biến A thành I n chúng biến I n (theo thứ tự đó) thành A Theo định lý trên, để tìm ma trận nghịch đảo ma trận a11 a12 a1n A a21 a22 a2n an1 an ann ta tiến hành bước sau:  Chương Ma trận – Định thức Bước 1: Lập ma trận (A | I n ) a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an ann 0 Bước 2: Dùng phép biến đổi sơ cấp dòng (A | In ) để biến A thành I n , đồng thời I n biến thành A Ví dụ 1.3.1 Tìm A 1, với A 3  Chương Ma trận – Định thức Giải Ta có 21 0 20 (A | I ) d2 d2 0 1 d2 d1 d2 d1 30 d1 d1 d1 2d3 d1 3d2 0 1 1 0 1 0 1 (I | A ) Theo Định lí 1.3.3, ma trận nghịch đảo A A 1  Chương Ma trận – Định thức 1.3.4 Tìm ma trận nghịch đảo phương pháp định thức Định lí sau cho ta điều kiện cần đủ để ma trận vuông khả nghịch Định lí 1.3.4 Cho A ma trận vuông cấp n Khi đó, A khả nghịch A Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử A khả nghịch ma trận nghịch đảo A Theo tính chất định thức ta có A A Điều có nghĩa A AA In Điều kiện đủ: Giả sử A A Đặt cij xác định theo công thức sau ( 1)i j A(i, j ) ,  Chương Ma trận – Định thức A c11 c21 cn 1 c12 c22 cn A A c1n c2n (cij )t A Ct cnn Thật vậy, trước hết định thức có hai dòng hai cột giống nên ta suy hai đẳng thức sau: ak 1ci a1kc1 j ak 2ci a2kc2 j akncin A, k i k i 0, ankcnj A, k j k j 0, Do AC t a11 a12 a1n c11 c21 cn1 A a21 a22 a2n c12 c22 cn A c1n c2n cnn 0 A an an ann  Chương Ma trận – Định thức Tương tự ta có t C A a12 a1n A c22 cn a21 a22 a2n A c1n c2n cnn an an ann 0 c11 c21 cn1 a11 c12 Vậy t C A A (C t A) A In , t C A (AC t ) A In A hay A 1 t C A 0 A  Chương Ma trận – Định thức Như vậy, để tìm ma trận nghịch đảo ma trận vuông A ta làm theo bước sau Bước 1: Tính det A + Nếu det A ma trận A không khả nghịch + Nếu det A ta chuyển sang bước hai Bước 2: Tính giá trị cij theo công thức ( 1)i cij j A(i, j ) Bước 3: Viết ma trận nghịch đảo A 1 (cij )T A  Chương Ma trận – Định thức Ví dụ 1.3.1 Dùng phương pháp định thức tìm A ma trận A Giải Ta có det A ( 1) c13 c22 1 c11 ( 1) 2 ( 1) 3 3 1;c23 6; c12 ( 1) 1; c21 ( 1) ( 1) 1 3 3 0; 1; 3;  Chương Ma trận – Định thức c31 ( 1) c33 2; c32 3 ( 1) ( 1) 0; 1 Do A 1 (cij )T det(A) 1 1 1 SỬ DỤNG MÁY TÍNH fx-570ES ĐỂ TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN – ĐỊNH THỨC 1:Tính ma trận Nhập ma trận: Mode 6(matrix) 1(mat A), sau bạn chọn số dòng, số cột cho ma trận A nhập hệ số cho ma trận Nếu bạn thao tác ma trận (như cộng, trừ, nhân ma trận chẳng hạn),thì sau nhập ma trận A xong, bạn tắt phím on AC Tiếp tục nhập ma trận B phím Shift 4(matrix) 1(dim) 2(mat B) trên…xong bước nhập ma trận Giờ nhận kết định thức :Ví dụ bạn muốn tính định thức ma trận A, thao tác sau: Shift 4(matrix) 7(det) Shift 4(matrix) 3(matA) = Chúng ta kết định thức ma trận A 2) Tìm ma trận nghịch đảo ma trận A: máy tính fx-570ES thao tác đơn giản sau: Shift 4(matrix) 3(matA) x-1 có kết Ngoài ra, cộng, trừ, nhân, chia (nhân với ma trận nghịch đảo), bạn cần gọi tên ma trận (Shift 4(matrix) chọn 3(matA), 4(matB), hay 5(matC)) sử dụng phép tính toán bình thường) Ví dụ: Giải phương trình AX=B Các bạn nhập ma trận A, ma trận B, sau cần bấm phép tính matA x-1 x matB = có kq X [...]... j 1 1 Ví dụ 1. 2 .1 1) Cho A det A ( 1) 1 j a1 j det A (1, j ) 2 3 1 1 2 3 1 Khi đó 1 1 2 ( 3) 7  Chương 1 Ma trận – Định thức Ví dụ 1. 2.2 Cho A 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 Tính det A Giải Ta có các phần phụ đại số là A 11 A13 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 3 1 2 2 1 2 1 2 2 1 3, A12 3, A14 ( 1) 1 ( 1) 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 0, 0 Theo định nghĩa định thức, ta được 4 det A j 1 a1... a 31 a32 a33 Định thức của A là một số thực, được kí hiệu và xác định như sau A a 11 a12 a13 a 21 a22 a23 a 31 a32 a33 a 11( a22a33 a23a32 ) a12(a21a 33 a23a 31 ) a13(a21a32 a22a 31 )  Chương 1 Ma trận – Định thức Định nghĩa 1. 2.3 Cho A là ma trận vuông cấp n A a 11 a12 a1n a 21 a22 a2n an1 an 2 ann Định thức của ma trận A là một số thực, được kí hiệu và xác định như sau A a 11 a12 a1n a 21 a22 a2n an1... dụ 1. 1 .13 Cho A AB 1 0 1 1 1 2 1 3 và B BA BA, thì ta nói A và B là hai 1 2 0 1 3 2 1 1 Khi đó, ta có  Chương 1 Ma trận – Định thức 1. 1.2.5 Ma trận chuyển vị Định nghĩa 1. 1.9 Chuyển vị của ma trận A là ma trận có được từ A bằng cách viết các dòng của ma trận A theo thứ tự thành cột Ký hiệu chuyển vị của ma trận A là At hoặc AT Ví dụ 1. 1 .14 Cho A At 1 1 1 2 1 1 1 2 4 1 4 1 Khi đó,  Chương 1 Ma... 6 0 9 18 1 2 3 0 0 3 0 6 A 0 Ma trận bậc thang A có hai dòng khác 0 nên rank(A) 2  Chương 1 Ma trận – Định thức 1. 2 Định thức 1. 2 .1 Các định nghĩa Định nghĩa 1. 2 .1 Cho A a 11 a12 a 21 a22 là ma trận vuông cấp 2 Định thức của A là một số thực, được kí hiệu và xác định như sau A a 11 a12 a 21 a22 a11a22 a12a 21  Chương 1 Ma trận – Định thức Định nghĩa 1. 2.2 Cho ma trận vuông cấp 3 A a 11 a12 a13 a 21 a22... Chương 1 Ma trận – Định thức Ví dụ 1. 1 .16 1) Các ma trận sau đây là ma trận bậc thang A 1 2 3 0 5 6 ;B 0 0 0 1 2 3 4 1 2 3 0 1 4 5 0 3 6 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 ;C 2) Biến đổi sơ cấp dòng đưa ma trận bậc thang 1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 0 1 2 d2 d2 4d1 d3 d3 7d1 1 2 3 0 3 6 0 6 12 0 1 2 d3 d3 2d2 d4 3d4 d2 A về dạng 1 2 3 0 3 6 0 0 0 0 0 0  Chương 1 Ma trận – Định thức 1. 1.6 Hạng của ma trận Định nghĩa 1. 1 .11 ... 2) 3 Thực hiện tương tự như trên, ta có c12 c 21 3, c22 c 31 6, c32 4, c13 3, c14 6, c23 10 , 9, c24 8, c33 6, c34 3 3 4 6 3 9 10 12 6 8 6 20 20 Vậy AB 12 ,  Chương 1 Ma trận – Định thức 1 0 1 2 3 ,B 3 1 0 Ví dụ 1. 1 .12 Cho A 3 Khi đó, ta có AB 8 1 3 14 nhưng không tồn tại ma trận BA 14 6 5 1 2 0 2 4  Chương 1 Ma trận – Định thức Nhận xét 1. 1 .1 Phép nhân ma trận A với ma trận B chỉ thực hiện được khi... Ma trận – Định thức Ví dụ 1. 1 .10 Cho các ma trận A C 1 3 1 0 4 0 A 1 2 3 2 3 1 ,B 1 1 1 0 Khi đó, ta có B 0 3 4 2 4 1 ;A B 2C 2 3 2 2 4 1 1 0 và  Chương 1 Ma trận – Định thức 1. 1.2.4 Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 1. 1.8 Cho A (aij )m ma trận A và B là một ma trận C n (bij )n p Tích của hai và B (cij )m p , kí hiệu AB, được xác định bởi cij ai1b1j ai 2b2 j ainbnj , i 1, m, j Cách xác định cij... b1 j cij ai1 ai 2 ain b2 j bnj , 1, p  Chương 1 Ma trận – Định thức Khi A là ma trận vuông, luỹ thừa n của A là tích của n lần ma trận A và kí hiệu là An Ta quy ước A0 In Ví dụ 1. 1 .11 Cho A 1 2 3 0 ,B 2 1 2 1 0 3 4 Khi đó, ta có A3 2B2 4 C 2 3 4 (cij )3 4, với các phần tử cij được xác định như sau  Chương 1 Ma trận – Định thức c 11 1 2 1 1 .1 2 2( 2) 3 Thực hiện tương tự như trên, ta có c12 c 21. .. Chương 1 Ma trận – Định thức Định nghĩa 1. 1.4 Ma trận vuông A (aij )n được gọi là ma trận đối xứng nếu aij a ji , i, j 1, n Như vậy, ma trận đối xứng có các phần tử đối xứng qua đường chéo chính đều bằng nhau Ví dụ 1. 1.7 Ma trận A là một ma trận đối xứng 1 1 1 2 4 0 4 0 3  Chương 1 Ma trận – Định thức 1. 1.2 Các phép toán trên ma trận 1. 1.2 .1 Hai ma trận bằng nhau Định nghĩa 1. 1.5 Hai ma trận cùng cấp. .. i 1, m; j 1, n Ví dụ 1. 1.8 Cho A 1 a a Khi đó, A=B khi và chỉ khi a 2 b 1 2 ,B 2, a 2 1 b 1 hay a 2, b 1  Chương 1 Ma trận – Định thức 1. 1.2.2 Phép nhân một số với ma trận Định nghĩa 1. 1.6 Cho và ma trận A (aij )m n Tích của số với ma trận A là một ma trận, kí hiệu A, được xác định bởi A ( aij )m n Ma trận 1A được viết gọn là A và được gọi là ma trận đối của A Ví dụ 1. 1.9 Cho A 2A 2 1 2 3 2 1