Chương 1 Ma Trận Toán Cao Cấp C2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Môn: TOÁN CAO CẤP C2 Thời gian : 30 tiết Giảng viên: Ths Nguyễn Thị Khánh Hoøa Email: hoanguyenthikhanh@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO - NỘI DUNG Chương I: MA TRẬN Chương II: ĐỊNH THỨC Chương III: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Chương IV: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Chương V: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn CHƯƠNG I: MA TRẬN Vấn đề: Hàng năm trường THCS A lại thống kê số liệu học sinh theo giới tính theo khối lớp để biết số lượng đồng phục cần mua Số liệu trường năm 2019 sau: Khối có 130 nam 125 nữ Khối có 140 nam 120 nữ Khối có 110 nữ 115 nam Khối có 150 nữ 138 nam Bài tốn: Hãy trình bày số liệu cho cách đơn giản ngắn gọn nhất? I Các khái niệm ví dụ 1.1 Định nghĩa ma trận Một ma trận A cấp mxn R bảng hình chữ nhật gồm m.n số thực thành m dòng n cột Cột j  a11 a1 j     A  ai1 aij      am1 amj Ta thường viết gọn A� aij � � �   aij  m� n a1n    ain     amn  Dòng i Ta gọi i số dòng, j số m� n cột ma trận Ví dụ 1� � A� � � � Ma trận A có dịng cột  Đây ma trận cấp 2x3 Phần tử nằm dòng cột là: a12 = Phần tử nằm dòng cột là: a21 = Phần tử nằm dòng cột là: a23 = 1.2 Các ma trận đặc biệt * Ma trận không 0 0� � 0� � 0 � � * Ma trận vng: ma trận có số dịng = số cột Cấp n x n = cấp n (cho gọn) * Ma trận tam giác 2     A    0  2   * Ma trận tam giác * Ma trận chéo 2 0    D    0  2   * Ma trận đơn vị 0� � � I3  � � � � 0 1� � � � � � I4  � � � 0 0� � 0� 0� � 0 1� * Ma trận bậc thang Dịng tồn số (nếu tồn tại) nằm Phần tử khác dòng nằm bên phải (và không cột) so với phần tử khác dịng Ví dụ 1   A 0  0 0  2   0 2   0 0  45 Là ma trận bậc thang I Các khái niệm ví dụ Ví dụ   2   B  0  0 0    Là ma trận bậc thang II Các phép toán ma trận 2.1 Hai ma trận Hai ma trận nếu: i) chúng cấp; ii) phần tử nằm vị trí 2.2 Phép chuyển vị Chuyển vị A  aij  ma trận AT  a  ij mn nm cấp nXm thu từ A cách chuyển dịng thành cột b) Tìm BT biết Ví dụ   3 a) A     23  4   T A     9   32 �0 � � � B� 2 3� � �8 6� � 2.3 Phép cộng 1 � � 2 � � �   Ví dụ � �� � � 4 � �� � � Ví dụ 1 � � 2 � � � � � � 4� �3 � � 4� � 5� Khơng thực Chú ý: Chỉ cộng ma trận cấp 2.4 Phép nhân ma trận với số Ví dụ 1 � �2 � � 2.� � �6 10 � � �3 � � Ví dụ 1 � �0 � � 1 � � � � � � 1 � �5 �3 � � 0� � 1� II Các phép toán ma trận 2.5 Phép nhân hai ma trận A  (aij )m�p ; B  (bij )p�n AB C (cij ) mn với cij = dòng i A x cột j B � � AB  � ai � � � b1j � �� * �� M � * b2 j *� � �� � aip � � cij � � M � � � � � � * M � b � � � � pj � � Chẳng hạn, c23 = dòng A x cột B (xem nhân tích vơ hướng vectơ) II Các phép toán ma trận Ví dụ   2     4 A  ; B    0  3   � A �B  � � Tính AB BA 2 � � 12 1 � � 15 � �� � � � � � � � �� 0� 8 9� � � 2�3 � 2� � � � � 3�3 �� c11   1 4 ��  2�1 (1) �3 4�2  �� �� �� Chú ý: Nói chung AB  BA II Các phép tốn ma trận Ví dụ 2: Tính �4 1� 8 � � � � 2 � � � �  � � �1 � � � Ví dụ 3: Tính �0 1 � � � a) � m 3� �1 3 � � � �1 � b) � � m � � II Các phép toán ma trận 2.6 Lũy thừa ma trận vuông An  14 A �L A 43A n l� n Qui � � � c: A  I III Các phép biến đổi sơ cấp dòng (PBĐSCTD) 3.1 Định nghĩa PBĐSCTD Nhân dòng tùy ý với số khác không di �  di ;  �0 Cộng vào dòng bội dòng khác di � di   d j ;  Đổi chỗ hai dòng tùy ý di � d j Tương tự có ba phép biến đổi sơ cấp cột 3.2 Định lý Mọi ma trận đưa ma trận bậc thang phép BĐSCTD Ví dụ Đưa ma trận sau dạng bậc thang 1� � A� 2� � � � 4� � � Giải �1 1 � B  �3 1� � � � 3 � � � 1� 1� � � d �d  d1 � A� 2 ������ � 0 0� � � d3 �d3 3d1 � � � � � � 0 � � � � 1� � d � d3 ���� �� 0 1� � � � � 0 0 � � 3.3 Chú ý: Khi dùng phép BĐSCTD khác ta thu ma trận bậc thang khác IV Hạng ma trận 4.1 Định nghĩa: Giả sử BDSCTD A ���� �E Khi hạng ma trận A r(A) = số dòng khác khơng ma trận bậc thang E Ví dụ 1: Tìm hạng ma trận sau 3� 1� � � � � � � B  A 2 � � � � � � � � 6 � � � � Giải: �1 � C  �1 � � � � �  1 � � 1� � 1� 1� � � d � d3 d �d  d1 � � � � � � ���� � 0 � A  2 ����� 0 0 � � � � d3 �d3 3d1 � � � � � � � � 0 0 0 1� � � � � � � r (A )  IV Hạng ma trận Ví dụ Tìm tất giá trị thực m cho r(A) =3 1 � � A� � � � � m m  3� � � 1 � d �d  2d � 1 � � 2 A� ������� � 2 � � � d3 �d3 3d1 � � � � � � m m   m  m  � � � � 1 � � d3 �d3  d � ����� � 2 � r(A) = với � � � 0 m  m  1� � � m �1 V Ma trận nghịch đảo 5.1 Định nghĩa Ma trận vuông A gọi ma trận khả nghịch tồn ma trận B cho AB = BA = I Khi B gọi nghịch đảo A ký hiệu A-1 5.2 Chú ý Không phải ma trận vuông A khả nghịch Có nhiều ma trận vng khơng khả nghịch Định nghĩa Ma trận khả nghịch gọi ma trận không suy biến Ma trận không khả nghịch gọi ma trận suy biến 5.3 Sự ma trận nghịch đảo Định lý Ma trận nghịch đảo ma trận tồn V Ma trận nghịch đảo 5.4 Sự tồn ma trận khả nghịch Cho ma trận vuông A, mệnh đề sau tương đương Tồn A-1 (A không suy biến) r(A) = cấp ma trận A A Sử dụng phép bđsc I Ví dụ Tìm tất giá trị thực m để ma trận sau khả nghịch 2� � A� � m � � 5.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Bđsc dịng -1 [ A|I ] [ I|A ] Nội dung: Lần lượt biến đổi cột ma trận A trở thành cột tương ứng ma trận đơn vị I 5.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo Bđsc dòng -1 [ A|I ] [ I|A ] Bước 1: Xếp ma trận [A|I] Bước 2: Thực với cột 1: + Giữ lại phần tử khác đường chéo (phần tử a11) Nếu phần tử đường chéo ta đổi dịng để phần tử đường chéo khác + Khử tất phần tử nằm đường chéo Trong q trình biến đổi từ [A|I] sang [Ap|Bp] có dịng Ap kết luận A khơng có nghịch đảo Ngược lại, chuyển sang bước Bước 3: Lần lượt thực với cột lại giống bước Bước 4: Biến đổi phần tử nằm đường chéo thành