chương 1 bài tập toán cao cấp

Hướng dẫn giải tập chương Chương TẬP HỢP – ÁNH XẠ - QUAN HỆ - SỐ PHỨC _ Chú ý: Sinh viên tham khảo thêm dạng tập khác tài liệu khác website: http://www.linear.aglebra1.wikispaces.com I Chứng minh đẳng thức tập hợp: Để chứng minh tập hợp A tập hợp B ta cần chứng minh A ⊂ B B ⊂ A , hay ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B ngược lại Ví dụ: Cho X, A, B tập hợp, chứng minh rằng: X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) Hướng dẫn: x∈ X  x∈ X  x∈ X \ A  ∀x ∈ X \ ( A ∪ B) : x ∈ X \ ( A ∪ B) ⇒  ⇒ x∉ A ⇒   x∉ A ∪ B x∉ B  x∈ X \ B  ⇒ x ∈ ( X \ A ) ∩ ( X \ B) Do X \ ( A ∪ B) ⊂ ( X \ A ) ∩ ( X \ B) (1) x ∈ X \ A x ∈ X ⇔ ⇔ x ∈ X \ ( A ∪ B) x ∈ X \ B x ∉ A ∪ B Ngược lại, ∀x ∈ ( X \ A) ∩ ( X \ B ) ⇔  Suy ra, ( X \ A) ∩ ( X \ B ) ⊂ X \ ( A ∪ B ) (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Bài Chứng minh với tập A, B, C ta ln có: a) A \ ( A \ B) = A ∩ B ; b) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B) \ ( A ∩ C ) ; c) ( A \ B) ∪ ( A \ C ) = A \ ( B ∩ C ) ; d) ( A \ B) ∪ ( B \ A) = ( A ∪ B) \ ( A ∩ B); e) A ∩ ( B \ A) = ∅ ; f) A \ B = A \ ( A ∩ B) = ( A ∪ B ) \ B Hướng dẫn: x ∈ A x ∈ A ∀x ∈ A \ ( A \ B ) ⇔  ⇔ ⇔ x∈ A∩ B x ∉ A \ B x ∈ B Suy ra, A \ ( A \ B) ⊂ A ∩ B a) Bao hàm thức lại chứng minh tương tự Vậy, A \ ( A \ B) = A ∩ B Các câu lại sinh viên chứng minh tương tự Bài 2: Các đẳng thức sau, đẳng thức đúng? a) A \ ∅ = A ; b) ( A \ B) \ C = A \ ( B \ C ); c) A ∩ ( B \ C ) = ( A ∩ B ) \ ( A ∩ C ) Hướng dẫn: Sinh viên dựa vào phép toán tập hợp Có thể vẽ biểu đồ Venn để minh họa Đại số Tuyến tính 1 Hướng dẫn giải tập chương Đối với đẳng thức sai phản ví dụ Bài 3: Chứng minh rằng: a) ( A ∩ B) × (C ∩ D) = ( A × C ) ∩ ( B × D) ; b) A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) c) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) d) A × ( B \ C ) = ( A × B) \ ( A × C ) e) ( A × C ) ∩ ( B × D) = ( A ∩ B) × (C ∩ D) Hướng dẫn: b) x ∈ A x ∈ A  ( x, y ) ∈ A × B  ∀( x, y ) ∈ A × ( B ∩ C ) ⇔  ⇔ y ∈ B ⇔  ⇔ ( x, y ) ∈ ( A × B ) ∩ ( A × C ) ( x , y ) ∈ A × C y∈ B ∩C   y ∈C  ⇔ A × (B ∩ C) ⊂ ( A × B ) ∩ ( A× C ) Bao hàm thức ngược lại chứng minh tương tự Suy ra, A × ( B ∩ C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) - Các câu lại sinh viên làm tương tự II Phép 1) Xác định phép tập hợp Bài Tìm tất phép tập sau xác định dấu phép thế: a) X = {1, 2,3} b) X = {1, 2,3, 4} Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa phép hoán vị phần tử tập hợp Số phép tập có n phần tử n! a) Ta có phép sau: 1   3 1 3 1  1 3  3 π1 =  ÷; π =  ÷; π =  ÷; π =  ÷; π =  ÷; π =  ÷ 1   3 3 1 1  3 2  1 b) Sinh viên làm tương tự Bài Cho X tập hợp có n phần tử Hỏi lập tổng cộng phép thế? Trong đó, có phép chẵn? Phép lẻ? Cho ví dụ n 2) Các phép toán phép thế: Bài Cho phép sau: 1 6 1 6 1 6 i) σ =  ÷ ii) µ =  ÷ iii) ω =  ÷ 6 1  2 3 5 a) Tính σµ ϖµ b) Với phép xác định dấu nó, tìm phép nghịch đảo dấu phép nghịch đảo Hướng dẫn: Tích hai phép thực chất tích hai ánh xạ a) Ta có: Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương  6   1 = ữ ữ= ữ 1  2 3 5 Câu lại làm tương tự b) Dựa vào định nghĩa dấu phép 1 6 Ta có σ =  ÷ = (1 6) ( ) ( ) Do đó, số nghịch σ số lẻ nên 6 1 phép lẻ, dấu phép -1 - Các câu lại làm tương tự Bài Xác định dấu phép sau:  3 1 4 1 5  5 a)  b)  c)  d)  ÷ ÷ ÷ ÷  1 3 1  4  1 Hướng dẫn: - Tìm số nghịch từ suy dấu phép Bài 3: Tính σπ , πσ , σ , π , σπ −1 trường hợp sau: 1 5 1 5 ÷, π =  ÷ 2 4 3 1 a) σ =  1 4 1 4 b) σ =  ÷, π =  ÷ 3 1  3 Hướng dẫn: Tính π −1 thực chất lấy nghịch ảnh phép π σ tích hai ánh xạ σ Ta có   −1   σ2 = ÷; π =  ÷  3 2 1 Các câu lại làm tương tự III Quan hệ: Dựa vào định nghĩa tính chất loại quan hệ: Quan hệ tương đương (thỏa tính chất phản xạ, đối xứng, bắt cầu); Quan hệ thứ tự (thỏa tính chất phản xạ, phản xứng, bắt cầu) Ví dụ: 1) Trong tập N× N xác định quan hệ hai R sau: ∀ (a, b) , (c, d) ∈ N× N : (a, b) R (c, d) ⇔ a + d = b + c Chứng minh R quan hệ tương đương 2) Cho F tập hợp hàm số thực liên tục [a, b], xét xem quan hệ sau F có quan hệ thứ tự khơng: ∀f , g ∈ F : f R g ⇔ f ( x) ≤ g ( x), ∀x ∈ [a, b] Hướng dẫn: 1) ∀ (a, b) ∈ N× N : a + b = b + a ⇒ (a, b) R (a, b) ∀ (a, b), (c, d) ∈ N× N :(a, b) R (c, d) ⇒ a + d = b + c ⇒ c + b = d + a ⇒ (c, d) R (a, b) Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương (a, b)ℜ(c, d ) a + d = b + c ⇒ (c, d )ℜ(e, f ) c + f = d + e ∀ (a, b), (c, d) , (e, f ) ∈ N× N :  ⇒ a + d + c + f = b + c + d + e ⇒ a + f = b + e ⇒ (a, b) R (e, f) Do R quan hệ tương đương 2) ∀f ∈ F : f ( x) ≤ f ( x), ∀x ∈ [a, b] f R g  f ( x) ≤ g ( x) ∀f , g ∈ F :  ⇔ , ∀x ∈ [a, b] ⇔ f ( x) = g ( x), ∀x ∈ [a, b] g R f  g ( x) ≤ f ( x) f R g  f ( x) ≤ g ( x) ∀f , g , h ∈ F :  ⇔ , ∀x ∈ [a, b] ⇔ f ( x) ≤ h( x), ∀x ∈ [a, b] g R h  g ( x ) ≤ h( x ) Do ℜ quan hệ thứ tự F Bài Ký hiệu N∗ tập hợp số tự nhiên khác không, tập N× N∗ xác định quan hệ hai ngơi R sau: ∀ (a, b) , (c, d) ∈ N× N∗ : (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc Chứng minh R quan hệ tương đương Hướng dẫn: ∀ (a, b) ∈ N× N∗ : ab = ba ⇒ (a, b) R (a, b) ∀ (a, b), (c, d) ∈ N× N∗ :(a, b) R (c, d) ⇒ ad = bc ⇒ cb = da ⇒ (c, d) R (a, b) (a, b)ℜ(c, d ) ad = bc ⇒ (c, d )ℜ(e, f ) cf = de ∀ (a, b), (c, d) , (e, f ) ∈ N× N∗ :  Nếu a, c, e khác ta có adcf = bcde ⇒ af = be ⇒ (a, b) R (e, f) Nếu a, c, e có số 0, giả sử a = thì: a = ⇒ ad = ⇒ bc = ⇒ c = ⇒ cf = ⇒ e = ⇒ af = be ⇒ (a, b) R (e, f) Do R quan hệ tương đương Bài 2: Trên tập số thực ¡ cho quan hệ T sau: aTb a = b Chứng minh T quan hệ tương đương Hướng dẫn: ∀a ∈ ¡ : a = a ⇔ aTa ∀a, b ∈ ¡ : a = b ⇔ b = a Suy aTb bTa Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương 2  a = b ∀a, b, c ∈ ¡ :  ⇒ a = c Suy aTb bTc, aTc b = c Vậy tập số thực ¡ cho quan hệ T quan hệ tương đương Dựa vào ví dụ tập trên, sinh viên làm tương tự tập sau Bài Cho X tập điểm không gian O điểm cố định X Trong X ta xác định quan hệ R sau: P R P’ O, P, P’ thẳng hàng a/ R có phải quan hệ tương đương X hay không? b/ R có phải quan hệ tương đương X\{O} hay không? Hướng dẫn: a) Không phải quan hệ tương đương khơng thỏa mãn tính chất bắt cầu b) ∀A ∈ X \ { O} : O, A, A thẳng hàng nên A R A ∀A, B ∈ U\\ { O} : A R B ⇔ O, A, B thẳng hàng ⇔ O, B, A thẳng hàng ⇔ B R A ng hà ng  A thuộ c đườ ng thaú ng OB  A R B O, A, B thaú ∀A, B, C ∈ U\\ { O} :  ⇒ ⇒ ng hà ng C thuộ c đườ ng thaú ng OB  B R C O, B, C thaú ⇒ O, A, C thẳng hàng ⇒ A R C Bài Trong tập số nguyên ¢ xác định quan hệ R T sau: a R b a + b lẻ a T b a + b chẵn Hãy xét xem quan hệ có tính chất gì? Hướng dẫn: Kiểm tra xem quan hệ R , T có thỏa tính chất quan hệ tương đương không? Bài Cho tập X ≠ Trên tập P( X ) tập X xác định quan hệ P, Q, R, S sau: APB AQB ARB ASB ⇔ A∪ B = A ⇔ A\B = A ⇔ A∪B ⇔ A ∩ B=∅ Hãy xét xem quan hệ có tính chất gì? Hướng dẫn: Kiểm tra quan hệ nêu có thỏa tính chất quan hệ thứ tự không? IV Ánh xạ: Kiểm tra tính chất đơn ánh, tồn ánh, song ánh Dựa vào định nghĩa tính chất đơn ánh, tồn ánh, song ánh Ví dụ: → R với f ( x ) = x -−5 x + 3= Cho ánh xạ f : R  , xét xem f có tồn ánh khơng? f có đơn ánh khơng? Vì sao? Hướng dẫn: Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương - Chọn y = –5 ∈ R0thì phương trình x -−5 x + 3= = −5=vơ nghiệm, f khơng tồn ánh - Chọn y = ∈ R0thì phương trình x -−5 x + 3= = có nghiệm phân biệt, f không đơn ánh Bài Trong ánh xạ từ X vào Y sau, ánh xạ đơn ánh, toàn ánh, song ánh Trong trường hợp song ánh, tìm ánh xạ ngược a X = ¡ , Y = (0, π ), f ( x) = arc cot x b X = [1; 2], Y = [1;7], f ( x) = x + 3x − c X = Y = ¡ , f ( x ) = x − | x |; x2 ; + x2 + x4 1+ x  e X = (-1; 0) Y = ¡ , f ( x) = ln  ÷ 1− x  d X = ¡ , Y = [0;5], f ( x) = Hướng dẫn: b) Ta có f’(x) = 2x +3 Dựa vào bảng biến thiên hàm f(x) đoạn [1, 2] ta thấy f(x) hàm đơn điệu tăng nhận giá trị biến thiên thuộc đoạn [1;7] đó, f(x) song ánh Khi đó, f −1 ( x) = - −3 21 + x+ Các câu lại sinh viên làm tương tự Chứng minh đẳng thức ánh xạ: Ví dụ: Cho ánh xạ f : X → Y, A B tập X Chứng minh: a) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) b) Bao hàm thức ngược lại không Hướng dẫn: a) ∀ y ∈ f (A ∩ B): y ∈ f (A ∩ B) ⇒ ∃ x ∈ A ∩ B : y = f (x) ∃x ∈ A : y = f ( x)  y ∈ f ( A) ⇒ ⇒ y ∈ f ( A) ∩ f ( B ) ⇒ đpcm ∃x ∈ B : y = f ( x)  y ∈ f ( B) ⇒ b) Xét ánh xạ f : R → R , f (x) = với x ∈ R ; A = {–3, 0}, B = {2, 5} Khi A ∩ B = ∅ nên f (A ∩ B) = f (∅) = ∅ f (A) ∩ f (B) = {1} tức khơng có f (A) ∩ f (B) ⊂ f (A ∩ B) Bài Cho f : X → Y ánh xạ, A B tập X, C D tập Y Chứng minh: Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương a f ( A ∪ B ) = f ( A) ∪ f ( B ); b f −1 (C ∪ D) = f −1 (C ) ∪ f −1 ( D); c f −1 (C ∩ D) = f −1 (C ) ∩ f −1 ( D); d f ( X \ A) ⊃ f ( X ) \ f ( A); e f −1 (Y \ C ) = X \ f −1 (C ) Hướng dẫn: a) Lấy y ∈ f ( A ∪ B ) đó, tồn x ∈ A ∪ B cho y = f ( x) Khi đó,  y = f ( x) ∈ f ( A)  y = f ( x) ∈ f ( B ) ⇒ y ∈ f ( A) ∪ f ( B )  Suy ra, f ( A ∪ B) ⊂ f ( A) ∪ f ( B) Bao hàm thức lại chứng minh tương tự Vậy có, f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) - Các câu lại sinh viên làm tương tự Bài Giả sử f : X → Y ánh xạ A ⊂ X ; B ⊂ Y Chứng minh: a) f −1 ( f ( A)) ⊃ A f ( f −1 ( B )) ⊂ B ; b) f −1 ( f ( A)) = A , với A ⊂ X f đơn ánh c) f ( f −1 ( B)) = B , với B ⊂ Y f toàn ánh Hướng dẫn: Dùng định nghĩa nghịch ảnh hàm số để chứng minh bao hàm thức Lấy y ∈ f ( f −1 ( B)) , có x ∈ f −1 ( B ) để y = f ( x) Mặt khác, x ∈ f −1 ( B ) ⇒ ∃y ' ∈ B : y ' = f ( x ) Nhận thấy y’ = y suy ra, y ∈ B ⇒ f ( f −1 ( B )) ⊂ B 1 x ∈ A 0 x ∉ A Bài Cho A ⊂ X, hàm đặc trưng A χA: X → {0, 1} xác định χ A ( x) =  Chứng minh A ⊂ X, B ⊂ X χA ∩ B(x) = χA (x).χ B(x) với x ∈ X Hướng dẫn: Với x tùy ý thuộc X x ∈ A ∪ B hay x ∉ A ∪ B Nếu x ∉ A ∪ B x ∉ A ∩ B, x ∉ A, x ∉ B ⇒ χA ∩ B(x) = = χA (x).χ B(x) Nếu x ∈ A ∪ B có trường hợp sau:  x ∈ A ∩ B: χA ∩ B(x) = = χA (x).χ B(x)  x ∈ A \ B: χA ∩ B(x) = = χA (x).χ B(x)  x ∈ B \ A: χA ∩ B(x) = = χA (x).χ B(x) Tìm ảnh nghịch ảnh hàm số tập hợp: Bài 1: Cho ánh xạ f : ¡ → ¡ f ( x) = x − 24 x + a) Xác định f ( ¡ ) ; Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương b) Cho A = [-1; 1], xác định f −1 ( A) Hướng dẫn: Có thể khảo sát hàm số để tìm tập giá trị nghịch ảnh hàm số tập hợp a) Ta có: f (¡ ) = ¡ b) Sinh viên tự làm tập nhỏ Bài 2: V Số phức: Tính biểu thức số phức: Dùng cơng thức tính phép cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa số phức đưa dạng lượng giác Ví dụ: Tính biểu thức: a (2 + i)(3 − i ) + (3 + 2i)(4 + i); (5 + i)(7 − 6i ) b ; 3+i c (2 + i)3 + (2 − i )3 ; d (1 + i )5 (1 − i )3 e i n , n ∈ ¢ Hướng dẫn: π  π   nπ   nπ  n e) Ta có: i = Cos  ÷+ i sin  ÷⇒ i = Cos  ÷+ i sin  ÷ 2 2         Các câu lại sinh viên tự làm Bài Tìm dạng lượng giác số phức sau: a) 5; b) – 2; c) -3i; d) + i; e) – i; f) − i; ( ) g) − + i Hướng dẫn: Muốn tìm dạng lượng giác số phức cần tìm r góc ϕ  π π   1+ i =  +i d) Ta có: ÷ =  cos + i sin ÷  2  4 Các câu lại sinh viên làm tương tự Bài Biến đổi dạng lượng giác để tính biểu thức sau: Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương a) (1 + i )1000 ; b) (1 + i 3)150 ; c) ( + i )30 ; 24  i d)  + + ÷ 2÷   12  1− i  e)  ÷ ÷  1+ i  Hướng dẫn: Đưa dạng lượng giác áp dụng công thức Moivre để nâng lên lũy thừa  π π   +i a) Ta có + i =  ÷ =  cos + i sin ÷  Suy ra, ( + i ) 1000 = ( 2) 1000 2  4 1000π 1000π   + i sin  cos ÷= 4   ( 2) 1000 ( cos 250π + i sin 250π ) Các câu lại sinh viên làm tương tự Giải phương trình lượng giác: Ví dụ: 1) Tìm số thực x, y thỏa mãn phương trình sau: a (2 + i ) x + (1 + 2i) y = − 4i; b (3 + 2i) x + (1 + 3i ) y = − 9i Hướng dẫn: a) Ta có: 2x + y + i(x + 2y) = -4i 2 x + y = x = / ⇔  x + y = −4  y = −1/ Suy ra,  b) Làm tương tự 2) Tìm số nguyên dương n nhỏ cho (1 – i )n số dương Hướng dẫn: Ta có: – i = π π   cos − i sin ÷ nên (1 – i )n = 4  ( 2) n nπ nπ   − i sin ÷  cos 4   nπ  nπ  cos > >0 cos ⇔ Để thỏa yêu cầu tốn, phải có:  sin nπ = n = 4k (k ∈ Z)  Do n = Bài 1:Hãy giải phương trình sau £ Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương a x = i; b x = − 4i; c x = −12i; d x − x + + 10i = 0; e x + (2i + 7) x + 13 − i = 2010 Bài 2: Tính z 2010 1 + ÷ z z biết z + = Hướng dẫn: z+ 1 π π = ⇔ z2 − z +1 = ⇔ z = ± i ⇔ z = cos ± i sin z 2 3 Do z2010 = cos 2010 ⇒ z 2010 +  ÷ z 2010π 2010π ± i sin = cos 670π ± i sin 670π = 3 = 1+ = Bài 3: Cho k số thực, a) Tính z = + ki (viết kết dạng đại số) 2k + (k − 1)i b) Tìm k cho z số thực, số ảo Hướng dẫn: (1 + ki )  2k − (k − 1)i  + ki a) z = = 2k + (k − 1)i 4k + (k − 1) = b) Vì k (k + 1) + ( k + 1)i k = + i 2 (k + 1) ( k + 1) ( k + 1) ≠ với k nên khơng có giá trị k để z số thực k +1 Khi k = z số ảo Bài 4: Cho a, b số thực, tìm x y cho (x + ai)(b + yi) = + 3i Hướng dẫn: Áp dụng phép toán số phức khai triển vế trái, áp dụng tính chất hai số phức đưa giải biện luận hệ phương trình với hai ẩn x, y  z+i  Bài 5: Giải phương trình sau tập hợp số phức:  ÷ =1 i−z Hướng dẫn: Đại số Tuyến tính 10 Hướng dẫn giải tập chương Điều kiện: z ≠  u =  −1 + i z +i  Đặt u = , ta có phương trình u3 = ⇔ u = i−z   −1 − i u =  * Với u = z = * Với u = −1 + i z + i −1 + i ⇔z = – = i−z * Với u = −1 − i z + i −1 − i ⇔z = = i−z Biểu diễn hình học tập hợp số phức: Ví dụ: Cho hai số phức z, z' a) Chứng minh | z + z'|2 + | z – z'|2 = 2(|z|2 + |z'|2) b) Giải thích ý nghĩa hình học đẳng thức Hướng dẫn: a) Giả sử z = x + iy , z' = x' + iy', đó: | z + z'|2 + | z – z'|2 = (x + x' )2 + (y + y' )2 + (x – x' )2 + (y – y' )2 = 2x2 + 2x'2 + 2y2 + 2y'2 = 2(|z|2 + |z'|2) Gọi điểm M ( x, y ), M '( x ', y ') biểu diễn hình học số phức z = x + iy, z' = x' + iy' b) N M M' O uuuu r uuuu r Ta có OM = ( x, y ) , OM ' = ( x ', y ') , 10 15 -2 uuuu r uuuuu r uuur uuur uuuu r uuuuu r uuuuuu r uuuuuur OM + OM ' = ON , ON = ( x + x ', y + y ') , OM − OM ' = M ' M , M ' M = ( x − x ', y − y ') -4 Ý nghĩa hình học đẳng thức: hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo tổng bình phương cạnh -6 Đại số Tuyến tính -8 11 Hướng dẫn giải tập chương Bài 1: Cho số phức z = a + ib (a, b số thực) Tìm điều kiện a, b để điểm biểu diễn z nằm đường tròn tâm O, bán kính Hướng dẫn: Gọi M(a, b) điểm biểu diễn z M nằm đường tròn tâm O, bán kính a2 + b2 < Bài 2: Biểu diễn hình học số phức z thỏa điều kiện sau: a) | z – 2| = b) | z + 1| + | z – 1| = Hướng dẫn: a) Gọi M(x, y) biểu diễn hình học số phức z, I(2, 0) biểu diễn hình học số phức z1 = Khoảng cách từ điểm M đến điểm I (cố định) nên tập hợp điểm M tập hợp điểm thuộc đường tròn tâm I bán kính Sinh viên vẽ hình minh họa b) Gọi M(x, y) biểu diễn hình học số phức z, A(–1, 0) biểu diễn hình học số phức z1 = –1, B(1, 0) biểu diễn hình học số phức z2 = Tổng khoảng cách từ điểm M đến điểm cố định A, B nên tập hợp điểm M tập hợp điểm thuộc ellipse(E) (E) có hai tiêu điểm A, B ; nửa trục lớn a = 2; tiêu cự 2c = AB = 2; nửa trục nhỏ b = a − c = − = , phương trình (E) 2 x2 y + =1 Sinh viên vẽ hình minh họa Bài 3: Biểu diễn mặt phẳng phức tập hợp sau: a {z | z |= 3}; b {z | z − + i |≤ 2};   c  z ≤| z |< 2, π ≤ arg(z) ≤ π    d { z | z − 1|≤ 1,| z − − i |< 1} Hướng dẫn: Sinh viên làm tương tự BÀI TẬP CỦNG CỐ: 1) Cho A, B tập hợp, chứng minh rằng: a) (A \ B) ∪ B = A ∪ B b) Tìm điều kiện để (A \ B) ∪ B = A 2) Cho phương trình g ( x) = , h( x) = với g ( x), h( x) đa thức hệ số thực Gọi A1, A2, B tập hợp nghiệm phương trình g ( x) = , h( x) = , g ( x) + h ( x ) = Chứng minh A1 ∩ A2 = B Đại số Tuyến tính 12 Hướng dẫn giải tập chương 3) Cho F tập hợp hàm số thực liên tục [a, b], xét xem quan hệ sau F có quan hệ thứ tự khơng: ∀f , g ∈ F : f S g ⇔ max[a,b] f ≤ max[a,b] g 4) Cho U tập hợp điểm mặt phẳng, O điểm cố định U Trong U xác định quan hệ hai R sau: ∀A, B ∈ U : A R B ⇔ O, A, B thẳng hàng Xét xem R có quan hệ tương đương khơng 5) Giả sử X ∆ tập hợp tam giác, X tập hợp đường tròn mặt phẳng a) Quy tắc cho tương ứng tam giác với đường tròn ngoại tiếp tam giác có phải ánh xạ từ X ∆ đến X không? Tại sao? b) Quy tắc cho tương ứng đường tròn với tam giác nội tiếp có phải ánh xạ từ X đến X ∆ không? Tại sao? 6) Cho tập X gồm m phần tử, tập Y gồm n phần tử Tìm số ánh xạ có từ X đến Y Hướng dẫn: Giả sử X = { x1, x2, …, xm} Y = { y1, y2, …, yn} Khi phần tử xi X có n cách chọn ảnh, suy số ánh xạ có từ X đến Y nm Sinh viên cho ví dụ với giá trị cụ thể m n 7) Giải phương trình sau tập số phức C : (z + 1)6 – = 8) Tìm số phức z thỏa: z + z = Hướng dẫn: Đặt z = x + iy ⇒ z = x − iy , thay vào phương trình giải hệ tìm nghiệm (0, 0) , (–2, 0) , (1, ) , (1, –) , Do có số phức thỏa đkbđ: z1 = ; z2 = –2 ; z3 = + i ; z4 = – i 9) Tính z n + 1 z + = cos α , n số nguyên khác không, α số thực n biết z z 10) Biểu diễn hình học số phức z thỏa điều kiện sau: a) | z – 2| = b) | z + 1| + | z – 1| = 11) Tìm số nghịch phép sau, từ suy đâu phép chẵn, đâu phép lẻ: 1 5 1  1 n  a)  b)  c)  ÷ ÷ ÷ 5 1 1   n n −  12) Cho π phép thuộc Sn , chứng minh sign(π ) = s ign(π −1 ) 1 x ∈ A 0 x ∉ A 13) Cho A ⊂ X, hàm đặc trưng A χA: X → {0, 1} xác định χ A ( x) =  Chứng minh A ⊂ X, B ⊂ X χA ∪ B(x) = χA (x) + χ B(x) – χA ∩ B(x) với x ∈ X Đại số Tuyến tính 13 Hướng dẫn giải tập chương Hướng dẫn Với x tùy ý thuộc X x ∈ A ∪ B hay x ∉ A ∪ B Nếu x ∉ A ∪ B x ∉ A ∩ B, x ∉ A, x ∉ B ⇒ χA ∩ B(x) = = χA (x).χ B(x) Nếu x ∈ A ∪ B có trường hợp x ∈ A ∩ B x ∈ A \ B x ∈ B \ A Tương ứng với trường hợp đó, xét χA ∪ B(x) 14) Chứng minh rằng: a) Mỗi phép bậc n (n>1) phân tích thành tích chuyển trí dạng (k, k+1) ≤ k < n b) Mỗi phép bậc n (n>1) phân tích thành tích chuyển trí dạng (1, k) < k ≤ n 15) Chứng minh phép chẵn phân tích thành tích vòng xích độ dài Đại số Tuyến tính 14 ... a) Ta có phép sau: 1   3 1 3 1  1 3  3 1 =  ÷; π =  ÷; π =  ÷; π =  ÷; π =  ÷; π =  ÷ 1   3 3 1 1  3 2  1 b) Sinh viên làm tương tự Bài Cho X tập hợp có n phần tử... n = Bài 1: Hãy giải phương trình sau £ Đại số Tuyến tính Hướng dẫn giải tập chương a x = i; b x = − 4i; c x = 12 i; d x − x + + 10 i = 0; e x + (2i + 7) x + 13 − i = 2 010 Bài 2: Tính z 2 010 1 ... + (k − 1) i b) Tìm k cho z số thực, số ảo Hướng dẫn: (1 + ki )  2k − (k − 1) i  + ki a) z = = 2k + (k − 1) i 4k + (k − 1) = b) Vì k (k + 1) + ( k + 1) i k = + i 2 (k + 1) ( k + 1) ( k + 1) ≠ với