Chương 5 Không gian VecTo toán cao cấp c2

CHƯƠNG V: KHÔNG GIAN VECTƠ BÀI 1: KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ 1.1 Đn Tập hợp V + phép tốn thỏa tính chất = kgvt V 1.2 Ví dụ: Các không gian vectơ thường gặp 1) ¡ n = { ( x1 , x , , x n ) / x1 , x , , x n ∈ ¡ } Với phép cộng vectơ phép nhân vectơ với số 2) M m×n ( ¡ ) = {các ma trận có cấp m x n với hệ số thực} Với phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số 3) Pn ( ¡ ) = { p ( x ) = a n x n + + a1x1 + a a i ∈ ¡ ,0 ≤ i ≤ n} Với phép cộng đa thức phép nhân đa thức với số BÀI 2: ĐLTT VÀ PTTT I Tổ hợp tuyến tính: Ví dụ 1: Cho vectơ u1 = (1, 0, 0); u2 = (0, 1, 0); u = (2, 3, 0) Hãy tìm mối liên hệ u với u1 , u2 u = (2, 3, 0) = 2(1, 0, 0) + 3(0, 1, 0) = 2u1+ 3u2 Khi ta nói u biểu diễn tuyến tính qua u1 , u2 Ví dụ 2: Cho vectơ u1 = (1, 0, 0); u2 = (0, 1, 0); v = (0, 0, 1) Hãy tìm mối liên hệ v với u1 , u2 Khơng tìm mối liên hệ, tức ∃α1 , α ∈ ¡ cho v = α1 u1 + α u Khi ta nói v khơng biểu diễn tuyến tính qua u1 , u2 II Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính * Nếu (1) có nghiệm tầm thường ta nói u1, u2, …, un ĐLTT * Nếu ngồi nghiệm tầm thường, (1) cịn có nghiệm khác ta nói u1, u2, …, un PTTT Quy ước: Hệ ∅ hệ độc lập tuyến tính II – TỔ HỢP TUYẾN TÍNH ĐLTT VÀ PTTT 2.3 Thuật tốn kiểm tra tính ĐLTT vectơ ¡ n B1: Lập ma trận A cách xếp u1, u2, …, uk thành dịng cột B2: Ví dụ: 1) Kiểm tra ĐLTT hay PTTT hệ vectơ sau: a) B = { e1 = ( 1, 0, ) ;e = ( 0,1, ) ;e = ( 0, 0,1) } kgvt ¡ Ví dụ: 1) Kiểm tra ĐLTT hay PTTT hệ vectơ sau: b) B = { u1 = ( 1, 2, −3) ; u = ( 2,5, −1) ; u = ( 1,1, −8 ) } kgvt ¡ 2) Trong không gian R3 cho hệ vectơ U = { u1 = ( 1, −2,0 ) ; u = ( 2m, m, −1) ;u = ( 1, −1, −m ) } Tìm điều kiện m để U độc lập tuyến tính 3) Trong không gian R4 cho hệ vectơ V = { u1 = ( 1, 2, −1, ) ; u = ( 1, m, − m, ) ; u = ( + m, 2m, − m,3 + m ) } Tìm điều kiện m để V độc lập tuyến tính BÀI 3: CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ I CƠ SỞ 1.1 Định nghĩa: 1.2 Ví dụ: 1) B0 = { e1 = ( 1, ) ; e = ( 0,1) } sở tắc kgvt ¡ 2) B0 = { e1 = ( 1, 0, ) ;e = ( 0,1, ) ;e3 = ( 0, 0,1) } sở tắc ¡ 3) B0 = { e1 = ( 1, 0, , ) ;e = ( 0,1, 0, , ) ; ;e n = ( 0, 0, , 0,1) } sở tắc ¡ n II SỐ CHIỀU 2.1 Định nghĩa: Ta gọi số phần tử sở kgvt V số chiều V, ký hiệu dimV 2.2 Ví dụ: a) { e1 = ( 1, 0, ) ; e2 = ( 0,1, ) ; e3 = ( 0, 0,1) } sở kgvt ta suy dim ¡ = Tổng quát hơn, dim ¡ n =n ¡ 2.4 Thuật toán kiểm tra hệ vectơ sở không gian biết số chiều Ví dụ 1: Bài 4: TỌA ĐỘ MA TRẬN CHUYỂN CƠ SỞ I TỌA ĐỘ 1.1 Mệnh đề: Cho V kgvt n chiều B = {u1, u2, , un} sở V Khi với u ∈ V tồn α1 , α , , α n ∈ ¡ cho u = α1u1 + α u + + α n u n α1 , α , , α n ∈ ¡ xác định mệnh đề gọi tọa độ 1.2 Định nghĩa: Bộ n phần tử vectơ u sở B = {u1, u2, , un} Ta ký hiệu [ u] B  α1  α  =  2  M   α n  1.3 Ví dụ: 1) Trong kgvt ¡ xét sở tắc B0 = { e1 = ( 1, 0, ) , e = ( 0,1, ) , e3 = ( 0, 0,1) } Tìm tọa độ vectơ: a) u = (1, -2, 4) b) x = (x1, x2, x3) Ví dụ: Trong khơng gian ¡ Cơ sở tắc (I) e1 = (1, 0); e2 = (0, 1) Cơ sở (II) e’1 = (1, 1); e’2 = (2, 3) Vectơ a có tọa độ Vectơaacócótọa tọa Vectơ độđộ a = (8, 11) a = (a =? a 1=, a (2, 2) 3) Ma trận P = ? [a](I) = P [a](II) tọa độ (I) = P x tọa độ (II) P: ma trận chuyển từ sở (I) sang sở (II) II Ma trận chuyển sở 2.1 Định nghĩa Giả sử B1 = {u1, …, un} B2 = {v1, …, vn} hai sở kgvt V Với j = 1, 2, …, n; tìm tọa độ vj sở B1 ta có [ v1 ] B  p11   p1n  p  p  =  21  ; ; [ v n ] B =  2n   M  M      p n1   p nn  Đặt  p11 p12 p p 22 21  P=  M M   p n1 p n K K O K p1n  p 2n  M  p nn  Khi P đ.g.l ma trận chuyển sở từ B1 sang B2, ký hiệu PB → B Nếu u có tọa độ [ u ] B sở B1 tọa độ sở B2 [ u] B = PB1 →B2 [ u ] B [ u] B 2.3 Ví dụ 1) Gọi B0 = { e1 = ( 1, ) , e = ( 0,1) } sở tắc ¡ B1 = { u1 = ( 2,3) , u = ( 3, ) } sở ¡ a) Tìm ma trận chuyển sở từ B0 sang B1 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang B0 c) Tìm ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 với B2 = { u1 = ( 1,1) , u = ( 0, ) } 2 2.2 Mệnh đề: Với sở tắc B0 hai sở B1 = { u1 , u , , u n } i) PB0 →B1 B2 = { v1 , v , , v n } Khi ma trận có cách dựng vectơ u1, u2, …, un thành cột ( ii) PB1 →B0 = PB0 →B1 ) −1 ( iii) PB1 →B2 = PB0 →B1 ) −1 PB0 →B2 2.4 Các ví dụ 1) Trong không gian ¡ cho hệ vectơ u1 = ( 2m + 1, −m, m + 1) , u = ( m − 2, m − 1, m − ) , u = ( 2m − 1, m − 1, 2m − 1) a) Tìm điều kiện m để B(m) = {u1, u2, u3} sở ¡ b) Tìm ma trận chuyển sở từ B(2) sang sở B(-2) từ B(-2) sang sở tắc B0 c) Tìm tọa độ vectơ u = (2, -2, 0) sở B(2) B(-2) 3) Trong không gian P2 ( ¡ { ) cho hai sở } { B0 = u1 = 1, u = x, u = x ; E = v1 = 1, v = x + 3, v = ( x + ) a) Tìm ma trận chuyển sở từ B0 sang E từ E sang B0 } BÀI 5: KGVT CON I KHÔNG GIAN VECTƠ CON KHƠNG GIAN DỊNG 1.1 Khơng gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa: Cho V kgvt trường K W tập khác rỗng V Ta gọi W kgvt V, ký hiệu W≤V , i) Các phép toán V hạn chế lên W cảm sinh phép toán W, nghĩa ∀u, v ∈ W, α ∈ K, u + v ∈ W, αu ∈ W ii) W kgvt với phép toán cảm sinh 1.1.2 Định lý: Cho W ⊆ V Khi mệnh đề sau tương đương i) W ≤ V (W kgvt V) ii) W ≠ ∅ ∀u, v ∈ W, ∀α ∈ ¡ ta có u + v ∈ W αu ∈ W iii) W ≠ ∅ ∀u, v ∈ W, ∀α, β∈ ¡ ta có αu + βv ∈ W Ví dụ: 1) Cmr W = ({ x1 , x , x ) ∈ ¡ x = x = 0} ≤ ¡ 2) Cmr W = { ( x1 , x ) ∈ ¡ } x1 + x = ≤ ¡ 1.2 Không gian vectơ sinh hệ vectơ Khơng gian dịng 1.2.1 Định lý: Cho V kgvt hệ S = { u1 , u , , u n } ⊆ V Đặt S = u1 , u , , u n = { u = α1u1 + α u + + α n u n α i ∈ ¡ ,1 ≤ i ≤ n} Khi kgvt V đ.g.là không gian sinh S Nếu ta xếp vectơ u1 = ( a11 , , a1n ) ; ; u m = ( a m1 , , a mn ) thành dòng ta ma trận A:  a11 a12 a a 22 21  A=  M M  a m1 a m2 1.2.2 Nhận t:1.2.3 Mệnh đề: K K O K a1n  a 2n  M  a mn  Ta gọi WA = u1 , u , , u m khơng gian dịng A S = u1 , u , , u n = WA bdsc A  →B ⇒ W =W 1.2.4 Thuật tốn tìm sở số chiều khơng gian dịng (kg sinh hệ vectơ) Vì vectơ dịng ma trận bậc thang ln ĐLTT nên chúng tạo thành sở khơng gian dịng Bước 1: Dùng phép BĐSCTD để đưa A dạng bậc thang B Bước 2: * Số chiều khơng gian dịng số dòng khác B * Các vectơ dòng khác B tạo thành sở không gian dịng Ví dụ: 1) Tìm sở số chiều khơng gian dịng ma trận 1 2 A= 3   −1 3) Trong kgvt ¡ 4  1  −3 cho hệ vectơ S = { u1 = ( 1, 2,1) , u = ( 3, 6,5 ) , u = ( 4,8, ) , u = ( 8,16,12 ) } Tìm sở số chiều II – KHƠNG GIAN NGHIỆM CỦA HPTTT THUẦN NHẤT Ví dụ: Tìm sở số chiều khơng gian nghiệm hpttt  x1 − 2x + x − x =  a)  x1 + 2x + x + x = 2x + 2x =   x1 + 2x + x =  b) 2x1 + 5x + x = 3x + x + 8x =  ... {u1, u2, u3} sở ¡ b) Tìm ma trận chuyển sở từ B(2) sang sở B (-2 ) từ B (-2 ) sang sở tắc B0 c) Tìm tọa độ vectơ u = (2, -2 , 0) sở B(2) B (-2 ) 3) Trong không gian P2 ( ¡ { ) cho hai sở } { B0 = u1 =... B0 sang E từ E sang B0 } BÀI 5: KGVT CON I KHƠNG GIAN VECTƠ CON KHƠNG GIAN DỊNG 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa: Cho V kgvt trường K W tập khác rỗng V Ta gọi W kgvt V, ký hiệu W≤V , i) Các... 1, 0, ) ;e = ( 0,1, ) ;e = ( 0, 0,1) } kgvt ¡ Ví dụ: 1) Kiểm tra ĐLTT hay PTTT hệ vectơ sau: b) B = { u1 = ( 1, 2, −3) ; u = ( 2 ,5, −1) ; u = ( 1,1, −8 ) } kgvt ¡ 2) Trong không gian R3 cho hệ