chương 2 không gian vectơ

Vectơ n chiều sau đây được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ai với các hệ số  i i1,m.. aTìm điều kiện cho các thành phần của u1,u2,u3 của vectơ u để u có thể biểu thị tuyến tính

Chương 2 : KHÔNG GIAN VECTƠ

2.1 Không gian vector n chiều

2.1.1 Vectơ n chiều

1 Định nghĩa Một vectơ n chiều là một bộ n số thực x = (x1,x2,…,xn)

 xj: tọa độ thứ j của vectơ x (j = 1,n )

 Vectơ không : 0 = (0,0,…,0)

 Vectơ đơn vị : e1 = (1,0,…,0) , e2 = (0,1,0,…,0) ,…, en = (0,0,…0,1)

 Dạng ma trận cột : X = [x] =

































n

x

x x

2 1

2 Phép toán trên các vectơ n chiều

a Phép cộng 2 vectơ n chiều

 Cho x = (x1,x2,…,xn) và y = (y1,y2,…,yn) Tổng của 2 vectơ x và y

là vectơ n chiều :

x + y = (x 1 +y 1 ,x 2 +y 2 ,…,x n +y n )

b Phép nhân một số thực với một vectơ n chiều

 Cho x = (x1,x2,…,xn) và R Tích của số  với vectơ x là vectơ

n chiều

x = (x1, x2,…,  xn)

Ghi chú

 Vectơ (-1)x = (-x1,-x2,…,-xn) gọi là vectơ đối của vectơ x ,

ký hiệu : -x

 Vectơ x + (-1)y được ký hiệu x – y và gọi là hiệu của vectơ x và y

3 Tính chất các phép tóan

Cho x,y,z là các vectơ n chiều và  , R

1) x + y = y + x 2) ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 3) x + 0 = x

4) x + (-x) = 0 5)  ( x + y ) = x +  y 6) ( +  )x =  x +  x 7) (  )x =  (  x) =  ( x)

8) 1.x = x

2.1.2 Hệ vectơ n chiều

1 Tổ hợp tuyến tính

a Định nghĩa

Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều và iR (i1,m) Vectơ n chiều sau đây được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vectơ ai với các hệ số  (i i1,m)

m

m a a

a

a1 12 2  

Ta còn nói vectơ a được biểu thị tuyến tính qua các vectơ ai với các hệ số  i

b Ví dụ

Ví dụ 1 Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,0,1) , a2=(1,2,0) và a3=(0,-1,1)

a)Tìm tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 với các hệ số là 2,-1,3

b)Cho vectơ v=(5,3,4) Vectơ v có thể biểu thị tuyến tính qua 3 vectơ

a1,a2,a3 hay không ?

Giải

a Giả sử u là tổ hợp tuyến tính của các vector a1, a2, a3 với các hệ số: 2,

-1, 3 Suy ra: u = 2.a1 – 1a2 + 3a3

2(1,0,1) (1, 2,0) 3(0, 1,1) (1, 5,5)

u

b Giả sử vector v biểu thị tuyến tính được qua a a a1, ,2 3với các hệ số:

1, ,2 3

3

1 4



 



Vậy vector v biểu thị tuyến tính được qua a a a1, ,2 3 với các hệ số: 3, 2, 1

Ví dụ 2 Cho 3 vectơ 3 chiều a=(1,1,0),b=(0,2,1) và u=(u1,u2,u3)

a)Tìm điều kiện cho các thành phần của u1,u2,u3 của vectơ u để u có thể biểu thị tuyến tính theo a và b

b)Cho các vectơ v =(2,4,1) và w=(1,2,3) Vectơ nào biểu thị tuyến tính được theo 2 vectơ a và b?

Giải

a Giả sử vector u biểu thị tuyến tính được qua a b, với các hệ số:   1, 2 Khi đó:











 Vậy với u2  u1 u3 thì vector u biểu thị tuyến tính được qua a và b

b Với v(2, 4,1)v2  v1 2v3 Vậy vector v biểu thị tuyến tính được qua

a, b

 Với u(1, 2,3)v2  v1 2v3 Vậy vector u không biểu thị tuyến tính được qua a, b

2 Sự độc lập và phụ thuộc tuyến tính

a Định nghĩa

Cho a1,a2,…,am là m vectơ n chiều

 Hệ vectơ {ai } (i1,m) độc lập tuyến tính nếu

m

m a a

1 1 2 2  = 0   = 0 (i i1,m)

 Hệ vectơ {ai } (i1,m) phụ thuộc tuyến tính nếu nó không độc lập tuyến tính ,nghĩa là tồn tại i 0 sao cho 1a12a2 m a m= 0

Ví dụ 1 Chứng tỏ hệ các vectơ đơn vị 3 chiều {e1,e2,e3} độc lập tuyến tính

 Ta có biểu thị tuyến tính của vector 0 qua hê {e ,e ,e } với các hệ số 1 2 3 { , , }   1 2 3 Khi đó:

1

3

0













 Vậy hệ {e ,e ,e } độc lập tuyến tính 1 2 3

Ví dụ 2 Hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính

U = {u1,u2,u3} với u1 = (1,1,1) , u2 = (0,1,1) và u3 = (1,2,3)

 Ta có biểu thị tuyến tính của vector 0 qua hê {u ,u ,u }1 2 3 với các hệ số { , , }   1 2 3

3



 Vậy hệ {u ,u ,u }1 2 3 độc lập tuyến tính

b Định lý Cho n vectơ n chiều

a 1 = (a11,a12, ,a1n)

a 2 = (a21,a22, ,a2n)

………

A n = (a n1,a n2, ,a nn)

Đặt : A =

























nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

.

.

2 1

2 22

21

1 12

11

Hệ vectơ {ai } (i1,n) độc lập tuyến tính  A 0

Hệ vectơ {ai } (i1,n) phụ thuộc tuyến tính  A= 0

Ví dụ 1 Chứng minh rằng hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính

a1=(2,1,1) , a2=(-1,1,4) và a3=(1, 1,-2)

Lập

Vậy hệ {a ,a ,a }1 2 3 độc lập tuyến

tính

Ví dụ 2 Định m để hệ vectơ sau đây độc lập tuyến tính

a1=(1,0,1) , a2=(2,m,-1) và a3=(0, 2, 2)

Lập

Vậy hệ {a ,a ,a }1 2 3 độc lập tuyến tính khi m  3

Ghi chú: Hệ n vectơ đơn vị n chiều {ei } (i1,n) độc lập tuyến tính

c Tính chất của sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

Định lý 1: {a} độc lập tuyến tính  a0

Định lý 2: {ai } độc lập tuyến tính  ai 0 , i1,m

Hệ quả : Nếu  ai = 0 thì {ai } phụ thuộc tuyến tính

Định lý 3:

* Nếu {ai } (i1,m) độc lập tuyến tính thì mọi hệ vectơ con của {ai}

đều độc lập tuyến tính

* Nếu {ai } (i1,m) phụ thuộc tuyến tính thì mọi hệ chứa hệ {ai }

đều phụ thuộc tuyến tính

Định lý 4: Hệ vectơ {ai } (i1,m) phụ thuộc tuyến tính   ai , ai

biểu thị tuyến tính theo các vectơ còn lại

3 Hạng của một hệ vectơ n chiều

a Định nghĩa Cho hệ m vectơ n chiều {ai } (i1,m) Số vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn được từ hệ này là hạng của hệ ,ký hiệu : r(a 1 ,a 2 ,…,a m )

b Cách tìm hạng của vectơ n chiều

Cho hệ m vectơ n chiều

a 1 = (a11,a12, ,a1n)

a 2 = (a21,a22, ,a2n)

a m = (a m1,a m2, ,a mn)

Đặt : A =

























mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

.

.

2 1

2 22

21

1 12

11

Ta có : r(a 1 ,a 2 ,…,a m ) = r(A)

Kết quả:

 Hệ {ai } (i1,m) độc lập tuyến tính  r(a1,a2,…,am) = m

 Hệ {ai } (i1,m) phụ thuộc tuyến tính  r(a1,a2,…,am) < m

Ví dụ Tìm hạng của hệ vectơ 4 chiều sau đây ,từ đó xét tính độc lập tuyến tính hay phụ

thuộc tuyến tính của chúng :

a) a1=(1,-1,5,-1) , a2=(1,1,-2,3) và a3=(3, -1,8,1)

Lập

A

Suy ra r A( )r a{ ,a ,a ,a }=21 2 3 4 Do r a{ ,a ,a ,a }=2< 31 2 3 4 n nên hệ phụ thuộc tuyến tính

b) a1=(1,2,1, 1) , a2=(2,5,1,6) và a3=(-1,-4,2,2)

Lập

A

Suy ra r A( )r a{ ,a ,a ,a }=31 2 3 4 Do r a{ ,a ,a ,a }=3 = 1 2 3 4 n nên hệ độc lập tuyến tính

1 Định nghĩa Tập hợp các vectơ n chiều với 2 phép tóan : cộng 2 vectơ và nhân

vectơ với 1 số thực tạo thành một cấu trúc đại số gọi là “không gian vectơ n chiều “ và

ký hiệu là Rn

2 Cơ sở của R n

a Định nghĩa Một hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính trong Rn được gọi là

một cơ sở của Rn

Ghi chú:

 Hệ gồm n vectơ đơn vị n chiều { ei } ( i = 1,n ) là một cơ sở của Rn và được

gọi là “ cơ sở chính tắc “ của Rn

 Hệ {ai } (i = 1,n ) là cơ sở của Rn  r(a1,a2,…,an) = n

b Ví dụ Hệ vectơ nào sau đây là là cơ sở của R3

a) a1 = (1,0,1) , a2 = (1,0,0) b) b1 = (1,1,2) , b2 = (0,1,3) , b3 = (-1,1,4) , b4 = (1,0,1) c) c1 = (1,1,3) , c2 = (-1,1,-1) , c3 = (5,-2,8)

d) d1 = (1,1,0) , d2 = (2,2,1) , d3 = (1,0,1)

3 Tọa độ của một vectơ trong một cơ sở của R n

a Định lý Cho (u) ={ ui } (i= 1,n) là một cơ sở của Rn Mọi vectơ x của Rn đều biểu thị tuyến tính được theo các vectơ cơ sở , nghĩa là tồn tại bộ n số thực (x1,x2,…,xn) sao cho : x = x1u1 + x2u2 + …+ xnun

b Định nghĩa Bộ n số thực (x1,x2,…,xn) trong định lý trên gọi là tọa độ của vectơ x trong cơ sở (u) và ký hiệu:

x/(u) = (x1,x2,…,xn)(u)

Ghi chú: Ta thấy đối với cơ sở chính tắc (e) = { ei }

x = (x1,x2,…,xn) = x e1 1x e2 2  x e n n

Vậy : x/(e) = x = (x1,x2,…,xn)

Do đó khi thấy x = (1,2,3) ta hiểu đó là tọa độ của x trong cơ sở chính tắc

R cho các vector u1 (3,1, 4); u2 (2,5,6);u3 (1, 4,8)

a Chứng minh rằng U {u ,u ,u }1 2 3 là một cơ sở của R3

b Tìm tọa độ của x(3, 2,1) trong cơ sở U

Giải

a Cách 1:

U gồm có 3 vector 3 chiều Lập

A



Suy ra A  26 0  Do đó U độc lập tuyến tính

Vậy U là một cơ sở của R3

Cách 2:

Lập

A



Suy ra : r A( )r U( ) 3 Vậy U là một cơ sở của R3

b Giả sử x/U ( , , )x x x1 2 3  x x u1 1x u2 2x u3 3







 Giải hệ phương trình ta có nghiệm là : ( , , )1 2 3 31, 27 3,

26 26 2

Vậy / 31, 27 3,

26 26 2

U

4 Ma trận đổi cơ sở

 Trong n

R cho hai cơ sở: U {u ,u , ,u }1 2  n và V {v ,v , ,v }1 2  n

 Giả sử các vector của cơ sở V có biểu thị tuyến tính qua cơ sở V như sau

n n

n n







Suy ra, tọa độ của các vector ở các vector ở cơ sở V trong cơ sở U là

n n







U

U

U





 Lập ma trận A với cột thứ j là tọa độ của vector v j /U ta được

n n

A









Định nghĩa Ma trận A được gọi là ma trận đổi cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V

của n

R

R cho các vector u1(1,1, 2);u2  ( 1,1,1);u3 (2, 1,0)

a Chứng minh rằng U {u ,u ,u }1 2 3 là một cơ sở của R3

b Tìm ma trận A chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U

c Tìm ma trận nghịch đảo của A

d Tìm ma trận B chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc Nhận xét về B và A-1

Giải

R chỉ cần chứng minh U độc lập tuyến tính

Lập

Suy ra U độc lập tuyến tính

Vậy U là một cơ sở của 3

R

b Ta có u1/E (1,1, 2);u2/E  ( 1,1,1);u3/E (2, 1,0)

Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở chính tắc sang cơ sở U là :

A



c 1

A



d Giả sử e1/U ( ,  1 2, )3  e1 1.u12.u23.u3

3



 

Vậy e1/U (1, 2, 1)  Tương tự e2/U (2, 4, 3)  và e3 /U  ( 1,3, 2)

Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở chính tắc là :

1



Chú ý : Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V thì A-1 là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U

5 Công thức đổi tọa độ

Nếu A là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V của n

R thì :

    x/U  A x/V hoặc là  x/V   A1 x/U

R cho các vector

1 (1,1,1); 2 ( 1,1, 2); 3 (1, 2,3)

1 (2,1, 1); 2 (3, 2,5); 3 (1, 1, )

a Chứng minh rằng U {u ,u ,u }1 2 3 là một cơ sở của 3

R Tìm tạo độ của vector x( , , )a b c trong cơ sở U

b Tìm m để V {v ,v ,v }1 2 3 là một cơ sở của 3

R

c Cho m = 1 Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V và ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U

d Cho m = 1 và x/V (1, 2,3) Tìm x/U ?

Giải

a U là một cơ sở của 3

R (chứng minh tương tự ví dụ 1) Giả sử x/U ( , , )x x x1 2 3  x x u1 1x u2 2x u3 3

a







Lập

Suy ra nghiệm của hệ là : x x x1 , , 2 3 (a b c a  ,  2b c b a ,  )

Vậy x/U x x x1 , , 2 3 (a b c a  ,  2b c b a ,  )

b V có ba vector 3 chiều Để V là cơ sở của 3

R chỉ cần tìm m để V độc lập tuyến tính

Lập

m



Vậy với m  20 thì V là một cơ sở của 3

R

c Giả sử v1/U ( ,  1 2, 3) v1 1 1u 2 2u 3 3u

3

4

a b c



Vậy v1 /U 4, 1, 1    Tương tự v2/U (0, 4, 1) và e3/U  ( 1, 4, 2)

Do đó ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở U sang cơ sở V là :

A



Bây giờ ta tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U

Cách 1: Ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U là

1

1

21

A

Cách 2: Giả sử u1/V ( ,  1 2, 3)u11 1v 2 2v 3 3v

1

3

4

2

21



 



Vậy 1/ 4 2, , 5

21 7 21

U

Tương tự 2/ 1 3, , 4

21 7 21

U

4 5 16

21 7 21

U

Vậy ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở V sang cơ sở U là :

1

21

B

d Đặt x/U x x x1 , , 2 3

Áp dụng công thức đổi tọa độ từ cơ sở U sang cơ sở V , ta có :

3

x

x





             

 

Vậy x/U x x x1 , , 2 3 (1,3, 5) 

2.2 Không gian vector

2.2.1 Định nghĩa không gian vectơ

Cho V là tập hợp khác rỗng có các phần tử kí hiệu là : a,b,c,… và R là tập hợp số thực

có các phần tử kí hiệu là ,, …

Trên V cho hai phép toán :

 Phép cộng hai phần tử của V :

VV  V

(a,b) a + b

 Phép nhân một số thực với một phần tử của V :

RV  V

( ,a)  a

Tập hợp V cùng với hai phép toán trên tạo thành một « Không gian vectơ » trên R nếu 8 tiên đề sau đây được thoả mãn : a,b,c V và  ,  R

1) a + b = b + a

2) ( a + b) +c = a + (b + c)

3) Tồn tại phần tử không, kí hiệu 0 sao cho : a + 0 = a

4) Tồn tại phần tử đối của a, kí hiệu – a sao cho : a + (- a) = 0

5) (a + b ) = a +b

6) ( +  ) a = a +  b

7) (  )a =(  a )

8) 1.a = a

Khi đó các phần tử của V gọi là các « vectơ », còn các phần tử của R gọi là các « vô hướng »

VD :

 Không gian Rn các vectơ n chiều là một không gian vectơ

 Tập hợp các vectơ hình học có cùng gốc toạ độ 0 trong mặt phẳng toạ độ với phép cộng vectơ theo “quy tắc hình bình hành”, phép nhân vectơ với số thực

 Tập hợp các ma trận cấp mn với phép cộng hai ma trận và phép nhân ma trận với một số thực

2.2.2 Không gian vectơ con

1 Định nghĩa

Cho V là không gian vectơ và WV, W≠ Nếu W cùng với 2 phép toán của V cũng tạo thành một không gian vectơ thì W được gọi là không gian vectơ con của

V

2 Định lý

Cho V là không gian vectơ và WV, W≠

W là không gian vectơ con của V 





























W a R W,

a

W b a W

¦ ,





b a

VD: Cho V=R3 và W={ xR3/ x=(t,0,0) với tR }

CMR W là không gian con của V

2.2.3 Không gian sinh của hệ vector W = <u 1 ,u 2 ,…,u m >

1 Định nghĩa

Cho V là không gian vectơ và u1,u2,…,um V Tập hợp W gồm tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ u1,u2,…,um được gọi là bao tuyến tính của các vectơ

u1,u2,…,um và ký hiệu : W = <u1,u2,…,um>

Vậy : W = <u1,u2,…,um> = {1u1+2u2+…+mum / i R}

2 Định lý

Cho u1,u2,…,um là các vectơ của không gian vectơ V Bao tuyến tính W =

<u1,u2,…,um> của các vectơ u1,u2,…,um là một không gian con của V

Ghi chú :

 Ta còn nói : W là không gian con sinh bởi hệ vectơ {ui} i1,m hay {ui} là

hệ sinh của không gian vectơ W

3 Định lý

 Nếu hệ sinh {ui} i1,m độc lập tuyến tính trong V thì hệ này là cơ sở của không gian con W Lúc đó ta nói không gian con W có số chiều là m và ký hiệu : dimW=m

 Nếu hệ sinh {ui} i1,m phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ vectơ độc lập tuyến tính lớn nhất chọn từ hệ {ui} là cơ sở của W và hạng của hệ vectơ này là số chiều của W

VD1: Trong R4 cho các vectơ : u=(1,1,0,1) và v=(0,1,0,1)

a) Xác định không gian vectơ con W sinh bởi {u,v}.Tìm cơ sở và số chiều của

W

b) Các vectơ x=(1,3,0,3) , y=(1,-1,0,1) có thuộc không gian W hay không ? VD2: Tìm cơ sở và số chiều của không gian con W=<u1,u2,u3> trong các trường hợp :

a) u1=(1,1,2), u2=(-1,1,1), u3=(2,-1,0)

b) u1=(1,1,0), u2=(1,2,1), u3=(-1,0,1)

Ghi chú :

Tập hợp các nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất là một không gian con của Rn ( Không gian con này sinh ra từ các vectơ hệ nghiệm cơ bản )

Ví dụ Giải và tìm không gian nghiệm và cơ sở của không gian nghiệm của hệ phương

trình tuyến tính





    





 Biến đổi ma trận hệ số về dạng bậc thang

A

Suy ra, r A( ) 2 4  Hệ pt có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:

1

3

4

2

6 3 0

2

x

R x

x





 





 





 



Do đó không gian nghiệm của hện phương trình:

W {(-2 , , ,2 )| ,      R}

Suy ra:  x W thì x (-2 , , ,2 )=(-2 , ,0,0)+(0,0, ,2 )= (-2,1,0,0)+ (0,0,1,2)          

Vậy cơ sở của W là: u1  ( 2;1;0;0) và u2 (0;0;1; 2)

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

1 Cho các vectơ 3 chiều : a1=(2,1,0) , a2=(1,-1,1) và a3=(0, 1,-2)

a Tìm vectơ u = 3a1 – 2a2 + a3

b Tìm vectơ x sao cho a1 + x = a2 + a3

c Tìm vectơ v là tổ hợp tuyến tính của a1,a2,a3 với các hệ số 4,3,5

d Vectơ x = (1,2,3) có phải là tổ hợp tuyến tính của các vectơ a1,a2,a3 không ?

2 Cho các vectơ 3 chiều : a1=(1,1,2) và a2=(0,-1,1)

a Các số u1,u2,u3 thỏa điều kiện gì để vectơ u = (u1,u2,u3) là tổ hợp tuyến tính theo a1

và a2

b Vectơ nào sau đây là tổ hợp tuyến tính của a1 và a2 :

x = (1,2,5) ,y = (2,4,2)

3 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :

a a1=(1,3,-1) , a2=(-1,2,1) và a3=(2, -1,-1)

b a1=(1,2,-1) , a2=(4, 1,2) và a3=(2, -3,4)

c a1=(1,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(5, -1,m)

4 Tìm hạng của hệ các vectơ :

a a1=(0,1,2) , a2=(2,-1,1) và a3=(-3, 0,1)

b a1=(1,-2,0,3) , a2=(0,0,1,0) và a3=(0, -2,-1,1)

c a1=(1,2,3, 4) , a2=(-1,2,-3,4) , a3=(0,1,-1,1) và a4=(1,1,1,1)

5 Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau đây :

a a1=(1,-2,0) , a2=(3,2,1) và a3=(0,1,2)

b a1=(1,-1,2,-1) , a2=(2, 1,0,2) và a3=(1, 2,4,-1)

c a1=(1,0,2) , a2=(2,2,1) ,a3=(3, -1,0) và a4=(-1,1,0)

6 Hệ vectơ nào sau đây là cơ sở của R3 :

a a1=(1,7,0) , a2=(1,-5,1)

b a1=(1,0,2,0) , a2=(1, 1,0,1) , a3=(1, 0,4,3) và a4=(0, -2,4, 1)

c a1=(1,0,1) , a2=(2,1,1) và a3=(-3, 2,0)

d a1=(1,1,1) , a2=(0,1,1) và a3=(2, 2,2)

7 Trong R3 cho cơ sở chính tắc (e) và cơ sở (u)={u1,u2,u3} với u1=(0,1,1), u2=(1,0,1),

u1=(1,1,0)

a Tìm ma trận đổi cơ sở từ (e) sang (u)

b Tìm công thức đổi tọa độ từ (e) sang (u)

c Tìm tọa độ của vectơ x = (25,8,51) trong cơ sở (u)

d Tìm tọa độ của vectơ y khi biết tọa độ của y trong cơ sở (u) là (31,12,50)(u)

8 Trong R3 cho các vectơ : u1=(m,1,1), u2=(1,m,1), u3=(1,1,m)

a Tìm m để hệ (u)={u1,u2,u3} là một cơ sở của R3

b Đặt (v)=(u) khi m=0 và (w)=(u) khi m=-1.Chứng tỏ (v) và (w) là hai cơ sở

của R3

c Tìm ma trận đổi cơ sở từ (v) sang (w)