Bài giảng đại số c chương 3 không gian vectơ

Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay ñổi.. Không gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2 V được gọi là không gian vectơ KGVT trên trường s

Trang 1

CHƯƠNG 3

KHÔNG GIAN VECTƠ

-1

Trang 2

Nội dung

1 Không gian vectơ

2 Không gian con của không gian vectơ

3 Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính

Chương 3 Không gian vectơ Chương 3 Không gian vectơ

4 Cơ sở, số chiều và tọa ñộ của KGVT

5 Hệ thức biến ñổi tọa ñộ của vectơ khi cơ sở thay

ñổi Ma trận chuyển cơ sở.

6 Không gian nghiệm.

7 Không gian dòng của ma trận.

Trang 3

Chương 3 Không gian vectơ Chương 3 Không gian vectơ

1 Không gian vectơ:

Định nghĩa 1: Cho V là một tập khác rỗng, trong đó xác định 2

V được gọi là không gian vectơ (KGVT) trên trường số thực R nếu thỏa

mãn các tính chất sau đối với phép cộng và nhân vô hướng:

(Phép hợp thành ngoài)

Các phần tử của V được gọi là các vectơ

3

Trang 4

Chương 3 Không gian vectơ

i Tính giao hoán của phép cộng

Trang 5

Tính ch ất:

Phép trừ trong KGVT được định nghĩa như sau:

u − v = u + − v

i Phần tử 0 trong (iii) và phần tử -u trong (iv) là duy nhất

ii (0 ở vế trái và vế phải khác nhau)

iii (0 ở hai vế giống nhau)

Trang 6

• Ví d ụ:

1 Không gian vectơ Rn:

trong đó các u i và v i là các số thực và được gọi là các thành phần

của vec tơ u và v

Trang 7

Trang 8

Trang 9

9

Trang 10

2 Không gian con c ủa KGVT:

Định nghĩa 2:

Không gian con của KGVT V trên trường số thực R (gọi tắt là

không gian con) là một tập hợp W khác rỗng của V thỏa 2 tích

Trang 11

∈ X

với X và Y là nghiệm của AX = 0

Suy ra điều phải chứng minh

11

Trang 12

Trang 13

3 Ph ụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính:

Hệ các vectơ v1, v2, …,vm của KGVT V được gọi là phụ thuộc

tuyến tính, nếu tồn tại các vô hướng (các số thực), 1, 2, ,

Trang 14

Định lý:

Các vectơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi

có ít nhất một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại

iii , một họ vectơ gồm 1 vectơ, ký hiệu độc lập

tuyến tính khi và chỉ khi

v V

v ≠ 0

Trang 15

Ph ương pháp kiểm tra hệ các vectơ ĐLTT hay PTTT:

Trang 16

Giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất trên ta được:

i Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT

ii Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT

Trang 17

Chương Chương 3 3 Không Không gian gian vectơ vectơ

i Hệ có nghiệm tầm thường suy ra hệ các vectơ ĐLTT

ii Hệ có vô số nghiệm (có nghiệm không tầm thường) suy ra hệ các vectơ PTTT

17

Trang 18

Trang 19

4 C ơ sở, số chiều và tọa độ của KGVT Rn:

hệ các phần tử sinh của Rn, nếu với mọi vectơ v bất kỳ trong Rn

là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ , tức là có thể

biểu diễn v dưới dạng:

{ 1, 2, , }

m

f f f

=B

Trang 20

Định nghĩa 5: (cơ sở của KGVT)

i) n được biểu diễn dưới dạng

v ∈ R

v = α f + α f + + α f

ii) Phương trình chỉ thỏa mãn khi 1 1 2 2 0

Trang 21

Các vô hướng được gọi là các tọa độ của vectơ v trong

v

αα

Trang 22

vectơ không đồng phẳng

1 c

Trang 23

i) Mỗi vectơ v trong Rn được khai triển thành các thành phần một cách duy nhất

ii) Với mỗi cơ sở khác nhau, một vectơ được khai triển thành các thành

Trang 24

Định nghĩa 6: (chiều của của KGVT)

Nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho KGVT V có một cơ sở gồm nvectơ, số nguyên này là duy nhất và được gọi là số chiều của KGVT

Ký hiệu: n = dimV

Nh ận xét:

i) Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V vài) Số chiều của một KGVT chính là số vectơ của mọi cơ sở của V và

cũng là số tối đại các vectơ độc lập tuyến tính của KGVT V

ii) KGVT có số chiều hữu hạn thì gọi là KGVT hữu hạn chiều KGVTtrong đó có thể tìm được vô số vectơ độc lập tuyến tính được gọi làKGVT vô hạn chiều

Trang 25

Định lý:

Trong KGVT Rn, một hệ bất kỳ gồm n vectơ độc tuyến tính thì

tạo thành một cơ sở

Định lý:

Hệ gồm n vectơ trong KGVT Rn độc lập tuyến tính khi và chỉkhi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đókhi định thức của ma trận tạo bởi các thành phần của vectơ đókhác không

25

Trang 26

Để chứng tỏ một hệ n vectơ là một cơ sở trong KGVT Rn ta

cần chứng minh hệ n vectơ này ĐLTT

Trang 27

27

Trang 28

5 H ệ thức biến đổi tọa độ của vectơ khi cơ sở thay đổi Ma trận

chuy ển cơ sở.

là hai cơ sở khác nhau của KGVT Rn

Tọa độ của các vectơ trong cơ sở mới được biểu diễn trong

Trang 29

được gọi là ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở cũ B sang cơ sở

mới B’ (hoặc ma trận chuyển).

Hệ (*) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

F =    f f ⋯ f    1, 2, ,

T n

E =    e e ⋯ e   

29

Trang 30

Định lý:

là ma trận chuyển từ cơ sở B={ei} sang cơ sở B’={fi}

và là ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang cơ sở B Khi đó

Trang 31

Trang 32

Ví d ụ: 100-102/164

Cơ sở chính tắc: E={e1,e2,e3} và cơ sở S={w1=[1,1,1], w2=[1,1,0],

w3=[1,0,0]}

i) Tìm ma trận chuyển từ B sang S

ii) Tìm tọa đô của vectơ bất kỳ v=[a,b,c] trong cơ sở S

iii) Tìm ma trận chuyển từ S sang B

Trang 33

12 13

Trang 34

1 1 1

1 1 0

1 0 0

a b c

Trang 35

Trang 36

1 1

12 13

Trang 38

Trang 39

Trang 40

Nh ận xét:

KG dòng của ma trận sẽ không thay đổi nếu ta áp dụng các phép

biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	1,25 MB