Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ 4.2 Không gian con 4.2.1. Định nghĩa: Cho V là một K – không gian vectơ và W là một tập con khác trống của V. Khi đó W được gọi là một không gian con của V nếu W là một K – không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. 4.2.2. Định lý: Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thoả: (i) (x,y) W2 , x + y W; (ii) K, x W, x W. 4.2.3. Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V là một không con của V. 4.3 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 4.3.1. Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ trên trường K và v, v1, v2, v3, … , vn là các phần tử của V. Ta nói vectơ v là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v1, v2, v3, , vn nếu tồn tại các vô hướng 1, 2, , n K sao cho v = 1v1 + 2v2 + + nvn Ví dụ: Cho V = R3, v = (5, 1, 3), v1 = (1, 1, 1), v2 = (4, 2, 5), v3 = (2, 4, 5) thì v = 3v1 + v2 – v3 4.3.2. Định nghĩa: Họ các vectơ v1, v2, , vn của không gian vectơ V trên trường K được gọi là phụ thuộc tuyến tính , nếu tồn tại các vô hướng 1, 2, , n không phải tất cả đều bằng không, sao cho 1v1 + 2v2 + + nvn= 0 Họ vectơ không phụ tuyến tính được gọi là họ độc lập tuyến tính. Nghĩa là ( 1, , n) Kn, Chú ý: (i) Mọi họ hữu hạn các vectơ, trong đó có vectơ không đều phụ thuộc tuyến tính (ii) v V, {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi v 0 4.1 Khái niệm về không gian vectơ 4.1.1. Định nghĩa Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K hay một K _ không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán đại số (gọi là phép cộng), ký hiệu (+) và một phép nhân vô hướng, ký hiệu (.) thoả mãn các điều kiện sau: i) Tính giao hoán của phép cộng: (x,y) V2, x + y = y + x; ii) Tính kết hợp của phép cộng (x,y,z) V3, (x + y) + z = x + (y + z); iii) Tồn tại trong V một phần tử không, ký hiệu là 0, thỏa mãn x V , x + 0 = x; iv) x V, tồn tại một phần tử đối, ký hiệu là – x, thoả mãn x + ( - x) = 0; v) (x,y) V2, K, (x + y) = x + y; vi) x V, ( ) K2 , ( ) x = x + x; vii) x V, ( ) K2 , ( x) = ( )x ; viii) x V, 1.x = x. Chú ý: Các phần tử của V được gọi là các vectơ và được ký hiệu bởi chữ la tinh nhỏ x,y,z, Các phần tử của trường K được gọi là các vô hướng và được ký hiệu bởi các chữ Hy Lạp nhỏ , 4.1.2. Tính chất: (i) x V, 0.x = 0, trong đó 0 ở vế phải là vectơ không, còn 0 ở về trái là phần tử không của trường K. (ii) x V, - x = (- 1)x (iii) x V, K, -( x) = (- )x = (-x) (iv) .0 = 0 (v) Nếu x = 0 thì hoặc = 0 hoặc x = 0 (vi) . Chương 4: KHÔNG GIAN VECTƠ 4.2 Không gian con 4.2.1. Định nghĩa: Cho V là một K – không gian vectơ và W là một tập con khác trống của V. Khi đó W được gọi là một không gian con của. khi và chỉ khi v 0 4.1 Khái niệm về không gian vectơ 4.1.1. Định nghĩa Ta nói tập hợp V là một không gian vectơ trên trường K hay một K _ không gian vectơ, nếu V được trang bị một phép toán. của V nếu W là một K – không gian vectơ ứng với những phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng lên W. 4.2.2. Định lý: Tập con W của không gian vectơ V là một không gian con của V khi và