a Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A.. b Dùng ma trận nghịch đảo trong trong a, hãy tìm ma trận X thỏa mãn phương trình trên... b Giải hệ phương tình trên theo tham số m... b Tìm ma tr
Trang 1bài tập ôn tập thi kết thúc học phần toán cao cấp C2
Lớp K 19 MTH 102
Bài 1: Cho các ma trận
A =
1 1 1
3 2 1
0 0 1
; B =
a) Tính AB ; A ư1 B
b) Tìm ma trận X để AX = ư3B
Bài 2: Cho các ma trận
A =
1 2 3
0 1 0
1 1 1
; B =
2 ư2 ư3
4 ư2 0
; C =
Ã
2 ư2 6
ư8 4 2
!
a) Tính 2BA ư 5I3 b) Tính A ư1 1
2C T
Bài 3: Tìm ma trận X thỏa mãn:
2 1 ư2
3 5 4
1 4 5
X + 2I3 = 4
5 2
ư2 0
1 5
ư2 1
4 2
ư2 6
T
Bài 4: Cho phương trình AX = B , trong đó A =
1 2 2
1 2 3
1 3 2
; B =
1 ư2 8
0 ư1 4
a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A.
b) Dùng ma trận nghịch đảo trong trong (a), hãy tìm ma trận X thỏa mãn phương trình trên Bài 5: Tìm ma trận f (A) biết:
a) f (x) = ưx3+ 4x ư1 ư 7 và A =
Ã
1 2
4 7
!
b) f (x) = x2ư 3x + 4 và A =
ư1 0 1
2 1 0
1 2 3
Bài 6: Tìm hạng của các ma trận sau theo m:
Trang 2a) A =
ư1 ư2 ư1 m
b) B =
m 1 4 1
2 1 1 1
1 3 1 1
1 1 1 5
1 1 1 1
Bài 7: Tính các định thức sau
a)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
3 0 ư2 5
ư2 6 3 5
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
b)
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2 ư1 ư3 4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ Bài 8: Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp khử Gauss:
a)
x1+ 2x2+ 4x3ư 3x4 = 1
3x1+ 5x2+ 6x3ư 4x4 = 0
4x1+ 5x2ư 2x3+ 3x4 = 0
3x1+ 8x2+ 24x3ư 19x4 = 1
x + y + 3z ư 2t = 1
2x + 2y + 4z ư t = 1 3x + 3y + 5z ư 2t = 1 2x + 2y + 8z ư 3t = 6
c)
x1+ x2+ x3 = 1
3x1+ 2x2ư x3 = 0
2x1ư 4x2 + x3 = 7
4x1+ 8x2ư 3x3 = ư7
2x + y + 2z = 0
x ư y + z = 3
2x + z = 3 2x + 3y + z = ư3
Bài 9: Giải hệ bằng phương pháp Cramer
a)
2x1ư x2ư 2x3 = 5
4x1+ x2+ 2x3 = 1
8x1ư x2+ x3 = 5
x ư y + z = 6
2x + y + z = 3
x + y + 2z = 5
Bài 10: Cho hệ phương trình
x ư z = ưm
3x + y = 1
ưx + 2y + 6z = m
a) Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A =
1 0 ư1
ư1 2 6
b) Giải hệ phương tình trên theo tham số m.
Trang 3Bài 11 Trong không gian R2 xét hai hệ
H1 = {x1 = (1, 0); x2 = (0, 1)}
H2 = {y1 = (2, 1); y2 = (−3, 4)}
a) Chứng minh H1; H2 là hai cơ sở trong không gian R2
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ H1 sang H2
c) Tính [x] H2, rồi từ đó suy ra [x] H1 với x = (3, −5).
d) Cho (y) H2 = (1, 3) , tìm vectơ y ∈ R2
Bài 12 Trong không gian R3 cho hai hệ
B1 = {x1 = (2, 1, 1); x2 = (2, −1, 1); x3 = (1, 2, 1)}
B2 = {z1 = (3, 1, −5); z2 = (1, 1, −3); z3 = (−1, 0, 2)}
a) Chứng minh rằng B1; B2 là các cơ sở trong không gian R3
b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B2 sang B1
c) Cho (x) B2 = (1
2, −1
2 , 0) Tìm tọa độ của x đối với cơ sở B1 và tìm vectơ x ∈ R3
Bài 13 Tìm điều kiện m để:
a) Hệ {u1 = (1, 3); u2 = (−1, m)} sinh ra không gian R2
b) Vectơ x = (2, 0, 6) là tổ hợp tuyến tính của hệ {u1 = (2, 1, 4); u2 = (1, −1, −3); u3 = (3, 2, m)} c) Hệ {u1 = 1 − x + x2; u2 = 2x + mx2; u3 = 2 − x; u4 = −1 − 3x2} là hệ sinh của P2[x] Bài 14.
Hệ các vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) B = {p1 = 1 + 2x + x2; p2 = 3 − x + x2} trong không gian vectơ P2[x]
b) S = {(1, 3, 3); (1, 3, 4); (1, 4, 3); (6, 2, 1)} trong R3
c) W = {(2, 1, 0, 1); (4, 2, 0, 2); (1, 2, 5, 0)} trong R4
d) A = {
Ã
1 2
3 4
!
;
Ã
0 −1
−3 4
!
;
Ã
1 −2
0 1
!
} trong M2(R)
Bài 15 Hệ các vectơ sau có là hệ sinh không ?
a) H = {p1 = 1 + 2x − x2; p2 = −2x + x2; p3 = −1 + 5x; p4 = 2 − x2)}
b) H = {(1, 2, 3, 0); (0, −1, 2, −3); (2, 6, 2, 4); (1, 3, 2, 6)}
Bài 16 Cho hệ {u1 = (1, 2, 3); u2 = (0, 1, 1)} trong R3
a) Chứng minh hệ {u1, u2} là độc lập tuyến tính.
b) Tìm vectơ u3 để {u1, u2, u3} là độc lập tuyến tính.
Bài 17 Trong P2 xét các cơ sở B = {p1, p2, p3} , B 0 = {q1, q2, q3} với:
Trang 4q1 = 3 + x + x2, q2 = 2 − x + 5x2, q3 = 4 − 3x2
a) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ cơ sở B 0 sang cơ sở B.
b) Tìm ma trận tọa độ [p] B với p = −3 + 5x, rồi suy ra [p] B 0
c) Cho [q] B =
1
−2
3
, hãy tìm đa thức q ∈ P2[x]
Bài 18: Tìm tổng nếu có của các chuỗi sau:
1 1
1.3 +
1
3.5 +
1
1
3.4 +
1
4.5 +
1
5.6 + ã ã ã +
1
n(n + 1) +
3 1
1.2.3 +
1
2.3.4+
1
3.4.5 + 4.
1
2.4 +
1
4.6 +
1
6.8 +
5
∞
X
n=1
2n + (−5) n
∞
X
n=1
3 + (−1) n
6n
7 3 − 2 +2
5 −
8
25+
32
125 − Bài 19: Hãy biểu diễn các số sau thành số hữu tỷ
a) 0, 4 = 0, 444444 b) 0, 73 = 0, 737373
c) 7, 6543 = 7, 6543543 d) 0, 254 = 0, 2545454
Bài 20 Xét sự hội tụ hay phân kỳ của các chuỗi số sau:
1
∞
X
n=1
(n − √ n2− n) 2
∞
X
n=1
n
∞
X
n=0
n.lnn
n2− 1
4
∞
X
n=0
3n+ 2
∞
X
n=0
((−1)
n4n n!
∞
X
n=0
n!
(2n)!
1
5n
7
∞
X
n=0
(−1) n n n
∞
X
n=1
n2+ 5
∞
X
n=1
(3n + 1)!
8n n2
10
∞
X
n=1
3n (n!)2
∞
X
n=1
1
5n
³
1 − 2
n
´n2
12
∞
X
n=1
(−1) n n
n2+ 1
13
∞
X
n=1
1
√
∞
X
n=2
³2n2+ 2n + 1 5n2+ 2n + 1
´n
15
∞
X
n=1
4n+ 2n
5n + 3n
Trang 516 2
1 +
22
210 + 2
3
310 + 2
4
410 + 17 ³ 1 + n
1 + n2
´2
18
∞
X
n=1
(−1) n n + 3
∞
X
n=2
n(−3) n
∞
X
n=2
(−1) n ³n3− 5n
2n3+ 1
´2n
Bµi 21 T×m b¸n kÝnh héi tô vµ miÒn héi tô cña c¸c chuçi lòy thõa sau:
1)
∞
X
n=0
x n
∞
X
n=0
(x − 4) n
∞
X
n=0
n(x + 3) n
n5+ 1 4)
∞
X
n=0
(x + 5) n
∞
X
n=0
(x − 1) n
∞
X
n=1
(−1) n (x − 2) n
n + 5
7)
∞
X
n=1
(−1) n−1 x n
(n + 1)3 n 8)
∞
X
n=1
∞
X
n=1
(x − 4) n
√ n
10)
∞
X
n=1
(3x − 2) n
∞
X
n=1
n(x + 2) n
∞
X
n=1
(−1) n x 2n
22n (n!)2