DSTT CNTT HK2 2015 2016 chuong 4 anh xa tuyen tinh

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016 Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH lvluyen@hcmus.edu.vn http://www.math.hcmus.edu.vn/∼luyen/dsb1 FB: fb.com/daisob1 Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 1/29 Nội dung Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định nghĩa Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 2/29 4.1 Định nghĩa Ánh xạ Ánh xạ tuyến tính lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 3/29 4.1.1 Ánh xạ Định nghĩa Một ánh xạ f từ tập X vào tập Y phép liên kết từ X vào Y cho phần tử x X liên kết với phần tử y Y, ký hiệu: y = f (x) f : X −→ Y x −→ y = f (x) Khi X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 4/29 Khơng ánh xạ Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ • g : R3 → R2 xác định g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) ánh xạ • h : Q → Z xác định h( m n ) = m không ánh xạ lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 5/29 4.1.2 Ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho V W hai khơng gian vectơ R Ta nói ánh xạ f : V −→ W ánh xạ tuyến tính thỏa hai điều kiện sau: i) f (u + v) = f (u) + f (v) với u, v ∈ V ; ii) f (αu) = αf (u) với α ∈ R với u ∈ V Nhận xét Điều kiện i) ii) định nghĩa thay điều kiện : f (αu + v) = αf (u) + f (v), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V Ký hiệu • L(V, W ) tập hợp ánh xạ tuyến tính từ V vào W • Nếu f ∈ L(V, V ) f gọi tốn tử tuyến tính V Viết tắt f ∈ L(V ) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 6/29 Ví dụ Cho ánh xạ f : R3 −→ R2 xác định f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 2x + z) Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính Giải Với u = (x1 , y1 , z1 ), v = (x2 , y2 , z2 ) ∈ R3 Ta có f (u + v) = f (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 ) = ((x1 + x2 ) + 2(y1 + y2 ) − 3(z1 + z2 ), 2(x1 + x2 ) + (z1 + z2 )) = (x1 + x2 + 2y1 + 2y2 − 3z1 − 3z2 , 2x1 + 2x2 + z1 + z2 ) = (x1 + 2y1 − 3z1 , 2x1 + z1 ) + (x2 + 2y2 − 3z2 , 2x2 + z2 ) = f (u) + f (v) Tính chất ∀α ∈ R, f (αu) = αf (u) kiểm tra tương tự Ví dụ.(tự làm) Cho ánh xạ f : R3 −→ R3 xác định f (x, y, z) = (x + y + z, x − 2y, y − 3z) Chứng tỏ f ánh xạ tuyến tính lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 7/29 Mệnh đề Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi (i) f (0) = 0; (ii) Với u ∈ V, ta có f (−u) = −f (u); (iii) Với u1 , , um ∈ V với α1 , αm , ta có f (α1 u1 + · · · + αm um ) = α1 f (u1 ) + · · · + αm f (um ) Ví dụ Cho f ∈ L(R3 , R2 ) f (1, 2, 1) = (2, 1); f (−1, 2, 3) = (4, −3) Tính f (5, 2, −3)? Giải Ta có (5, 2, −3) = 3(1, 2, 1) − 2(−1, 2, 3) Suy f (5, 2, −3) = 3(2, 1) − 2(4, −3) = (−2, 9) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 8/29 Định lý Cho V W hai không gian vectơ, B = {u1 , u2 , , un } sở V Khi đó, S = {v1 , v2 , , } tập hợp W tồn ánh xạ tuyến tính f : V → W cho f (u1 ) = v1 , f (u2 ) = v2 , , f (un ) =   α1  α2    Hơn nữa, [u]B =     αn f (u) = α1 f (u1 ) + α2 f (u2 ) + · · · + αn f (un ) Ví dụ Trong khơng gian R3 cho vectơ: u1 = (1, −1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (2, −1, 3) a) Chứng tỏ B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1 ) = (2, 1, −2); f (u2 ) = (1, 2, −2); f (u3 ) = (3, 5, −7) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 9/29 Giải a) Chứng tỏ B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3     u1 −1 1 Ta có |A| = 1, suy B độc lập tuyến Lập A = u2 = 1 u3 −1 tính Vì dimR3 = số vectơ B nên B sở R3 b) Tìm ánh xạ tuyến tính f : R3 −→ R3 thỏa: f (u1 ) = (2, 1, −2); f (u2 ) = (1, 2, −2); f (u3 ) = (3, 5, −7) Cho u = (x, y, z) ∈ R3 , ta tìm [u]B Lập ma trận mở rộng     0 x−y−z 1 x (u1 u2 u3 |u ) = −1 −1 y → 0 2x + y − z  1 z 0 −x + z lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 10/29 4.2.1 Khơng gian ảnh Định nghĩa Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Ta đặt Imf = {f (u) | u ∈ V } Khi Imf khơng gian W , ta gọi Imf không gian ảnh f Định lý Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính Khi đó, S = {u1 , u2 , , um } tập sinh V f (S) = {f (u1 ), f (u2 ), , f (um )} tập sinh Imf lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 16/29 Nhận xét Dựa vào Định lý trên, để tìm sở Imf , ta chọn tập sinh S V (để đơn giản ta chọn sở tắc) Khi Imf sinh tập ảnh S Ví dụ Cho f : R3 → R3 xác định bởi: f (x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z) Tìm sở Imf ? Giải Gọi B0 = {e1 , e2 , e3 } sở tắc R3 Ta có f (e1 ) = f (1, 0, 0) = (1, 2, 3), f (e2 ) = f (0, 1, 0) = (1, 3, 5), f (e3 ) = f (0, 0, 1) = (−1, −1, −1) Ta có Imf sinh {f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 17/29       f (e1 ) 3 5→ 0 2 Lập ma trận A = f (e2 )=  f (e3 ) −1 −1 −1 0 Do Imf có sở {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)} Ví dụ.(tự làm) Cho f : R3 → R4 xác định bởi: f (x, y, z) = (x + 2y − 3z, 3x + 2y, 2x + 2y − z, 4x − y + 5z) Tìm sở Imf ? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 18/29 4.3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Định nghĩa Cho B = (u1 , u2 , , un ) sở V, C = (v1 , v2 , , vm ) sở W f ∈ L(V, W ) Ta đặt P = ([f (u1 )]C [f (u2 )]C [f (un )]C ) Khi ma trận P gọi ma trận biểu diễn ánh xạ f theo cặp sở B, C, ký hiệu P = [f ]B,C (hoặc [f ]CB ) Nhận xét Khi V = Rn , W = Rm , ta có phương pháp tìm [f ]B,C sau: Tính f (u1 ), f (u2 ), , f (un ) Đặt M = (v1 v2 vm | f (u1 ) f (u2 ) f (un ) ) Dùng thuật toán Gauss-Jordan, đưa M dạng (Im | P ) Khi [f ]B,C = P lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 19/29 Ví dụ Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f (x, y, z) = (x − y, 2x + y + z) cặp sở B = (u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)), C = (v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)) Tìm [f ]B,C ? Giải Ta có f (u1 ) = (0, 3), f (u2 ) = (−1, 3), f (u3 ) = (0, 4) Lập (v1 v2 | f (u1 ) f (u2 ) f (u3 ) ) = → −1 3 11 −3 −6 −4 Vậy [f ]B,C = lvluyen@hcmus.edu.vn 11 −3 −6 −4 Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 20/29 Ví dụ.(tự làm) Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định f (x, y, z) = (2x + y − z, −y + 2z) cặp sở B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (1, 0, 1), u3 = (0, 1, 1)} C = {u1 = (1, 2), u2 = (3, 5)} Tìm [f ]B,C ? Đáp án [f ]B,C = −18 −1 Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 định f (x, y, z, t) = (x − 2y + z − t, x + 2y + z + t, 2x + 2z) Tìm ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp sở tắc Giải  [f ]B0 ,B0 lvluyen@hcmus.edu.vn  −2 −1 1 = 1 2 Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 21/29 Định nghĩa Cho B = (u1 , u2 , , un ) sở V f ∈ L(V ) Khi đo ma trận [f ]B,B gọi ma trận biểu diễn toán tử tuyến tính f , ký hiệu [f ]B Rõ ràng [f ]B = ([f (u1 )]B [f (u2 )]B [f (un )]B ) Ví dụ Cho f ∈ L(R3 ) xác định f (x, y, z) = (2x + y + z, x − 4y + 3z, 2x − y − z) B0 sở tắc R3 Tìm [f ]B0 ? Đáp án [f ]B0 lvluyen@hcmus.edu.vn   1 3 = 1 −4 −1 −1 Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 22/29 Ví dụ Trong khơng gian R3 cho vectơ: u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1) ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − x3 , x1 + 2x2 − x3 , 2x1 − x2 + 3x3 ) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm [f ]B   −1 −8 Đáp án [f ]B = −1 −3 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 23/29 Định lý Cho V W không gian vectơ; B, B C, C tương ứng cặp sở V W Khi đó, với ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có i) ∀u ∈ V, [f (u)]C = [f ]B,C [u]B ii) [f ]B ,C = (C → C )−1 [f ]B,C (B → B ) Hệ Cho B B hai sở không gian hữu hạn chiều V Khi tốn tử tuyến tính f ∈ L(V ) ta có i) ∀u ∈ V, [f (u)]B = [f ]B [u]B ii) [f ]B = (B → B )−1 [f ]B (B → B ) Ví dụ Trong khơng gian R3 cho sở B = (u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)) ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 định bởi: f (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y − z, 2x − y + 3z) Tìm [f ]B ? lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 24/29 Giải Gọi B0 sở tắc R3 , ta có   −1 −1 [f ]B0 = 1 −1 Áp dụng hệ trên, ta có [f ]B = (B0 → B)−1 [f ]B0 (B0 → B),   (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) =  , 1  (B0 → B)−1 lvluyen@hcmus.edu.vn  −1 −4 −1 = −1 −1 Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 25/29 Suy   −1 −4    −1 [f ]B = −1 −1 2   −8 −13 −31 = −3 −3  −1   −1 −1   −1 3 = −1 1    −8 −3 Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 , biết ma trận biểu diễn f cặp sở B = (u1 = (1, 1, 1); u2 = (1, 0, 1); u3 = (1, 1, 0)) C = (v1 = (1, 1); v2 = (2, 1)) [f ]B,C = −3 Tìm cơng thức f Giải lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 26/29 Cách Do [f ]B,C = −3 Ta có • [f (u1 )]C = Suy f (u1 ) = 2v1 + 0v2 = (2, 2) • [f (u2 )]C = Suy f (u2 ) = v1 + 3v2 = (7, 4) • [f (u3 )]C = −3 Suy f (u3 ) = −3v1 + 4v2 = (5, 1) Cho u = (x, y, z) ∈ R3 Tìm [u]B     0 −x + y + z 1 x  Lập (u1 u2 u3 |u ) = 1 y → 0 x − y 1 z 0 x−z   −x + y + z Vậy [u]B =  x − y  x−z lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 27/29 Suy u = (−x + y + z)u1 + (x − y)u2 + (x − z)u3 Vậy, ta có f (u) = (−x + y + z)f (u1 ) + (x − y)f (u2 ) + (x − z)f (u3 ) = (−x + y + z)(2, 2) + (x − y)(7, 4) + (x − z)(5, 1) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z) Cách Gọi B0 C0 sở tắc R3 R2 Áp dụng công thức ta có [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 ) Ta có • (C → C0 )−1 = (C0 → C) = (v1 v2 ) = 1   1 • (B0 → B) = (u1 u2 u3 ) = 1 1 1 lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 28/29  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1  −1 1 0 =  −1 −1 Vậy [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 )   −1 1 2 −3  −1 0 = 1 −1   −1 1  −1 0 = 1 −1 = 10 −5 −3 −2 Suy f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 29/29 Ví dụ.(tự làm) Cho f tốn tử tuyến tính khơng gian R3 xác định f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 + 3x2 , −2x2 + x3 , 4x1 − x2 + 2x3 ) a) Tìm ma trận biểu diễn f sở tắc R3 b) Tìm ma trận biểu diễn f sở B = (u1 = (−1, 2, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, −3, −2)) lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/04/2016 29/29 ... lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/ 04 /2016 2/29 4. 1 Định nghĩa Ánh xạ Ánh xạ tuyến tính lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/ 04 /2016 3/29 4. 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Một ánh xạ f từ... Chương Ánh xạ tuyến tính 26/ 04 /2016 11/29 4. 2 Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Khơng gian nhân Khơng gian ảnh lvluyen@hcmus.edu.vn Chương Ánh xạ tuyến tính 26/ 04 /2016 12/29 4. 2.1 Không gian nhân Định... = (−1, 3), f (u3 ) = (0, 4) Lập (v1 v2 | f (u1 ) f (u2 ) f (u3 ) ) = → −1 3 11 −3 −6 4 Vậy [f ]B,C = lvluyen@hcmus.edu.vn 11 −3 −6 4 Chương Ánh xạ tuyến tính 26/ 04 /2016 20/29 Ví dụ.(tự làm)