CHUONG 4 ANH XA TUYEN TINH (LOI GIAI)

Bài giảng môn học Đại số A 1 Chương 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 1 / 31 Nội dung Chương 4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Định nghĩa 2. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 3. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 2 / 31 1. Định nghĩa 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ 1.2 Ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 3 / 31 1. Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa. Cho X và Y là hai tập hợp khác rỗng. Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc Y để y = f(x). Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f(x) Nghĩa là ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f(x). Ví dụ. • f : R → R xác định bởi f (x) = x 2 + 2x − 1 là ánh xạ. • g : R 3 → R 2 xác định bởi g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) là ánh xạ. • h : Q → Z xác định bởi h( m n ) = m không là ánh xạ. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 4 / 31 1. Định nghĩa Định nghĩa. Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu ∀x ∈ X, f(x) = g(x). Ví dụ. Xét ánh xạ f(x) = (x − 1)(x + 1) và g(x) = x 2 − 1 từ R → R. Ta có f = g. Định nghĩa. Cho hai ánh xạ f : X → Y và g : Y  → Z trong đó Y ⊂ Y  . Ánh xạ tích h của f và g là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi: h : X −→ Z x −→ h(x) = g(f (x)) Ta viết: h = g o f. Ví dụ. Cho f, g : R → R xác định bởi f (x) = 2x + 1 và g(x) = x 2 + 2. Khi đó f o g(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 2) = 2(x 2 + 2) + 1 = 2x 2 + 5. g o f(x) = g(f(x) = g(2x + 1) = (2x + 1) 2 + 2 = 4x 2 + 4x + 3. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 5 / 31 1. Định nghĩa Ảnh và ảnh ngược của ánh xạ Định nghĩa. Cho f : X → Y là ánh xạ, A ⊂ X, B ⊂ Y . Khi đó: • f(A) = {f(x)|x ∈ A} = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} được gọi là ảnh của A. • f −1 (B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} được gọi là ảnh ngược của B. • f(X) được gọi là ảnh của ánh xạ f, ký hiệu Imf. Ví dụ. Cho f : R → R được xác định f (x) = x 2 + 1. Khi đó: f([1, 3]) = [2, 10] f([−2, −1]) = [2, 5] f([−1, 3]) = [1, 10] f((1, 5)) = (2, 26) f −1 (1) = {0} f −1 (2) = {−1, 1} f −1 (−5) = ∅ f −1 ([2, 5]) = [−2, −1] ∪ [1, 2] Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 6 / 31 1. Định nghĩa Phân loại ánh xạ a) Đơn ánh. Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau. Nghĩa là: ∀x 1 , x 2 ∈ X, x 1 = x 2 ⇒ f (x 1 ) = f(x 2 ). Ví dụ. • f : N → R được xác định f (x) = x 2 + 1 (là đơn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x 2 + 1 (không đơn ánh) b) Toàn ánh. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu f (X) = Y. Nghĩa là: ∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, f (x) = y. Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = x 3 + 1 (là toàn ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x 2 + 1 (không toàn ánh) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 4. Ánh xạ tuyến tính 25/05/2010 7 / 31 1. Định nghĩa c) Song ánh. Ta nói f : X → Y là một song ánh nếu f là đơn ánh và toàn ánh. Ví dụ. • f : R → R được xác định f (x) = 2x + 1 (là song ánh) • g : R → R được xác định g(x) = x 2 + 1 (không song ánh) Ánh xạ ngược Xét f : X → Y là một song ánh. Khi đó, với mọi y ∈ Y , tồn tại duy nhất một phần tử x ∈ X thỏa f (x) = y. Do đó tương ứng y −→ x là một ánh xạ từ Y vào X. Ta Bài tập Trong ánh xạ sau đây, ánh xạ ánh xạ tuyến tính a) f : → , f ( x1 , x , x3 ) = ( x1 , 0, ) b) f : → , f ( x1 , x , x ) = ( x1 , − x3 ) c) f : → d) f : → e) f : → , f ( x1 , x , x , x ) = ( x1 + x , x − x4 ) , f ( x1 , x , x ) = ( x1 x , x ) , f ( x1 , x2 , x ) = ( x1 + 3, x , x3 ) ( ) ( ) ĐS: a) Có Với u = x1 , x , x , v = y1 , y , y ∈ α, β ∈ , ta có f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β y1 , αx + β y , αx + β y ) = ( αx1 + β y1 , 0, ) = α ( x1 , 0, ) + β ( y1 , 0, ) = αf ( x1 , x , x ) + β f ( y1 , y , y ) = αf ( u ) + β f ( v ) ( ) ( ) b) Có Với u = x1 , x , x , v = y1 , y , y ∈ α, β ∈ f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β y1 , αx2 + β y , αx3 + β y ) = ( ( αx , ta có + β y1 ) , − ( αx3 + β y ) ) = α ( x1 , − x ) + β ( y1 , − y ) = αf ( x1 , x , x ) + β f ( y1 , y , y ) = αf ( u ) + β f ( v ) ( ) ( ) α, β ∈ , ta có f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β y1 , αx2 + β y , αx3 + β y , αx4 + β y ) = ( ( αx1 + β y1 ) + ( αx2 + β y ) , ( αx3 + β y ) − ( αx4 + β y ) ) = α ( x1 − x , x3 − x ) + β ( y1 − y , y − y ) = αf ( x1 , x , x , x ) + β f ( y1 , y , y , y ) = αf ( u ) + β f ( v ) c) Có Với u = x1 , x , x , x , v = y1 , y , y , y ∈ d) Không với u = (1,1, ) , v = (1, 0, ) ∈ , ta có f ( u ) = f (1,1, 0) = (1, ) , f ( v ) = ( 0, 0) u + v = ( 2,1, ) , f ( u + v ) = f ( 2,1, ) = ( 2, ) ≠ f ( u ) + f ( v ) = (1, ) e) Không với u = (1, 0, ) , v = ( 0, 0, ) ∈ , ta có f ( u ) = f (1, 0, ) = ( 4, 0, ) , f ( v ) = ( 3, 0, 0) u + v = (1, 0, ) , f ( u + v ) = f ( 2,1, ) = ( 4, 0, ) ≠ f ( u ) + f ( v ) = ( 7, 0, ) Cho f : V → W ánh xạ tuyến tính hai không gian vectơ S = {u1 , u , , u r } hệ vectơ V Chứng minh hệ vectơ {f ( u ) , f ( u ) , , f ( u )} r độc lập tuyến tính (trong W) hệ vectơ S độc lập tuyến tính (trong V) ĐS: Với k1 , k , , k r ∈ f ( k1u1 + k 2u + + k r u r ) = f ( ) cho Do f k1u1 + k 2u + + k r u r = , ánh xạ tuyến tính, f ( k1u1 + k 2u + + k r u r ) = k1f ( u1 ) + k f ( u ) + + k r f ( u r ) {f ( u ) , f ( u ) , , f ( u )} Vì độc r lập tuyến tính nên ta f ( 0) = đẳng có thức k1f ( u1 ) + k f ( u ) + + k r f ( u r ) = kéo theo k1 = k = = k r = Vậy S độc lập tuyến tính Cho ánh xạ f : → xác đònh f ( x, y ) = ( x + 2y, 2x + y ) a) Chứng minh f toán tử tuyến tính { } b) Tìm ma trận f sở B = u1 = ( 2,1) , u = ( 3, ) ĐS: a) Với u = ( x1 , y1 ) , v = ( x2 , y ) ∈ α, β ∈ , ta có f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β x2 , αy1 + β y ) = ( ( αx + β x2 ) + ( αy1 + β y ) , ( αx1 + β x2 ) + ( αy1 + β y ) = α ( x1 + 2y1 , 2x1 + y1 ) + β ( x2 + 2y , 2x2 + y ) ) = αf ( x1 , y1 ) + βf ( x2 , y ) = αf ( u ) + β f ( v ) b) Ta có f ( u1 ) = ( 4, ) , f ( u ) = ( 7, ) ⎛k ⎞ ⎧2k ⎡ f ( u1 ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎪⎨ ⎣ ⎦B ⎜ k ⎟ ⎝ 2⎠ ⎩⎪ k1 + 3k = + 2k ⎧⎪k = −7 ⇔⎨ = ⎩⎪ k = ⎛k ⎞ ⎧2k ⎡ f ( u ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎪⎨ ⎣ ⎦B ⎜ k ⎟ ⎝ 2⎠ ⎩⎪ k1 + 3k = + 2k ⎧⎪k = −10 ⇔⎨ = ⎩⎪ k = ⎛ −7 ⎞ ⎛ −10 ⎞ ⎛ −7 −10 ⎞ Vậy ⎡⎣ f ( u1 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ , ⎡⎣ f ( u ) ⎤⎦ = ⎜ ⎡⎣ f ⎤⎦ = ⎜ ⎟ ⎟ B B B ⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ ⎠ ⎝ Cho ánh xạ tuyến tính f : → xác đònh f ( x1 , x2 , x3 ) = ( 2x1 , x2 − x3 ) { } a) Tìm ma trận f sở B = e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, 0) , e3 = ( 0, 0,1) { } sở C = f1 = (1, ) , f2 = ( 0,1) b) Tìm ma trận f sở B trong 2 { } sở C ′ = f1′ = (1, ) , f2′ = (1,1) { } c) Tìm ma trận f sở B ′ = e1′ = (1,1,1) , e′2 = ( 0,1, ) , e′3 = ( 0, 0,1) sở C ′ ⎛ 2⎞ ⎛ 0⎞ ĐS: a) f ( e1 ) = ( 2, 0) , f ( e2 ) = ( 0,1) , f ( e3 ) = ( 0, −1) cho ⎣⎡ f ( e1 ) ⎦⎤ = ⎜ ⎟ , ⎡⎣ f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ C C ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎛0⎞ ⎛2 0 ⎞ ⎡⎣ f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ Suy ⎣⎡ f ⎦⎤ =⎜ ⎟ B ,C C ⎝ −1 ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎛k ⎞ ⎧k ⎧⎪k1 = −2 + k2 = ⎡ f ( e1 ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎨⎪ ⇔ ⎨ ⎣ ⎦C ′ ⎜ k ⎟ ⎝ 2⎠ ⎩⎪2k1 + k = ⎩⎪ k = ⎛k ⎞ ⎧⎪ k ⎧⎪ k = + k2 = ⎛ −2 −1 ⎞ cho ⎣⎡ f ⎦⎤ b) ⎡⎣ f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎨ ⇔⎨ =⎜ ⎟ B ,C ′ ⎜k ⎟ C′ ⎝ −1 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎩⎪2k1 + k = ⎩⎪k = −1 ⎛k ⎞ ⎧k ⎧⎪k1 = −1 + k2 = ⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎪⎨ ⇔ ⎨ ⎣ ⎦C ′ ⎜ k ⎟ ⎝ 2⎠ ⎩⎪2k1 + k = −1 ⎩⎪ k = c) Ta f ( e1′ ) = f (1,1,1) = ( 2, ) , có f ( e′2 ) = f ( 0,1, ) = ( 0, −1) f ( e′3 ) = f ( 0, 0,1) = ( 0, −1) Ta có ⎛k ⎞ ⎧k ⎧⎪k1 = −2 + k2 = ⎡ f ( e1 ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎪⎨ ⇔ ⎨ ⎣ ⎦C ′ ⎜ k ⎟ ⎝ 2⎠ ⎩⎪2k1 + k = ⎩⎪ k = ⎛k ⎞ ⎧k ⎧⎪k1 = −1 + k2 = ⎛ −2 −1 −1 ⎞ ⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎪⎨ ⎡⎣ f ⎤⎦ cho = ⇔ ⎨ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦C ′ ⎜ k ⎟ B ,C ′ ⎝4 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎩⎪2k1 + k = −1 ⎩⎪ k = ⎛k ⎞ ⎧k ⎧⎪k1 = −1 + k2 = ⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ ⎪⎨ ⇔ ⎨ ⎣ ⎦C ′ ⎜ k ⎟ ⎝ 2⎠ ⎩⎪2k1 + k = −1 ⎩⎪ k = Cho ánh xạ ϕ : → xác đònh ϕ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 − 2x2 , x2 − 2x3 , x3 − 2x4 ) a) Chứng minh ϕ ánh xạ tuyến tính b) Tìm ma trận ϕ cặp sở ( B , C ) , với { } B = e1 = (1, −1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, −1, 0) , e3 = ( 0, 0,1, −1) , e4 = ( 0, 0, 0,1) , { } C = f1 = (1,1,1) , f2 = (1,1, ) , f3 = (1, 0, ) ĐS: a) Với u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , v = ( y1 , y , y , y ) ∈ α, β ∈ , ta có ϕ ( αu + β v ) = ϕ ( αx1 + βy1 , αx2 + β y , αx3 + β y , αx4 + β y ) = ( ( αx + β y1 ) − ( αx2 + β y ) , ( αx2 + β y ) − ( αx3 + β y ) , ( ( αx + βy ) − ( αx4 + β y ) ⎤⎦ = α ( x1 − 2x2 , x2 − 2x3 , x3 − 2x4 ) + β ( y1 − 2y , y − 2y , y − 2y ) = αϕ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) + βϕ ( y1 , y , y , y ) = αϕ ( u ) + βϕ ( v ) b) Ta có ϕ ( e1 ) = ϕ (1, −1, 0, 0) = ( −1, −1, ) , ϕ ( e2 ) = ϕ ( 0,1, −1, ) = ( −2, −1, −1) , ϕ ( e3 ) = ϕ ( 0, 0,1, −1) = ( 0, −2, ...Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 5.1 Định nghĩa và các tính chất căn bản Nhắc lại: * f : D E gọi là đơn ánh nếu x,x’ D, f(x) = f(x’) => x = x’. * f : D E gọi là toàn ánh nếu f(D) = E. * f : D E gọi là song ánh nếu vừa đơn ánh và toàn ánh. * Ánh xạ ngược Nếu f là 1 song ánh thì ứng với mỗi phần tử y D. Khi đó ánh xạ y đi từ E lên D xác định bởi f(x) = y gọi là ánh xạ ngược của f và ký hiệu là f-1 f-1 là song ánh và ta có: f-1 = x <=> y = f(x) 5.1.1. Định nghĩa: Cho V, W là hai không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ f: V W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu: (i) f(v1 + v2) = f(v1) + f(v2), v1, v2 V (ii) f( v ) = f(v) , v V, K Ta có viết lại thành: f( v1 + v2) = f(v1) + f(v2), K, v1, v2 V Ký hiệu L(V, W) là tập hợp tất cả các ánh xạ tuyến tính f đi từ V vào W Ví dụ: f : V = R2 W = R3 (u, v) ( 2u – v, 7v – 5u, 3u + 8v) Đặt x = (u, v) thì f(x) = Như vậy f(x) = AXT, X R2 Với A = Ta kiểm f là ánh xạ tuyến tính, Xét c R và X, Y R2. Ta chứng minh f(cX + Y)= cf(X) + f(Y) Ta có: f(cX + Y) = A(cX + Y)T = A(cXT + YT) = cAXT + AYT = cf(X) + f(Y) Vậy f là ánh xạ tuyến tính 5.1.2. Mệnh đề: Giả sử f: V W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó (i) Nếu E là không gian con của V thì f(E) là không gian con của W; (ii) Nếu F là không gian con của W thì f-1(F) là không gian con của V. Do đó ảnh của ánh xạ tuyến tính f là Im(f) = f(V) cũng là không gian con của W và nhân của f, ker(f) = f-1(0) là không gian con của V. 5.1.3. Mệnh đề: Giả sử f L(V, W). Khi đó (i) Nếu A = { } sinh ra V thì f(A) = {f( 1), f( 2), ,f( 3)} sinh ra f(V), (ii) Nếu A độc lập tuyến tính và f là đơn ánh thì f(A) độc lập tuyến tính. (iii) Nếu B = {b1, , bn } f(V) độc lập tuyến tính và ci = f-1(bi), i = thì C = { c1, , cn } độc lập tuyến tính. 5.1.4. Mệnh đề: (xây dựng ánh xạ tuyến tính khi biết ảnh của 1 cơ sở) Cho B = {e1, ,en} là một cơ sở được sắp của V và u1, , un là n vectơ tuỳ ý của W. Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính f: V W thoả f(ei) = ui, i = . Ví dụ: R2 có cơ sở a = { a1 = ( 3, - 7), a2 = ( -2, 4)} trong R3 chọn sẵn 1= (- 1, 4, 2), 2=(5, -8, 3). Hãy tìm f L( R2, R3) thoả f( 1 ) = 1, f( 2) = 2. Giải Xét = (u, v) R2 tuỳ ý. Ta cần xác định f( ) = f(u, v) Đặt toạ độ theo cơ sở a [ ]a = thì = c1 1 + c1 2 (u, v) = c1(3, -7) + c2(-2, 4) Từ = c1 1 + c1 2 ta có: f( ) = f(c1 1 + c2 2) = c1f( 1) + c2f( 2 ) = ( - 2u – v)(-1, 4, 2) + ( )(5, – 8, 3) = (31u + 13 v, 72u + 32v, 29u + 13v). Vậy f( ) = (31u + 13 v, 72u + 32v, 29u + 13v) 5.2 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính 5.2.1. Định nghĩa: Ma trận D Mm x n(K) có cột thứ j là [f(bj)]C , j = được gọi là ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở B, C ký hiệu Ví dụ: f: R3 R2 (u, v, w) (2u – 7v + w, u - 6v + 9w) R3 có cơ sở Bo = { 1, 2 , 3} R2 có cơ sở = { 1, 2 } Tính f( 1) = (2, ) => [f( )]B’o = f( 2 ) = (-7, -6) => [f( )]B’o= f( 3) = ( , 9) => [f( )]B’o= suy ra: [f = 5.2.2. Định lý: Với mọi x V, [f(x)]C = [f .[x]B Ví dụ: Cho f L(R3, R2) R2 có cơ sở B ={b1 = (- 2, 1), b2 = ( -5, 2)} R3 có cơ sở Bo = { 1, 2, 3,} biết rằng ma trận biểu diễn f theo cặp cơ sở Bo, B: = Tìm f = ? ( viết biểu thức của f) Giải Xét = (u, v, w) R3. Tìm f( ) = f(u, v, w) = ? [f( )]B = [f [ ]Bo Ta có: [ ]Bo = [f( )]B = = f( ) = ( - 3u + v + 4w)b1 + (2u – 2v + 7w)b2 = (-3u + v + 4w)(-2, 1) + (2u – 2v + 7w)(-5, 2) = (-4u + 8v - 43w, u – 3v + Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH (TT) 5.3 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 5.3.1. Mệnh đề: Cho f L(V, W). Khi đó: i) Ký hiệu Im(f) = f(V) = không gian ảnh của ánh xạ tuyến tính f = ảnh của toàn bộ V qua ánh xạ tuyến tính f ii) Nếu a là một cơ sở của V thì f(a) là một tập sinh của Im(f) = f(V). Từ tập sinh f(a) của Im(f), ta sẽ tìm ra một cơ sở của Im(f). iii) Chọn K = { } W thì f-1(K) V Ký hiệu ker(f) = f-1 ( W) ={ V /f( ) = W } Muốn tìm cơ sở cho ker(f) ta chỉ cần tìm cơ sở cho không gian lời giải (không gian nghiệm) của hệ phương trình tuyến tính f(x) = . Ví dụ: f : R4 R4 (u, v, w, t) (u + 2v + 4w – 7t, -3u – 2v + 5t, 2u + v – w – 2t, 3u + v – 3w – t) Tìm cơ sở cho Im(f) Chọn một cơ sở a tùy ý của R4, chẳng hạn: ta chọn cơ sở chính tắc như sau: f( 1) = f(1, 0, 0, 0) = ( 1, -3, 2, 3) f( 2 ) = f(0, 1, 0, 0) = (2, -2, 1, 1) f( 3) = f(0, 0, 1, 0) = (4, 0, -1, -3) f( 4) = f(0, 0, 0, 1) = (-7, 5, -2, -1) Ta sẽ đi tìm cơ sở từ một tập sinh: Lập ma trận: Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận về dạng bậc thang Im(f) có một cơ sở là D = { 1 = (1, -3, 2, 3), 2 = (0, 4, -3, 5)} => dimIm(f) = 2 · Tìm một cơ sở cho không gian Ker(f) Ker(f) = Giải hệ phương trình f( ) = 0 với = (u, v, w, t) nghiệm w, t R tùy ý, u = 2w – t, v = 4t – 3w Cho w = 1, t = 0 ta có 1 = (2, -3, 1, 0) Cho w = 0, t = 1 ta có 2 = (-1, 4, 0, 1) Vậy Ker(f) có cơ sở là C = { 1 = (2, -3, 1, 0), 2 = (-1, 4, 0, 1)} => dimIm(f) = 2 5.3.2. Mệnh đề: f đơn ánh nếu và chỉ nếu ker(f) = 0. 5.3.3. Định lý: Khi V = Vn thì dim V = dimIm(f) + dimKer(f) = n 5.4 Toán tử tuyến tính Một ánh xạ tuyến tính từ V vào chính nó được gọi là một tóan tử tuyến tính (hay một phép biến đổi tuyến tính, hay một tự đồng cấu tuyến tính) trên V. Tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính trên V được ký hiệu là L(V). Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng Đại số tuyến tính Chương 6: Ánh xạ tuyến tính Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh Email : dangvvinh@hcmut.edu.vn Website: www.tanbachkhoa.edu.vn; www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh Nội dung I – Định nghĩa và ví dụ. III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính I. Định nghĩa và ví dụ Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng. Định nghĩa ánh xạ : f X Y  , ! : ( ) x X y Y y f x      Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x) Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu 1 2 1 2 ( ) ( ) x x f x f x    Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu , : ( ) y Y x X y f x      Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh. I. Định nghĩa và ví dụ Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X. Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,… Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ. I. Định nghĩa và ví dụ Định nghĩa ánh xạ tuyến tính Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K. 2. ( , ) ( ) ( ) K v V f v f v         Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W : W f V  là một ánh xạ thỏa 1. 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) ( ) v v V f v v f v f v      I. Định nghĩa và ví dụ Chứng tỏ ánh xạ cho bởi 2 3 : R R f  2 1 2 1 3 1 3 3 ( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 ) x x x x x x x x x f x       Ví dụ là ánh xạ tuyến tính. 1 2 3 1 2 3 3 ( , , ); ( , , ) x x x x y y y y R     1 1 2 3 3 2 ( ) ( , , ) x y x y x f x y y f      3 3 3 1 1 1 3 2 2 1 3 2 ( ) ( , 3 ) 2 2 2 x y x x y x y x y x y f y           1 1 3 3 1 2 1 3 2 3 3 3 ( ) ( , 2 2 ) 2 2 ( , ) x x y y f x y x y y y x x          ( ) ( ) ( ) f x y f x f y    Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến tính. I. Định nghĩa và ví dụ Cho là ánh xạ tuyến tính. W V f  : Cho E ={e 1 , e 2 , …, e n } là tập sinh của V. Giả sử biết f(e 1 ), f(e 2 ), …, f(e n ). 1 1 2 2 n n x V x x e x e x e         1 1 2 2 ( ) ( ) n n f x f x e x e x e      1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x f x e f x e f x e      1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n f x x f e x f e x f e      Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V. I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết 3 2 : f R R  (1,1,1) (1,2), f  (1,1,0) (2, 1), f   (1,0,1) ( 1,1); f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 1. Giả sử (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)       3 1 5                     2, 3, 2         (3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)) f f        (3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f f f f        (3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1) f       ( 3,10)   I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết 3 2 : f R R  (1,1,1) (1,2), f  (1,1,0) (2, 1), f   (1,0,1) ( 1,1); f   1. Tìm f (3,1,5) 2. Tìm f (x) 2. Giả sử 1 2 3 ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) x x x x        1 2 3 x x x                     1 3 1 2 3 1 2 x x x x x x x                  1 2 3 ( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1) f x f x x x f f f         1 3 1 2 3 1 2 ( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1) f x x x x x x x x           2 3 1 2 3 ( ) (2 , 2 3 ) f x x x x x x      Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một cơ sở của R 3 . Chọn cơ sở chính tắc I. Định nghĩa và ví dụ Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz quanh trục 0z một góc 30 o ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ hướng dương của trục 0z. Tìm f(x). Đây là ánh xạ 3 3 : f R R  o y z x (0,0,1) (0,0,1) f  3 1 (1,0,0) ( , ,0) 2 2 f  1 3 (0,1,0) ( , ,0) 2 2 f   1 2 1 2 3 3 1 1 3 ( ) ( , , ) 2 2 2 2 f x x x x x x     [...]... Nội dung chương Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://lvluyen.wordpress.com/dstt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Nội dung chương Nội dung Chương ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH Định nghĩa Nhân ảnh ánh xạ tuyến tính Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Ánh xạ 1.2 Ánh xạ tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ • g : R3 → R2 xác định g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) ánh xạ Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa 1.1 Ánh xạ Định nghĩa Cho X Y hai tập hợp khác rỗng Ánh xạ hai tập X Y qui tắc cho x thuộc X tồn y thuộc Y để y = f (x) Ta viết f : X −→ Y x −→ y = f (x) Nghĩa ∀x ∈ X, ∃!y ∈ Y, y = f (x) Ví dụ • f : R → R xác định f (x) = x2 + 2x − ánh xạ • g : R3 → R2 xác định g(x, y, z) = (2x + y, x − 3y + z) ánh xạ m • h : Q → Z xác định h( ) = m không ánh xạ n Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Định nghĩa Định nghĩa Hai ánh xạ f g từ X vào Y gọi ∀x ∈ X, f (x) = g(x) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM)  −1 1  =  −1 −1 Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1  −1 1  =  −1 −1 Vậy [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 )   −1 1 2 −3  −1  = 1 −1   −1 1  −1  = 1 −1 = Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) 10 −5 −3 −2 Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính  Suy (B → B0 ) = (B0 → B)−1  −1 1  =  −1 −1 Vậy [f ]B0 ,C0 = (C → C0 )−1 [f ]B,C (B → B0 )   −1 1 2 −3  −1  = 1 −1   −1 1  −1  = 1 −1 = 10 −5 −3 −2 Suy f (x, y, z) = (10x − 5y − 3z, 3x − 2y + z) Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 28 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề Cho V, W hai không gian vectơ n chiều f ∈ L(V, W ) Khi f song ánh tồn sở A, B V W cho [f ]A,B khả nghịch Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến tính lvluyen@yahoo.com 29 / 86 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính Mệnh đề Cho V, W hai không gian vectơ n chiều f ∈ L(V, W ) Khi f song ánh tồn sở A, B V W cho [f ]A,B khả nghịch Hơn nữa, f −1 : W → V ánh xạ tuyến tính [f −1 ]B,A = [f ]−1 A,B Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương Ánh xạ tuyến ... trận chéo nhận D = P ⋅ A ⋅ P = ⎜ ⎟ ⎜ 0 3⎟ ⎝ ⎠ e) 10 1−λ 4 4 7−λ −8 4 −8 − λ 4 4 − λ −8 4 − λ = (1 − λ ) ( − λ ) − 128 − 128 4 − ⎡⎣ 64 ( − λ ) + 16 (1 − λ ) + 16 (1 − λ ) ⎤⎦ = −λ + 9λ + 81λ... không chéo hóa d) 5−λ 5−λ 5−λ 4 4 −5 − λ 4 − λ = (5 − λ ) 4 ( −5 − λ ) − 96 − 96 − ⎡⎣ − 24 ( − λ ) − 24 ( − λ ) − 16 ( + λ ) ⎤⎦ ( = −λ + 5λ − 7λ + = ( λ − 1) −λ + 4 − = ( λ − 1) ) ( −λ + 3)... 4 −8 ⎞ ⎜ ⎟ e) A = ⎜ 4 4 ⎟ ⎜ −8 4 ⎟ ⎝ ⎠ a) A = ⎜ ĐS: a) 1−λ −1 3−λ ⎛2 1⎞ ⎟ ⎝ 3⎠ ⎛ 6⎞ ⎜ ⎟ d) A = ⎜ 6⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 4 −5 ⎠ ⎛ 0 1⎞ ⎜ ⎟ f) A = ⎜ 1 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎝ ⎠ b) A = ⎜ = (1 − λ )( − λ ) + = λ − 4