Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A
(Thời gian làm bài 180 phút)
Bài 1: (7 điểm)
1) Xét tính đơn điệu của hàm số: y=
3
2
)x32(
(x-5)
2) Cho hàm số y=
2x
cbxax
2
++
Xác định a, b, c biết rằng hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 và đờng tiệm cận
xiên của đồ thị vuông góc với đờng thẳng y=
2
x1
3)Giải bất phơng trình:
2
x3x52
+2x > 2x.3
x
.
2
x3x52
+ 4x
2
.3
x
Bài 2: (4 điểm)
Trong tất cả các nghiệm của bất phơng trình:
1)yx(log
22
yx
+
+
Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất.
Bài 3(5 điểm)
Giải phơng trình:
1)
[ ]
2332
x12)x1()x1(x11 +=++
2) sin3x.(1- 4sin
2
x) =
2
1
Bài 4:(4 điểm)
ABC là tam giác đều cạnh a. Trên đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại A, lấy điểm S với AS = h.
1) Hy là đờng thẳng qua trực tâm H của tam giác SBC và vuông góc với mặt
phẳng (SBC). Chứng tỏ rằng khi S di động trên Ax thì đờng thẳng Hy
luôn luôn đi qua một điểm cố định.
2) Hy cắt Ax tại S'. Xác định h theo a để SS' ngắn nhất.
Hớng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi
Lớp 12
Bài 1:
Câu 1: (2 điểm)
Tập xác định: D = R 0,25
điểm
y'= (-3)
3
2
3
1
)x32(
(x-5) +
3
2
)x32(
0,25
điểm
=
3
x323
30x6
+
+ 3(2-3x) =
3
x32
12x5
+
0,25
điểm
Điểm tới hạn: x=
3
2
; x=
5
12
0,25
điểm
x - 2/3 12/5 +
y' + - 0 +
y 0,5
điểm
Hàm số đồng biến trong khoảng (-; 2/3)
(12/5; +) 0,25
điểm
Hàm số nghịch biến trong khoảng (2/3; 12/5) 0,25
điểm
Câu 2: (2 điểm)
Đờng tiệm cận xiên có hệ số góc k =
2x
cbxax
lim
2
x
++
=a 0,25
điểm
Đờng tiệm cận xiên vuông góc với đờng thẳng y=
2
1
x
2
1
+
ta có a=2 0,25
điểm
Xét y=
2x
cbxx2
2
++
y' =
2
2
)2x(
cb2x8x2
0,25
điểm
Để hàm số có cực trị bằng 1 khi x=1 điều kiện cần là:
=++=
==
1)cb2()1(y
0cb26)1('y
0,5
điểm
=>
=
=
0c
3b
0,25
điểm
Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số
y=
2x
x3x2
2
thoả mãn điều kiện 0,25
điểm
Kết luận: a=2, b=-3, c=0 0,25
điểm
Câu 3: (3 điểm)
Bất phơng trình trở thành:
(
2
x3x52
+2x)(1-2x.3
x
)>0 (*) 0,5
điểm
Tập xác định: -2 x
3
1
0,25
điểm
(*)
<
<+
>
>+
03.x21
0x2x3x52
)II(
03.x21
0x2x3x52
)I(
x
2
x
2
0,5
điểm
)1(
)2(
)3(
)4(
Xét hệ (I): Giải (1) ta đợc -1< x 1/3 0,5
điểm
Đặt f(x) = 1-2x.3
x
ta thấy:
-1 x 0 hiển nhiên f(x)>1 0,25
điểm
Khi 0<x 1/3
3
3
1
x
3330 =<
13.
3
1
.23.x20
3
x
<<
Do đó f(x) =1-2x.3
x
> 0
Nghiệm của (I) là:
3
1
x1 <
0,25
điểm
Xét hệ (II): Giải (3) ta đợc
1x2
0,25
điểm
Nhng f(x) = 1-2x.3
x
> 0 x 0 nên bất phơng trình (4) không
thỏa mãn với những giá trị của x thuộc khoảng nghiệm của (3).
Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm 0,25
điểm
Tóm lại, bất phơng trình đã cho có nghiệm
3
1
x1 <
0,25
điểm
Bài 2: (4 điểm)
Xét 2 trờng hợp:
+TH1: x
2
+ y
2
> 1 khi đó dễ thấy bất phơng trình
1)yx(log
22
yx
+
+
(1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm
Ta có (1) x+y x
2
+ y
2
x+2y x
2
+ y
2
+ y (2) 0,5 điểm
Gọi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta đợc
S(S-2y)
2
+y
2
+y 5y
2
-(4S-1)y +S
2
- S 0 (3) 0,5 điểm
Bất phơng trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0,
Vậy
2
103
S
2
103 +
0,5 điểm
Víi S =
2
103 +
th× ∆= 0 khi ®ã (3) ⇔ y=
10
2
2
1
10
1S4
+=
−
0,25
®iÓm
Suy ra x= S -2y =
10
2
2
1
+
(tháa m·n x
2
+ y
2
> 1) 0,5 ®iÓm
+TH2: 0< x
2
+ y
2
< 1. Khi ®ã (1) ⇔ 0 <x+y<x
2
+y
2
=> S=x+2y < Cộng Đồng Hóa Học DIỄN ĐÀN BOOKGOL Tuyển Tập 12 Đề thi Thử Lời giải chi tiết Bookgol 2016 Đề thi Lần 01: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStSS1iYmhjdU0wb0U&usp=sharing Đề thi Lần 02: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStMlE4Y25uSGNVbjQ&usp=sharing Đề thi Lần 03: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStNDZUeXNpTXRSbW8&usp=sharing Đề thi Lần 04: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStWVRzTWI0TjdNelE&usp=sharing Đề thi Lần 05: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStOGs1YnE0Nm5weXc&usp=sharing Đề thi Lần 06: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStY1hHMHFzaFkyWW8&usp=sharing Đề thi Lần 07: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStQmY0c29ETThLSDQ&usp=sharing Đề thi Lần 08: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStREhCcTVDSzcwZ0E&usp=sharing Đề thi Lần 09: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStVHJBNEYyZjYxaHc&usp=sharing Đề thi Lần 10: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStQ3Q4RjVxRnJWMFE&usp=sharing Đề thi Lần 11: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStYTlHUUFHT0xrMTQ&usp=sharing Đề thi Lần 12: https://drive.google.com/folderview?id=0B46IBqrm9qStYkl1ZGNiS1NmSk0&usp=sharing Đề thi Lần 13:Tổ chức lần thi thử 13 vào ngày 17/6/2016 Nhóm FB : https://www.facebook.com/groups/HoaHocBookGol/ Chúc em có kì thi thành công! Đề thi XSTK cho VB2 ngày 19-06-09: Đề thi XSTK ngày 19-04-09: Đáp án: Đề thi XSTK cho SV K10 đợt 2-2008 (chữ ư bị lỗi khi convert -> Sorry) Đáp án tóm tắt: Câu 1: Gọi A là biến cố "Người đó không tìm thấy chìa khóa" H 1 là biến cố "Chùm chìa khóa rơi ở cơ quan" P( H 1 )=0,6 H 2 là biến cố "Chùm chìa khóa rơi ở nhà" P( H 2 )=0,4 P( A/H 1 )=0,7; P( A/H 2 )=0,2 a) Theo CT xác suất đầy đủ P(A)=0,6.0,7+0,4.0,2=0,5. Theo CT xác suất Bayes P( H 1 / A)=0,42 / 0,5 =0,84. b) Gọi B là biến cố "Người bạn không tìm thấy chìa khóa ở cơ quan" Tính P( H 1 / AB)= P(H 1 AB) / P(AB) Mà P(AB)=P(H 1 AB)+P(H 2 AB) P(H 1 AB)= P(H 1 )P(A/H 1 )P(B/AH 1 )=0,6.0,7.0,7=0,294 P(H 2 AB)= P(H 2 )P(A/H 2 )P(B/AH 2 )=0,4.0,2.1=0,08 suy ra P( H 1 / AB)= P(H 1 AB) / P(AB)= 0,786 Câu 2: Gọi X là thời gian đi từ nhà đến trường của SV Bình a) Từ P(X>20)=0,65 và P(X>30)=0,08 tính được TG trung bình là 22,17phút và độ lệch là 5,56 phút b) Tính P(X>25)= =0,305. c) Gọi m là TG cần tìm thì P(X>m)<0,02 suy ra m> 33,62 phút. Câu 3: Trung bình mẫu là: 499,54 và độ lệch chuẩn mẫu s=2,3545 a) Ước lượng kỳ vọng toán bằng khoảng tin cậy đối xứng : (499,078; 500,002) b) Ước lượng tỷ lệ p bằng khoảng tin cậy bên trái: p< 0,4811. Suy ra số gói bị đóng thiếu tối đa là 481 gói. c) Kiểm định giả thuyết : H 0 Trung bình = 500 ; H 1 Trung bình < 500 Miền bác bỏ: W=(-∞; -1,645), Giá trị quan sát Tqs=-1,953 Kết luận: Đường bị đóng thiếu. Đề thi XSTK cho SV học lại Đáp án và hướng dẫn: Câu 1: Gọi A là biến cố "Lấy được 2 viên bi cùng màu" B là biến cố "Lấy được viên bi màu xanh" H 1 là biến cố "Bi của hộp 1" H 2 là biến cố "Bi của hộp 2" a) Ta có P(H 1 )=P(H 2 )=0,5 P(A/H 1 )= 28/105+21/105 = 7/15 và P(A/H 2 )= 15/105+36/105=17/35 Theo CT xác suất đầy đủ P(A)=7/30+17/70=10/21. b) Ta có P(H 1 )=1/16; P(H 2 )=15/16 P(B/H 1 )= 7/15 và P(B/H 2 )= 9/15 Theo CT xác suất Bayes P(H 1 /B)=7/142. Câu 2: a) Tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành: P(X<980)=0,5-0,4772=0,0228. b) Gọi Y là số sản phẩm phải bảo hành trong 3 sản phẩm. Y có phân phối B(n,p) với n=3, p= 0,0228. Ta có P(Y>=1)=1-P(Y=0)=1-0,9772^3=0,0668. c) Gọi Z là tiền lãi trung bình khi bán được 1 sản phẩm. Ta thấy: Z = 50000đ với XS là 1-0,0228=0,9772 Z = -450000đ với XS là 0,0228 Suy ra E(Z)=50000.0,9772-450000.0,0228=38600đ Câu 3: a) Ước lượng kỳ vọng toán với khoảng tin cậy bên phải. b) Kiểm định giả thuyết về tham số p với H 1 : p> p 0 c) Bài toán phân phối nhị thức. Đề thi MHT cho SV khóa 10 đợt 2 Đáp án tóm tắt: Câu 1: Gọi x j là số đơn vị hàng H j cần sản xuất, j=1,2,3. Ta có bài toán f(x)=70x 1 + 90x 2 +50x 3 > max Với các điều kiện: 5x 1 + 4x 2 +2x 3 <=2100