Bài giảng đại số c chương 2 định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

CHƯƠNG ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa định thức cấp n: Định nghĩa 1: Cho A ma trận vuông cấp n, định thức A số thực ∑ ( −1) n Ký hiệu định thức: 1+ j a1 j M1 j j =1 ∆ = det A = aij = a11 a21 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ an1 ⋮ ⋱ ⋮ an ⋯ ann Định thức M1j định thức ma trận có từ A cách xóa dòng cột j Ví dụ: 1 3 A =   7  M13 = Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa 2: Phần phụ đại số phần tử dòng 1, ký hiệu A1j, định nghĩa qua định thức M1j công thức: 1+ j A1 j = ( −1) M1 j Khi định thức ma trận vuông cấp n A là: ∆ = ∑ a1 j A1 j n j =1 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý (Định lý Laplace) Phần phụ đại số phần tử dòng 1, ký hiệu A1j, định nghĩa qua định thức M1j công thức: a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i) ∆ = det A = ai1 Ai1 + Ai + + ain Ain = ∑ aij Aij n b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j) j= =1 ∆ = det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj = ∑ aij Aij n Trong Aij phần phụ đại số: i =1 Aij = ( −1) i+ j M ij Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT • Công thức tính định thức MT cấp a) Định thức MT cấp 2: ∆ = det A = a b c d b) Định thức MT cấp 3: a11 a12 a13 ∆ = det A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a b  A=  c d   = ad − bc  a11 a12 A =  a21 a22  a31 a32 a11 a12 a21 a22 = a31 a32 a13  a23  a33  = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a215a33 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Ví dụ: Tính định thức ma trận  −a −b −d   a − c −e   A= b c 0   0 d e Để giảm chi phí tính toán áp dụng định lý Laplace thường ta chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không Khai triển theo dòng ∆ = det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT A31 = ( −1) 3+1 M 31 = e [be − cd ] − a −b − d M 31 = e −c −e = ( −1) 3+1 −b − d e = −c −e = e ( −b )( −e ) − ( −c )( − d )  = e [be − cd ] A32 = ( −1) 3+ M 32 = a d M 32 = −d [be − cd ] −b − d −c −e = ( −1) 3+1 −b − d d = −c −e = d ( −b )( −e ) − ( −c )( − d )  = d [be − cd ] • Vậy ∆ = be ( be − cd ) − cd ( be − cd ) = ( be − cd ) Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT VD Tính định thức ma trận sau:  −1  −2    A= , B = −2      2 1    Giải −2 det A = = 3.4 − 1(−2) = 14 −1 det B = −2 = [1.( −2).1 + 2.1.2 + 3.1.( −1) ] 1 − [ 2.( −2)( −1) + 3.2.1 + 1.1.1] = −12 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT VD Tính định thức ma trận  0 −1  −1  A= 3    2 3  Giải det A = A11 + A12 + A13 + (−1) A14 1+ 1+ = 3( −1) det M 13 − ( −1) det M 14 −1 = 3 + = −49 3 10 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Giải −1 ∆= 1 −1 = , ∆1 = 3 = −12 , −1 1 −1 1 ∆ = 3 = 24 , ∆ = = −4 −1 −1 ∆3 ∆1 ∆2 Vậy x = = −3, y = = 6, z = = −1 ∆ ∆ ∆ 31 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Cho A ma trận cấp mxn Lấy từ A k dòng k cột bất kỳ: Các phần tử giao k dòng k cột tạo thành ma trận vuông cấp k Định thức ma trận gọi định thức cấp k A Do ma trận A có định thức cấp từ đến min(m,n) Giữa định thức khác không A có định thức cấp lớn Ví dụ: 1 0  0  0 4  0 4  0 1 0 32 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Định nghĩa: Cấp lớn định thức khác không ma trận cho gọi hạng ma trận Ký hiệu là: rank(A) r(A) Ví dụ: 1 0 A= 0  0 4  0 4  0 1 det ( A ) = 0 = 12 ≠ 0 Hạng ma trận A 33 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Nhận xét: • *0 ≤ r ( A ) ≤ ( m, n ) • Một ma trận có nhiều định thức cấp khác • *r (A) = ⇔ A = Ví dụ: 1 0 A= 0  0 0 0 0 4  4  1 = 12 ≠ 0 4 =3≠0 0 34 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Tính chất: i Khi chuyển vị, hạng ma trận không thay đổi ii Hạng ma trận không thay đổi hoán vị hai dòng iii Hạng ma trận không thay đổi nhân dòng với số khác iv Hạng ma trận không thay đổi cộng vào dòng khác sau nhân với số khác không v Hạng ma trận không thay đổi bỏ dòng toàn số vi Hạng ma trận không thay đổi bỏ dòng tổ hợp tuyến tính dòng khác 35 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Nhận xét: • Hạng ma trận không thay đổi ta thực hữu hạn phép biến đổi sơ cấp dòng • Hai ma trận tương đương có hạng • Cho A ma trận dạng bậc thang tắc Khi số dòng khác không A hạng ma trận A Một định nghĩa khác hạng ma trận: Lưu ý: Số dòng khác không ma trận dạng bậc thang dạng bậc thang tắc Định lý: • Hạng ma trận dạng bậc thang số dòng khác không 36 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Phương pháp tìm hạng ma trận • • Dựa vào nhận xét thứ định lý trên, ta tìm hạng ma trận pp Gauss Gauss-Jordan Áp dụng pp Gauss (Gauss-Jordan): đưa ma trận dạng bậc thang (bậc thang tắc), số dòng khác không ma trận sau biến đổi hạng ma trận 37 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT  −3    VD 18 Tìm hạng ma trận A = −5    −8     −3    d →d − d1 Giải A  → −7 d3 →d3 −3 d1    −7     −3    d3 →d − d  → −7 ⇒ r ( A) =   0 0 0   38 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 19 Tìm hạng ma trận:  −1   −1 0   A= 0     −1  −1 −4   −1 d3 →d + d  Giải A  → d →d − d 0  0   −1   −1 0  d →2 d − d3  ⇒ r ( A) = →  0     0 −8  3   0  −4  39 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Định thức sở: • • Ma trận có hạng r tức chứa định thức cấp r khác không Một định thức gọi định thức sở Dòng cột mà giao điểm chúng phần tử định thức sở gọi dòng cột sở 40 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT 1 0 A= 0  0 4  0 4  0 1 1 0 A= 0  0 4  0 4  0 1 Ví dụ: = 12 ≠ 0 Dòng 1, 2, dòng sở Cột 1, 3, cột sở =3≠0 0 Dòng 1, 2, dòng sở Cột 1, 3, cột sở 41 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Xét hệ pt ĐSTT biểu diễn dạng ma trận sau: AX = B (*) A ∈ M m×n , B, X ∈ M n×1 Định lý (Kronecker - Capelli): Hệ (*) tương thích ( ) ɶ = r ( A) r A ɶ = [ A | B] A ma trận hệ số mở rộng 42 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Quy tắc tổng quát giải hệ phương trình đại số tuyến tính • Biện luận số nghiệm hệ phương trình tương thích Định lý: Cho hệ PT ĐSTT dạng tổng quát ɶ = [ A | B ] r Aɶ = r ( A ) r Aɶ = r ( A ) + Hệ AX=B, A ( ) ( ) ɶ ) = r ( A) = n r (A ɶ ) = r (A) < n r (A i ɶ = r ( A ) + hệ vô nghiệm r A ii iii ( ) hệ có nghiệm hệ có vô số nghiệm 43 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý: Hệ AX=B, A ∈ Mn , ta có điều sau tương đương i r (A) = n ii Hệ AX=B có nghiệm iii Hệ AX=0 có nghiệm tầm thường 44 Chương Định thức – Hệ PT ĐSTT VD Điều kiện tham số m để hệ phương trình: + z − 7t = m − mx 3 x + my + z + 4t = m   mz + 5t = m −   z − mt = 2m + có nghiệm là: A m ≠ ; B m ≠ 1; C m ≠ ±1; D m ≠ ±5 m 3 Giải A =  0  0 m m −7    ⇒ r ( A) = ⇔ det A ≠   −m  45 ⇔ m ( m + 25) ≠ ⇔ m ≠ ⇒ A 2 [...].. .Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 2 C c tính chất c bản c a định th c: Tính chất 1: det A = det AT Nhận xét: Tính chất 1 chứng tỏ rằng một kết luận đúng với dòng thì nó c ng đúng với c t Do đó c c tính chất sau đây ta chỉ phát biểu cho dòng −1 VD 4 2 2 1 = 3 2 1 = − 12 −1 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 11 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 2 C c tính chất c bản c a định th c: Tính chất 2: Khi hoán... tiêu 2 Dẫn về định th c ma trận tam gi c: khi đó định th c đư c tính theo tất c c c phần tử trên dòng (c t) trừ một phần tử c a dòng (c t) đó c ng th c n det ( A ) = ∏ aii = a11a 22 … ann i =1 trong đó c c aii là c c phần tử trên đường chéo chính c a ma trận tam gi c A 25 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 1 2 3 x 1 1 VD 9 Tính c c định th c −1 2 −1 ; 1 x 1 2 3 4 1 1 x 1 2 3 1 2 3 d 3 →d 3 + d 2 1 2 d 2. .. dòng, định th c sẽ thay đổi dấu Gọi A’ là ma trận c đư c bằng c ch hoán vị 2 dòng kh c nhau c a A thì det A′ = − det A 1 3 VD 5 2 −1 2 −1 1 1 1 −1 1 2 1 = − 2 2 1 = 2 2 1 1 3 1 2 1 1 2 3 Tính chất 3: Nếu hai dòng c a ma trận c c c phần tử tương ứng (Hệ quả t /c 2) bằng nhau thì det(A)=0 3 3 1 VD 6 2 2 1 = 0 ; 1 1 7 x 1 x2 y2 x3 y5 = 0 1 y2 y5 12 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 2 C c tính chất c bản... chất 6: Nếu ma trận A c một dòng là dòng 0 thì det(A)=0 Tính chất này dễ dàng suy ra đư c từ t /c 6 và chú ý ở trên Tính chất 7: Nếu hai dòng c a ma trận A c c c hệ số tương ứng (Hệ quả c a tỉ lệ nhau thì det(A)=0 t /c 3 và 4) Tính chất 8: Nếu ma trận A c một dòng là tổ hợp tuyến (Hệ quả c a t /c 6 và 7) tính c a hai dòng kh c thì det(A)=0 15 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 2 C c tính chất c bản c a... →d 2 + d1 4 −1 2 −1 ==== 0 4 2 ==== 0 4 d 3 →d 3 − 2 d1 2 3 4 0 −1 2 0 0 3 2 = −6 −3 2 26 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT x 1 1 x +2 x +2 x +2 1 1 1 d1 →d1 + d 2 + d3 x 1 x 1 ===== 1 1 = ( x + 2) 1 x 1 1 1 x 1 1 x 1 1 x 1 1 1 d 2 →d 2 − d1 ==== ( x + 2) 0 x − 1 0 = ( x + 2) ( x − 1 )2 d 3 →d 3 − d1 0 0 x −1 27 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 5 Quy t c Cramer giải hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn và. .. n phương trình 1 Xét hệ phương trình gồm n phương trình và n ẩn số, đư c biểu diễn dưới dạng ma trận: AX=B (*) 2 Hệ này c nghiệm duy nhất khi ma trận hệ số tự do: A không suy biến (det(A) ≠ 0) 28 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 3 Ký hiệu: ∆ = det A = a11 a21 a 12 ⋯ a1n a 22 ⋯ a2 n ⋮ an1 ⋮ ⋱ ⋮ an 2 ⋯ ann gọi là định th c của hệ phương trình Và j a11 ⋯ a1 j −1 b a1 j +1 ⋯ a1n 1 ∆j = a21 ⋯ a2 j −1 b2 a2... 1 −1 2 1 1 ∆ 2 = 0 3 3 = 24 , ∆ 3 = 0 1 3 = −4 2 −1 1 2 1 −1 ∆3 ∆1 2 Vậy x = = −3, y = = 6, z = = −1 ∆ ∆ ∆ 31 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 6 Hạng c a ma trận Cho A là ma trận c p mxn Lấy từ A k dòng và k c t bất kỳ: C c phần tử giao c a k dòng và k c t này tạo thành ma trận vuông c p k Định th c của ma trận này gọi là định th c con c p k c a A Do đó ma trận A c c c định th c con c p từ 1 đến... Giữa c c định th c con kh c không c a A c ít nhất một định th c con c p lớn nhất Ví dụ: 1 0  0  0 0 2 4 0 3 5  0 0 4  0 0 1 1 2 4 0 3 5 0 0 4 32 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 6 Hạng c a ma trận Định nghĩa: C p lớn nhất c a định th c con kh c không c a ma trận đã cho gọi là hạng c a ma trận Ký hiệu là: rank(A) ho c r(A) Ví dụ: 1 0 A= 0  0 0 2 4 0 3 5  0 0 4  0 0 1 1 2 4 det... hiệp c a A ký hiệu là AV bằng c ch: thay c c phần tử c a A bằng c c phần phụ đại số tương ứng, sau đó ta chuyển vị ma trận vừa tìm đư c Khi đó AV c dạng như sau:  A11 A 12 V  A =  ⋮   A1n An1  ⋯ An 2  ⋱ ⋮   ⋯ Ann  A21 ⋯ A 22 ⋮ A2 n Ma trận khả nghịch c a A là: 1 V A = A ∆ −1 24 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 4 C c phương pháp tính định th c 1 Sử dụng phép biến đổi sơ c p trên dòng (c t)... det C trong đó B và C là hai ma trận c dòng thứ i gồm c c phần tử lần lượt là bj và cj 13 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT VD 7 3.1 0 3.(−1) 1 0 −1 2 1 2 = 3 2 1 2 ; 3 1 7 x +1 x x +1 y x +1 z x +1 x VD 8 x + 1 y x −1 z x3 3 1 7 x3 1 x y 3 = ( x + 1) 1 y z3 1 z x3 y3 z3 x x x3 1 x x3 y3 = x y y3 + 1 y y3 z3 z z3 x −1 z z3 14 Chương 2 Định th c – Hệ PT ĐSTT 2 C c tính chất c bản c a định th c: Tính ... Chương Định th c – Hệ PT ĐSTT Hạng ma trận Định th c sở: • • Ma trận c hạng r t c chứa định th c cấp r kh c không Một định th c gọi định th c sở Dòng c t mà giao điểm chúng phần tử định th c. .. (Hệ tỉ lệ det(A)=0 t /c 4) Tính chất 8: Nếu ma trận A c dòng tổ hợp tuyến (Hệ t /c 7) tính hai dòng kh c det(A)=0 15 Chương Định th c – Hệ PT ĐSTT C c tính chất định th c: Tính chất 9: Định th c. .. z z3 14 Chương Định th c – Hệ PT ĐSTT C c tính chất định th c: Tính chất 6: Nếu ma trận A c dòng dòng det(A)=0 Tính chất dễ dàng suy từ t /c ý Tính chất 7: Nếu hai dòng ma trận A c hệ số tương