Bài tập chương định thức và hệ phương trình ĐSTT

Bài tập chương Định thức Hệ phương trình ĐSTT 𝜎= 5 = 5 = (2,5)(5,4) → Sgn (𝜎) = 𝜎= 5 2 5 = 5 = = (2, 5, 4) 5 = = (2, 4) → Sgn (𝜎) = -1 𝜎 = (1, 2)(2, 3) …(n-1, n) = (1, 2, …, n) Sgn (𝜎) = (-1)n-1 𝜎 = (1, 2, 3)(2, 3, 4) …(n-2, n-1, n) = (1, 2)(2, 3)(2, 3)(3, 4) … (n-2, n-1)(n-1, n) = (1, 2)(n-1, n) Sgn (𝜎) = a) -3 -5 -4 -9 -5 5 = H3 = H3-2H1 H2 = H2-H1 H4 = H4+H3 -5 1 -2 3 = -1 -7 -2 1 0 -2 -1 -7 -2 -1 = - -1 -1 -2 8 = = - (-7.2 + 2.6 - 1.2) = b) 90 Tương tự, biến đổi chút trước khai triển 10 a) b) -1 -1 … -1 … n … n -2 … n Cộng hàng đầu vào hàng lại = -2 -3 … a0 a1 -x x -x … 0 a2 … an … x … 0… Lần lượt cộng dồn tất cột sau vào cột đứng trước = x = (a0+…+an ) x c) 0 … … n … 2n … 2n = n! 0… n a0+…+an 0 … a1 a2 … an x … 0 x … 0 0… x n a1 a2 a3 … an-1 a1 a2 a3 … an -x1 x2 … -x1 x2 … -x1 x2 … 0 -x x3 … n+1 + xn -x2 x3 … = Dn = -x2 x3 … = (-1) an … … … 0 … xn-1 0 … xn-1 0 … xn = (-1)n+1(-1)n-1an x1…xn-1 + xn Dn-1 = x1…xn-1 an + x1…xn-1 an-1 xn + … + a1 x1…xn Cách khác: Rút x1, …, xn từ cột ngoài, làm tương tự câu trên, ta có: Dn = x1…xn-1 xn (a1 /x1 + … + an /xn) - cách viết khác kết 12 a) x+1 … … n … n x+1 … n 3… Nhân hàng với -1, cộng vào hàng sau = x+1 x-1 0 … 0 … n … x-2 … = … x-(n-1) = (x-1)…(x-(n-1)) Cũng giải cách rút 1, 2, …, n từ cột ngoài, ta có định thức mà tất phần tử cột thứ phần từ nằm đường chéo 1, phần tử lại (x+1)/2, …, (x+1)/n b) 1+x 1 1 1-x 1 1 1+y 1 1 1-y = x2 y2 Lấy hàng nhân với (-1) cộng vào hàng thứ 2, Lấy hàng nhân với (-1) cộng vào hàng thứ 4, Rút x, y ngoài, khử số phần tử sau khai triển định thức theo hai hàng đầu 13 a) Dn = a1 b1 a1 b2 a1b3 … a1bn-2 a1bn-1 a1bn a1 b2 a2 b2 a2b3 … a2bn-2 a2bn-1 a2bn a1 b3 a2 b3 a3b3 … a3bn-2 a3bn-1 a3bn … a1bn-2 a2bn-2 a3bn-2 … an-2bn-2 an-2bn-1 an-2bn a1bn-1 a2bn-1 a3bn-1 … an-2bn-1 an-1bn-1 an-1bn a1 bn a2 bn a3bn … an-2bn an-1bn anbn Chú ý phần tử hai hàng cuối định thức (không kể phần tử cột cuối cùng) là: a1bn-1 a2bn-1 a3bn-1 … an-2bn-1 an-1bn-1 , a1bn a2bn a3bn … an-2bn an-1bn khác hệ số nhân (bn-1 bn) Khai triển định thức theo cột cuối ta n-2 số hạng đầu không định thức phần bù a1bn, …, an-2bn có hai dòng cuối tỷ lệ với Vì ta có: Dn = an bn Dn-1 – an-1 bn Cn-1 Trong đó, Dn-1 = a1b1 a1b2 a1b3 … a1bn-2 a1bn-1 a1b2 a2b2 a2b3 … a2bn-2 a2bn-1 a1b3 a2b3 a3b3 … a3bn-2 a3bn-1 … a1bn-2 a2bn-2 a3bn-2 … an-2bn-2 an-2bn-1 a1bn-1 a2bn-1 a3bn-1 … an-2bn-1 an-1bn-1 Cn-1 = a1b1 a1b2 a1b3 … a1bn-2 a1bn-1 a1b2 a2b2 a2b3 … a2bn-2 a2bn-1 a1b3 a2b3 a3b3 … a3bn-2 a3bn-1 … a1bn-2 a2bn-2 a3bn-2 … a1bn a2bn a3bn … an-2bn-2 an-2bn-1 an-2bn an-1bn Lại ý (rút nhân tử dòng cuối) Dn-1 = bn-1 Q, Cn-1 = bn Q, Q định thức: a1b1 a1b2 a1b3 … a1bn-2 a1bn-1 a1b2 a2b2 a2b3 … a2bn-2 a2bn-1 a1b3 a2b3 a3b3 … a3bn-2 a3bn-1 … a1bn-2 a2bn-2 a3bn-2 … a1 a2 a3 … an-2bn-2 an-2bn-1 an-2 an-1 Ta có Cn-1 = (bn /bn-1)Dn-1 → Dn = anbnDn-1 – an-1bn(bn /bn-1)Dn-1 = (bn / bn-1)(anbn-1 – an-1bn)Dn-1 = (bn /bn-1)(anbn-1 – an-1bn) (bn-1 /bn-2)(an-1bn-2 – an-2bn-1)Dn-2 =… bn … b3 = (an bn-1 – an-1 bn)(an-1 bn-2 – an-2 bn-1) (a3b3 – a2b2)D2 bn-1…b2 = (bn /b2)(an bn-1 – an-1 bn)(an-1 bn-2 – an-2 bn-1) (a3b3 – a2b2)(a2b1 – a1b2)a1b2 = bn a1(an bn-1 – an-1 bn)(an-1 bn-2 – an-2 bn-1) (a3b3 – a2b2)(a2b1 – a1b2) Cách giải khác, không dùng truy hồi: Rút bn cột cuối ngoài, sau nhân với bi, cộng vào cột thứ i Hoán vị n-1 lần với cột đứng trước để đưa cột cuối cột đầu = bn a1b1 a1b2 a1b3 … a1bn 0 a1b2-a2b1 * a2b3-a3b2 … * * a1b2 a2b2 a2b3 a1b3 … a2b3 … a3b3 … a1bn a2bn a3bn a2bn a3bn … … 0 … 0 … = anbn a1 a2 a3 * … an-1bn-anbn-1 an = (-1)n-1 bn = a1bn(anbn-1-an-1bn)…(a2b1-a1b2) bn a1b1 a1b2 a1b3 … a1bn a1b2 a2b2 a2b3 a1b3 … a2b3 … a3b3 … a1 a2 a3 a2bn a3bn … an a1 0 a2 a1b2-a2b1 a3 * a2b3-a3b2 … an * * 0… 0… 0… 0 * … an-1bn-anbn-1 b) Dn = a0 a1 a3 … an -y1 x1 … 0 -y2 x2 … … 0 … xn (khai triển theo cột cuối) = (-1)n+2an (-1)n y1…yn + xn Dn-1 = an y1…yn + xn Dn-1 = an y1…yn + xn (an-1 y1…yn-1 + xn-1 Dn-2) = an y1…yn + an-1 y1…yn-1 xn + xn xn-1 Dn-2 = an y1…yn + an-1 y1…yn-1 xn + … + a1 y1 xn…x2 + a0 xn…x1 14 a) x+a1 a1 Dn = a1 … a1 a2 x+a2 a2 a3 a3 x+a3 … … … an an an a2 a3 … x+an x+a1 0+a1 = 0+a1 … 0+a1 0+a2 x+a2 0+a2 0+a3 0+a3 x+a3 … … … 0+an 0+an 0+an 0+a2 0+a3 … x+an (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) Phân tích Dn theo cột thành tổng số hạng, số hạng định thức có cột loại (1) (2) Mỗi số hạng thuộc trường hợp sau: - Khơng có cột thuộc loại (2), tất cột cột thuộc loại (1): định thức có phần tử đường chéo x, giá trị định thức xn Có cột thứ i thuộc loại (2), tất cột lại thuộc loại (1) x Ci = … - … … x … … 0 … … = xn-1 , i = 1, …, n … … x Có nhiều cột thuộc loại (2), định thức có hai cột tỷ lệ Vậy Dn = xn + (a1+…+an)xn-1 Cách giải khác: Nhân dòng cuối với -1, cộng vào dòng Sau cộng dồn cột vào cột cuối cùng, ta nhận định thức tam giác có kết b) Dn = x1 a1 a1 … a1 a2 a3 … an x a3 … an a2 x3 … an a2 a3 … xn (x1-a1)+a1 0+a2 0+a3 0+a1 (x2-a2)+a2 0+a3 = 0+a1 0+a2 (x3-a3)+a3 … 0+a1 0+a2 0+a3 … … … 0+an 0+an 0+an … (xn-an)+an Lập luận tương tự câu a) ta có Dn = ∏𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑎𝑖 ) + ∑𝑛𝑖=1 𝑎𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑎𝑖 )𝑛−1 26 3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 + = 3x1 + 5x2 + 3x3 + 5x4 + = 3 Ma trận mở rộng Ā = 6x1 + 8x2 + x3 + 5x4 + = 3x1 + 5x2 + 3x3 + 7x4 + = 0 1 -1 2 | -3 | -3 | -2 | -5 0 ~ h4 = h4 – h2 0 -1 | -3 | -3 | -2 | -2 3 5 | -3 | -6 | -8 | -8 h2 = h2 – h1 h3 = h3 – 2h1 ~ h4 = h4 – h1 x4 = -1 -x3 = -2 – x4 = -1 → x3 = → x = -3 – 2x – 3x = -2 x1 = (1/3)(-3 – 4x2 – x3 – 2x4) = Vậy nghiệm hệ (x1, x2, x3, x4) = (2, -2, 1, -1) Cách khác: Bằng phương pháp tính định thức Bằng vào phép biến đổi sơ cấp trên, ta có định thức D = -6, D4 = -3 D1 = -6 -8 -8 3 5 h4 = h4-h3 h2 = h2-2h1 D2 = -3 -6 -8 -8 3 5 h2 = h2-h1 h3 = h3-2h1 3 D3 = -3 -6 -8 -8 5 h2 = h2-h1 h3 = h3-2h1 = h3=h3-h2 = h4=h4-h1 = h4=h4-h1 -3 -3 -2 -2 -3 2 h4 = h4-h2 h3 = h3+h4+h2 0 -3 -3 -2 -1 -5 h4 = h4-h2h3 0 1 -3 -3 -2 -5 = = h2 = h2-h3 h4=h4-h2-h3 = -3 -3 -2 0 1 2 h2 = h2-h4 c4 = c4+c1 0 -3 -1 -2 -1 11 h3 = h3-2h2 0 0 -3 -3 -2 = c3 = c3+c4 = c3 = c3-c4 -3 -2 -1 -3 0 -2 0 = -12 0 01 0 -3 -1 -1 = 12 -4 -3 0 = -6 1 Vậy hệ có nghiệm (x1, x2, x3, x4) = (D1/D, D2/D, D3/D, D4/D, ) = (2, -2, 1, -1) 34 a) -1 -2 A= -2 -1 h2=h2-2h1 ~ h3=h3-h1 -1 -2 0 -1 -1 0 -2 10 -2 ~ h3=h3-2h2 -1 -2 0 -1 -1 → rank A = 0 0 Cách khác: Phương pháp dùng định thức Dễ thấy định thức cấp cấp bao định thức -1 -1 -2 = 0 -1 = 0, 0 -2 -1 -1 -2 ≠ → rank A ≥ Xét tất định thức -1 -2 -1 -2 -2 = -1 = 0, -1 -2 10 -1 -1 -2 = -1 -1 = -1 -2 -2 Giá trị chúng 0, rank A = b) A= -1 -3 -3 -5 -5 -7 Chuyển h3 lên đầu ~ -3 -1 -3 -5 -5 2 -7 5 h2=h2-3h1 h3=h3-5h1 ~ h4=h4-7h1 0 -3 -5 18 12 27 16 36 -7 26 39 50 h2=h2 /2 h3=h3/3 ~ h4=h4/2 0 -3 4 -5 9 18 1 -7 13 13 25 h3=h3-h2 h4=h4-2h2 0 ~ -3 0 -5 0 0 -7 13 -1 → rank A = Cách khác: Phương pháp dùng định thức -5 = -5 -20 1 -5 -20 = -5 0 -6 = = 30 ≠ → rank A ≥ Xét tất định thức cấp bao định thức 35 A= -5 18 = 27 -7 -5 36 -1 -3 -3 -5 -5 -1 = -7 -3 -11 = -7 -14 -6 -22 -16 -6 24 λ 10 17 4 3 λ 0 -4 -4 17 10 -10 -10 -1 -1 26 39 = 2.3.2 -7 50 Đổi chỗ hàng ~ ~ 0 9 -5 18 1 13 13 =0 -7 25 Giá trị chúng 0, rank A = λ 17 10 4 λ 0 -4 17 -10 -1 h3 = h3-3h1 h4 = h4-2h1 ~ λ 0 17 10 -20 -50 -12 -30 h3 = h3/5 h4 = h4/3 -5 ~ -3 Nếu λ = 0, rank A = 2, Nếu λ ≠ 0, rank A = Vậy A có hạng nhỏ λ = 36 λ -1 2 -1 λ 10 -6 A= 0 37 Đổi chỗ hàng 10 -6 1 λ -1 2 -1 λ ~ 10 -6 λ-10 -21 λ+12 ~ h3 = h3 – 3h2 0 Đổi chỗ cột ~ 1 10 -6 λ -1 -1 λ 10 -6 λ-10 9-3λ λ-3 h2 = h2 – h1 ~ h3 = h3 – 2h1 Nếu – 3λ = λ -3 = rank A = Ngược lại rank A = Tìm ma trận nghịch đảo 3 3 5 a) A = | | | Dùng phép biến đổi sơ cấp để chuyển A | E E | A-1 0 0 | | | 3 -1 -1 1 0 | -1 -1 | -3 -1 -3 | -1 → h3 = h3 – h2 h2 = h2 – 2h3 → h3 = h3 – h1 → h3 = h3 + h2 1 0 | -1 -1 | -2 -1 -3 | -1 0 0 | | | 0 -1 | -1 -1 | -3 -4 | -1 -3 0 1 2 → h1 = h1 + h3 → h2 = - h2 → h3 = h3 / 0 h1 = h1 - 3h2 0 | -1 -1 | -3 | 1/4 3/4 -1/2 0 0 | -1 -1 | 1/4 -9/4 3/2 | 1/4 3/4 -1/2 → h2 = h2 + h3 | -5 | 1/4 -9/4 3/2 | 1/4 3/4 -1/2 h1 = h1 - 8h3 → -1 -1 1/4 -9/4 3/2 1/4 3/4 -1/2 Vậy A-1 = Chú ý: Các phép biến đổi dùng nhân hàng với vô hướng ≠ cộng vào hàng tổ hợp tuyến tính hàng lại b) A= 8 -1 -4 -1 3 8 -1 -4 -1 -2 -4 -3 -6 | | | | 0 2 0 -1 -1 -2 -2 | | | | -2 -4 Dùng phép biến đổi sơ cấp để chuyển A | E E | A-1 -3 -6 0 h4 = h4 - h2 -1 -2 | 0 0 | -3 0 0 → → 0 h2 = h2 - 3h1 -2 -2 | -2 h3 = h3 + h2 0 h3 = h3 - 2h1 0 -1 -2 | -1 1 -1 -2 | 0 h1 = h1 + 2h4 0 0 | -3 0 h2 = h2 - 2h4 -3 0 → → -5 1 h4 = h4 + h3 0 | -5 1 h = 0 | -5 1 h3 - 3h4 -1 1 0 2 0 -1 0 0 | | | | -9 10 -5 0 0 0 0 0 0 | 24 |-23/2 | 10 | -5 1 -1 -2 -2 -4 -2 h1 = h1 + h3 -2 h2 = h2 - 3h3 → -3 -8 7/2 -3 1 0 2 0 Vậy A-1 0 0 0 | | | | -23 10 -5 -2 0 -2 -1 -3 h1 = h1 – h2 h2 = h2 /2 → 24 -4 -8 = -23/2 -1 7/2 10 -2 -3 -5 1 45 3x - 2y + 5z + 4t = 6x - 4y + 4z + 3t = (1) , hệ tương ứng 9x - 6y + 3z + 2t = Ma trận mở rộng hệ Ā = -2 | -4 | -6 | ~ 3x - 2y + 5z + 4t = 6x - 4y + 4z + 3t = (2) 9x - 6y + 3z + 2t = -2 | 0 -6 -5 | -1 ~ -2 | 0 -6 -5 | -1 0 -12 -10 | -2 0 0 | 3x – 2y + 5z + 4t = ~ 5z + 4t = -3x + 2y +2 ~ 5z + 4t = -3x + 2y + z + t = 3x – 2y - 6z + 5t = -3 – 6z – 5t = → z = 3x – 2y – t – → 5(3x – 2y – t –5) + 4t = -3x + 2y + → t = 18x -12y -27 → (1) ~ → z = 3x – 2y – 18x + 12y +27 – = - 15x + 10y + 22 Vậy nghiệm tổng quát hệ (1) (x, y, -15x + 10y + 22, 18x - 12y - 27) = (0, 0, 22, -27) + (x, y, -15x + 10y, 18x – 12y) Trong (0, 0, 22, -27) nghiệm riêng hệ (1), (x, y, -15x + 10y, 18x – 12y) nghiệm tổng quát hệ phương trình tương ứng (2) 46 8x + 6y + 5z + 2t = 21 3x + 3y + 2z + t = 10 4x + 2y + 3z + t = 3x + 5y + z + t = 15 7x + 4y + 5z + 2t = 18 0 0 0 0 0 -1 -3 0 0 0 -1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 | | 10 | -2 | | -5 | | | -5 | | -5 | | 11 | -5 | | -5 Ma trận mở rộng Ā = 0 0 0 0 h2 = h2 - 3h1 ~ h3 = h3 - h1 h1 = h1 – 2h4 ~ h3 = h3 + 3h4 ~ 0 0 0 0 0 0 -3 -3 0 | | | -5 | 11 -1 1 1 0 0 0 | | | | | | | | | | -5 -5 -5 -5 5 1 | 21 | 10 | | 15 | 18 h1 = h1 – h5 h5 = h5–h4–h3 ~ h3 = h3 – h2 h4 = h4 – h2 h2 = h2 - h3 ~ h4 = -h4 - h3 h5 = (h5 + h3)/2 h2 = h2 – h3 ~ Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z, t) = (3, 0, -5, 11) ... -1 -1 → rank A = 0 0 Cách khác: Phương pháp dùng định thức Dễ thấy định thức cấp cấp bao định thức -1 -1 -2 = 0 -1 = 0, 0 -2 -1 -1 -2 ≠ → rank A ≥ Xét tất định thức -1 -2 -1 -2 -2 = -1 = 0, -1... (1/3)(-3 – 4x2 – x3 – 2x4) = Vậy nghiệm hệ (x1, x2, x3, x4) = (2, -2, 1, -1) Cách khác: Bằng phương pháp tính định thức Bằng vào phép biến đổi sơ cấp trên, ta có định thức D = -6, D4 = -3 D1 = -6 -8... -3 0 -5 0 0 -7 13 -1 → rank A = Cách khác: Phương pháp dùng định thức -5 = -5 -20 1 -5 -20 = -5 0 -6 = = 30 ≠ → rank A ≥ Xét tất định thức cấp bao định thức 35 A= -5 18 = 27 -7 -5 36 -1 -3 -3 -5