Bài tập bất đẳng thức và bất phương trình - Diệp Tuân - TOANMATH.com

a). CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A B  thành tổng hoặc tí[r]

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức BẤT ĐẲNG THỨC –BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẤT ĐẲNG THỨC §BÀI A–LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho a, b hai số thực Các mệnh đề " a  b ", " a  b ", " a  b ", " a  b " gọi bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức (mệnh đề đúng) Với A, B mệnh đề chứa biến " A  B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A  B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A  B " với tất giá trị biến (thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A  B mà không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất : Tính chất Tên gọi Điều kiện Nội dung Tính chất bắc cầu a  b b  c a  c a b  ac bc Cộng hai vế bất đẳng thức với số c0 a  b  ac  bc Nhân hai vế bất đẳng thức với số c0 a  b  ac  bc Cộng hai bất đẳng thức chiều a  b c  d  a  c  b  d a  0, c  Nhân hai bất đẳng thức chiều a  b c  d  ac  bd n  n   a  a0 a  b  a n1  b2 n1 a  b  a 2n  b2n ab a  b ab a  b Nâng hai vế bất đẳng thức lên lũy thừa Khai hai vế bất đẳng thức 2.1 Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho số thực a, b, c số thực Chứng minh rằng: a) a  b  c  ab  bc  ca c) a  b  c   2(a  b  c) b) a  b2   ab  a  b d) a  b  c  2(ab  bc  ca ) Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Điều kiện Với số thực x Nội dung x  0, x  x, x   x x  a  a x  a a0  x  a x a   x  a a  b  ab  a  b 3.1 Ví dụ minh họa: Ví dụ Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức sau a) A  x   x  b) B  x   x   x   x  Lời giải     Ví dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số y  x   x   x   x  Lời giải Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm ab Cho a  0, b  , ta có  ab Dấu '  ' xảy a  b Hệ : Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số tức  ab ab      Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số a  b  ab Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam b) Đối với ba số không âm Cho a  0, b  0, c  , ta có Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức abc  abc Dấu '  ' xảy a  b  c c) Ví dụ minh họa: Ví dụ Cho a, b, c số thực dương Chứng minh 1   1  a)  a   b   c    b)    b  c  a a b c abc  a b c 1 ab bc ac c)      d)    abc b c a a b c c a b Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Ví dụ Tìm giá trị nhỏ hàm số sau 2 a) f  x   x  với x  b) f  x   x  với x  2 x 1 x2 Lời giải B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phương pháp Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A  B ta sử dụng cách sau: Ta chứng minh A  B  Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A  B thành tổng tích biểu thức khơng âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Bài tập minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Bài tập Cho ba số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau a  b2 a) ab  c)  a  b  c    a  b  c   ab b) ab      2 d)  a  b  c    ab  bc  ca  Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Bài tập Cho năm số thực a, b, c, d , e Chứng minh a  b  c  d  e  a (b  c  d  e) Lời giải Bài tập Chứng minh a) a  b  c  ab  bc  ca với a, b, c số thực dương b) a  b2  c    a  b  c  với a, b, c số thực Lời giải 1   a  b  1  ab Lời giải Bài tập Cho ab  Chứng minh : Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Nhận xét : Nếu 1  b  BĐT có chiều ngược lại : 1   a  b  1  ab Bài tập Cho số thực x Chứng minh a) x   x b) x   x  x c) x12  x   x9  x Lời giải Bài tập Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a  b4  4ab    c)  a     b   ab    a b) a   b2    ab  1 2 2 b2   b a   Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Bài tập Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  y Chứng minh rằng; a)  x3  y    x  y  b) x  x   y  y Lời giải Loại Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Phương pháp Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng: a   ;     a    a     * a, b, c   ;     a    b    c        a    b    c   ** Bài tập minh họa Bài tập Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : a  b  c  2(ab  bc  ca ) Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Nhận xét : Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a  b | c bình phương hai vế ta có kết Bài tập Cho tam giác ABC có cạnh a, b, c Chứng minh nửa chu vi lớn độ dài cạnh Lời giải Bài tập 10 Cho a, b, c  [0;1] Chứng minh : a  b2  c   a 2b  b 2c  c a Lời giải Bài tập 11 Cho số thực a, b, c thỏa mãn : a  b2  c  Chứng minh : 2(1  a  b  c  ab  bc  ca)  abc  Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Bài tập 12 Chứng minh a  4, b  5, c  a  b  c  90 a  b  c  16 Lời giải Bài tập 13 Cho ba số a, b, c thuộc  1;1 không đồng thời không Chứng minh a 4b  b c  c a  2 a 2012  b 2012  c 2012 Lời giải Bài tập luyện tập Bài Cho a, b, c, d số dương Chứng minh a ac a a)  với  b bc b a b c b)   2 ab bc ca a b c d c)     2 abc bcd cd a d a b ab bc cd d a d)     3 a bc bc d c d a d a b Lời giải Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV-Bài Bất Đẳng Thức Bài Chứng minh bất đẳng thức sau a) (ax  by )(bx  ay )  (a  b) xy ( với a, b  0; x, y  R ) ca cb  b) với a  b  0; c  ab 2 c a c2  b2 ab cb 1 c)   với a, b, c    2a  b 2c  b a c b 2 d) a (b  c)  b(c  a )  c(a  b)  a  b3  c với a, b, c ba cạnh tam giác Lời giải 10 Lớp Toán Thầy-Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 ... TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phương pháp Một số ý sử dụng bất đẳng thức cơsi: Khi áp dụng bất đẳng thức cơsi số phải... Lớp Toán Thầy -Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV -Bài Bất Đẳng Thức Các ví dụ minh họa Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi  Bài tập 14 Cho a,... Toán Thầy -Diệp Tuân Tel: 0935.660.880 Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam Chương IV -Bài Bất Đẳng Thức ? ?Bài tập 12