CHUONG 3 KHONG GIAN VECTO

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: a. 123 (1, 1,2), (0, 2,3), ( 1,1,1)xxx=− = =− b. 12 3 (1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1)xx x=− = − = c. 1234 (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1)xx x x=== = d. 1234 15 11 24 17 ,, , 42 15 57 51 AAAA −−− ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ==== ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ −−−− ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ e. 2232 122 23, 1, 2 410px x p x p xx x=−+ =+ = +−+ trong 3 []x  . f. 32 2 123 4 1, 1, 2 , 2 4px p x p xxp x=+ =+ =− + =−− trong 3 []x  . 2. Cho hệ vectơ 12 ,,, n x xx … độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V. Chứng minh hệ vectơ 11212 12 ,,, nn yxy xx y xx x= =+ =+++ …… cũng độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ 12 ,,, n x xx … không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 12 ,,, n x xx … độc lập tuyến tính . 4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau: a. 12 34 (47, 26,16), ( 67,98, 428), (35, 23,1), (201, 294,1284),xx xx==−−==− 5 (155,86,52)x = . b. 123 (24, 49, 73,47), (19, 40,59, 36), (36,73,98,71),xxx=== 45 (72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72)xx==−−−− . c. 12 3 (17, 24, 25,31, 42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19, 29),xx x==−−−= 45 (11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68)xx=−−−= −−− . 5. Cho hệ vectơ 12 ,,, n x xx … biểu thị tuyến tính được qua hệ 12 ,,, m yy y … . Chứng minh: a. 12 12 {, , , } {, , , } nm rank x x x rank y y y≤ …… . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12 {, , , }= {, , , , } nn rank x x x rank u x x x ⇔ …… u biểu thị tuyến tính được qua 12 ,,, n x xx … . 7. Trong 3  , cho hệ vectơ 12 3 (1, 2,1), ( 1,0,1), (0,1, 2)uu u= =− = . a. Chứng minh 123 ,,uu u là một cơ sở của 3  . b. Tìm tọa độ của (,,)uabc= trong cơ sở 123 ,,uu u . ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8. Trong 3  , cho 2 hệ vectơ 12 3 (1,1,1), (1,1,2), (0,1,2)uu u= == và 12 3 (2,1, 3), (3, 2, 5), (1, 1,1)vv v=− =− =− . a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3  . b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại. c. Tìm tọa độ của vectơ 123 23x uuu= −+ − trong cơ sở (v). 9. Chứng minh tập hợp: a. { } 3 (, ,) / 2 0Axyz xyz=∈−+= là không gian con của 3  . b. { } 4 (, ,,) /2 0Bxyzt xyzxt=∈−+=−= là không gian con của 4  . c. /, ab Cab ba ⎧⎫ − ⎡⎤ =∈ ⎨⎬ ⎢⎥ ⎣⎦ ⎩⎭  là không gian con của 2 ()M  . 10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi: a. 1234 (1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1, 2,3, 4),aaaa=−= = = 5 (0,1,2,3)a = . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt= thuộc về không gian con này. b. 123 (1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1)aaa=− = = . Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ (, ,,)uxyzt= thuộc về không gian con này. c. 1234 (1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0, 2, 1,1, 2)aaaa=− − = = − = − Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ (, ,,,)axyztu= thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ,UVU V+ ∩ với: a. (1, 2,1), (1,1, 1), (1, 3, 3)U =− và (2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3)V = −− . b. (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1)U = và (1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1, 2)V = c. { } (, ,,)/ 2 0Uxyztxzt=−+= và { } (, ,,)/ 2 0Vxyztxtyz= =∧ − = 13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất: a. 12 45 12 34 12345 12345 23 0 20 42 63 4 0 24 24 7 0 xx xx xx xx xx xx x xx xx x + −− = ⎧ ⎪ − +− = ⎪ ⎨ −++−= ⎪ ⎪ +−+−= ⎩ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b. 13 24 125 246 35 46 0 0 0 0 0 0 xx xx xx x xxx xx xx − = ⎧ ⎪ −= ⎪ ⎪ − += ⎪ ⎨ −+ − = ⎪ ⎪ −+ = ⎪ −= ⎪ ⎩ c. 135 245 1256 236 145 0 0 0 0 0 xx x xxx xx x x xxx xx x −+ = ⎧ ⎪ −+ = ⎪ ⎪ − +−= ⎨ ⎪ −− = ⎪ ⎪ −+ = ⎩ 14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có Chương KHÔNG GIAN VECTƠ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Đònh nghóa Cho tập hợp V ≠ ∅ có hai phép toán; phép toán mà ta gọi phép cộng phép toán mà ta gọi phép nhân với số thực, +:V×V → V ( u, v ) u + v × : \×V → V ( k, u ) k ⋅ u ≡ ku Tập V với hai phép toán gọi không gian vectơ \ phép toán V thỏa tính chất sau, với u, v, w ∈ V , h, k ∈ \ , i) u + v = v + u , (tính giao hoán) ii) ( u + v ) + w = u + ( v + w ) , tính kết hợp) iii) tồn phần tử V, ký hiệu , cho u + = u ( gọi phần tử trung hòa phép cộng, đọc vectơ không), iv) ứng với u ∈ V , tồn phần tử V, ký hiệu −u , cho u + ( −u ) = (phần tử −u gọi phần tử đối hay vectơ đối u), v) h ( ku ) = ( hk ) u , vi) h ( u + v ) = hu + hv , vii) ( h + k ) u = hu + ku , viii) ⋅ u = u Không gian vectơ V ký hiệu đầy đủ ( V, +, ⋅) ⎧⎪⎛ a b ⎞ ⎫⎪ Ví dụ i) Tập ma trận vuông cấp 2, V = M2 ( \ ) = ⎨⎜ ⎟ a, b, c, d ∈ \ ⎬ ⎪⎩⎝ c d ⎠ ⎭⎪ với hai phép toán, cộng hai ma trận nhân số thực với ma trận, không gian vectơ ii) Tập \ = {( x, y, z) : x, y, z ∈ \} với hai phép toán, ( x1 , x2 , x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1, x2 + y2 , x3 + y3 ) , k ( x1 , x2 , x3 ) = ( kx1 , kx2 , kx3 ) , thỏa điều kiện để trở thành không gian vectơ 39 Tổng quát : Tập \ n = {( x , x , , x ) n } x i ∈ \, i = 1, 2, , n , với hai phép toán ( x1 , x2 , , xn ) + ( y1, y2 , , y n ) = ( x1 + y1, x2 + y , , xn + yn ) , k ( x1 , x2 , , xn ) = ( kx1 , kx2 , , kxn ) , không gian vectơ 1.2 Đònh nghóa Cho ( V, +, ⋅) không gian vectơ u1 , u , , u n ∈ V Với dãy số k1 , k , , k n ∈ \ , ta gọi k1u1 + k 2u + + k n u n tổ hợp tuyến tính vectơ u1 , u , , u n Ví dụ i) Cho V = M2 ( \ ) Với ⎛1 0⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛ 0⎞ u1 = ⎜ ⎟ , u2 = ⎜ ⎟ , u3 = ⎜ ⎟ , u4 = ⎜ ⎟∈V, ⎝1 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 0⎠ ⎝1 1⎠ k1 , k , k , k ∈ \ , ta có tổ hợp tuyến tính u1 , u , u , u ⎛ k + k3 k1u1 + k 2u + k 3u + k u = ⎜ ⎜k + k ⎝ k2 + k3 ⎞ ⎟∈V k + k ⎟⎠ ii) Với V = \ , u1 = (1,1, ) , u = ( 0,1,1) , u = (1, 0,1) , ta có tổ hợp tuyến tính u1 , u , u k1u1 + k 2u + k 3u = ( k1 + k , k1 + k , k + k ) , với k1 , k , k ∈ \ 1.3 Đònh nghóa Cho V không gian vectơ, W ⊂ V, W ≠ ∅ Nếu với u, v ∈ W , k ∈ \ , ta có u + v, ku ∈ W , ta nói W không gian vectơ hay vắn tắt không gian V , ký hiệu W ≤ V Ví dụ i) Với V = \ W1 = ( x, ) , ( y, ) ∈ W1 , k ∈ \ , {( x, 0) : x ∈ \} , ta có W1 ⊂ V , W1 ≠ ∅ với ( x, 0) + ( y, 0) = ( x + y, 0) ∈ W1 , k ( x, ) = ( kx, ) ∈ W1 Do W1 ≤ V Với W2 = ( n, 2n ) ∈ W2 , {( m, 2m ) : m ∈ \} , ta có W2 ⊂ V , W2 ≠ ∅ với k ∈\, ( m, ( ) 2m ) + ( n, 2n ) = m + n, ( m + n ) ∈ W2 , 40 ( m, 2m ) , k ( m, 2m ) = ( km, 2km ) ∈ W2 Vậy W2 không gian vectơ V ii) Xét không gian vectơ ma trận vuông cấp 2, V = M2 ( \ ) , W tập hợp ma trận chéo cấp 2, ⎧⎪⎛ a ⎞ ⎫⎪ W = ⎨⎜ ⎟ a, b ∈ \ ⎬ ⊂ V ⎩⎪⎝ b ⎠ ⎭⎪ Do W ≠ ∅ , tổng hai ma trận chéo ma trận chéo tích ma trận chéo với số thực ma trận chéo Nói khác đi, tổng hai phần tử W phần tử W , tích phần tử thuộc W với số phần tử W nên tập hợp tất ma trận chéo cấp không gian vectơ không gian ma trận vuông cấp hai iii) Xét V = \ W = không rỗng V {( m + n, m − n, n ) với } m, n ∈ \ Ta có W tập k ∈\, u = ( m2 + n2 , m2 − n2 , n2 ) ∈ W , ta có u1 + u = (( m u1 = ( m1 + n1 , m1 − n1 , n1 ) , ) + m2 ) + ( n1 + n2 ) , ( m1 + m2 ) − ( n1 + n2 ) , n1 + n2 ∈ W , ku1 = ( km1 + kn1 , km1 − kn1 , kn1 ) ∈ W Do W ≤ V = \ 1.4 Đònh lý Cho V không gian vectơ hệ vectơ S = {u1 , u , , u n } ⊂ V Tập W tổ hợp tuyến tính u1 , u , , u n không gian vectơ V , W = {k1u1 + k 2u + + k n u n : k1 , k , , k n ∈ \} ≤ V Ta nói W không gian vectơ sinh S , hay S sinh W , ký hiệu W = S = u1 , u , , u n Ví dụ Với V W cho ví dụ 3, phần iii), ta có W= nên W = {( m + n, m − n, n ) m, n ∈ \} = {( m, m, 0) + ( n, −n, n ) m, n ∈ \} = {m (1,1, ) + n (1, −1,1) m, n ∈ \} (1,1, 0) , (1, −1,1) không gian vectơ V Xuất phát từ nhận xét tập nghiệm W hệ phương trình tuyến tính theo n ẩn số tập không rỗng \ n tổng hai nghiệm hệ phương trình tuyến tính tích nghiệm hệ phương trình tuyến tính với số nghiệm hệ phương trình đó, ta 41 Tập hợp tất nghiệm hệ phương trình tuyến tính theo n ẩn số không gian vectơ \ n Hơn nữa, phương pháp Gauss, ta tìm tập sinh không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính Ví dụ Cho hệ phương trình ⎧ x1 ⎪ ⎪ 3x1 ⎨ ⎪4x1 ⎪ 3x ⎩ + 2x + 5x2 + 5x2 + 8x2 + + − 4x 6x 2x + 24x3 − 3x = 3x = 4x4 = − 19x4 = − + Giải hệ phương trình trên, ta nhận nghiệm ( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) ; m, n ∈ \ Vậy tập nghiệm hệ W= {( 8m − 7n, −6m + 5n, m, n ) } ( 8, −6,1, 0) , ( −7, 5, 0,1) m, n ∈ \ = ≤ \4 Đặc biệt, S = V , ta nói S sinh V Khi đó, vectơ V tổ hợp tuyến tính phần tử S , nghóa ứng với vectơ v ∈ V , ta tìm k1 , k , , k n ∈ \ cho v = k1 v1 + k v2 + + k n v n Ví dụ Xét V = \ S = {e1 , e2 , e3} ⊂ \ , với e1 = (1,1, ) , e2 = (1, 0,1) , e3 = ( 0,1,1) a) Với v = ( 2, 4, ) ∈ \ k1 , k , k ∈ \ , ta có v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 ⇔ ( 2, 4, 6) = k1 (1,1, ) + k (1, 0,1) + k ( 0,1,1) ⎧ k1 ⎪ ⇔ ⎨ k1 ⎪ ⎩ + k2 k2 = + k3 + k3 = (3.1) = Chú ý rằng, hệ (3.1) có nghiệm, nghóa tồn k1 , k , k ∈ \ cho v = k1e1 + k 2e2 + k 3e3 , v tổ hợp tuyến tính phần tử S Nếu hệ (3.1) vô nghiệm, nghóa không tồn k1 , k , k cho ...Bài giảng môn học Đại số A 1 Chương 3: KHÔNG GIAN VECTƠ Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 1 / 85 Nội dung Chương 3. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Không gian vectơ 2. Tổ hợp tuyến tính 3. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ 4. Không gian vectơ con 5. Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 6. Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 2 / 85 1. Không gian vectơ 1. Không gian vectơ Định nghĩa. Cho V là một tập hợp với phép toán +. V được gọi là không gian vectơ trên K nếu mọi u, v, w ∈ V và α, β ∈ K ta có 8 tính chất sau: (1) u+v = v+u; (2) (u+v)+w = u+(v+w); (3) tồn tại 0 ∈ V : u+0 = 0+u = u; (4) tồn tại u  ∈ V : u  +u = u+u  = 0; (5) (αβ)u = α(βu); (6) (α + β)u = αu + βu; (7) α(u+v) = αu+αv; (8) 1.u = u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 3 / 85 1. Không gian vectơ Khi đó ta gọi: • mỗi phần tử u ∈ V là một vectơ. • mỗi số α ∈ K là một vô hướng. • vectơ 0 là vectơ không. • vectơ u  là vectơ đối của u. Ví dụ. Xét V = K n = {(x 1 , x 2 , . . . , x n ) | x i ∈ K∀, i ∈ 1, n}. Với u = (a 1 , a 2 , . . . , a n ), v = (b 1 , b 2 , . . . , b n ) ∈ K n và α ∈ R, ta định nghĩa phép cộng + và nhân . vô hướng như sau: • u+v = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , . . . , a n + b n ); • αu = (αa 1 , αa 2 , . . . , αa n ). Khi đó K n là không gian vectơ trên K. Trong đó:  Vectơ không là 0 = (0, 0, . . . , 0);  Vectơ đối của u là −u = (−a 1 , −a 2 , . . . , −a n ). Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 4 / 85 1. Không gian vectơ Ví dụ. Tập hợp M m×n (K) với phép cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực thông thường là một không gian vectơ trên K. Trong đó:  Vectơ không là ma trận không  Vectơ đối của A là −A. Ví dụ. Tập hợp K[x] = {p(x) = a n x n + . . . + a 1 x + a 0 | n ∈ N, a i ∈ K, i ∈ 1, n} gồm các đa thức theo x với các hệ số trong K là một không gian vectơ trên K với phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường và phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một số với đa thức. Ví dụ. Tập hợp K n [x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong K là một không gian vectơ trên K. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 5 / 85 1. Không gian vectơ Ví dụ. Cho V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ K 3 | 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 0}. Khi đó V là không gian vectơ trên K. Ví dụ. Cho W = {(x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ K 3 | x 1 + x 2 − 2x 3 = 1}. Khi đó W không là không gian vectơ, vì u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W, nhưng u + v = (3, 5, 3) /∈ W Mệnh đề. Cho V là một không gian vectơ trên K. Khi đó với mọi u ∈ V và α ∈ K, ta có i) αu = 0 ⇔ (α = 0 hay u = 0); ii) (−1)u = −u. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 6 / 85 2. Tổ hợp tuyến tính 2. Tổ hợp tuyến tính 1.1 Tổ hợp tuyến tính 1.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Chương 3. Không gian vectơ 22/05/2010 7 / 85 2. Tổ hợp tuyến tính 2.1 Tổ hợp tuyến tính Định nghĩa. Cho u 1 , u 2 , . . . , u m ∈ V . Một tổ hợp tuyến tính của u 1 , u 2 , . . . , u m là một vectơ có dạng u = α 1 u 1 + α 2 u 2 + . . . + α m u m với α i ∈ K Khi đó, đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn của CHƯƠNG 3 CHƯƠNG 3 1. Không gian vectơ hình học ν 3 : Trong hình học giải tích, ta đã làm quen với vectơ tự do trong không gian (tức là vectơ có thể chuyển đến điểm bất kỳ của không gian mà không thay đổi độ dài và hướng) và đã đònh nghóa các phép toán tuyến tính đối với chúng (cộng các vectơ và nhân vectơ với số thực). KHÔNG GIAN VECTƠ  Tập hợp các vectơ tự do trong không gian xét cùng với các phép toán tuyến tính được gọi là không gian vectơ 3 chiều ν 3 và các phần tử của không gian đó gọi là các vectơ (hình học). Nếu trong không gian ν 3 ta đưa vào hệ tọa độ thẳng trực giao với cơ sở B 0 = {i,j,k} thì thu được sự tương ứng đơn trò tương hỗ giữa các vectơ trong không gian ν 3 với bộ ba số thực sắp thứ tự (các tọa độ của chúng). Ta sẽ viết các tọa độ của vectơ trong không gian ν 3 dưới dạng ma trận cột gồm ba số. Khi đó các ma trận cột gồm các tọa độ của vectơ sẽ được gọi là vectơ 3 chiều. Tập hợp các vectơ 3 chiều được gọi là không gian vectơ 3 chiều. Thí duï : ; 3 2 1 321           =⇔++= a a a Ukajaiau ; 3 2 1 321           =⇔++= b b b Ukbjbibv ;)()()( 33 22 11 332211           + + + =+⇔+++++=+ ba ba ba VUkbajbaibavu ; 3 2 1 321           =⇔++= a a a Ukajaiau λ λ λ λλλλλ Bằng cách lý luận tương tự, ta xây dựng được không gian vectơ 2 chiều ν 2 và không gian vectơ 1 chiều ν 1 . 2. Không gian vectơ. Không gian con của vectơ :  Đònh nghóa : ν là tập hợp rỗng, trong đó xác đònh hai phép toán : 1. Luật hợp thành trong, gọi là phép tính cộng, u, v ∈ ν ; u + v ∈ ν . 2. Luật hợp thành ngoài, gọi là phép nhân vô hướng, u ∈ ν ; k ∈ R; ku ∈ ν . ν được gọi là không gian vectơ trên trường số thực R nếu đối với 2 luật hợp thành đó thỏa mãn các tiên đề sau : [A1] ∀u,v ∈ ν ; u + v = v + u. [A2] ∀u,v,w ∈ ν ; (u + v) + w = u + (v + w). [A3] ∃0 ∈ ν , u + 0 = 0 + u = u, ∀ u ∈ ν . [A4] ∀u ∈ ν , tồn tại vectơ đối –u, u + (– u) = 0 [M1] ∀k ∈ R, ∀u,v ∈ ν , k (u + v) = ku + kv. [M2] ∀h,k ∈ R, ∀u ∈ ν , (h + k) u = hu + ku. [M3] ∀h,k ∈ R, ∀u ∈ ν , h (ku) = (hk) u. [M4] ∃1 ∈ R, 1u = u, ∀u ∈ ν . Hiệu của 2 vectơ u và v là vectơ w ∈ ν : v + w = u. Ta ký hiệu các vectơ u và v là u – v, nghóa là u – v = w. Rõ ràng là u – v = u + (– v). Đònh lý 1 : a. Vectơ 0 tồn tại duy nhất. b. Với mỗi vectơ bất kỳ, vectơ đối tồn tại duy nhất. c. ∀u ∈ ν , đẳng thức 0u = 0 được thỏa mãn. d. ∀k ∈ R và 0 ∈ ν , đẳng thức k0 = 0 được thỏa mãn. e. Từ đẳng thức ku = 0 suy ra một trong hai đẳng thức k = 0 hoặc u = 0.  Các thí dụ về không gian vectơ : f. Vectơ (-1) u là vectơ đối của vectơ u. 1. Không gian vectơ R n . n là số nguyên dương, ta xét các dãy sắp thứ tự gồm n phần tử của R : [a 1 ,a 2 ,…, a n ]. Tập hợp các dãy đó là tập tích R n . Giả sử u = [a 1 ,a 2 ,…, a n ], v = [β 1 , β 2 ,…, β n ], là hai phần tử thuộc R n và k ∈ R. Ta đặt : u + v = [a 1 + β 1 , a 2 + β 2 ,…, a n + β n ] (3.1) ku = [ka 1 + ka 2 ,…, ka n ] (3.2) Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên thỏa mãn tất cả 8 tiên đề trong đònh nghóa không gian vectơ, vì vậy R n là không gian vectơ trên trường số thực R. Vectơ 0, phần tử trung hoà của phép tính cộng là vectơ [0, 0, …, 0] và phần tử đối của vectơ u = [a 1 ,a 2 ,…, a n ] là vectơ – u = [- a 1 , - a 2 ,…, - a n ]. Các số thực a 1 ,a 2 ,…, a n được gọi là các thành phần của vectơ u = [a 1 ,a 2 ,…, a n ]. 2. Gọi X là tập hợp không rỗng và F là tập hợp tất cả các hàm số từ X vào R. Tổng hai hàm f, g ∈ F là hàm f + g ∈ F được xác đònh bằng đẳng thức : (f + g) (t) = f (t) + g (t), ∀ t ∈ X. Tích vô hướng của hàm f ∈ F với K ∈ R là hàm k f ∈ F. Dễ dàng chứng minh được rằng hai phép toán trên thỏa mãn tất cả 8 tiên đề của đònh nghóa không gian vectơ. Vậy F là một không gian vectơ trên R. 3. P n là tập hợp tất cả các CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ - Chương Không gian vectơ Nội dung Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận Chương Không gian vectơ Không gian vectơ: Định nghĩa 1: Cho V tập khác rỗng, xác định phép toán: i Phép toán cộng (ký hiệu +) u, v ∈ V u + v ∈V (Phép hợp thành trong) ii Phép nhân vô hướng: u ∈ V , k ∈ R, ku ∈ V (Phép hợp thành ngoài) Các phần tử V gọi vectơ V gọi không gian vectơ (KGVT) trường số thực R thỏa mãn tính chất sau phép cộng nhân vô hướng: Chương Không gian vectơ i Tính giao hoán phép cộng ∀u, v ∈ V , u + v = v + u ii Tính kết hợp phép cộng: ∀u, v, w ∈ V , (u + v ) + w = u + (v + w ) iii Tồn phần tử không, ký hiệu 0, thỏa mãn: ∀u ∈ V , u + = u iv ∀u ∈ V tồn phần tử đối, ký hiệu −u , thỏa mãn: u + (−u ) = ( ) v ∀u, v ∈ V , ∀k ∈ R, k u + v = ku + kv vi ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h + k u = hu + ku vii ∀u ∈ V , ∀k, h ∈ R, h (ku ) = (hk ) u viii ( ∀u ∈ V ,1.u = u ) Chương Không gian vectơ Phép trừ KGVT định nghĩa sau: u − v = u + (−v ) Tính chất: i Phần tử (iii) phần tử -u (iv) ii ∀u ∈ V , 0.u = (0 vế trái vế phải khác nhau) iii ∀k ∈ R, ∈ V k = (0 hai vế giống nhau) iv Nếu ku = k = u = v −u = (−1) u Chương Không gian vectơ • Ví dụ: Không gian vectơ Rn: k ∈ R; u, v ∈ R n , u = [u1 , u2 , , un ] , v = [ v1 , v2 , , ] ui vi số thực gọi thành phần vec tơ u v u + v = [u1 + v1 , u2 + v2 , , un + ] ku = [ ku1 , ku2 , , kun ] = [ 0, 0, , 0] phần tử không Chương Không gian vectơ Cho X tập khác rỗng, tập hợp hàm số từ X R ký hiệu: F = { f : X → R} Các phép toán cộng nhân vô hướng định nghĩa sau: ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∀f ∈ F ; k ∈ R : ( kf )( x ) = kf ( x ) ∀f , g ∈ F : ∀x ∈ X Phần tử không hàm đồng không, tức không với x∈ X Pn tập tất đa thức hệ số thực cấp Phép cộng: cộng đa thức Phép nhân vô hướng: nhân số với đa thức ≤ n −1 Pn KGVT trường số thực Chương Không gian vectơ Tập tất ma trận cấp mxn: Mm×n Phép cộng: cộng ma trận Phép nhân vô hướng: nhân vô hướng với ma trận Mm×n KGVT trường số thực Trường số thực R KGVT Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận Chương Không gian vectơ Không gian KGVT: Định nghĩa 2: Không gian KGVT V trường số thực R (gọi tắt không gian con) tập hợp W khác rỗng V thỏa tích chất sau: i ∀u, v ∈ W , u + v ∈ W ii ∀u ∈ W , ∀k ∈ R, ku ∈ W Nhận xét: Hai tính chất thay tính chất sau: ∀u, v ∈ W , ∀k ∈ R, ku + v ∈ W 10 Chương Không gian vectơ Ví dụ: (45/158) Chứng tỏ rằnge1, e2 , e3 sở KGVT R3: e1 = 1,1,1 , e2 = 1,2, 3 , e3 = 2, −1,1 Giải: Để chứng tỏ hệ n vectơ sở KGVT Rn ta cần chứng minh hệ n vectơ ĐLTT Xét phương trình theo ẩn α1, α2 , α3 α1e1 + α2e2 + α3e3 = 1  α  0    1   ⇒ 1 −1 α2  = 0      1  α3  0 ⇒ α1 = α2 = α3 = Suy hệ vecto ĐLTT Vậy hệ e1, e2 , e3 26 sở R3 Chương Không gian vectơ Không gian vectơ Không gian không gian vectơ Phụ thuộc tuyến tính, ñộc lập tuyến tính Cơ sở, số chiều tọa ñộ KGVT Hệ thức biến ñổi tọa ñộ vectơ sở thay ñổi Ma trận chuyển sở Không gian nghiệm Không gian dòng ma trận 27 Chương Không gian vectơ Hệ thức biến đổi tọa độ vectơ sở thay đổi Ma trận chuyển sở B = {e1, e2, , en } B′ = {f1, f2, , fn } hai sở khác KGVT Rn Tọa độ vectơ sở biểu diễn sở cũ sau: f1 = α11e1 + α12e2 + + α1nen f2 = α21e1 + α22e2 + + α2nen ⋮ (*) fn = αn 1e1 + αn 2e2 + + αnnen 28 Chương Không gian vectơ Ma trận vuông cấp n: PB →B ′ α  11 α =  12  ⋮ α  1n α21 αn  α22 αn  ⋮ ⋮  α2n αnn   gọi ma trận chuyển sở từ sở cũ B sang sở B’ (hoặc ma trận chuyển) Hệ (*) viết dạng ma trận sau: đó: F = PBT→B ′E T   F =  f1, f2, ⋯, fn  T   E = e1,e2 , ⋯,en  29 Chương Không gian vectơ Định lý: PB →B ′ ma trận chuyển từ sở B={ei} sang sở B’={fi} QB ′→B ma trận Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 1 BÀI 1 Câu 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) : x y 2 0 2x z 6 0          sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) : 2 2 2 x y z 2x 2y 2z 1 0       là đường tròn có bán kính r = 1. Câu 2: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có các mặt bên đều là hình vuông cạnh a. Gọi D, F lần lượt là trung điểm các cạnh BC, C'B'. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'C'. GIẢI Câu 1: Mặt phẳng (P) chứa (d) có dạng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0 (P): (m 2n)x my nz 2m 6n 0        Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 1; -1), bán kính R = 2.  (P) cắt (S) theo một đường tròn giao tiếp (C) có bán kính r = 1 22 d(I; P) R r 3    2 2 2 m 2n m n 2m 6n 3 (m 2n) m n           22 4m 7n 3. 2m 5n 4m.n      22 5m 22m.n 17n 0     Cho 2 17 n 1 5m 22m 17 0 m 1 hay m 5            Vậy, có 2 mặt phẳng (P): 1 2 (P ): x y z 4 0 (P ) : 7x 17y 5z 4 0            Câu 2: . Cách 1:  Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông  / / / / / / AB BC CA A B B C C A a       các tam giác ABC, A / B / C / là các tam giác đều.  Ta có: / / / / / B C // BC B C //(A BC) / / / / / / / d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC))    Ta có: / / / / BC FD BC (A BC) BC A D ( A BC cân tại A )        Dựng / FH A D  Vì // BC (A BC) BC FH H (A BC)      A / FD vuông có: 2 / 2 2 2 2 2 1 1 1 4 1 7 a 21 FH . 7 FH A F FD 3a a 3a        A / B / C / C B A H F D Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 2  Vậy, / / / a 21 d(A B; B C ) FH 7  Cách 2:  Vì các mặt bên của lăng trụ là các hình vuông  ABC, A / B / C / là các tam giác đều cạnh a.  Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), / // a a 3 a a 3 B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a), 2 2 2 2 a a 3 a a 3 B ; ; a , C ; ; a 2 2 2 2                            Ta có: / / / / / B C // BC, B C //(A BC) / / / / / / / / d(B C ; A B) d(B C ; (A BC)) d(B ; (A BC))    // a a 3 a a 3 A B ; ; a , A C ; ; a 2 2 2 2                     2 / / 2 2 2 a 3 3 [A B; A C] 0; a ; a 0; 1; a .n, 22                   với 3 n 0; 1; 2       Phương trình mp (A / BC) qua A / với pháp vectơ n  : 3 0(x 0) 1(y 0) (z a) 0 2        / 3 a 3 (A BC) : y z 0 22       // a 3 3 a 3 a3 .a a 21 2 2 2 2 d(B (A BC)) . 7 37 1 42        Vậy, / / / a 21 d(A B; B C ) . 7  BÀI 2 Câu 1: Trong không gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) và đường thẳng () : x 1 y 2 z 3 2 1 2      1. Tìm điểm M thuộc () để thể tích tứ diện MABC bằng 3. 2. Tìm điểm N thuộc () để thể tích tam giác ABN nhỏ nhất. A / C / B / A B C D x a z y Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng Trang 3 Câu 2: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc nhau. GIẢI Câu 1: 1. Phương trình tham số của (D): x 1 2t y 2 t z 3 2t            M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)        AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)      [AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n           , với n (1; 2; 2)   Phương trình mp (ABC) qua A với pháp vectơ n  : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.  2 2 2 ABC 1 1 9 S [AB; AC] ( 3) ( 6) 6 . 2 2 2           Đường cao MH của tứ diện MABC là khoảng từ M đến (ABC): 1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11 MH d(M(ABC)) 3 1 4 4               Thể tích tứ diện MABC bằng 3 4t 11 19 V . . 3 3 2 3     5 17 4t 11 6 t hay t . 44          Vậy, có 2 điểm M cần tìm là: 3 3 1 15 9 11 M ; ; hay M ; ; 2 4 2 2 4 2                2. N ( ) N(1 2t; 2 Bài tập Hỏi tập có không gian hay không ? {( a, 0, 0) a ∈ } = {( a,1,1) a ∈ } a) W1 = b) W2 ĐS: a) W1 không gian ( a, b ∈ ) với k ∈ bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 0, 0) , ku = ( ka, 0, ) ∈ W1 b) W2 ... 2x5 = + 2x4 − x3 + − 2x4 − 3x5 = + 2x5 = − 3x + x3 = − 9x + 3x = − 6x − 5x + x3 + 2x + x3 + 3x4 + 5x5 = + 6x + 5x3 + 7x4 + 9x5 = + 4x + 3x3 + 2x + 4x + 5x4 + 4x + 7x5 = + 8x5 = + 2x3 = 15 Tìm tọa... sở cho không gian nghiệm hệ sau ⎧2x1 ⎪ a) ⎨ x1 ⎪ ⎩ + x2 + 3x3 = x2 + x3 = ⎧ x1 ⎪ ⎪2x c) ⎨ ⎪3x1 ⎪2x ⎩ − 2x2 + 2x + x2 − 2x2 ⎧3x1 ⎪ ⎪6x d) ⎨ ⎪9x1 ⎪3x ⎩ + x3 = − − x3 ⎧ x1 ⎪ b) ⎨2x1 ⎪3x ⎩ x4 + x5... (1,1,1) , v2 = ( 2, 2, ) , v3 = ( 3, 0, ) b) v1 = ( 2, −1, 3) , v2 = ( 4,1, ) , v3 = ( 8, −1, ) 11 Hệ vectơ hệ vectơ sau sở {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) } = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, )} = {(1,1,