Chứng minh rằng tập hợp W ={ka k∈ } là một không gian vectơ con của V... Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính... Hệ phương trình luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ra 3.. Hệ phương trình
Trang 1Bài tập
1 Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của hay không ?
a) W1 ={ (a,0,0 a) ∈ }
b) W2 ={ (a,1,1 a) ∈ }
ĐS: a) W1 là một không gian con của 3 vì với u =(a,0,0 , v) = (b,0,0)∈W1
(a, b ∈ ) và với k ∈ bất kỳ, ta có u v+ = (a b,0,0 , ku+ ) =(ka,0,0)∈W1
b) W2 không là một không gian con của 3 vì với u =(a,1,1 , v) = (b,1,1)∈W2
(a, b ∈ ) và với k ∈ , k 1≠ , bất kỳ, ta có u v+ =(a b,2,2 , ku+ ) =(ka, k, k)∉W2
2 Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố định thuộc V Chứng minh rằng tập
hợp W ={ka k∈ } là một không gian vectơ con của V
ĐS: Với u ha, v ka W= = ∈ ( h, k ∈ ) và α ∈ bất kỳ, ta có
( ) ( )
u v+ = h k a, u+ α = αh a W∈
3 Trong 3, cho các vectơ u1 =(1, 2,3− ), u2 = (0,1, 3− ) Xét xem vectơ u =(2, 3,3− )
có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2 hay không ?
ĐS: Xét hệ
1
1 2
1 2
k 2
2k k 3
3k 3k 3
⎧ =
⎪
− + = −
⎨
⎪ − =
⎩
, ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 : 2 2 13 : 3 3 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2
1 0 2 1 0 2 1 0 2
2 1 3 0 1 1 0 1 1
3 1 3 0 1 3 0 0 2
= + = +
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hệ vô nghiệm : u không là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2
4 Trong 3, xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u ,u1 2 3 không
a) u1 =(1,0,1 ,u) 2 =(1,1,0 ,u) 3 =(0,1,1 ,u) =(1,2,1)
b) u1 = −( 2,1,0 ,u) 2 =(3, 1,1 ,u− ) 3 =(2,0, 2 ,u− ) =(0,0,0)
ĐS: a) Xét hệ
1 2
2 3
1 3
k k 1
k k 2
k k 1
⎧ + =
⎪
+ =
⎨
⎪ + =
⎩
, ta có
( ) ( ) ( )3 : 3 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2
1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2
1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 2 2
= − = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hệ có nghiệm (0,1,1 : u là tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +u2 +u3)
Trang 2b) Xét hệ
1 2 3
1 2
2 3
2k 3k 2k 0
k k 0
k 2k 0
⎧− + + =
⎪
− =
⎨
⎪ − =
⎩
, ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 : 2 2 1
3 : 3 2
2 3 2 0 1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 2 3 2 0 0 1 2 0
0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0
1 1 0 0
0 1 2 0
0 0 4 0
= +
= −
⎛− ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− ⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ ⎟
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
∼
Hệ có nghiệm (0,0,0 : u là một tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +0u2 +0u3)
5 Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2( ), cho bốn vectơ
1 2 3
1 3 1 0 1 1 0 1
u ,u ,u ,u
2 2 1 0 0 0 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u ,u ,u1 2 3 không ?
ĐS: Xét hệ
1 2
2 3
1 3
3
k k 1
k k 3
k k 2
k 2
⎧ + =
⎪
+ =
⎪
⎨
+ =
⎪
⎪ =
⎩
, ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
2
3 : 3 1
4 : 4 3
3 : 3 2
1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 3 0 1 1 3
1 0 1 2 0 1 1 1
0 0 1 2 0 0 1 2
1 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 3 0 1 1 3
0 0 2 4 0 0 2 4
0 0 1 2 0 0 0 0
= −
= −
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Hệ có nghiệm (0,1,2 : u là tổ hợp tuyến tính của ) u ,u ,u1 2 3 (u 0u= 1 +u2 +2u3)
6 Trong 3, cho các vectơ u1 =(1, 2,3 ,u− ) 2 =(0,1, 3− ) Tìm m để vectơ u =(1, m, 3− )
là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2
Trang 3ĐS: Xét hệ
1
1 2
1 2
k 1
2k k m
3k 3k 3
⎧ =
⎪
− + =
⎨
⎪ − = −
⎩
, ta có
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 : 2 2 1
3 : 3 3 1
3 : 3 3 2
1 0 1 1 0 1
2 1 m 0 1 m 2
3 3 3 0 3 6
1 0 1 1 0 1
0 1 m 2 0 1 m 2
0 0 6 3 m 2 0 0 3m
= +
= −
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − − ⎟ ⎜ − − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ + ⎟ ⎜= + ⎟
⎜ − + + ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Khi m 0= thì u là một tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2 Khi m 0≠ thì u không là một
tổ hợp tuyến tính của u ,u1 2
7 Trong 3, các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) u1 = (1,1,0 ,u) 2 =(0,1,1 ,u) 3 =(1,0,1)
b) u1 =(1,1,0 ,u) 2 =(0,1,1 ,u) 3 = (2,3,1)
c) u1 =(1,1,1 ,u) 2 =(1,1,2 ,u) 3 =(1,2,3)
d) u1 =(1,1,2 ,u) 2 = (1,2,5 ,u) 3 =(0,1,3)
ĐS: a) Xét hệ
1 3
1 2
2 3
k k 0
k k 0
k k 0
⎧ + =
⎪
+ =
⎨
⎪ + =
⎩
Ta có 1 0 1 ( ) ( ) ( )2 : 2 1 1 0 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2 1 0 1
1 1 0 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0 0 2
= − = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
: Hệ độc lập tuyến
tính
b) Xét hệ
1 3
1 2 3
2 3
k 2k 0
k k 3k 0
k k 0
⎧ + =
⎪
+ + =
⎨
⎪ + =
⎩
Ta có 1 0 2 ( ) ( ) ( )2 : 2 1 1 0 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2 1 0 1
1 1 3 0 1 1 0 1 1
0 1 1 0 1 1 0 1 1
= − = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
: Hệ phụ thuộc tuyến
tính
c) Xét hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
k k k 0
k k 2k 0
k 2k 3k 0
⎧ + + =
⎪
+ + =
⎨
⎪ + + =
⎩
Trang 4
Ta có ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11 ( ) ( )2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 2 0 0 1 0 1 2
1 2 3 0 1 2 0 0 1
= −
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼
: Hệ độc lập tuyến tính
d) Xét hệ
1 2
1 2 3
1 2 3
k k 0
k 2k k 0
2k 5k 3k 0
⎧ + =
⎪
+ + =
⎨
⎪ + + =
⎩
Ta có ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )3 : 3 2 12 : 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 3 2
1 1 0 1 1 0 1 1 0
1 2 1 0 1 1 0 1 1
2 5 3 0 3 3 0 0 0
= − = −
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
: Hệ phụ thuộc
tuyến tính
8 Chứng minh rằng hệ vectơ v , v , , v1 2 r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có
một vectơ v , ii ∈{1,2, , r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại
ĐS: Chiếu thuận : Khi hệ vectơ v , v , , v1 2 r phụ thuộc tuyến tính, ta có các hệ số
1 2 r
k , k , , k ∈ không đồng thời bằng 0 sao chok v1 1 +k v2 2 + k v+ r r = 0 Bấy giờ,
nếu k1 ≠0 thì ( )2 ( )r
2 2
k k
1 k 2 k r
v = − v + + − v , nghĩa là v1 là một tổ hợp tuyến tính của
các vectơ v , , v2 r
Chiều đảo Giả sử v1 là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v , , v2 r, nghĩa là tồn
tại các hệ số k , , k ∈2 r sao cho v1 = k v2 2 + k v+ r r Do v1 −k v2 2 − k v− r r =0
với các hệ số 1, k , , k2 r không đồng thời bằng 0, ta suy ra hệ vectơ v , v , , v1 2 r phụ
thuộc tuyến tính
9 Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M2( ), cho bốn vectơ
1 2 3 4
1 0 1 1 1 1 1 1
e ,e ,e ,e
0 0 0 0 1 0 1 1
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Chứng minh rằng hệ {e ,e ,e ,e độc lập tuyến tính 1 2 3 4}
ĐS: Xét hệ
1 2 3 4
2 3 4
3 4
4
k k k k 0
k k k 0
k k 0
k 0
⎧ + + + =
⎪
+ + =
⎪
⎨ + =
⎪
⎪ =
⎩
Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính
10 Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra 3 không ?
a) v1 =(1,1,1 , v) 2 = (2,2,0 , v) 3 =(3,0,0)
b) v1 = (2, 1,3 , v− ) 2 =(4,1,2 , v) 3 = (8, 1,8− )
ĐS: a) Xét hệ
1 2 3
1 2
1
k 2k 3k a
k 2k b
k c
⎧ + + =
⎪
+ =
⎨
⎪ =
⎩
Ta có
Trang 5( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 : 23 : 3 11 ( ) ( )2 3
1 2 3 a 1 2 3 a 1 2 3 a
1 2 0 b 0 0 3 b a 0 2 3 c a
1 0 0 c 0 2 3 c a 0 0 3 b a
= −
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − − ⎯⎯⎯⎯→ − − −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ − − − ⎟ ⎜ − − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼
Hệ phương trình luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ra 3
b) Xét hệ
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2k 4k 8k a
k k k b
3k 2k 8k c
⎧ + + =
⎪
− + − =
⎨
⎪ + + =
⎩
Ta có
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
5
6
1 2 2 : 2 2 1
3 : 3 3 1
3 : 3 2
5 10 5
6 3 6
2 4 8 a 1 1 1 b 1 1 1 b
1 1 1 b 2 4 8 a 0 6 6 a 2b
3 2 8 c 3 2 8 c 0 5 5 c 5b
1 1 1 b 1 1 1 b
0 6 6 a 2b 0 6 6 a 2b
0 0 0 c 5b a 2b 0 0 0 c b a
= +
= +
= −
⎛ ⎞ ⎛− − ⎞ ⎛− − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− − ⎯⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛− − ⎞ ⎛− − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ + ⎟ ⎜= + ⎟
⎜ + − + ⎟ ⎜ + − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∼
Hệ phương trình không luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ không sinh ra 3
11 Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của 3
a) B1 ={ (1,2,3 , 0,2,3) ( ) }
b) B2 ={ (1,2,3 , 0,2,3 , 0,0,5) ( ) ( ) }
c) B3 ={ (1,1,2 , 1,2,5 , 0,1,3) ( ) ( ) }
d) B4 = −{ ( 1,0,1 , 1,1,0 , 1, 1,1 , 2,0,5) (− ) ( − ) ( ) }
ĐS: a) B1 không là một cơ sở của 3 (B1 không sinh ra 3)
b)
1 2 3
0 2 3 10 0
0 0 5
= ≠ B2 là một cơ sở của 3
c)
1 1 2 1 1 2
1 2 5 0 1 3 0
0 1 3 0 1 3
= = B3 không là một cơ sở của 3
d) B4 không là một cơ sở của 3 (B4 không độc lập tuyến tính)
12 Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ 4)
a) u1 = −( 1,2,0,1), u2 =(1,2,3, 1− ), u3 =(0,4,3,0)
b) v1 = −( 1,4,8,12), v2 =(2,1,3,1), v3 = −( 2,8,16,24), v4 =(1,1,2,3)
ĐS: a) Biến đổi
( ) ( ) ( )2 : 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2
1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1
1 2 3 1 0 4 3 0 0 4 3 0
0 4 3 0 0 4 3 0 0 0 0 0
= + = −
⎛− ⎞ ⎛− ⎞ ⎛− ⎞
⎜ − ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Rank = 2
Trang 6b) Biến đổi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )9
5
2 : 2 2 1
3 : 3 2 1 3 4
4 : 4 1 2 3
3 : 3 2
1 4 8 12 1 4 8 12 1 4 8 12
2 1 3 1 0 9 19 25 0 5 10 15
2 8 16 24 0 0 0 0 0 9 19 25
1 1 2 3 0 5 10 15 0 0 0 0
1 4 8 12
0 5 10 15
0 0 1 2
0 0 0 0
= +
= −
= +
= −
⎛− ⎞ ⎛− ⎞ ⎛− ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛− ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∼
∼
Rank = 3
13 Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của 4 sinh bởi các vectơ
( )
1
v = 1,2,0, 1− , v2 =(0,1,3, 2− ), v3 = −( 1,0,2,4), v4 =(3,1, 11,0− )
ĐS: Biến đổi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 : 3 1 3 : 3 2 2
4 : 4 3 1 4 : 4 5 2
4 : 4 3
1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1
0 1 3 2 0 1 3 2 0 1 3 2
1 0 2 4 0 2 2 3 0 0 4 7
3 1 11 0 0 5 11 3 0 0 4 7
1 2 0 1
0 1 3 2
0 0 4 7
0 0 0 0
= + = −
= − = +
= +
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − ⎟ ⎜ − − ⎟ ⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − ⎞
⎜ − ⎟
⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dim 3= và một cơ sở là {e1 =(1,2,0, 1 ,e− ) 2 =(0,1,3, 2 ,e− ) 3 = (0,0, 4,7− ) }
14 Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau
a)
1 2 3
1 2
2 3
2x x 3x 0
x 2x 0
x x 0
⎧ + + =
⎪
+ =
⎨
⎪ + =
⎩
b)
1 2 3
1 2 3
1 2 3
x 3x x 0
2x 6x 2x 0
3x 9x 3x 0
⎧ − + =
⎪
− + =
⎨
⎪ − + =
⎩
c)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x 2x x x x 0
2x x x 2x 3x 0
3x 2x x x 2x 0
2x 5x x 2x 2x 0
⎧ − + − + =
⎪
+ − + − =
⎪
⎨ − − + − =
⎪
⎪ − + − + =
⎩
Trang 7d)
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
3x 2x x 3x 5x 0
6x 4x 3x 5x 7x 0
9x 6x 5x 7x 9x 0
3x 2x 4x 4x 8x 0
⎧ + + + + =
⎪
+ + + + =
⎪
⎨ + + + + =
⎪
⎪ + + + + =
⎩
ĐS: a) Biến đổi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 2 : 2 2 1 2 3
3 : 3 3 2
2 1 3 1 2 0 1 2 0
1 2 0 2 1 3 0 3 3
0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 2 0
0 1 1
0 0 6
= −
= +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ − ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∼ ∼
dim 0=
b) Biến đổi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 : 2 2 13 : 3 3 1
1 3 1 1 3 1
2 6 2 0 0 0
3 9 3 0 0 0
= −
= −
⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ − ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
cho nghiệm
1
2
3
k 3m n
k m
k n
⎧ = −
⎪
=
⎨
⎪ =
⎩
, với m,n ∈
Không gian nghiệm { (3m n, m,n m,n− ) ∈ } = (3,1,0 , 1,0,1) (− ) dim 2= và một cơ
sở là {e1 =(3,1,0 ,e) 2 = −( 1,0,1) }
c) Biến đổi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 : 2 2 1
3 : 3 3 1 2 4
4 : 4 2 1
3 : 3 4 2
4 : 4 5 2
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
2 1 1 2 3 0 5 3 4 5
3 2 1 1 2 0 4 4 4 5
2 5 1 2 2 0 1 1 0 0
1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
0 4 4 4 5 0 0
0 5 3 4 5
= −
= −
= −
= +
= +
⎛ − − ⎞ ⎛ − − ⎞
⎜ − − ⎟ ⎜ − − ⎟
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯→
⎜ − − − ⎟ ⎜ − − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ − − ⎟ ⎜ − − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ − − ⎞ − −
⎜ − − ⎟ − −
⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ − − ⎟
⎜ ⎟
⎜ − − ⎟
⎝ ⎠
∼
( ) ( ) ( )4 : 4 3
8 4 5
0 0 8 4 5
1 2 1 1 1
0 1 1 0 0
0 0 8 4 5
0 0 0 0 0
= −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ − − ⎟
⎜ ⎟
⎜ − − ⎟
⎝ ⎠
⎛ − − ⎞
⎜ − − ⎟
⎜ ⎟
⎜ − − ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
cho nghiệm
( )
( )
7
1
1 2 8
5
1 1
2 8 2 8
5
1 1
3 8 2 8
4
5
k m n
k 4m 5n m n
k 4m 5n m n
k m
k n
⎧ = − +
⎪
= − − = − +
⎪
⎪
= − = −
⎨
⎪
=
⎪
⎪ =
⎩
, với m,n ∈
Không gian nghiệm
Trang 8( )
{ } ( ) ( )
( ) ( )
7 5 5 7 5 5
1 1 1 1 1 1
2m 8n, 2m 8n, m2 8n, m,n m,n 2 2 2, , ,1,0 , , ,8 8 8,0,1
1,1,1,2,0 , 7,5, 5,0,8
− + − + − ∈ = − −
= − −
dim 2= và một cơ sở là {e1 = −( 1,1,1,2,0 ,e) 2 =(7,5, 5,0,8− ) }
d) Biến đổi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1
4
2 : 2 2 1
3 : 3 3 1 3 : 3 2 2
4 : 4 1 4 : 4 3 2
3 4
3 : 3
3 2 1 3 5 3 2 1 3 5
6 4 3 5 7 0 0 1 1 3
9 6 5 7 9 0 0 2 2 6
3 2 4 4 8 0 0 3 1 3
3 2 1 3 5 3 2 1 3 5
0 0 1 1 3 0 0 1 1 3
0 0 0 0 0 0 0 0 1 3
0 0 0 4 12 0 0 0 0 0
= −
= − = −
= − = −
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ ⎟ ⎜ − − ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛
⎜ − − ⎟ ⎜ − −
⎜ ⎟⎯⎯⎯⎯⎯→⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝
∼
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎜ ⎟⎠
cho nghiệm
2 4
1 3 3
2
3
4
5
k m n
k m
k 0
k 3n
k n
⎧ = − +
⎪
=
⎪
⎪
=
⎨
⎪ = −
⎪
⎪ =
⎩
, với m,n ∈
Không gian nghiệm
( )
{ } ( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 4
3m 3n, m,0, 3n,n m,n 3,1,0,0,0 , ,0,0, 3,13
2,3,0,0,0 , 4,0,0, 9,3
− + − ∈ = − −
= − −
dim 2= và một cơ sở là {e1 = −( 2,3,0,0,0 ,e) 2 =(4,0,0, 9,3− ) }
15 Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B′ ={f , f , f1 2 3}
với f1 =(1,0,0 , f) 2 = (1,1,0 , f) 3 =(1,1,1)
a) u =(3,1, 4− ) b) u =(1,3,1)
ĐS: a)
3
u 1
4
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎜− ⎟
⎝ ⎠
B Hệ
1 2 3
2 3
3
k k k 3
k k 1
k 4
⎧ + + =
⎪
+ =
⎨
⎪ = −
⎩
cho
1
2
3
k 2
k 5
k 4
⎧ =
⎪
=
⎨
⎪ = −
⎩
và
2
u 5
4
′
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎜− ⎟
⎝ ⎠
B
b)
1
u 3
1
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B Hệ
1 2 3
2 3
3
k k k 1
k k 3
k 1
⎧ + + =
⎪
+ =
⎨
⎪ =
⎩
cho
1
2
3
k 2
k 2
k 1
⎧ = −
⎪
=
⎨
⎪ =
⎩
và
2
u 2
1
′
⎛− ⎞
⎜ ⎟
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟
⎣ ⎦
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B
16 Trong 4, xét tập
( )
{ 1 2 3 4 1 2 3 4 }
W = a ,a ,a ,a : a +a +a +a =0
a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của 4
Trang 9b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W
( )
1
v = 1,0,0, 1− , v2 =(0,1,0, 1− ), v3 = (0,0,1, 1− ),v4 =(1,1, 1, 1− − )
c) Xác định số chiều và tìm một cơ sở cho W
ĐS: W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất
1 2 3 4
x +x + x +x = 0 nên là một không gian vectơ con của 4
b) 1 0 0+ + + − =( )1 0 nên v1∈W; 0 1 0+ + + − =( )1 0 nên v2 ∈W;
( )
0 0 1+ + + − =1 0 nên v3∈W; 1 1+ + − + − =( ) ( )1 1 0 nên v4 ∈W
c) Với x2 =m, x3 = n, x4 = p, m,n,p ∈ bất kỳ, ta được x1 = − − −m n p Suy ra
( )
{ }
W = − − −m n p, m,n,p m,n,p∈ Vì
(− − −m n p, m,n,p) =m 1,1,0,0(− ) (+n 1,0,1,0− ) (+p 1,0,0,1− )
ta suy ra W = −( 1,1,0,0 , 1,0,1,0 , 1,0,0,1) (− ) (− ) Do đó, dim W 3= và
( ) ( ) ( )
{e1 1,1,0,0 ,e2 1,0,1,0 ,e3 1,0,0,1}
= = − = − = −
B
là một cơ sở cho W
17 Trong 3, cho cơ sở chính tắc
( ) ( ) ( )
{e1 1,0,0 ,e2 0,1,0 ,e3 0,0,1 }
= = = =
B
và cơ sở
( ) ( ) ( )
{f1 2,1,1 ,f2 1,2,1 ,f3 1,1,2}
′ = = = =
B
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B
ĐS:
2 1 1
P 1 2 1
1 1 2
′
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B B ; ( ) 1 3 1 1
1
P P 1 3 1
4
1 1 3
−
′ → → ′
⎛ − − ⎞
⎜ ⎟
= = ⎜− − ⎟
⎜− − ⎟
⎝ ⎠
B B B B
18 Trong, cho hai cơ sở B ={u1 = (1,1,0 ,u) 2 =(0,1,1 ,u) 3 = (1,0,1) } và
( ) ( ) ( )
{v1 2,1,1 ,v2 1,2,1 ,v3 1,1,2}
′ = = = =
B
Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B
ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 Ta có
1 0 1
P 1 1 0
0 1 1
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C B ; ( ) 1 1 1 1
1
P P 1 1 1
2
1 1 1
−
→ →
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
= = ⎜− ⎟
⎜ − ⎟
⎝ ⎠
B C C B
2 1 1
P 1 2 1
1 1 2
′
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
C B ; ( ) 1 3 1 1
1
P P 1 3 1
4
1 1 3
−
′ → → ′
⎛ − − ⎞
⎜ ⎟
= = ⎜− − ⎟
⎜− − ⎟
⎝ ⎠
B C C B
Trang 10Suy ra
1 1 1 2 1 1 1 1 0
1
P P P 1 1 1 1 2 1 0 1 1
2
1 1 1 1 1 2 1 0 1
′ ′
→ → →
⎛ − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⋅ = ⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜= ⎟
⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B B B C C B ;
3 1 1 1 0 1 1 1 1
1 1
P P P 1 3 1 1 1 0 1 1 1
4 2
1 1 3 0 1 1 1 1 1
′ → ′ → →
⎛ − − ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⋅ = ⎜− − ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ − ⎟
⎜− − ⎟ ⎜ ⎟ ⎜− ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
B B B C C B
19 Trong 3, cho hai cơ sở
( ) ( ) ( )
{u1 1,2,0 ,u2 1,3,2 ,u3 0,1,3 }
= = = =
B
( ) ( ) ( )
{v1 1,2,1 ,v2 0,1,2 ,v3 1,4,6}
′ = = = =
B
và vectơ u =(a, b,c)∈ 3
a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở ′ B
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua ′ B và ma trận đổi cơ sở từ ′ B qua B
c) Kiểm chứng ⎡ ⎤⎣ ⎦u = PB B→ ′⎡ ⎤⎣ ⎦u ′
B B và ⎡ ⎤⎣ ⎦u ′ = PB′→B⎡ ⎤⎣ ⎦u
B B
ĐS: a) Ta có
1 1 2
2 1 1 2 2 3 3 1 2 3
3 2 3
k k k a
u k u k u k u k u 2k 3k k b
k 2k 3k c
⎛ ⎞ ⎧ + =
⎜ ⎟ ⎪
⎡ ⎤ = ⎜ ⎟ ⇔ = + + ⇔ ⎨ + + =
⎣ ⎦
⎪
⎜ ⎟ + =
⎝ ⎠ ⎩
B
Biến đổi
( ) ( ) ( )2 : 2 2 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2 2
1 1 0 a 1 1 0 a 1 1 0 a
2 3 1 b 0 1 1 b 2a 0 1 1 b 2a
0 2 3 c 0 2 3 c 0 0 1 c 2b 4a
= − = −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ta được k3 = 4a 2b c− + ; k2 = −6a 3b c+ − ; k1 =7a 3b c− + Vậy
7a 3b c
u 6a 3b c
4a 2b c
⎛ − + ⎞
⎜ ⎟
⎡ ⎤ = −⎜ + − ⎟
⎣ ⎦
⎜ − + ⎟
⎝ ⎠
B
Tương tự,
1 3
1
2 1 1 2 2 3 3 1 2 3
3 1 2 3
k k a
k
u k u k u k u k u 2k k 4k b
k k 2k 6k c
′
⎧
⎛ ⎞ + =
⎜ ⎟ ⎪
⎡ ⎤ =⎜ ⎟ ⇔ = + + ⇔ ⎨ + + =
⎣ ⎦
⎪
⎜ ⎟ + + =
⎝ ⎠ ⎩
B
Biến đổi
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2 : 2 2 13 : 3 1 ( ) ( ) ( )3 : 3 2 2
1 0 1 a 1 0 1 a 1 0 1 a
2 1 4 b 0 1 2 b 2a 0 1 2 b 2a
1 2 6 c 0 2 5 c a 0 0 1 c 2b 3a
= − = −
= −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ − ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ − ⎟ ⎜ − + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠