BÀI GIẢNG TOÁN CAO CẤP A1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỞ TP HỒ CHÍ MINH BÀI GIẢNG TỐN CAO CẤP A1 Giảng viên: Ths Nguyễn Văn Du CHƯƠNG HÀM SỐ GIỚI HẠN – LIÊN TỤC §1 – HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ     1.1 – HÀM SỐ – Định nghĩa Cho X, Y  R, quy tắc cho tương ứng số thực x  X với số thực y  Yđược gọi hàm số với mơt biến số thực x ký hiệu là: f : X  →Y xa y = f ( x) hay : y = f ( x )       Tập X gọi miền xác định hàm số f Tập f(X) = { f(x)/xX)} gọi miền giá trị f – Đồ thị hàm số Cho hàm số y = f(x) có miền xác định X Ta gọi tập hợp: G = {M(x; f(x))/xX} đồ thị hàm số f Biểu diễn tất điểm M(x; f(x))/xX lên mặt phẳng xOy ta nhận đường cong Ta gọi đường cong đồ thị hàm số f – Cách cho hàm số     Cách 1: Cho hàm số theo kiểu liệt kê tương ứng (tương tự siêu thị làm) Cách 2: Cho hàm số dang hay nhiều biểu thức giải tích Chú ý: Cho hàm số y = f(x) ta thấy MXĐ hàm số D = {x  R/ f(x) có nghĩa} Cách 3: Cho hàm số theo kiểu phân đoạn 1.2 – CÁC LOẠI HÀM SỐ   – Hàm đơn điệu Cho hàm số y = f(x) xác đònh khoảng (a,b).Ta nói hàm số y = f(x) hàm tăng (giảm) khoảng (a, b) ta có: ∀ x1 , x2 ∈ ( a, b ) / x1 < x2 : f ( x1 ) < f ( x2 ) ( f ( x1 ) > f ( x2 ) ) Hàm số tăng hay giảm miền gọi hàm đơn điệu miền  – Hàm chẵn lẻ       Cho hàm số y = f(x) xác đònh miền D nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Ta nói hàm số y = f(x) hàm chẵn (lẻ) D cx  D ta có f(-x) = f(x) (f(-x) = -f(x)) Ghi chú: Đồ thò hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thò hàm lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng – Hàm tuần hồn Cho hàm số y = f(x) xác đònh miền D Nếu tồn số thực T > cho: f(x+T) = f (x) (cx  D) f(x) gọi hàm tuần hoàn miền D  Số thực dương T0 nhỏ thỏa mãn điều kiện gọi chu kỳ hàm số f  – Hàm hợp   Cho hàm số y = f(u), u hàm số x nghóa u = u(x) Khi y hàm số x, ta nói y hàm hợp có biến x thông qua biến trung gian u Ký hiệu y = f(u(x))  y = f (u ) hay :  u = u ( x) – Hàm ngược     - Đònh nghóa Cho hàm số f(x) xác đònh tập hợp X ; đặt f(X) = Y Ta nói f hàm – thỏa mãn điều kiện: cx1 x2  X: x1 ≠ x2 ta có f(x1) ≠ f(x2 ) Nếu f hàm – ta có: cy  Y , d!x  X / y = f(x) Khi ta lập hàm số x theo biến y, ký hiệu x = f-1(y) Ta gọi hàm số x = f-1(y) hàm ngược hàm số y = f(x) ký hiệu y = f-1(x) Ví dụ   Giải phương trình vi phân: y,y” - y ‘2= Đặt p = y’ quan niệm y biến, p hàm y nghóa p = p(y) ta có: dy ' dp dp dy y′′ = = = = p′yy y ′x = p′p dx dx dy dx    Ta nhận phương trình: y p’.p – p = Đây PTVP cấp 1, có ẩn hàm p, biến y Ta giải phương trình sau: dp dp dy (1) ⇔ y p ' = p ⇔ y= p⇔ = dy p y dp dy ⇒∫ = ∫ ⇒ ln p = ln y + ln C1 = ln C1 y p y dy dy ⇒ p = C1 y ⇒ y ' = C1 y ⇒ = C1 y ⇒ = C1 x dx y C1 x dy ⇒∫ = ∫ C1 xdx + ln C2 ⇒ ln y = + ln C2 y y C1 x 2 ⇒ ln = C1.x ⇒ NTQ : y = C2 e C2 2.3 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp có hệ số số     2.3.1 – Đònh nghóa Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số PTVP có dạng y′′ + py′ + qy = f ( x ) p q số cho trước, f(x) hàm số x Khi f(x) = phương trình có dạng: y′′ + py′ + qy = Ta gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số số 2.3.2 – Phương pháp giải      – Các bước tiến hành Bước 1: Giải phương trình y′′ + py′ + qy = ( 1′ ) Giải phương trình đặc trưng k + pk + q = Gọi nghiệm phương trình k k2 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm thực phân biệt k1 ≠ k2 NTQ (1’) là: y = C1e k1x + C2 e k2 x  Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép thực ko NTQ (1’) là: y = C1ek x + C2 xe k x  Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm phức liên hợp x = α ± βi NTQ (1’) là: y = eα x (C1 cos β x + C2 sin β x)     Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát PTVPTT cấp 2: y′′ + py′ + qy = f ( x ) ( 1) Như sau: - Tìm nghiệm riêng y* (1) - Suy NTQ (1) là: y = y * + y – Phương pháp tìm nghiệm riêng y*    Trường hợp f(x) = eα xPn(x) (α - số, Pn(x) đa thức bậc n) Nếu α nghiệm PTĐT (1) có nghiệm riêng tìm dạng: y = e αx Qn(x) , Qn(x) đa thức bậc n phải tìm theo phương pháp hệ số bất đònh Nếu α nghiệm đơn PTĐT (1) có nghiệm riêng dạng: y = x.eαxQn(x) Qn(x) đa thức bậc n phải tìm theo phương pháp hệ số bất đònh      Nếu α nghiệm kép PTĐT (1) có nghiệm riêng dạng: y = x2.eαxQn(x) Qn(x) đa thức bậc n phải tìm theo phương pháp hệ số bất đònh Trường hợp f(x) = eα x(Pn(x)cosβ x + Qm(x)sinβ x) Nếu α ± βi nghiệm PTĐT nghiệm riêng (1) có dạng: y = eαx(Rs(x) cosβx + Ts(x)sinβx) Trong Rs(x), Ts(x) đa thức cần tìm có bậc s với s = max{n, m}  Nếu α ± βi nghiệm PTĐT nghiệm riêng (1) có dạng: y = x.eαx (Rs(x) cosβx + Ts(x)sinβx)  Trường hợp f(x) = f1(x) + f2(x) + … + fk(x)    y′′ + py′ + qy = f i ( x ) ( i = 1, 2, , k ) ta giải PTVP: nhận nghiệm y*i  Suy nghiệm riêng phương trình cho y* = y*1 + y*2 + … + yk*  Người ta thường gọi nguyên lý chồng chất nghiệm – Ví dụ        Ví dụ : Giải phương trình vi phân y” – 3y’ + 2y = ex(3 – 4x) (1) Giải Bước 1: Giải phương trình y” – 3y’ + 2y = Phương trình đặc trưng k2 – 3k + = có hai nghiệm thực phân biệt k1 = 1, k2 = x 2x ’ Suy NTQ (1 ) y = C1e + C2 e     Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình không nhất: y” – 3y’ + 2y = ex(3 – 4x) Ta có f(x) = e1x (3 – 4x) ( α = 1, P(x) = – 4x có bậc 1) Do α = nghiệm PTĐT nên (1) có nghiệm riêng tính dạng: y = xe x ( Ax + B ) = e x ( Ax + Bx ) ⇒ y′ = e x ( Ax + Bx ) + e x ( Ax + B ) ⇒ y′′ = e x ( Ax + Bx ) + e x ( Ax + B ) + e x ( Ax + B ) + e x ( A ) = e  Ax + ( A + B ) x + ( B + A )  x  Khi (1) ⇔ e x ( Ax + Bx + Ax + B + A ) −3e x ( Ax + Bx + Ax + B ) + 2e x ( Ax + Bx ) = e x ( − x ) −2 A = −4 A = ⇔ −2 Ax + ( A − B ) = − x ⇔  ⇔ 2 A − B =  B =    Vậy nghiệm riêng (1) y* = x.ex(2x + 1) Suy nghiệm tổng qt phương trình cho là: y = y + y = x.e ( x + 1) + C1e + C2e * x x 2x         Ví dụ Giải phương trình vi phân y” + 2y’ + y = cosx Giải Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát phương trình y” + 2y’ + y = (1’ ) Phương trình đặc trưng : k2 + 2k + = ⇒ k1,2 = -1 NTQ là: y = e − x (C1 + xC2 )      Bước 2: Tìm nghiệm riêng phương trình không nhất: y” + 2y’ + y = cosx (1) Ta có : f(x) = cosx = e0x(1.cosx + 0sinx), α = 0, β = Vì α + β i = + i nghiệm PTĐT nên nghiệm riêng (1) có dạng: y = e 0x ( Acosx + Bsinx ) ⇔ y = Acosx + Bsinx  y ' = − A sin x + B cos x ⇒  y " = − A cos x − B sin x Khi ( 1) ⇔ - A cos x - B sin x - A sin x + B cos x + A cos x + B sin x = cos x ⇔ ( A + B ) cos x − A sin x = cos x A =  A + 2B =  ⇔ ⇔ ⇒ y* = sin x −2 A =  B = ⇒ NTQ : y = y * + y = sin x + e − x (C1 + xC2 )