Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riê
Trang 1
Bài tập toán cao cấp
Tập 2
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.
Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục
của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,
Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả
Trang 2NGUYˆ E ˜ N THUY’ THANH
B ` AI T ˆ A P
TO ´ AN CAO C ˆ A ´P
Tˆ a.p 2 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an c´ ac h` am
NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA I HO C QU O ˆ ´C GIA H ` A N ˆ O I
Trang 3Mu c lu c
7 Gi´ o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 3
7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen c´ac di.nh l´y vˆe` gi´o.i ha.n 11
7.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆe`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) 17
7.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆe`u kiˆe.n cˆa` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y hˆo.i tu Bolzano-Cauchy) 25
7.2 Gi´o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´y co ba’n vˆe` gi´o.i ha.n 27
7.3 H`am liˆen tu.c 41
7.4 Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 51
8 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am mˆ o t biˆ e´n 60 8.1 D- a.o h`am 61
8.1.1 D- a.o h`am cˆa´p 1 61
8.1.2 D- a.o h`am cˆa´p cao 62
8.2 Vi phˆan 75
8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 75
Trang 42 MU C LU C
8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao 77
8.3 C´ac di.nh l´y co ba’n vˆe` h`am kha’ vi Quy t˘a´c l’Hospital Cˆong th´u.c Taylor 84
8.3.1 C´ac d i.nh l´y co ba’n vˆe` h`am kha’ vi 84
8.3.2 Khu.’ c´ac da.ng vˆo di.nh Quy t˘a´c Lˆopitan (L’Hospitale) 88
8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor 96
9 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 109 9.1 D- a.o h`am riˆeng 110
9.1.1 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 110
9.1.2 D- a.o h`am cu’a h`am ho p 111
9.1.3 H`am kha’ vi 111
9.1.4 D- a.o h`am theo hu.´o.ng 112
9.1.5 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 113
9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´n 125e 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 126
9.2.2 Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa´ ` n d´ung 126
9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 127
9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 127
9.2.5 Cˆong th´u.c Taylor 129
9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n 130
9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 145
9.3.1 Cu c tri 145
9.3.2 Cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n 146
9.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 147
Trang 5Chu.o.ng 7
Gi´ o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a
h` am sˆ o
7.1 Gi´ o.i ha n cu ’ a d˜ ay sˆ o ´ 4
7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i
ha.n 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen
c´ac di.nh l´y vˆe` gi´o.i ha.n 11 7.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a
trˆen diˆ`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ye
Bolzano-Weierstrass) 17 7.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen
diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y hˆo.i tu Bolzano-Cauchy) 25
7.2 Gi´ o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n 27
7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´y co ba’n vˆe` gi´o.i ha.n 27
7.3 H` am liˆ en tu c 41
7.4 Gi´ o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe ` u biˆ e´n 51
Trang 64 Chu.o.ng 7 Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´
7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´
H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p N du.o c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n D˜ay sˆo´ thu.`o.ng du.o c viˆe´t du.´o.i da.ng:
a1, a2, , a n , (7.1)
ho˘a.c {a n}, trong d´o a n = f (n), n ∈ N du.o c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at
cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay
Ta cˆ` n lu.u ´a y c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:
i) D˜ay (7.1) du.o c go.i l`a bi ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |a n| 6
M ; v` a go.i l`a khˆong bi ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |a n | > M
ii) Sˆo´ a du.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n > N ⇒ |a n − a| < ε. (7.2)
iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:
∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n > N ⇒ |a n − a| > ε. (7.3)
iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., trong tru.`o.ng ho p ngu.o c la.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k`y
v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u lim
n→∞ a n = 0 v`a go.i l`a d˜ay
vˆo c`ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |a n | > A v`a viˆe´t
lim a n = ∞
vi) Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n dˆe’ d˜ay hˆo.i tu l`a d˜ay d´o pha’i bi ch˘a.n
Ch´u ´y: i) Hˆe th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:
−ε < a − a < ε ⇔ a − ε < a < a + ε. (7.4)
Trang 77.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 5
Hˆe th´u.c (7.4) ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay
hˆo.i tu dˆe`u n˘a`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan
cˆa.n cu’a diˆe’m a.
Nhu vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`u.
ra mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆe`u n˘a`m trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`y b´e bao
nhiˆeu t`uy ´y cu’a diˆe’m a.
ii) Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay sˆo´ vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo.i tu v`a k´y hiˆe.u
lim a n = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a nl`a vˆo c`ung l´o.n v`a k´y hiˆe.u d´o
ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n
7.1.1 C´ ac b` ai to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´o i
ha.n
Dˆe’ ch´u.ng minh lim a n = a b˘a`ng c´ach su.’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆa` n tiˆe´n
h`anh theo c´ac bu.´o.c sau dˆay:
i) Lˆa.p biˆe’u th´u.c |a n − a|
ii) Cho.n d˜ay b n (nˆe´u diˆ`u d´o c´o lo i) sao cho |ae n − a| 6 b n ∀ n v`a
v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k`y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n:
c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang Gia’ su.’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),
f (ε) > 0 Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l` a [f (ε)], trong d´ o [f (ε)] l`a phˆ` na
nguyˆen cu’a f (ε).
C ´ AC V´ I DU .
V´ ı du 1 Gia’ su’ a. n = n(−1) n
Ch´u.ng minh r˘a`ng:
i) D˜ay a n khˆong bi ch˘a.n
ii) D˜ay a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n
Gia’i i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong
bi ch˘a.n Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > 0 sˆo´ ha.ng v´o i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng
n v`a l´o.n ho.n M Diˆ `u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay ae n khˆong bi ch˘a.n