Bài tập toán cao cấp -2

Bài tập toán cao cấp 2

Bài tập toán cao cấp Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. NGUYˆE˜N THUY’THANHB`AI TˆA.PTO´AN CAO CˆA´PTˆa.p2Ph´ep t´ınh vi phˆan c´ac h`amNH`AXUˆA´TBA’NDA.IHO.CQUˆO´C GIA H`ANˆO.I Mu.clu.c7 Gi´o.iha.n v`a liˆen tu.ccu’a h`am sˆo´37.1 Gi´o.iha.ncu’a d˜ay sˆo´ . 47.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.idi.nh ngh˜ıa gi´o.iha.n. 57.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.itu.cu’a d˜ay sˆo´du a trˆen c´acdi.nh l´y vˆe`gi´o.iha.n 117.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.itu.cu’a d˜ay sˆo´du atrˆendiˆe`ukiˆe.ndu’dˆe’d˜ay hˆo.itu.(nguyˆen l´yBolzano-Weierstrass) . . . . . . . . . . . . . . . 177.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.itu.cu’a d˜ay sˆo´du atrˆendiˆe`ukiˆe.ncˆa`nv`adu’dˆe’d˜ay hˆo.itu.(nguyˆen l´y hˆo.itu.Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.2 Gi´o.iha.n h`am mˆo.tbiˆe´n 277.2.1 C´ac kh´ai niˆe.mv`adi.nh l´y co.ba’nvˆe`gi´o.iha.n 277.3 H`am liˆen tu.c . 417.4 Gi´o.iha.n v`a liˆen tu.ccu’a h`am nhiˆe`ubiˆe´n 518 Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am mˆo.tbiˆe´n608.1 D-a.oh`am 618.1.1 D-a.o h`am cˆa´p1 618.1.2 D-a.o h`am cˆa´pcao . 628.2 Viphˆan 758.2.1 Vi phˆan cˆa´p1 . 75 2MU.CLU.C8.2.2 Vi phˆan cˆa´pcao 778.3 C´ac di.nh l´y co.ba’nvˆe`h`am kha’vi. Quy t˘a´c l’Hospital.Cˆong th´u.cTaylor . 848.3.1 C´ac di.nh l´y co.ba’nvˆe`h`am kha’vi 848.3.2 Khu.’c´ac da.ng vˆo di.nh. Quy t˘a´c Lˆopitan(L’Hospitale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888.3.3 Cˆong th´u.cTaylor . 969Ph´ep t´ınh vi phˆan h`am nhiˆe`ubiˆe´n 1099.1 D-a.oh`amriˆeng 1109.1.1 D-a.o h`am riˆeng cˆa´p1 . 1109.1.2 D-a.o h`am cu’a h`am ho p 1119.1.3 H`am kha’vi 1119.1.4 D-a.o h`am theo hu.´o.ng . 1129.1.5 D-a.o h`am riˆeng cˆa´pcao 1139.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆe`ubiˆe´n . 1259.2.1 Vi phˆan cˆa´p1 . 1269.2.2´Ap du.ng vi phˆan dˆe’t´ınh gˆa`nd´ung . . . . . . . 1269.2.3 C´ac t´ınh chˆa´tcu’a vi phˆan . . . . . . . . . . . . 1279.2.4 Vi phˆan cˆa´pcao 1279.2.5 Cˆong th´u.cTaylor .1299.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n . 1309.3 Cu c tri.cu’a h`am nhiˆe`ubiˆe´n . 1459.3.1 Cu c tri 1459.3.2 Cu c tri.c´o diˆe`ukiˆe.n 1469.3.3 Gi´a tri.l´o.n nhˆa´tv`ab´e nhˆa´tcu’a h`am . . . . . . 147 Chu.o.ng 7Gi´o.iha.nv`aliˆen tu.ccu’ah`am sˆo´7.1 Gi´o.iha.ncu’a d˜ay sˆo´ 47.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.idi.nh ngh˜ıa gi´o.iha.n 57.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.itu.cu’a d˜ay sˆo´du a trˆenc´ac di.nh l´y vˆe`gi´o.iha.n 117.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.itu.cu’a d˜ay sˆo´du atrˆen diˆe`ukiˆe.ndu’dˆe’d˜ay hˆo.itu.(nguyˆen l´yBolzano-Weierstrass) . . . . . . . . 177.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.itu.cu’a d˜ay sˆo´du a trˆendiˆe`ukiˆe.ncˆa`nv`adu’dˆe’d˜ay hˆo.itu.(nguyˆenl ´y h ˆo.itu.Bolzano-Cauchy) . . . . . . . . . . 257.2 Gi´o.iha.n h`am mˆo.tbiˆe´n 277.2.1 C´ac kh´ai niˆe.mv`adi.nh l´y co.ba’nvˆe`gi´o.iha.n277.3 H`am liˆen tu.c 417.4 Gi´o.iha.n v`a liˆen tu.ccu’a h`am nhiˆe`ubiˆe´n. 51 4Chu.o.ng 7. Gi´o.iha.n v`a liˆen tu.ccu’a h`am sˆo´7.1 Gi´o.iha.ncu’ad˜ay sˆo´H`am sˆo´x´ac di.nh trˆen tˆa.pho p N du.o cgo.i l`a d˜ay sˆo´vˆo ha.n. D˜ay sˆo´thu.`o.ng du.o cviˆe´tdu.´o.ida.ng:a1,a2, .,an, . (7.1)ho˘a.c {an}, trong d´o an= f(n), n ∈ N du.o cgo.il`asˆo´ha.ng tˆo’ng qu´atcu’a d˜ay, n l`a sˆo´hiˆe.ucu’asˆo´ha.ng trong d˜ay.Ta cˆa`nlu.u ´y c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:i) D˜ay (7.1) du.o cgo.il`abi.ch˘a.nnˆe´u ∃ M ∈ R+: ∀ n ∈ N ⇒|an| M; v`a go.i l`a khˆong bi.ch˘a.nnˆe´u: ∀ M ∈ R+: ∃ n ∈ N ⇒|an| >M.ii) Sˆo´a du.o cgo.i l`a gi´o.iha.ncu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:∀ ε>0, ∃ N(ε):∀ n  N ⇒|an− a| <ε. (7.2)iii) Sˆo´a khˆong pha’i l`a gi´o.iha.ncu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:∃ ε>0, ∀ N : ∃ n  N ⇒|an− a|  ε. (7.3)iv) D˜ay c´o gi´o.iha.ndu.o cgo.i l`a d˜ay hˆo.itu., trong tru.`o.ng ho p ngu.o cla.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k`y.v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u limn→∞an=0v`ago.i l`a d˜ayvˆo c`ung l´o.nnˆe´u ∀ A>0, ∃ N sao cho ∀ n>N⇒|an| >Av`a viˆe´tlim an= ∞.vi) Diˆe`ukiˆe.ncˆa`ndˆe’d˜ay hˆo.itu.l`a d˜ay d´o pha’ibi.ch˘a.n.Ch´u´y:i) Hˆe.th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:−ε<an− a<ε⇔ a − ε<an<a+ ε. (7.4) 7.1. Gi´o.iha.ncu’a d˜ay sˆo´5Hˆe.th´u.c (7.4) ch´u.ng to’r˘a`ng mo.isˆo´ha.ng v´o.ichı’sˆo´n>Ncu’a d˜ayhˆo.itu.dˆe`un˘a`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.il`aε-lˆancˆa.ncu’adiˆe’m a.Nhu.vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.itu.dˆe´nsˆo´a th`ı mo.isˆo´ha.ng cu’a n´o tr`u.ra mˆo.tsˆo´h˜u.uha.nsˆo´ha.ng dˆe`un˘a`m trong ε-lˆan cˆa.nbˆa´tk`yb´ebaonhiˆeu t`uy ´y cu’adiˆe’m a.ii) Ta lu.u´yr˘a`ng d˜ay sˆo´vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo.itu.v`a k´y hiˆe.ulim an= ∞ (−∞)chı’c´o ngh˜ıa l`a d˜ay anl`a vˆo c`ung l´o.nv`ak´yhiˆe.ud´oho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.iha.n.7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.idi.nh ngh˜ıa gi´o.iha.nDˆe’ch´u.ng minh lim an= a b˘a`ng c´ach su.’du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆa`ntiˆe´nh`anh theo c´ac bu.´o.csaudˆay:i) Lˆa.pbiˆe’uth´u.c |an− a|ii) Cho.n d˜ay bn(nˆe´udiˆe`ud´o c ´o l o i) sao cho |an− a|  bn∀ n v`av´o.i ε du’b´e bˆa´tk`ybˆa´tphu.o.ng tr`ınh dˆo´iv´o.i n:bn<ε (7.5)c´o thˆe’gia’imˆo.t c´ach dˆe˜d`ang. Gia’su.’(7.5) c´o nghiˆe.ml`an>f(ε),f(ε) > 0. Khi d´o ta c´o thˆe’lˆa´y n l`a [f(ε)], trong d´o[f(ε)] l`a phˆa`nnguyˆen cu’a f(ε).C´AC V´IDU.V´ı d u.1. Gia’su.’an= n(−1)n.Ch´u.ng minh r˘a`ng:i) D˜ay ankhˆong bi.ch˘a.n.ii) D˜ay ankhˆong pha’il`avˆoc`ung l´o.n.Gia’i. i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng antho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆongbi.ch˘a.n. Thˆa.tvˆa.y, ∀ M>0sˆo´ha.ng v´o.isˆo´hiˆe.u n = 2([M]+1)b˘a`ngn v`a l´o.nho.n M.Diˆe`ud´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay ankhˆong bi.ch˘a.n. 6Chu.o.ng 7. Gi´o.iha.n v`a liˆen tu.ccu’a h`am sˆo´ii) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng ankhˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. Thˆa.tvˆa.y,ta x´et khoa’ng (−2, 2). Hiˆe’n nhiˆen mo.isˆo´ha.ng cu’a d˜ay v´o.isˆo´hiˆe.ule’dˆe`u thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’th`ı ta c´o:n(−1)n= n−1=1/n ∈ (−2, 2).Nhu.vˆa.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´sˆo´ha.ng cu’a d˜ay. T`u.d´o,theo di.nh ngh˜ıa suy ra ankhˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n. V´ı du.2. D`ung di.nh ngh˜ıa gi´o.iha.n d˜ay sˆo´dˆe’ch´u.ng minh r˘a`ng:1) limn→∞(−1)n−1n=0. 2) limn→∞nn +1=1.Gia’i. Dˆe’ch´u.ng minh d˜ay anc´o gi´o.iha.nl`aa, ta cˆa`nch´u.ng minhr˘a`ng dˆo´iv´o.imˆo˜isˆo´ε>0 cho tru.´o.cc´othˆe’t`ım du.o csˆo´N (N phu.thuˆo.c ε) sao cho khi n>N th`ı suy ra |an− a| <ε. Thˆong thu.`o.ng tac´o thˆe’chı’ra cˆong th´u.ctu.`o.ng minh biˆe’udiˆe˜n N qua ε.1) Ta c´o:|an− 0| =(−1)n−1n=1n·Gia’su.’ε l`a sˆo´du.o.ng cho tru.´o.ct`uy ´y. Khi d´o:1n<ε⇔ n>1ε·V`ıthˆe´ta c´o thˆe’lˆa´y N l`a sˆo´tu nhiˆen n`ao d´o tho’am˜andiˆe`ukiˆe.n:N>1ε⇒1N<ε.(Ch˘a’ng ha.n, ta c´o thˆe’lˆa´y N =[1/ε], trong d´o[1/ε] l`a phˆa`n nguyˆencu’a1/ε).Khi d´o ∀ n  N th`ı:|an− 0| =1n1N<ε. 7.1. Gi´o.iha.ncu’a d˜ay sˆo´7Diˆe`ud´o c´o ngh˜ıa l`a limn→∞(−1)nn=0.2) Ta lˆa´ysˆo´ε>0bˆa´tk`yv`at`ımsˆo´tu nhiˆen N(ε) sao cho ∀ n>N(ε) th`ı:nn +1− 1<ε.Bˆa´td˘a’ng th´u.c|an− 1| <ε⇔1n +1<ε⇔1ε− 1.Do d´o ta c´o thˆe’lˆa´ysˆo´N(ε) l`a phˆa`n nguyˆen cu’a1ε− 1, t´u.c l`a:N(ε)=E((1/ε) − 1).Khi d´ov´o.imo.i n  N ta c´o:nn +1− 1=1n +11N +1<ε⇒ limn→∞nn +1=1. V´ı d u.3. Ch´u.ng minh r˘a`ng c´ac d˜ay sau dˆay phˆan k`y:1) an= n, n ∈ N (7.6)2) an=(−1)n,n∈ N (7.7)3) an=(−1)n+1n· (7.8)Gia’i. 1) Gia’su.’d˜ay (7.6) hˆo.itu.v`a c´o gi´o.iha.nl`aa.Talˆa´y ε =1.Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.iha.ntˆo`nta.isˆo´hiˆe.u N sao cho ∀ n>Nth`ıta c´o |an− a| < 1 ngh˜ıa l`a |n− a| < 1 ∀ n>N.T`u.d´o −1 <n− a<1∀ n>N⇔ a− 1 <n<a+1∀ n>N.Nhu.ng bˆa´td˘a’ng th´u.c n<a+1,∀ n>N l`a vˆo l´y v`ı tˆa.pho p c´acsˆo´tu nhiˆen khˆong bi.ch˘a.n.2) C´ach 1. Gia’su.’d˜ay anhˆo.itu.v`a c´o gi´o.iha.nl`aa.Talˆa´y lˆancˆa.na−12,a+12cu’adiˆe’m a.Taviˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.ida.ng:{an} = −1, 1,−1, 1, (7.9) 8Chu.o.ng 7. Gi´o.iha.n v`a liˆen tu.ccu’a h`am sˆo´V`ıdˆo.d`ai cu’a khoa’nga −12,a+12l`a b˘a`ng 1 nˆen hai diˆe’m −1v`a +1 khˆong thˆe’dˆo`ng th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.na−12,a+12cu’adiˆe’m a,v`ı khoa’ng c´ach gi˜u.a −1v`a+1b˘a`ng 2. Diˆe`ud´o c´o ngh˜ıa l`a o.’ngo`ailˆan cˆa.na −12,a+12c´o vˆo sˆo´sˆo´ha.ng cu’ad˜ayv`av`ıthˆe´(xem ch´u´yo.’trˆen) sˆo´a khˆong thˆe’l`a gi´o.iha.ncu’a d˜ay.C´ach 2. Gia’su.’an→ a. Khi d´o ∀ ε>0 (lˆa´y ε =12) ta c´o|an− a| <12∀ n  N.V`ı an= ±1nˆen|1 − a| <12, |−1 − a| <12⇒2=|(1 − a)+(1+a)|  |1 − a| + |a +1| 12+12=1⇒2 < 1, vˆo l´y.3) Lu.u´yr˘a`ng v´o.i n =2m ⇒ a2m=1+12m.Sˆo´ha.ng kˆe`v´o.in´oc´o sˆo´hiˆe.ule’2m +1(hay2m − 1) v`aa2m+1= −1+12m +1< 0 (hay a2m−1= −1+12m − 1 0).T`u.d´o suy r˘a`ng|an− an−1| > 1.Nˆe´usˆo´a n`ao d´o l`a gi´o.iha.ncu’ad˜ay(an) th`ı b˘a´tdˆa`ut`u.sˆo´hiˆe.u n`aod´o ( an) tho’a m˜an bˆa´td˘a’ng th´u.c |an− a| <12. Khi d´o|an− an+1|  |an− a| + |an+1− a| <12+12=1.Nhu.ng hiˆe.ugi˜u.a hai sˆo´ha.ng kˆe`nhau bˆa´tk`ycu’ad˜ayd˜a cho luˆon luˆonl´o.nho.n1. Diˆe`u mˆau thuˆa˜n n`ay ch´u.ng to’r˘a`ng khˆong mˆo.tsˆo´thu cn`ao c´o thˆe’l`a gi´o.iha.ncu’a d˜ay d˜a cho.  [...]... tˆo ` nta . inh˜u . ng gi´a tri . n>N v`a ∃ p ∈ N sao cho |a n − a n+p |  ε. Thˆa . tvˆa . y, theo bˆa ´ td˘a ’ ng th´u . c (*) ta Bài tập toán cao cấp Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức... 1 x (D S. 1 n ) Mˆo . t trong c´ac phu . o . ng ph´ap t´ınh gi´o . iha . ncu ’ a c´ac biˆe ’ uth´u . cvˆoty ’ l`a chuyˆe ’ nvˆoty ’ t`u . mˆa ˜ usˆo ´ lˆen tu . ’ sˆo ´ ho˘a . c ngu . o . . cla . i (1 5-26 ) 15. lim x→0 √ 1+x + x 2 − 1 x (D S. 1 2 ) 16. lim x→2 √ 3+x + x 2 − √ 9 − 2x + x 2 x 2 − 3x +2 (D S. 1 2 ) 17. lim x→0 5x 3 √ 1+x − 3 √ 1 − x (D S. 15 2 ) 18. lim x→0 3 √ 1+3x − 3 √ 1 − 2x x + x 2 (DS.... biến, Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu khơng được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. 7.1. Gi´o . iha . ncu ’ a d˜ay sˆo ´ 25 7.1.4 . Bài tập toán cao cấp Tập 2 Nguyễn Thủy Thanh NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr. Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục của hàm số, Hàm