Bài tập toán cao cấp -2

Bài tập toán cao cấp 2

Bài tập toán cao cấp

Tập 2

Nguyễn Thủy Thanh

NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007, 158 Tr.

Từ khoá: Bài tập toán cao cấp, Giới hạn dãy số, Giới hạn hàm số, Tính liên tục

của hàm số, Hàm liên tục, Phép tính vi phân hàm một biến,

Đạo hàm, Vi phân, Công thức Taylor, Đạo hàm riêng, Vi phân của hàm nhiều biến, Cực trị của hàm nhiều biến

Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả

B ` AI T ˆ A P

Tˆ a.p 2 Ph´ ep t´ınh vi phˆ an c´ ac h` am

NH ` A XU ˆ A ´T BA’N DA I HO C QU O ˆ ´C GIA H ` A N ˆ O I

Mu c lu c

7 Gi´ o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am sˆo´ 3

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 4

7.1.1 C´ac b`ai to´an liˆen quan t´o.i di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n 5 7.1.2 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen c´ac di.nh l´y vˆe` gi´o.i ha.n 11

7.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆe`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y Bolzano-Weierstrass) 17

7.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen diˆe`u kiˆe.n cˆa` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´y hˆo.i tu Bolzano-Cauchy) 25

7.2 Gi´o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n 27

7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´y co ba’n vˆe` gi´o.i ha.n 27

7.3 H`am liˆen tu.c 41

7.4 Gi´o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 51

8 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am mˆ o t biˆ e´n 60 8.1 D- a.o h`am 61

8.1.1 D- a.o h`am cˆa´p 1 61

8.1.2 D- a.o h`am cˆa´p cao 62

8.2 Vi phˆan 75

8.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 75

8.2.2 Vi phˆan cˆa´p cao 77

8.3 C´ac di.nh l´y co ba’n vˆe` h`am kha’ vi Quy t˘a´c l’Hospital Cˆong th´u.c Taylor 84

8.3.1 C´ac d i.nh l´y co ba’n vˆe` h`am kha’ vi 84

8.3.2 Khu.’ c´ac da.ng vˆo di.nh Quy t˘a´c Lˆopitan (L’Hospitale) 88

8.3.3 Cˆong th´u.c Taylor 96

9 Ph´ ep t´ ınh vi phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n 109 9.1 D- a.o h`am riˆeng 110

9.1.1 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p 1 110

9.1.2 D- a.o h`am cu’a h`am ho p 111

9.1.3 H`am kha’ vi 111

9.1.4 D- a.o h`am theo hu.´o.ng 112

9.1.5 D- a.o h`am riˆeng cˆa´p cao 113

9.2 Vi phˆan cu’a h`am nhiˆ`u biˆe´n 125e 9.2.1 Vi phˆan cˆa´p 1 126

9.2.2 Ap du.ng vi phˆan dˆe’ t´ınh gˆa´ ` n d´ung 126

9.2.3 C´ac t´ınh chˆa´t cu’a vi phˆan 127

9.2.4 Vi phˆan cˆa´p cao 127

9.2.5 Cˆong th´u.c Taylor 129

9.2.6 Vi phˆan cu’a h`am ˆa’n 130

9.3 Cu c tri cu’a h`am nhiˆe`u biˆe´n 145

9.3.1 Cu c tri 145

9.3.2 Cu c tri c´o diˆe`u kiˆe.n 146

9.3.3 Gi´a tri l´o.n nhˆa´t v`a b´e nhˆa´t cu’a h`am 147

c´ac di.nh l´y vˆe` gi´o.i ha.n 117.1.3 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a

trˆen diˆ`u kiˆe.n du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆen l´ye

Bolzano-Weierstrass) 177.1.4 Ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n v`a du’ dˆe’ d˜ay hˆo.i tu (nguyˆenl´y hˆo.i tu Bolzano-Cauchy) 25

7.2 Gi´ o.i ha.n h`am mˆo.t biˆe´n 27

7.2.1 C´ac kh´ai niˆe.m v`a di.nh l´y co ba’n vˆe` gi´o.i ha.n 27

7.3 H` am liˆ en tu c 41 7.4 Gi´ o.i ha.n v`a liˆen tu.c cu’a h`am nhiˆe ` u biˆ e´n 51

7.1 Gi´ o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´

H`am sˆo´ x´ac di.nh trˆen tˆa.p ho p N du.o c go.i l`a d˜ay sˆo´ vˆo ha.n D˜ay sˆo´thu.`o.ng du.o c viˆe´t du.´o.i da.ng:

a1, a2, , an, (7.1)

ho˘a.c {a n}, trong d´o a n = f (n), n ∈ N du.o c go.i l`a sˆo´ ha.ng tˆo’ng qu´at

cu’a d˜ay, n l`a sˆo´ hiˆe.u cu’a sˆo´ ha.ng trong d˜ay

Ta cˆ` n lu.u ´a y c´ac kh´ai niˆe.m sau dˆay:

i) D˜ay (7.1) du.o c go.i l`a bi ch˘a.n nˆe´u ∃ M ∈ R+ : ∀ n ∈ N ⇒ |a n| 6

M ; v` a go.i l`a khˆong bi ch˘a.n nˆe´u: ∀ M ∈ R+ : ∃ n ∈ N ⇒ |a n | > M

ii) Sˆo´ a du.o..c go.i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:

∀ ε > 0, ∃ N (ε) : ∀ n > N ⇒ |a n − a| < ε. (7.2)iii) Sˆo´ a khˆong pha’i l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay (7.1) nˆe´u:

∃ ε > 0, ∀ N : ∃ n > N ⇒ |a n − a| > ε. (7.3)

iv) D˜ay c´o gi´o.i ha.n du.o c go.i l`a d˜ay hˆo.i tu., trong tru.`o.ng ho p ngu.o cla.i d˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay phˆan k`y

v) D˜ay (7.1) go.i l`a d˜ay vˆo c`ung b´e nˆe´u lim

n→∞ an = 0 v`a go.i l`a d˜ay

vˆo c`ung l´o.n nˆe´u ∀ A > 0, ∃ N sao cho ∀ n > N ⇒ |a n | > A v`a viˆe´t

lim a n = ∞

vi) Diˆ`u kiˆe.n cˆae ` n dˆe’ d˜ay hˆo.i tu l`a d˜ay d´o pha’i bi ch˘a.n

Ch´u ´y: i) Hˆe th´u.c (7.2) tu.o.ng du.o.ng v´o.i:

−ε < a n − a < ε ⇔ a − ε < a n < a + ε. (7.4)

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 5

Hˆe th´u.c (7.4) ch´u.ng to’ r˘a`ng mo.i sˆo´ ha.ng v´o.i chı’ sˆo´ n > N cu’a d˜ay

hˆo.i tu dˆe`u n˘a`m trong khoa’ng (a − ε, a + ε), khoa’ng n`ay go.i l`a ε-lˆan

cˆa.n cu’a diˆe’m a.

Nhu vˆa.y, nˆe´u d˜ay (7.1) hˆo.i tu dˆe´n sˆo´ a th`ı mo.i sˆo´ ha.ng cu’a n´o tr`u.

ra mˆo.t sˆo´ h˜u.u ha.n sˆo´ ha.ng dˆe`u n˘a`m trong ε-lˆan cˆa.n bˆa´t k`y b´e bao

nhiˆeu t`uy ´y cu’a diˆe’m a.

ii) Ta lu.u ´y r˘a`ng d˜ay sˆo´ vˆo c`ung l´o.n khˆong hˆo.i tu v`a k´y hiˆe.u

lim a n = ∞ (−∞) chı’ c´o ngh˜ıa l`a d˜ay a nl`a vˆo c`ung l´o.n v`a k´y hiˆe.u d´o

ho`an to`an khˆong c´o ngh˜ıa l`a d˜ay c´o gi´o.i ha.n

7.1.1 C´ ac b` ai to´ an liˆ en quan t´ o.i di.nh ngh˜ıa gi´o i

ha.n

Dˆe’ ch´u.ng minh lim a n = a b˘a`ng c´ach su.’ du.ng di.nh ngh˜ıa, ta cˆa` n tiˆe´n

h`anh theo c´ac bu.´o.c sau dˆay:

i) Lˆa.p biˆe’u th´u.c |a n − a|

ii) Cho.n d˜ay b n (nˆe´u diˆ`u d´o c´o lo i) sao cho |ae n − a| 6 b n ∀ n v`a

v´o.i ε du’ b´e bˆa´t k`y bˆa´t phu.o.ng tr`ınh dˆo´i v´o.i n:

c´o thˆe’ gia’i mˆo.t c´ach dˆe˜ d`ang Gia’ su.’ (7.5) c´o nghiˆe.m l`a n > f(ε),

f (ε) > 0 Khi d´o ta c´o thˆe’ lˆa´y n l` a [f (ε)], trong d´ o [f (ε)] l`a phˆ` na

nguyˆen cu’a f (ε).

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 Gia’ su’ a. n = n(−1) n

Ch´u.ng minh r˘a`ng:

i) D˜ay a n khˆong bi ch˘a.n

ii) D˜ay a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n

Gia’i i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n tho’a m˜an di.nh ngh˜ıa d˜ay khˆong

bi ch˘a.n Thˆa.t vˆa.y, ∀ M > 0 sˆo´ ha.ng v´o i sˆo´ hiˆe.u n = 2([M] + 1) b˘a`ng

n v`a l´o.n ho.n M Diˆ `u d´o c´o ngh˜ıa l`a d˜ay ae n khˆong bi ch˘a.n

ii) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n Thˆa.t vˆa.y,

ta x´et khoa’ng (−2, 2) Hiˆe’n nhiˆen mo.i sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v´o.i sˆo´ hiˆe.u le’

dˆ`u thuˆo.c khoa’ng (−2, 2) v`ı khi n le’ th`ı ta c´o:e

n(−1)n= n−1 = 1/n ∈ (−2, 2).

Nhu vˆa.y trong kho’ng (−2, 2) c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay T`u d´o,

theo di.nh ngh˜ıa suy ra a n khˆong pha’i l`a vˆo c`ung l´o.n N

V´ ı du 2 D`ung di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n d˜ay sˆo´ dˆe’ ch´u.ng minh r˘a`ng:

n−1 n

= n1·Gia’ su.’ ε l`a sˆo´ du.o.ng cho tru.´o.c t`uy ´y Khi d´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 7

Diˆ`u d´o c´o ngh˜ıa l`a lime

n + 1 n − 1

Gia’i 1) Gia’ su.’ d˜ay (7.6) hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y ε = 1.

Khi d´o theo di.nh ngh˜ıa gi´o.i ha.n tˆo` n ta.i sˆo´ hiˆe.u N sao cho ∀ n > N th`ı

ta c´o |a n − a| < 1 ngh˜ıa l` a |n − a| < 1 ∀ n > N T`u d´o −1 < n − a < 1

∀ n > N ⇔ a − 1 < n < a + 1 ∀ n > N

Nhu.ng bˆa´t d˘a’ng th´u.c n < a + 1, ∀ n > N l`a vˆo l´y v`ı tˆa.p ho p c´ac

sˆo´ tu nhiˆen khˆong bi ch˘a.n

2) C´ach 1 Gia’ su.’ d˜ay a n hˆo.i tu v`a c´o gi´o.i ha.n l`a a Ta lˆa´y lˆan

cu’a diˆe’m a Ta viˆe´t d˜ay d˜a cho du.´o.i da.ng:

{a n } = −1, 1, −1, 1, (7.9)

V`ı dˆo d`ai cu’a khoa’ng 

a − 1

2, a +

12

l`a b˘a`ng 1 nˆen hai diˆe’m −1v`a +1 khˆong thˆe’ dˆ` ng th`o.i thuˆo.c lˆan cˆa.no a −1

2, a +

12

cu’a diˆe’m a,

v`ı khoa’ng c´ach gi˜u.a −1 v`a +1 b˘a`ng 2 Diˆe`u d´o c´o ngh˜ıa l`a o.’ ngo`ai

c´o vˆo sˆo´ sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay v`a v`ı thˆe´ (xem ch´u

´

y o.’ trˆen) sˆo´ a khˆong thˆe’ l`a gi´o.i ha.n cu’a d˜ay

C´ach 2 Gia’ su.’ a n → a Khi d´ o ∀ ε > 0 (lˆ a´y ε = 1

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 9

9 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: a n= (−1)n + 1/n phˆan k`y

10 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay; a n = sin n0 phˆan k`y

11 T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay: 0, 2; 0, 22; 0, 222; , 0, 22 2| {z }

n ,

Chı’ dˆa˜n Biˆe’u diˆe˜n a n du.´o.i da.ng

an = 0, 22 2 = 2

10 +

210

2

+ · · · + 2

10n (DS lim a n = 2/9)

12. T`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´:

0, 2; 0, 23; 0, 233; 0, 2333; , 0, 2 33 3| {z }

n ,

Chı’ dˆa˜n Biˆe’u diˆe˜n a n du.´o.i da.ng

ii) Tu.o.ng tu nhu i) Su.’ du.ng hˆe th´u.c:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 11

ii) C´o thˆe’ g˘a.p ca’ hai tru.`o.ng ho p c´o gi´o.i ha.n v`a khˆong c´o gi´o.i ha.n,

7.1.2 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

c´ ac di.nh l´ y vˆ ` gi´ e o.i ha.n

Dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´, ngu.`o.i ta thu.`o.ng su.’ du.ng c´ac di.nh l´y v`a

kh´ai niˆe.m sau dˆay:

Gia’ su.’ lim a n = a, lim b n = b.

i) lim(a n ± b n ) = lim a n ± lim b n = a ± b.

ii) lim a nbn = lim a n · lim b n = a · b.

iii) Nˆe´u b 6= 0 th`ı b˘a´t dˆa` u t`u mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o d˜ay a n/bn x´ac

di.nh (ngh˜ıa l`a ∃ N : ∀ n > N ⇒ b n6= 0) v`a:

iv) Nˆe´u lim a n = a, lim b n = a v`a b˘a´t dˆa` u t`u mˆo.t sˆo´ hiˆe.u n`ao d´o

an 6 z n 6 b n th`ı lim z n = a (Nguyˆen l´y bi ch˘a.n hai phi´a)

v) T´ıch cu’a d˜ay vˆo c`ung b´e v´o.i d˜ay bi ch˘a.n l`a d˜ay vˆo c`ung b´e

vi) Nˆe´u (a n) l`a d˜ay vˆo c`ung l´o.n v`a a n6= 0 th`ı d˜ay 1

an

l`a d˜ay vˆoc`ung b´e; ngu.o c la.i, nˆe´u α nl`a d˜ay vˆo c`ung b´e v`a α n6= 0 th`ı d˜ay 1

αn

l`a vˆo c`ung l´o.n

Nhˆa n x´et Dˆe’ ´ap du.ng d´ung d˘a´n c´ac di.nh l´y trˆen ta cˆa` n lu.u ´y mˆo.t

sˆo´ nhˆa.n x´et sau dˆay:

i) Di.nh l´y (iii) vˆe` gi´o.i ha.n cu’a thu.o.ng s˜e khˆong ´ap du.ng du.o c nˆe´u

tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ khˆong c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n ho˘a.c mˆa˜u sˆo´ c´o gi´o.i ha.n

b˘a`ng 0 Trong nh˜u.ng tru.`o.ng ho p d´o nˆen biˆe´n dˆo’i so bˆo d˜ay thu.o.ng,ch˘a’ng ha.n b˘a`ng c´ach chia ho˘a.c nhˆan tu’ sˆ. o´ v`a mˆa˜u sˆo´ v´o.i c`ung mˆo.t

biˆe’u th´u.c

ii) Dˆo´i v´o.i di.nh l´y (i) v`a (ii) c˜ung cˆa` n pha’i thˆa.n tro.ng khi ´ap du.ng.Trong tru.`o.ng ho p n`ay ta cˆa` n pha’i biˆe´n dˆo’i c´ac biˆe’u th´u.c a n ± b n v`a

an · b n tru.´o.c khi t´ınh gi´o.i ha.n (xem v´ı du 1, iii)

iii) Nˆe´u a n = a ≡ const ∀ n th`ı lim

n→∞ an = a.

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 T`ım lim a n nˆe´u:

1) a n= (1 + 7n+2 )/(3 − 7 n)

2) a n = (2 + 4 + 6 + · · · + 2n)/[1 + 3 + 5 + · · · + (2n + 1)]

3) a n = n3/(12+ 22+ · · · + n2)

Gia’i Dˆe’ gia’i c´ac b`ai to´an n`ay ta d`ung l´y thuyˆe´t cˆa´p sˆo´

1) Nhˆan tu.’ sˆo´ v`a mˆa˜u sˆo´ phˆan th´u.c v´o.i 7−n ta c´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 13v`a do d´o:

2) Biˆe´n dˆo’i a n tu.o.ng tu nhu 1) ta c´o:

3) Ta c´o thˆe’ viˆe´t n =√3

n3 v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c:

a3+ b3 = (a + b)(a2− ab + b2)suy ra

1 + 1/n = 1.

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 15

Tu.o.ng tu. lim b n= 1

Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n cu’a c n ta s˜e ´ap du.ng Nguyˆen l´y bi ch˘a.n hai ph´ıa

Mˆo.t m˘a.t ta c´o:

n→∞ cn= 1 N

V´ ı du 5 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay (q n) l`a: 1) d˜ay vˆo c`ung l´o.n nˆe´u

|q| > 1; 2) d˜ay vˆo c`ung b´e khi |q| < 1.

Gia’i 1) Gia’ su.’ |q| > 1 Ta lˆa´y sˆo´ A > 0 bˆa´t k`y T`u d˘a’ng th´u.c

|q| n > A ta thu du.o c n > log |q| A Nˆe´u ta lˆa´y N = [log |q| A] th`ı ∀ n > N

7 a n = n

n + 11 −

cos n 10n . (DS 1)

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 17

2n + 2.

7.1.3 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

diˆ `u kiˆ e e.n du’ dˆe’ d˜ay hˆ o i tu (nguyˆ en l´ y

Bolzano-Weierstrass)

D˜ay sˆo´ a n du.o c go.i l`a:

i) D˜ay t˘ang nˆe´u a n+1 > an ∀ n

ii) D˜ay gia’m nˆe´u a n+1 < an ∀ n

C´ac d˜ay t˘ang ho˘a.c gia’m c`on du.o c go.i l`a d˜ay do.n diˆe.u Ta lu.u ´y

r˘a`ng d˜ay do.n diˆe.u bao gi`o c˜ung bi ch˘a.n ´ıt nhˆa´t l`a mˆo.t ph´ıa Nˆe´u d˜ay

do.n diˆe.u t˘ang th`ı n´o bi ch˘a.n du.´o.i bo.’i sˆo´ ha.ng dˆa`u tiˆen cu’a n´o, d˜aydo.n diˆe.u gia’m th`ı bi ch˘a.n trˆen bo’ i sˆ. o´ ha.ng dˆa` u Ta c´o di.nh l´y sau dˆaythu.`o.ng du.o c su.’ du.ng dˆe’ t´ınh gi´o.i ha.n cu’a d˜ay do.n diˆe.u.

D - i.nh l´y Bolzano-Weierstrass D˜ay do.n diˆe.u v`a bi ch˘a.n th`ı hˆo.i tu

Di.nh l´y n`ay kh˘a’ng di.nh vˆe` su tˆo` n ta.i cu’a gi´o.i ha.n m`a khˆong chı’

ra du.o c phu.o.ng ph´ap t`ım gi´o.i ha.n d´o Tuy vˆa.y, trong nhiˆe`u tru.`o.ng

ho p khi biˆe´t gi´o.i ha.n cu’a d˜ay tˆo`n ta.i, c´o thˆe’ chı’ ra phu.o.ng ph´ap t´ınhn´o Viˆe.c t´ınh to´an thu.`o.ng du a trˆen d˘a’ng th´u.c d´ung v´o.i mo.i d˜ay hˆo.itu.:

= 14

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 19

V´ ı du 2 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay a n = 2

n n! hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’an´o

Gia’i D˜ay d˜a cho c´o da.ng 2

1,

22

2, ,

2n n! ,

D˜ay a n do.n diˆe.u gia’m Thˆa.t vˆa.y

2

n + 1 < 1 ∀ n > 1.

Do d´o a n+1 < an v`a d˜ay bi ch˘a.n trˆen bo.’i phˆa` n tu.’ a1 Ngo`ai ra

an > 0, ∀ n nˆen d˜ay bi ch˘a.n du.´o.i Do d´o d˜ay do.n diˆe.u gia’m v`a bi

ch˘a.n N´o hˆo.i tu theo di.nh l´y Weierstrass Gia’ su’ a l`. a gi´o.i ha.n cu’a n´o

V´ ı du 3 Cho d˜ay a n=

√

2, a n+1=√2a n Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay hˆo.i

tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o

Gia’i Hiˆe’n nhiˆen r˘a`ng: a1 < a2 < a3 < · · · < D´o l`a d˜ay do.n diˆe.u

t˘ang v`a bi ch˘a.n du.´o.i bo.’i sˆo´

Vˆa.y theo tiˆen dˆe` quy na.p ta c´o a n 6 2 ∀ n.

Nhu thˆe´ d˜ay a n do.n diˆe.u t˘ang v`a bi ch˘a.n nˆen n´o c´o gi´o.i ha.n d´ol`a a.

Ta c´o:

an+1=√2a n ⇒ a2n+1 = 2a n.

Do d´o:

lim a2n+1 = 2 lim a n

hay a2− 2a = 0 v` a thu du.o c a1 = 0, a2 = 2

V`ı d˜ay do.n diˆe.u t˘ang ∀ n nˆen gi´o.i ha.n a = 2 N

V´ ı du 4 Ch´u.ng minh t´ınh hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a d˜ay

Gia’ su.’ d˜a ch´u.ng minh du.o..c r˘a`ng: x n <√a + 1.

Ta cˆ` n ch´a u.ng minh x n+1 <√a + 1 Thˆa.t vˆa.y, ta c´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 21iii) Dˆe’ t`ım gi´o.i ha.n ta x´et hˆe th´u.c x n=√a + xn−1 hay

x2n = a + x n−1.

T`u d´o:

lim x2n = lim(a + x n−1 ) = a + lim x n−1

hay nˆe´u gia’ thiˆe´t lim x n = A th`ı: A2 = a + A → A2− A − a = 0 v`a

ph´ep quy na.p to´an ho.c ta ch´u.ng minh r˘a`ng

0 < a n < 1. (7.11)

Ta c´o 0 < a1 < 1 Gia’ su.’ (7.11) d˜a du.o..c ch´u.ng minh v´o.i n v`a ta

s˜e ch´u.ng minh (7.11) d´ung v´o.i n + 1

T`u (7.10) ta c´o; a n+1 = 1 − (1 − a n)2

T`u hˆe th´u.c n`ay suy ra 0 < (1 − a n)2 < 1, v`ı 0 < an < 1.

T`u d´o suy ra: 0 < a n+1 < 1 ∀ n.

ii) Bˆay gi`o ta ch´u.ng minh r˘a`ng a n l`a d˜ay t˘ang

Thˆa.t vˆa.y, v`ı a n < 1 nˆ en 2 − a n > 1 Chia (7.10) cho an ta thu

du.o c:

an+1

an = 2 − a n > 1.

T`u d´o a n+1 > an ∀ n Nhu vˆ a.y d˜ay a n do.n diˆe.u t˘ang v`a bi ch˘a.n.

Do d´o theo di.nh l´y Weierstrass, lim A n tˆ` n ta.i v`a ta k´y hiˆe.u n´o l`a a.oiii) T`u (7.10) ta c´o:

lim a n+1 = lim a n · lim(2 − a n)

hay a = a(2 − a).

T`u d´o a = 0 v` a a = 1 V`ı x1 > 0 v`a d˜ay a n t˘ang nˆen

a = 1 = lim an N

V´ ı du 6 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay a n= n!

n n hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’an´o

Gia’i i) Ta ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay a n do.n diˆe.u gia’m, thˆa.t vˆa.y:

V`ı a n > 0 nˆen n´o bi ch˘a.n du.´o.i v`a do d´o lim a n tˆ` n ta.i, k´y hiˆe.uo

lim a n = a v`a r˜o r`ang l`a a = lim a n> 0

ii) Ta ch´u.ng minh a = 0 Thˆa.t vˆa.y ta c´o:

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 23

H˜ay chı’ ra d˜ay n`ao bi ch˘a.n v`a d˜ay n`ao khˆong bi ch˘a.n

(DS 1) v`a 2) bi ch˘a.n; 3) khˆong bi ch˘a.n)

2 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay:

n trong d´o E(nx) l`a phˆ` n nguyˆen cu’a nx.a

Chı’ dˆa˜n Su.’ du.ng hˆe th´u.c: nx − 1 < E(nx) 6 nx (DS a = x)

5 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay: a n = a 1/2n hˆo.i tu v`a t`ım gi´o.i ha.n cu’a n´o

(a > 1).

(DS a = 1 Chı’ dˆa˜n Ch´u.ng minh r˘a`ng a n l`a d˜ay do.n diˆe.u gia’mv`ı

c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n

Chı’ dˆa˜n T´ınh bi ch˘a.n cu’a a n du.o c x´ac lˆa.p b˘a`ng c´ach so s´anh a n

v´o.i tˆo’ng mˆo.t cˆa´p sˆo´ nhˆan n`ao d´o

8 Ch´u.ng minh r˘a`ng d˜ay 

1 + 1

n

n+1do.n diˆe.u gia’m v`a

7.1 Gi´o.i ha.n cu’a d˜ay sˆo´ 25

7.1.4 Ch´ u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay sˆo´ du a trˆen

diˆ `u kiˆ e e.n cˆa ` n v` a du ’ dˆ e’ d˜ ay hˆ o i tu (nguyˆ en

l´ y hˆ o i tu Bolzano-Cauchy)

Trˆen dˆay ta d˜a nˆeu hai phu.o.ng ph´ap ch´u.ng minh su hˆo.i tu cu’a d˜ay

Hai phu.o.ng ph´ap n`ay khˆong ´ap du.ng du.o c dˆo´i v´o.i c´ac d˜ay khˆong do.n

diˆe.u du.o c cho khˆong b˘a`ng phu.o.ng ph´ap gia’i t´ıch m`a du.o c cho b˘a`ng

phu.o.ng ph´ap kh´ac (ch˘a’ng ha.n b˘a`ng phu.o.ng ph´ap truy hˆo`i) M˘a.t

kh´ac, trong nhiˆ`u tru.`o.ng ho p ngu.`o.i ta chı’ quan tˆam dˆe´n su hˆo.i tu.e

hay phˆan k`y cu’a d˜ay m`a thˆoi Sau dˆay ta ph´at biˆe’u mˆo.t tiˆeu chuˆa’n

c´o t´ınh chˆa´t “nˆo.i ta.i” cho ph´ep kˆe´t luˆa.n su hˆo.i tu cu’a d˜ay chı’ du a

trˆen gi´a tri cu’a c´ac sˆo´ ha.ng cu’a d˜ay:

Nguyˆ en l´ y hˆ o i tu D˜ay (a n) c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n khi v`a chı’ khi n´o

tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.n:e

∀ ε > 0, ∃ N0 = N0(ε) ∈ N : ∀ n > N0 v`a ∀ p ∈ N

⇒ |a n − a n+p | < ε.

T`u nguyˆen l´y hˆo.i tu r´ut ra: D˜ay (a n) khˆong c´o gi´o.i ha n khi v`a chı’

khi n´o tho’a m˜an diˆ`u kiˆe.n:e

Gia’i Ta u.´o.c lu.o ng hiˆe.u

|a n+p − a n| =

cos(n + 1)3n+1 + · · · + cos(n + p)

3n+p